2 часть (1081353), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

.,функцииa(P(t)гдеP(i)методоманалогичномQ(£)исP(t)характеристическогоQ(t)ичастноетоуравнения,Лнесовпаденияакесличто=+aij(t)е.i/ЗрешениеX(t)решениеX(t)записавиливиду,вB3)вчастноекоэффрщиентов,иметьт.——чиселанаибольшаякореньX(t)виде,±аналогич-i/Зстепенькратностиищетсясмногочленовгвнайтиможновхарактеристиче-виде\X{t)=Re\t—а^-,B3)уравнения.Следуетпостоянны,произведенийвид(itcosсовпаденияучетомхарактеристическогои/;(£)имеюттонеопределенныхB3),видевA7)системымногочлены,—запишетсяC+а^(£)коэффициенты1,=системырешениеn\tкорнями§Системы3.Найти14.Примерчастное=Хо~\~Хл—t2,+Х2—в-АТаккакА^гхарактеристическое±г,=второйxiуравнениечастноеищемстепениAxt2=Подставляяифункции4-BitфункцииэтисистемыDie1,+ввидевx2A2t2=-A2t2-коэффициентыB2tC2-ОтсюдаAiS2=-1/2,=BiиCi=-C2,=частноеискомоеПример<3Ал15.B-уХарактеристическоеt2,D2ele£.+tef,прииполу-»+—уввидеl-A2=0,SjC22,=имеет£>2-2,==вид=t2системырешениеn3t2tуравнение-1Лкорень1,=-1'уг-общееXo(t)=3Л2=4-Л1ищем++степеняхрешениеНайти2-ХимеетD2elDi=-D2,A20,=х2гдеC24-равенства-+одинаковыхприB2tсистему2Ai=-B2,DiкорнимногочленаполучимCiПриравниваяимеетсуммы4-систему,заданную=получим0=Del:видаCi-1-Л1решение+347системырешение3?!<\уравненийдифференциальныхIfat+/Лл+8 +Общее2.кратности—6Л-)з*'1=(Л-0=однороднойрешениеп°ДставивЗJкотороесистемыводнородную1/2,Гл.348системуe3f,насокращаяиДифференциальные10.уравненияимеем4/ПолучимкоторойаCi=+/3и/?)+/?5) ++2{at=S\-yt+С2,=F(^)как8l7'нев\D2Jто+aЛ=3кореньрешение—частноеf\A2t*+B2t2характе-D2t)+видев}3t6X(t)системузаданнуюве3£,насокративима-получаемравенствоD-it;+2-A2t3котороеAit3-A2t3СравниваязаписатьможноЛ-В-B2t2—E.=т.е.O2Jищем6C<i->—rLвидеПодставивматричное+Ри—*у=-С\=причем2,+5и(Gi-е3£,B2t+6),5),+а-С\=кратностиA2t24G*++соотношенияимееммножительсодержитуравненияхарактеристическогоP+OitТак(ytЛ-13)-at=независимыхдваследуютПолагаяа+систему3{at3(>ytизfatit2в+ГМ+-D2t+виде3/М2SA2t2коэффициентыB2t2+++2Bit+Di+2B2t~A2t3=+D2-B2t2-D2t5гDx++3Ai2ВХ++А2Б2D2Di====0,0,1,1,£, получаемстепеняхЛхBiDi+t+l,=одинаковыхпри+2tVравенствуравненийАх+D2t)++B2+Д>-Л2ЗА22Б2D20,0,====-2,0.систему§DiНаходимD21,=Следовательно,общееискомоеиНайтиЭлементы4.=Зх10.442.х=х10.443.i=5ж10.444.i=ж10.445.A=у +x10.447*.2у-Зу-+у—tg22ж=t+Веществообразования+te2\cosf,у1,у-уАразлагаетсяQиА.З.т=у—процессамассаОизМатериальнаясилой,сточкиАна§дифференциальныхаОсновные4.t,За—,массыЭлементыmа8центрасНайтиСко-Q.инеразмассеслихиупослечасчерезпервоначальная—притягиваетсяцентромДвижениеначинаетсяначальнойскоростьюг>о,движения.траекториюустойчивоститеорииПустьпонятия.отРизмененияу——,8О А.отрезкукt.cosмассерасстоянию.расстоянииперпендикулярной1.=точкапропорциональнойt +веществадвавремениА.вещества10.448*.sinзаконыотж+пропорциональнанихНайтиразложенияe3t.2у.-аначала+ttg+-ж=у-2х—наиззависимостиве1.=4ж=1/2.=4у.-+уЛ2-1/2,=уравнений:Зжу+Зу,веществаРух=каждоголожившегосявеществt,+уу,—ЛАвидесистем=3493/2,=вследующиххJ520,=запишетсярешения10.441.Скорость#i0,=решение10.446*.устойчивоститеориизаданасистеманормальнаядифферен-уравненийX\{t)±г(*)==fi(t,httiXi,11,12,.

