XIX Белоусов А.И., Ткачев СБ. Дискретная математика (1081422), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Определение 2.8. Ядром гомоморфизма у группы Д в группу а. называют прообраз Кегу' единицы группы Д при гомоморфизме у: Кету" = У ~(1) С С. Пример 2.23. Ядром гомоморфизма, рассмотренного в примере 2.21, служит множество всех целых чисел, делящихся на Й. Теорема 2.17. Ядро Кегу" гомоморфизма у: Д -+ я. есть подгруппа группы и.
~ Нужно убедиться в том, что множество Кету" замкнуто относительно умножения группы Д, содержит единицу этой группы и вместе с каждым элементом содержит обратный к нему элемент. 162 2. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЪЦА Если а, ЬЕ Кег,г', т.е. г(а) = у(Ь) = 1, то Г(аЬ) = Да)у(Ь) = = 1 и аЬ Е Кег,г. Ясно, что 1 Е Кег~, так как У(1) = 1 (см. теорему 2.14).
Если а Е Кег~, то Г"(а г) = [Да)] г = 1 ~ = 1, т.е. и а ~ Е Кег,1. ~ Ядро гомоморфизма, приведенного в примере 2.21, представляет собой подгруппу аддитивной группы целых чисел, состоящую из всех чисел, кратных Й. Подгруппа Я группы Д называется нормальной подгруппой (нормальным делппгелем) группы Д, если аН = На для любого а Е С. В коммутатиеной группе, как было отмечено выше, аН = = На. Следовательно, в этом случае любая подгруппа является нормальным делителем.
Пусть Я = (Н,, 1) — подгруппа группы Д = (С,, 1). Для фиксированных элементов а, Ь Е С через аНЬ обозначим множество всех произведений вида аЬЬ, где Ь Е Н. В силу ассоциативности групповой операции это обозначение корректно. Теорема 2.18. Подгруппа Я = (Н,, 1) является нормальным делителем группы Д = (С,, 1) тогда и только тогда, когда аНа ~ С Н для любого а Е С. ~ Если Я вЂ” нормальный делитель, то для любого а Е С аН = =На, т.е. для любого ЬЕН найдется такое Ь| ЕН, что аЬ= = Ьга. Пусть элемент жбаНа ~, т.е. х=аЬа г для некоторого Ь Е Н. Так как аЬ = Ьга, то х = Ь|аа ~ = Ьг Е Н и поэтому аНа гСН. Обратно, если аНа г С Н, то любой элемент х = аЬа г, где Ь Е Н, принадлежит и множеству Н, т.е.
аЬа г = Ь~ для некоторого Ь~ Е Н. Отсюда, умножая последнее равенство на а справа, получим аЬ = Ьга, т.е. элемент аЬ из левого смежного класса аН принадлежит и правому смежному классу На. Итак, аН С На. Теперь возьмем для произвольного а Е С обратный к а элемент а ~ и для него запишем включение а ~На С Н (напомним, 163 2.8. Гомоморфизмы грува что (а ') 1 = а). Рассуждая как и выше, получим, что для не которых Л, Л1 Е Н имеет место равенство а 1Л = Л1а 1, т.е. Ла=аЛ1 и На СаН. Итак, аН = На и Я вЂ” нормальный делитель.
~ Оказывается, существует связь между понятием нормального делителя и понятием гомоморфизма, которая продолжает и углубляет на новом уровне уже известную нам из главы 1 связь между понятиями отображения и класса эквивалентности. Теорема 2.19. Ядро гомоморфизма у' группы й в группу Л, является нормальным делителем группы й. м Для любого у Е Кег~ и любого а Е С имеем у(ауа ~) = у(а)у(уЩа 1) = у(а) . 0 у(а 1) = у(аЩа 1) = 1.
Это значит, что для любого а Е С выполняется соотношение а(Кегу)а 1 С Кег,~, а, согласно теореме 2.18, Кегу — нормальный делитель. ~ь Пусть Я = (Н,, 1) — нормальный делитель группы й = = (С,, 1). Рассмотрим множество всех левых снежных классов (аН: а Е С). Это будет не что иное, как фактор-множество множества С по определенному вьппе (см.
теорему 2.11) отношению эквивалентности и. Введем операцию умножения на множестве всех левых смежных классов следующим образом: произведением аН. ЬН классов аН и ЬН назовем класс аЬН. Это определение корректно, так как множество аН ЬН, т.е. множество всех произведений вида аЛЬЛ1 для различных Л, Л1 Е Н| в силу того что НЬ = ЬН для всякого Ь е С, совпадает с левым смежным классом аЬН. Действительно, поскольку Л6 = = ЬЛ' для некоторого Л' Е Н, то аЛЬЛ| = аЬЛ'Л1 Е аЬН. Теперь рассмотрим некоторый х Е аЬН, т.е. х = аЬЛ для некоторого Л Е Н1. Поскольку ЬЛ = Л'Ь для некоторого Л' Е Н, то х = аЛ'Ь = аЛ'61 Е аНЬН. Следовательно, аН .
6Н = аЬН. 164 3. АЛГЕБРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА Можно далее легко показать, что для каждого а е С имеют место аН ° Н=Н ° аН =аН и аН ° а 1Н = а 1Н ° аН= Н. Тем самым определена группа, носителем которой является фактор- множество С/ и множества С по отношению эквивалентности и с операцией умножения левых смежных классов, причем нейтральным элементом относительно этой операции служит носитель подгруппы Я, а обратным к левому смежному классу аН будет левый смежный класс а 1Н. Эту группу называют фактор-группой группы Д по нормальному делителю Я и обозначают Д/Я.
