XIX Белоусов А.И., Ткачев СБ. Дискретная математика (1081422), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Все эти утверждения могут быть доказаны по аналогии с соответствующими теоремами о гомоморфиэмах и иэоморфиэмах групп. г.д. г олаф я 167 Теорема 2.20. Пусть Ж~ и Яз — произвольные кольца. Если у: Я~ -+ Яз — гомоморфиэм, то 1) образ куля кольца Я~ при отображении у есть нуль кольца Яз, т.е.
у(0) = О; 2) образ единицы кольца Я.~ при отображении у есть единица кольца Яз, т.е. ~(1) = 1; 3) для всякого элемента х кольца Я.~ образ элемента, ирошивоволозского элементу х, равен элементу, противоположному образу элемента х, т.е. 1(-х) = -Дх); 4) если кольца Я.~ и Яз являютсл полями, то для всякого элемента х кольца Я~ образ элемента, обратного к элементу х ио умкохсению, равен элементу, обратному к образу элемента х, т.е. Дх ~) = (Дх)) '.
Теорема 2.21. Если у — гомоморфиэм кольца Я в кольцо Ж, а д — гомоморфизм кольца 1С в кольцо Е, то композиция отображений у од есть гомоморфизм кольца Я. в кольцо л.. Теорема 2.22. Если ~: Я,~ -+ Яо — иэоморфизм кольца Я~ на кольцо Яз, то отображение У ~ есть изоморфизм кольца Яз на кольцо Я.~. ф. Как и в случае групп, определяются понятия гомоморфного образа кольца и изоморфных колец. А именно кольцо л. называют гомоморЯным образом кольца Я, если существует гомоморфизм кольца И на кольцо 1С.
Два кольца Я и /С называют изоморфными и пишут Я ~ IС, если существует изоморфизм одного из ннх на другой. Так, например, кольцо вычетов по модулю Ь есть гомоморфный образ кольца целых чисел при гомоморфизме, задаваемом отображением, которое каждому целому ти сопоставляет остаток от деления тп на Ь. Рассмотрим один интересный пример изоморфизма полей. Пример 2.26. Так же как и в примере 2.22, поставим в соответствие комплексному числу а+Ьз матрицу Да+ Ьь) = а Ь| ). Получим отображение ~, которое, как уже было -Ь а) 168 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЪЦА доказано, является инъекцией, причем у (0) = ~(0+ 0 ь) = О, где 0 — нулевая матрица.
Заметим, что, поскольку определитель матрицы указанного вида равен а + Ь~, среди всех таких матриц только нулевая будет иметь нулевой определитель. Далее, легко проверить, что множество таких матриц эамккувьо отпкосителько овераиий сложения и умножения ма триц, содержит (как уже было отмечено) нулевую и единичную матрицы, а также вместе с каждой матрицей А матрицу -А и вместе с каждой ненулевой матрицей обратную к ней матрицу.
/а 61 Это значит, что множество матриц вида ~ ~, а, Ь Е Ж, с ~,-6 а1' операциями сложения и умножения матриц образует поле. Обо(а,Ь) значим его М~ ' '. Из примера 2.22 следует, что мультипликативная группа поля комплексных чисел изоморфна мультипликативной группе поля М~( * ). Так как у [(а+ Ьь) + (с+ й)] = у [(а+ с) + (6+ д)ь] = -Ь-д а+с — 6 а — д с = у(а+6()+у(с+й), то и аддитивнзя группа поля комплексных чисел изоморфна аддитивнои группе поля Мз * . Итак, мы получаем, что (а,Ь) поле комплексных чисел изоморфно полю матриц Мз ' ).
Этот (а,Ь) изоморфизм лежит в основе матричного представления алгебры комплексных чисел, что имеет значение для компьютерных реализаций этой алгебры. Дополнение 2.1. Кватернионы Примером вьела, не являющегося колем, может служить алгебра квавьериаоков („четырехмерных чисел"). Сначала напомним, как строится алгебра комвлекскмя чисел. Комплексное число определяется как уворлдочекная вара 169 Д.гЛ.
