XIX Белоусов А.И., Ткачев СБ. Дискретная математика (1081422), страница 20
Текст из файла (страница 20)
а. Алгебры (2А, 0), (2А, О) (для произвольного фиксированного множества А) являются полурешетками, поскольку операции 0 и й ассоциативны, коммутативны и идемпотентны. б. Алгебра (1Ч, НОК), где НОК вЂ” операция вычисления наименьшего общего кратного двух чисел, является полурешеткой. Покажем, что указанная операция ассоциативна. Рассмотрим произвольные натуральные числа п1, и и 1. Каждое из этих чисел можно разложить на произведение простых чисел и представить в виде 2.2.
Группоидм, полугруппм, группы 125 Группоид Д = (С, ) называют гррвпоб, если операция ассоциативна, существует нейтральный элемент (единица) 1 относительно умножения и для каждого я е С существует такой элемент х' Е С, называемый обратпным к х, что я к' = я' я = 1. Таким образом, группа — это алгебра Д = (С, ), в которой для всех а, Ь, с е С выполняется равенство а (Ь с) = (а. Ь) . с, существует единственный элемент 1 е С, такой, что а 1 = 1. а = а для любого а Е С, и для каждого а Е С существует такой элемент а', что а а' = а' а = 1. Короче говоря, группа — это моноид,вкотором для каждого элемента существует обратный элемент.
Отметим, что задать группу как алгебру можно несколькими способами в зависимости от состава операций, включенных в сигнатуру. Во-первых, в сигнатуру может быть включена единственная бинарная операция. В этом случае пишут Д = (С, ), а все свойства операции описывают дополнительно. Во-вторых, в сигнатуру может быть включена нульарная операция — нейтральный элемент группы. В этом случае пишут Д = (С,, 1) и дополнительно указывают существование обратного элемента относительно бинарной операции для всех элементов носителя. Третий способ задания группы как алгебры вытекает из следующей теоремы. Теорема 2.1. В любой группе Д = (С, ) для каждого а Е С элемент, обратный к а, единственный.
~ Пусть в группе (С,.) с единицей 1 для некоторого а существуют два элемента а'и аи, обратных к а. Тогда а' = а' 1 в силу свойства единицы. Так как 1=а.аи, то а'=а' (а аи). Используя ассоциативность и учитывая, что а' — элемент, обратный к а, получим а.(а аи)=(а' а).а =1 аи=а. 126 г. ЛЛГЯВРЫ: П'УППЫ И КОЛЬЦА Единственность для каждого элемента а обратного элемента а' группы Д позволяет обозначать его как а 1 и операцию 1: а ~+ а 1 вычисления (или взятия) обратного элемента ввести в сигнатуру группы. Таким образом, группу можно рассматривать и как алгебру Д = (С,, 1, 1), сигнатура которой состоит из бинарной операции умножения, унарной операции взятия обратного элемента и нульарной операции — единицы группы (нейтрального элемента).
В дальнейшем в зависимости от контекста будем использовать все указанные варианты задания группы. Среди групп также выделяют те, бинарная операция в которых коммутативна, — коммутпашивные (абелевы') грувпы. В коммутативных полугруппах и группах бинарную операцию часто обозначают знаком + и называют сложением.
Уместно здесь рассмотреть вопрос о двух формах записи бинарной операции группы. В аддитпивноб записи операции ее обозначают знаком +, нейтральный элемент — знаком О, а элемент, обратный к а относительно операции +, записывают в виде — а, называя его при этом протпивоположным к а. В мультпиплинатпивноб записи операцию обозначают знаком, нейтральный элемент — знаком 1, а элемент, обратный к а, записывают в виде а 1. В этом случае бинарную операцию группы часто называют умножением (также умноэсением еруппы или ерупповым умнолсением), а элемент а Ь, как правило записываемый в виде а6, — произведением элементов а и 6. В алгебраической литературе сложилась такал традиция, что аддитивная запись используется преимущественно для коммутативных групп. Поскольку одним из самых простых, распространенных и вместе с тем важньпс примеров коммутативной группы служит аддитивная группа целых чисел, то обозначения и термины для произвольной аддитивно записываемой коммутативной группы „скопированы" с терминов для группЫ 'Н.
Абель (1802-1829) — корвексккй математик. 2.2. Группоады, лолугрупоы, груовм 127 (Е, +, 0). Аналогично мультипликативная запись пронзвольной группы „позаимствована" у мультипликативных групп рациональных и вещественных чисел. Пример 2.9. а.
