XIX Белоусов А.И., Ткачев СБ. Дискретная математика (1081422), страница 23
Текст из файла (страница 23)
т и = 0(пюйр)). Например, в кольце Я1э делителями нуля будут элементы 2 и 6, Зи4,3и8,4и6,4и9,6и6,6и8,6и10,8и9. 143 а.4. Области целостности Замечание 2.3. Следствие 2.2 допускает интерпретацию с точки зрения теории чисел: каково бы ни было простое чисяо р, для всякого ненулевого тп < р найдется единственное ненулевое н ( р, такое, что тнн = 1 (шоб р). Этот результат имеет место именно в силу того, что для каждого элемента поля Ер есть обратный элемент относительно умножения. Это — один из примеров применении общей алгебры к теории чисел. Пример 2.14. В заключение приведем „таблицу сложения" (табл. 2.1) и „таблицу умножения" (табл. 2.2) для поля Ев Таблица 8.1 Таблица 3.3 Таблицы, подобные приведенным вьппе, которые определяют операции в конечных алгебрах, носят название тпаблиц рэли. Из таблиц Кэли для поля вычетов по модулю 5 следует, что в этом поле выполняются слегка шокирующие при первом взгляде равенства: 4 = — 1, 2 = 3 1, 4 = 4 1 и т.п.
Но ни о каких „отрицательных" числах и ни о каких „дробях" тут речи нет, поскольку расматриваются другие объекты — остатки при делении на 5. Просто равенство 4 = -1 означает, что элемент 1 есть элемент, противоположный 4 в аддитивной группе вычетов по модулю 5: 4 Щ 1 = О.
Аналогично по умножению— в мультипликативной группе вычетов по модулю 5 элемент 3 есть обратный к 2, так как 3 Ов 2 = 1, а элемент 4 обратен к себе самому. Пример 2.15. Рассмотрим пример решения сисшемы линебныэ алгебраических уравнениб в поле Ев. При записи урав- 144 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА пений будем опускать знак Оз умножения там, где зто не приводит к недоразумениям.
Будем решать систему х1 95 2хг 95 Зхз = 1, 2х1 95 2хг 95 4хз = 3, 4х1 95 Зхг 95 хз = О \ используя метод Гаусса [ПЦ. Домножив первую строку на 3 и прибавив ее ко второй строке, получим (3952)х1 95(ЗО52952)хг95 (ЗО53954)хз =3953. Воспользовавшись таблицами Кзли, вычислим коэффициенты при переменных. В итоге имеем О Оз х1953хг 953хз = 1. Прибавив к третьей строке первую, получнм (195 4)х195 (295 З)хг 95 (3 95 1)хз = 1, откуда 4хз = 1 Система привелась к виду х1 95 2х2 95 Зхз = 1, Зх2 95 Зхз = 1з 4хз = 1. Из последнего уравнения находим хз = 4 1 Оз 1 = 4 Оз 1 = 4. Подставив хз = 4 во второе уравнение, будем иметь Зх295ЗО54=1, т.е.
Зхг =195 ( — 2) =-1=4. Отсюда х2=3 054=2О54=3 145 2.5. Модули и лляойлые орострввотвь Из первого уравнения после подстановки найденных значений переменных получим х1 Юь 2 Оь 3 Щ 3 Оь 4 = 1, откуда х1 Юь 1 Юь 2 = 1 и х1 = -2 = 3. Таким образом, х1 = 3, хз = 3 и хз = 4 — решение системы линейных уравнений. ф Заметим в заключение, что известная из [ПЦ техника ре.
шенил систем линейных алгебраических уравнений в полях действительных или комплексных чисел может быть без изменения перенесена на любое поле. 2.5, Модули и линейные пространства Рассмотрим абглееу группу й = (С, +, 0) и кольцо Я. = = (В, +,, О, 1). Пусть каждому элементу а кольца К сопоставлено отображение о~а носителя группы й в себя так, что для любых а, ~3 Е В и любых х, у Е 0 выполняются равенства: 1) ыа(х+у) =а~а(х)+а~а(у); 2) ыа+р(х) = ыа(х) + ьор(х); 3) ыа д(х) <~а(ыр(х))~ 4) ы1(х) = х. Последнее равенство означает, что отображение ь~1, сопоставленное единице кольца Я., является тождественным отображением множества С на себя. Тогда абелева группа Д называется левым модулем «ад кольцомК. Если равенство 3 в определении модуля переписать так: 3') ы .р(х) = ыр(ыа(х)), то получим определение правого модуля над кольцом Я,.
Для коммутативного кольца Я. левый и правый модули совпадают, так как ыа(ыр(х)) = ыр. (х) = ау(и (х)). 146 2, АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА Заметим, что модуль можно рассматривать как алгебру с бесконечной сигнашурой, если множество В бесконечно: 0=(С~ +~ О~ (ыо: оеЯ)). Следует подчеркнуть, что модуль есть именно абелева группа с дополнительными операциями, отображениями ю,„, сопо-' ставленными элементам кольца Я.. Носитель модуля есть носитель С группы Д.
Теорема 2.10. В любом Я модуле имеют место тождества: 1) ме(х) =О; 2) ы 1(х) = -х. м 1) х+ыо(х) = ш1(х) +во(х) = и1ьо(х) = ш1(х) = х. Решая уравнение х+ ые(х) = х относительно ие(х), получаем юо(х) =х — х = О. 2) х+ы 1(х) =ю1(х)+м 1(х) =и1+( 1)(х) =м1(х) =О. Таким образом, х+ и 1(х) = О, откуда в силу определения противоположного элемента получаем м 1(х) = -х. 1ь Пример 2.16. а.