.,Х2,..,In),in),м\Гл.350начальнымисA)0найдется(zi(£),. .,>=ДифференциальныеE(е)такоеxn(t))тойжеto£ >всех0,ЕслижеX(t)X(t)решениязначения=t0точкевкоторогоХо@удо-2,1, 2,=50>B),п,..быдляно,называетсятого,кромереше-одногоXo(t)решениеустойчиво,толькоC),п...хотятовыполняются,М0-¥>*(*I=0,lim+ооiназываетсярешениеПримерхусловииприф 0,атоx(t)ПустьCea^~to^=хо(О1начальнымпроизвольное—условием5<=Coea(*-f°)|-этогорешениеСо\—|Cea^-f°)-дифференциаль-решениеопределяемоевид\Сусловию-устойчивостьR),£имеетрешениеудовлетворяющее|х@(а,n,..устойчивым.наах—2,l,=асимптотическиИсследовать1.уравненияЕслиl,=соотношениюt—>этоненегмаломугодноC)решениеi<г,скольпринеравенстваЕсли<любогодлянеравенствасправедливыудовлетворяетдифференциального<Лг@). .,есливсякогодля<б(е),<Pi(to)\-неустойчивым.точтосистемы,\xi(t)-iPl(t)\B)Ляпунову,по>(y*i{t),=неравенствамЫк)решенияXo{t)Решениеto.устойчивымназываетсяудовлетворяютдляуравненияточкевусловиямисистемые10.Тогдае.при=ea<*-'°>|CHmea(i"£o)уравнения,0 получаем<a-Со|<е,откуда|ж(«)-хо@1limт.е.бытьЗначит,угодноскольа=0 решение>априЕсли=0,0>а|С-СЫустойчиво.асимптотическирешениеПриможет=0,торешениебольшимчисломдостаточнопринеустойчиво.имеетвиджо(£)=Со-большихt.§ДлявсякогоЭлементы4.устойчивоститеорииx(t)решения|ж@С—саго(О1—351\Сусловием|С=Со|—Со\-<5<е=имееме.Но\х{1)-хп(п\limаустойчиво,решениепотомуИсследованиебытьрешенияточки—(см.Исследоватьсистемы,устойчивостьна10.449.i=i(z-1),10.450.x=t-10.451.х=х10.452.£=-2х10.453.хрешенияа10.454*.х{0)системеследующихуравненийенанауасимптотической+ж=ау=—?у@)--=у;.т@)z,z=точкиXo(t)которойнеустойчивостиис-равносильноA).системыасимпто-точкидляточектипысистемысДляпокоя.покояисследованиялинейныхдвухсистемыкоэффициентамипостояннымисоставитьуравнениеЛ1пп.«22«21AiкорниD)D)«221характеристическоеегоустойчивостьнадифференциальныходнородныхУуравнения.=уравнений.уравненийсистемыу@)—устойчивости,определенияиПростейшиенайтих@)х\уравнений,покоярешенияустойчивостипокояпокоя0.=-дифференциальныхсистемуустойчивостьустойчивостьдифференциальныхиу@)az—0.=R.Сформулировать10.455.2.уу,—х{0)х-у;=Зу,--1.=уу,НаписатьисследованиюнадоA)аналогичной1.=х{0)1,+ах—---0,исследованиеточкиA) моя;ет(нулевого)системытривиальногоуравнений:г@)=некоторойпокоя>10.454).