Алгебра (У, +) — коммутативная группа, поскольку на множестве целых чисел операция сложения ассоциативна и коммутативна, число 0 есть нейтральный элемент, и для каждого целого числа в существует обратный по сложению элемент, а именно число — в, противоположное и. Рассматриваемую группу называют аддитвиеной группой целых чисел. б. Множество всех биекций некоторого множества А на себя с операцией композиции отображений есть группа. Это следует из того, что композиция двух биекций есть биекция, операция композиции ассоциативна, ее нейтральный элемент — тождественное отображение Ыл — есть биекция, 'для всякой биекции у': А -+ А отображение У з, обратное биекции у, определено, является биекцией и выполнены равенства уоу ' =у зоу =ЫА.
Эту группу называют симметврической группой мнохсесвзеа А, а в том случае, когда множество А конечно,— группой водстваноеок множества А. Если множество А состоит иэ и элементов, группу подстановок этого множества называют также симметврической группой ствепени в или группой водстваноеок и-й свзевени и обозначают Я„ (см. пример 2.10). в. Алгебры (Я~~О), ) и (К~~О), ) есть коммутативные группы. Их называют мультвипликатиеной группой рациона зьных часе з и мультвипликатвиеной груввой действеитвельных чисел соответственно.
В каждой из них число 1 есть нейтральный элемент (единица) группы, а обратный к числу х по операции умножения элемент х ' есть число х-1 = 1/х. г. Для произвольно фиксированного множества А рассмотрим алгебру (2'4, з."'з), где Ь вЂ” операция вычисления симметврической разности множеств. Операция тл ассоциативна и 128 г. АЛГИВРЫ: ГРУППЫ И КОЛЬЦА коммутативна (см. 1.1). Для любого Х С А имеем Х й И = Х. Кроме того, Х = У тогда и только тогда, когда Х Ь У = И. Поэтому алгебра (2л, Л) является абелевой группой, в которой каждый элемент обратен сам себе, а нейтральный элемент— пустое множество. д.
Рассмотрим алгебру Е+ = ((О, 1, ..., Ь вЂ” Ц, Щь), в которой операция Щь (с,аожемил по модулю Й) определяется так: для любых двух ги и и число го Еь и, называемое суммой чисел т и п по модулю Й, равно остатку от деления арифметической суммы гп+и на й. Можно проверить, что эта алгебра является коммутативной группой. Ее называют аддишпвмой еруипой вычетпов ао модулю Ь. Нейтральным элементом служит число О, а обратным к числу и будет Ь вЂ” и, поскольку пЕь(Ь вЂ” и) =О.
е. Множество всех невырожденных (т.е. имеющих ненулевой определитель) числовых квадратных матриц порядка и с операцией умножения матриц является группой. Действительно, произведение двух невырожденных матриц снова есть невы- рожденная матрица [П1]; единичная матрица порядка и невы- рожденная,и матрица, обратная кневырожденной,такжеявляется невырожденной. Эту группу будем обозначать Мв. Из рассмотренных четырех видов алгебр — группоида, полугруппы, моноида и группы — последняя обладает наиболее интересными свойствами.
Изучим более подробно операцию вычисления обратного элемента. Теорема 2.2. Пусть и = (С, .) — группа. Для любых элементов а, Ь Е С верны тождества (а Ь) ~ =Ь ~ а ~, (а ~) ~ =а. ~ В силу ассоциативности умножения группы имеем (а.Ь). (Ь ~ а ~) =((а Ь) Ь ~) а ~. 129 2.2. Груштояды, полугруяяы, грушш Используя еще раз ассоциативность, определение элемента, обратного к данному, и свойства единицы, получим ((а Ь) Ь ~) а ~=а (Ь Ь ~) а ~ а а ~=1. Итак, (а Ь) (Ь ~ а ~) = 1. Точно так же доказывается, что (Ь ~ а ~)(а Ь) = 1. Поэтому элемент Ь ~ а ~ является обратным к элементу а Ь. Согласно теореме 2.1, обратный элемент единственный, и поэтому (а Ь) ~ = Ь ~ .
а ~. Второе из доказываемых равенств следует непосредственно из определения элемента, обратного к данному. Действительно, определение элемента а ~, обратного на, равенством а ~ а=а.а ~ = 1 можно рассматривать как определение (а ~) ~ — обратного элемента к а ~, которым является, согласно этим равенствам, элемент а. В силу теоремы 2.1 он единственный, т.е.
а = (а ~) Таким образом, мы установили, что элемент, обратный к произведению а. Ь, равен Ь ~ а ~, а элемент, обратный к элементу, обратному к а, равен а. Теорема 2.3. В любой группе й = (С,, 1) справедливы левый и правый законы сокращения: если а х = а у, то х = у, и если х . а = у а, то х = у. ~ Пусть а х = а у. Умножая обе части этого равенства слева на элемент а ~, получаем а (а х) =а (а у). В силу ассоциативности групповой операции последнее равен- ство можно записать так: (а .а) . х = (а а) у. Поскольку а ~ а = 1, то 1 . х = 1 .у, откуда х = у. Тем самым доказан левый закон сокращения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