К р действительных чисел, причем сложение пар вводится покомпонентно: (а, 6) + (с, И) = (а + с, Ь+ д), а умножение — согласно формуле (а, 6) (с, д) = (ас- Ы, ад+ Ьс). (2.3) Заметим, что покомпонентное определение умножения не дело бы требуемых свойств втой операции (таких же, как у умножения действительных чисел), поскольку при покомпонентном умножении имеются делители нуля: (а, 0). (О, Ь) =(а О, О.Ь) = (О, 0). При стандартном определении умножения согласно (2.3) можно доказать, что алгебра комплексных чисел является полем. Кватернионы определяются как упорядоченные пары комплексных чисел. Сложение кватернионов вводится снова как покомпонентное, а умножение — следующим образом: (а, Ь) (с, д) = (ас — Ы, аИ+Ьс), где х — число, комплексно сопряженное с х.
Уаблииа 33 Можно показать, что каждый кватернион однозначно представляется в виде а = х+1у+гл+ИЬ где х, у, з, 6 — действительные числа, а 1, г и й — кватернионы, называемые мнимыми единицами. Правила умножения мнимых единиц вместе с обычной единицей задаются табл. 2.3. Можно заметить, что умножение попарно различных мнимых единиц совершается по тем же правилам, что и векторное умножение ортов е,,у, й в векторной алгебре (1П]. 170 2.
АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА Сопрлзтсенный с а = э+ту+у»+ЙЬ кватпернион, по определению, равен а = э — ту — у» — яп. Имеют место следующие тождества: щЗ = а,З, (а+Р) =а+Р, аа = аа = а + Ь + с~ + е~. Действительное число аа, обозначаемое п(а), называется нормой кватперниона а. Построевнал таким образом алгебра кватернионов обладает следующими свойствами: 1. Умножение кватернионов вссоииатпивно, но не коммутпаптивно. Это свойство непосредственно выводится из табл. 2.3.
Например, пусть а=О+т1+уО+Ы, а,0=0+тО+у1+ЬО. Тогда АЗ = О+ зО+ уО+ й, а,8а =О+ тО+уО+й( — 1). 2. В алгебре кватернионов нет делителей нуля. Действительно, п(а) = 0 тогда и только тогда, когда а = О, т.е. нулевому кватерниону О+ 10+ уО+ ЙО, и можно показать, что п(аВ) = п(а)п(1З). Тогда„если а ф О, то а ((1/п(а)) а) =((1/п(а)) а) а=1. Таким образом, по умножению все ненулевые кватернионы образуют группу и алгебра кватернионов оказывается телом, не будучи полем. Из кватернионов можно также строить упорядоченные пары, вводя операции сложения и умножения как описано вьппе, а операцию сопряжения согласно формуле (а,Ь) = (а,— 6) (а и 6 — кватернионы). Полученная таким образом алгебра называется алгеброй Хэлп, а ее элементы — числами рэли или октваепми.
Умножение в алгебре Кэли уже не будет даже 171 Вопросы и задачи ассоциативным, однако ассоциативный закон имеет место в частном случае — для любых двух чисел Кэпи а и,О: ( )О=а( Р), а(Д?) = (ар),В, а()?а) = (а~3)а. Кроме того, каждое ненулевое число Кэпи имеет обратное.
Другими словами, в алгебре Кэпи любое уравнение ах = ~3 (или ха = ф) имеет единственное решение. Таким образом, алгебра Кэпи также является алгеброй беэ делителей нуля. Можно доказать, что, кроме алгебры комплексных чисел, алгебры кватернионов и алгебры Кэпи, не существует „многомерных" числовых алгебр беэ делителей нуля. Вопросы и задачи 2.1. Ассоциативна ли операция О на множестве М, если: а) М=М, хОр=2ху; б) М=Е, хОу=х +у~; в) М=й, хОу=зшхвшу; г) М = й'1 (0), х О р = худ*~; д) М=Й, хОу=х — у? 2.2. Пусть Я вЂ” полугруппа матриц вида ~, где х, р Е /х у1 Е Й, с операцией умножения.