Можно указать естественный гомоморфизм / группы Д в фактор-группу Д/Я, который вводится согласно правилу: (чх Е С) (у (х) = хН). Так как хН уН = хуН, то для любых х,убей /(ху) = хуН = хН уН =/(х)/(у) и /— действительно гомоморфизм. Его называют каноническим гомоморфизмом группы Д в фактор-группу Д/Я. Пример 2.24. а. Рассмотрим аддитивную группу Ж = = (К, +, О) действительных чисел. Эта группа коммутативна. Напомним, что в коммутативной группе любая подгруппа будет нормальным делителем.
Поэтому для нее нормальным делителем является подгруппа целых чисел Е = (Е, +, О) (аддигпивнад группа целых чисел). (Для этих групп мы приняли такие же обозначения, как и для их носителей: Й и Е соответственно.) Выясним смысл отношения экивалентности у, определяемого через равенство левых смежных классов', по подгруппе Е в этом случае. Равенство левых смежных классов а+ Е = Ь+ Е означает, что для любого целого т найдетсл такое целое и, что а+ т = = Ь+ и, т.е. а — Ь = п — т Е Е. Обратно, если разность а — Ь есть целое число, т.е. а — Ь=п ЕЕ, то а+Е=(Ь+и)+Е=Ь+Е.
Итак, а т. Ь тогда и только тогда, когда а — Ь Е Е, или, иначе 'Мы можем говорить в данном случае просто о смежных классах, не раэличаа левых и правых, так как дан нормального делители вти классы равны, тем более что мы „работаем" сейчас в коммутативной группе. 165 говоря, действительные числа а и 6 х-эквивалентны тогда и тоько тогда, когда их дробные части равны. Аддитивная группа смежных классов, т.е. фактор-группа Б/Е группы К по нормальному делителю Е строится так: сумма классов а+Е и 6+Е равна классу (а+6)+Е. Вводя обозначение а+ Е = [а], получаем [а] + [Ь] = [а+ 6]. При этом [0] = Е (т.е. единица фактор-группы — это смежный класс нуля— множество всех целых чисел), причем -[а) = [-а] = (-а) + Е.
Обратим внимание на то, что смежный класс числа х однозначно определяется его дробной частью <х> (см. пример 1.14.0), т.е. [х) = [<х>). Канонический гомоморфизм в данном случае задается так: х ~+ [х]. б. Рассмотрим теперь аддипьиепую группу дебстпеипзельных чисел по модулю 1, т.е. группу Б~ = ([О, 1), Юм 0), заданную на полуинтервале [О, 1), сложение в которой определяется так: х 6~ у = <х+ у> (дробная часть суммы х+у). Другими словами, х+у, х+у<1; х®~у= х+у — 1, х+у>1.
Докажем, что группа Б~ изоморфна фактор-группе и/Е, т.е. Й/Е М Б~. Зададим отображение у множества ([а): а Е 3Ц смежных классов в полуинтервал [О, 1) так, что у([х)) = <х>. Поскольку [х) = [<х>), то ~р — биекция и, кроме того, <р([х) + [у)) = Ях+ у)) = <х+ у> = «х>+ <у» = = <х> Е~ <у> = р([х]) йч р([у)).
Это значит, что ~р — юоморфизм 1я/Е на Б~. Группу Б~ можно воспринимать как „наглядный образ" фактор-группы й/Е. Довольно абстрактная идея фактор-группы кристаллюуется в виде группы с носителем [О, 1) и операцией сложения неотрицательных действительных чисел, строго 166 г. ЛЛГКВРЫ: 1"РЛтЫ И КОЛЬЦЛ меньших единицы, с отбрасыванием в результате целой части.
Здесь хорошо видна „польза" понятия иэоморфвэм. То, что само по себе не очень наглядно, становится наглядным через свой иэоморфный образ. 2.9. Гомоморфизмы колец Рассмотрим очень коротко вопрос о гомоморфизмах колец и волей. Пусть Я.1 = (В1, +,, О, 1) и Я.г = (Вг, +,, О, 1) — кольца. Оцределенне 2.9. Ошображекив у: В1 ~ Вг называют еомоморфизмом колец (кольца Я,1 в кольцо Яг), если Дх+у) = Дх)+ у(у), у(х у) = у(х) у(у) для любых х, у Е Вм т.е. образ суммы и произведения любых двух элементов кольца И1 ври овюбражении ~ равен соответственно сумме и произведению их образов в кольце Кг.
Если отображение ~ сюръекшивио (соответственно биектиивио), то его называют звиморфизмом (соответственно изоморфизмом) колец (кольца К1 на кольцо Яг). Пример 2.25. Рассмотрим К1 = (Е, +,, О, 1) — кольцо целых чисел — и Е» = (Е», Щ, О», О, 1) — кольцо вычетов во модулю й. Зададим отображение у: Е -+ Е» так: для всякого целого в1 образ ~(тп) равен остатку от деления т на к. Ранее мы уже доказали (см.
пример 2.21), что длв любых целых 1п и в имеет место равенство ~(тп+ в) = у(тп) щ» у(в). Рассуждая аналогично, можно показать, что для любых целых т и в также верно равенство У(тп. в) = ~(т) О» У(в). С учетом того что отображение ~ сюръективно, приходим к выводу, что оно является гомоморфиэмом кольца целых чисел на кольцо Е» вычетов по модулю й. Беэ доказательства сформулируем некоторые теоремы о гомоморфиэмвх и иэоморфнэмах колец (и полей).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