задачусистемиXo(t)решенияустойчивостьнаисследованиюкустойчиво.асимптотическиненоустойчивостьнасведено\С-Сп\ФЬ=визависимости~Аг--АВА2(аи-4.1табл.orкорнейа22)А+привеченаAi.4-Л-2Дклассификация=ОточекГл.352Дифференциальные10.уравненияТаблицаAi,КорниДействитель-iДействительные:Aiф А2Комплексные:AiА2<0AiА2>А2<0a=а=a10,10+-ДействительДействительный, кратнос-А<00,>0<0*0аAi,А20*0кратностиХарактерЛ2>0,покояточкиточкиУстойчивыйАсимптотическиузелустойчиваНеустойчивыйНеустойчиваСедлоНеустойчиваУстойчивыйАсимптотическиустойчивафокусНеустойчивыйфокусНеустойчиваЦентрУстойчиваУстойчивыйАсимптотическиузелустойчива2:—А2Устойчивостьузел0,:=АА>0Неустойчивыйузел\4.1Неустойчивапокоя§характерзависимостиот1\ ^чкорниоесли—9/4устойчивыйпараметра-9/4<еслифокус;^-2<(корни2—4.1,ReAi?2комплексные,получаем:0)<действительныеиустойчивый—отрицательные)идействительныеA2Ai,корнейповедениятабл.используяи—знаков)разныхседло,—>Определитьточекхарактер10.456.х=10.457.£--2.Т10.458.£=-х10.459.£=-у,10.460.£=-6х10.461.£=-.хх2у,+Определить,у+покоя-З.т=у-у,Зу,+уу2у.+-2х=у5у.--2х=какихпри-у.2у.у2у,++-х-5у,-у.-2х=.х=+-систем:следующихby.-значенияхпараметрапокояточкааустойчива.системы10.462.х10.463.£10.464*.упругихИсследуя4а.+(корни(корнианеустойчива.покоя-у9а<аузел;еслиш/,2/(а ф —2).1±-——отточкаустойчивостьнауравнениезависимостив++ж=апараметраХарактеристическоеимеетисследоватьи-2х—2/<]353системыпокояхвустойчивоститеорииОпределить2,ПримерточкуЭлементы4.ах—у,—-З.т—+у»у,уИсследоватьколебанийх10.465*.Пустьуравненийс2а£4-задана=+аж—у.устойчивостьна4-2у.+х—/32х—уравнениярешение(а0системадифференциальныхлинейныхпупру-0).>коэффициентамипостояннымиUij.Lj^I—±,^,...,П.г=1Доказать,чтосистемыпокояимеютсистемыесливсеотрицательнуюасимптотическикорнихарактеристическогодействительнуюустойчива.этойуравненияточасть,Еслижехотяточкабыодин10.Гл.354изкорнейдействительнуюуравнениячасть,10.466.х=2ж,10.467.х=-2.тМетод10.465,задачикаждойизЗх=уу-х=-уi2у,-ЭтотЛяпунова.функцийzхустойчи-насистем:2у,=положительнуюисследоватьследующих+у,-имеетнеустойчива.покояточкаторезультатпокояточку3.уравненияхарактеристическогоИспользуяустойчивостьДифференциальныевметодЗу+ж=z.-г.-автономнойкприменениисистеме/г@,где.