Пусть Я = (В, +,, О, 1) — произвольное кольцо. В качестве группы Д возьмем аддишивнуе группу этого кольца, а отображение ы,„, а Е Й, определим так, что ио(х) = а х, х Е И. Это отображение называют левым сдвигом на а. Тогда равенства 1-4 выполнены в силу аксиом кольца. Таким образм, получаем левый модуль, носитель которого — аддитивная группа кольца, а отображение м„ есть левый сдвиг произвольного элемента кольца на заданное а. Если теперь задать для каждого а Е В отображение Р„: Я -+ -+ В так, что йо(х) = х а (правый сдвиг на а), то получим правый модуль с тем же носителем, но сигнатура его (помимо операции сложения исходного кольца Ж) будет состоять из всевозможных правых сдвигов Й,„.
б. Пусть Д есть аддитивная группа векторов какого-либо линейного пространства Ь, а Я, — кольцо линейных операторов 147 2.б. Подгруппы я подкольла из Х в Ь. Тогда, полагая для произвольных линейного оператора А и вектора х пространства Ь ыд(х) = Ах, получаем, как нетрудно проверить, левый модуль над кольцом К. в. Пусть К вЂ” кольцо квадратных числовых матриц порядка и с обычными операциями сложения и умножения матриц (см. пример 2.12.г), а й — группа матриц-столбцов типа и х 1 по сложению. Отображение от„определим по правилу ы„(Х) = АХ, где А — квадратная матрица, а Х вЂ” вектор-столбец. Легко видеть, что равенства 1-4 вытекают из свойств умножения матриц и линейных операций над матрицами [ПЦ.
В результате получим левый модуль над кольцом квадратных матриц. Аналогично, взяв в качестве й аддитивную группу матриц- строк типа 1 х и и определив отображение ьт,„(У) = УА, где А — квадратная матрица порядка и, а У вЂ” матрица-строка, получим правый модуль над кольцом квадратных матриц. ф Если рассматривается левый Я;модуль, то отображение ю,„ называют левым умножением на элемент ст кольца Я.
и применяют обозначение ю,„(х) = а о х. Для правого Я-модуля отображение ю„называют правым умножением на элемент ст кольца Я, и пишут ыо(х) = х о а. Я;модуль, у которого кольцо Я, является полем, называют линейным простпранстпеом над полем Я.. Если кольцо Я, является полем дейстпвительных чисел (или полем комплексных чисел), то мы получаем действительное (соответственно комплексное) линейное пространство. 2,6.
Подгруппы и подкольца Пусть й = (С, в) — произвольный группоид и Н С С— некоторое подмножество множества С. Рассмотрим свойства бинарной операции * группоида й на подмножестве Н. Говорят, что множестпео Н С С замкнуто отпноситпельно операции в, если х*у Е Н для любых х, у Е Н. В 148 г. АЛГКВРЫ: ГРИШЫ И КОЛЬЦЛ этом случае подмножество Н с операцией * будет группоидом Я = (Н, в). Его называют подеруппоидом группоида Д. Если подмножество Н замкнуто относительно бинарной операции в и эта бикарнал операция ассоииативка на множестве С, то легко убедиться, что операция останется ассоциативной и при ее ограничении на подмножество Н. Таким образом,, если группоид Д является полугрупкой, то и всякий его подгруппоид будет полугруппой, называемой подполуеруппоб полугруппы Д. Однако в случае, когда группоид являетсл моноидом (группой), уже нельзя утверждать, что любой подгруппоид является также моноидом (группой).
Например, в качестве исходного группоида рассмотрим аддитивную группу ислых чисел (Е, +). Выделим в множестве целых чисел подмножество г1 натуральных чисел. Поскольку это подмножество замкнуто относительно операциии сложения +, группоид (г1, +) будет подгруппоидом группоида (Е, +). Так как операция сложения чисел ассоциативна, (И, +) будет подполугруппой. Однако в множестве М отсутствует нейтиральныб элемент О относительно операции сложения. Следовательно, (М, +) даже не моноид.
Пусть М = (М,, 1) — моноид. Если Р есть подмножество М, замкнутое относительно бинарной операции моноида М и содержащее нейтральный элемент (единииу) 1 этого моноида, то Р = (Р,, 1) также есть моноид. Его называют подмоноидом моноида М. Полагая, по определению, что замкнутость подмножества В С А относительно нульарной операции а на А равносильна соотношению а Е В, получаем, что моноид Р = (Р,, 1) есть подмоноид моноида М = (М,, 1) тогда и только тогда, когда множество Р замкнуто относительно бинарной операции . моноида М, а также относительно его нульарной операции 1. Пусть Д = (С,, 1, 1) — группа, а Н есть подмножество С, замкнутое относительно операции .
группы Д, содержащее нейтральный элемент (единииу) 1 этой группы и вместе с каждьпл элементом х Е Н содержащее элемеюи х 1, обращкый 149 г.а Под ру в л яа к х, т.е. замкнутое относительно унарной операции ~ взятия обратного, которая здесь включена в сигнаптуру группы. Тогда Я = (Н,, т, 1) также есть группа, которую называют подаруппой группы Д. Пусть ьт — унарная операция на множестве С моноида У, а Я вЂ” некоторый его подмоноид.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