Существуют ли в ней левые или правые нейтральные элементы? 2.3. На множестве М определена бинарная операция о по правилу хор = х. Доказать, что (М, о) — полугруппа. Что можно сказать о нейтральных элементах этой полугруппы? В каких случаях она является группой? 2.4.
Пусть М вЂ” произвольное множество. На множестве М~ определена операция о по правилу (х, у) о (», Ф) = (х, Ф). 172 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЪЦА Является ли алгебра (Мэ, о) полугруппой? Существует ли в ней нейтральный элемент? 2.5. Привести пример полугруппы с левой единицей (нейтральным элементом), не являющейся моноидом. 2.6. Какие иэ указанных множеств квадратных действительных матриц одного порядка образуют группу: а) множество невырожденных матриц относительно умножения; б) множество невырожденных матриц относительно сложения; в) множество диагональных матриц относительно сложения; г) множество диагональных матриц относительно умноже- 2.7.
Доказать, что если в группе й для любого х Е С выполняется тождество х~ = 1, то группа Д коммутативна. 2.8. В группе Я4 решить уравнения: 4 2 1 3 3 2 1 4 б) (1 2)(3 4)Х(1 3) = 2.9. Является ли полем множество чисел вида х+ ~Г2р, где х, у Е © с обычными операциями сложения и умножения? 2.10. Доказать, что множество всех верхних треугольных матриц фиксированного порядка и является подкольцом кольца всех квадратных матриц порядка а. Верно ли это утверждение для диагональных и нижних треугольных матриц? 2.11. Построить пример кольца с одним элементом, т.е. такого, в котором 0 = 1.
Вояросм и задачи 173 2.12. Кольцо й = (В, +,, О, 1) называется булевым, если его умножение идемпотентно, т.е. х х = х для любых х Е В. Доказать,что: а) для любого элемента х булеза кольца имеет место равенство х + х = О, т.е. — х = х; б) любое булево кольцо коммутативно; в) в любом булевом кольце, имеющем более двух элементов (~В~ ) 2), существуют делители нуля.
2.13. Доказать, что (2~, Ь, П, ю, М) — булево кольцо (см. задачу 2.12). Доказать, что оно иэоморфно Еэ при ~М~ = 1. 2.14. Показать, что множество остатков от деления много- членов от переменной х на х + х+ 1 с операциями сложения и умножения многочленов является кольцом. Является ли это кольцо полем? 2.15. Элемент х кольца называют обратнимььм, если существует элемент х', такой, что х х' = х' х = 1. Элемент х кольца называют обратимым слева (справа), если существует х',такой,что х' х = 1 (х.х' = 1). Элемент кольца называется односторонне обратимым, если он обратим слева или справа.
Элемент х ф О кольца называется левым (правым) делителем нуля, если существует ненулевой элемент кольца д, такой, что х у = О (у х = 0); элемент, являющийся левым и правым делителем нуля одновременно, называется делителем нуля. Доказать, что: а) элемент конечного кольца обратим (слева, справа) тогда и только тогда, когда он не является делителем нуля (правым, левым); б) в конечном кольце и в кольце беэ делителей нуля любой односторонне обратимый элемент обратим; в) элемент кольца вычетов по модулю Й обратим тогда и только тогда, когда он взаимно прост с Й.
2.16. Пусть  — кольцо. Доказать, что: а) если произведения хр и ух обратимы, то элементы х и у тоже обратимы; 174 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА б) если в Л нет делителей нуля и произведение ху обратимо, то х и у обратимы; в) если В конечно и произведение ху обратимо, то х и у обратимы.
У к аз а н и е: использовать результаты задачи 2.15. 2.17. Доказать, что множество всех обратимых элементов кольца (см. задачу 2.15) образуют группу по умножению. 2.18. Решить систему уравнений С х+2у=1, у+2я=2, 2х+х= 1: а) в поле Ез| б) в поле Ез. 2.19. Выяснить, разрешима ли в кольце Еш система уравнений < бх+2у = 1, у — 11х = 13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