.,устойчивостиисследованииподобраннойВерны0)функциихп)dV-J-ас£=покоя==Sxnдифференцируе-существуетвначалаокрестности••'^п)0=лишьх\при—хп=..0;=0,^устойчива.устойчивости).асимптотическойV(x\,следующимфункциякоординат^ 0, причемVжп). .,0=существу-удовлетворяющаявусловиям:лг/шьXinpw=причем0,=0=—.тп=..dV0,^£слг/хп),. .,E)системы(о неустойчивости).хп),3V(x\,устойчива.асимптотическиЕслидифференциру-существуетудовлетворяющая. .,вначалаокрестностиусловиям:а)V@,0). .,(IV=at..точкаir-fi{xi,ж„покоя=V(#i,. .,•хп)0,системыблизкоугодноскольax{i=i=икоторыхgyпY,=—-0=вточки,б)тообразомподходящим0,=ТеоремафункцияимеютсяxiVпричемTT"/i(^i,покоядифференцируемаякоординат0,dVnточкаиссле-непосредственномхп).. .,ЕслиE)хп).

.,=впомощиприудовлетворяющая•(об2dV..moЛяпунова:устойчивости).хп),^начала—V(x\,теоремысистемыТеоремадифференцируемаяб)Ляпуноватт"/*(ж1'c/Xij_^a) V(rci,покоя8Vnсостоитп,. .,точкиусловиям:. .,окрестностиxi. .,следующимточкасуществует,(об1V(xi,а) V(x\,1, 2,=следующиеТеоремафункциякоординат,moгеедифференцируемаяб)0,=E)неустойчива.•.,^отхп)>0,причемкоординатначала0;dV—-dt0лишьпри§ПримерустойчивостьЭлементы4.С3.Ляпуновафункциипомощью2х(-х—dVЛяпуновафункциикачестве|/)+2у(-2у3+atх)-4.ИсследоватьначалакромекоординатуО—точкаV—5.Функцию<]х2я)cos+х2вместессистемысистемыпокояя),ву2.Тогдааъ2(х22х2-\-того,VСледовательно,|cos2сколькоторых2х2B=—угодновыполнены0>близко(например,0>уЛ+cosx)++всюду,началукпрямойвдоль3,теоремыусловия-ЛяпуновафункцийискатьследуетподбираяИсследоватьнеах2—образомнаустойчивость+х=-хУ=-х-будемVвиде:внадлежащимЛяпунова(-х2ах+3+-уВсуществует.+Ъу2,Vпостоянныеах4—0>апро-+Ьу4,иb >0.fr >0.системыпокояточкуЗху3,-у-2х2у2.искатьVвидев+рЗху3^(-х2Ьу+^ЬПолагая>устойчива.0.Из-а,2=теоремы>и\>=ах2by2,+а>0,имеем:^аatпокояточкуcos-=построенияЪу4,+ПримерТогда0).ееслучаяхточка=—Vфункцияоначит,dVТогда-У-—точки,методаах2хB=Кроменайдутсях2 >неустойчива.Общегопростейших=+координат.покояVу2+у2.+иустойчивость—у)V(x,2Bх2=2у4),+2.нафункцию2у2+х2=>УВозьмем-2(х2—х<Vтеоремыустойчива.асимптотическиПримерустойчи-нах.-возьмемусловиямудовлетворяет——исследоватьу,-2у3=уВ+-хх-<\355устойчивостисистемыпокояточкутеорииполучим,2 вытекает,что^)=——асчто|-точка--аBх2покоя(я?У++системыу2)+2х2у3)Cа^0асимптотически-привсяком26).Гл.356Исследовать10.468.х10.469.х=10.470.х10.471.х=-у10.472.х=у10.473.£=4.части—худифференцируемыначалевву+у3.+г/.-.т5,-уухсистем:следующих+у--2ж=ху.fi{x\,функцииПредположим,хп),.

Характеристики

Список файлов книги