2 часть (1081353), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

.,независимыхж),In£ЛAпа;J,пара—линейнопаржа8ш(/?1пж),<п). .,однородного(при+0).жV°ибу-у")+постояннымиРешениеа327порядковвида(axможновысшихуравненияобщееsinж,4Ae2t,и,тождествурешениеt+З).Возокон-получимокончательноуЕсливиде,х2 (С\=случайучитыватьобаохватывающему-х2(С\Incosж<+x0,тоСообщееsinIn4-ж3).можнорешениеслучая:соб1п|ж|+Cosinln^l-f3).ОзаписатьвГл.328Пример[х3(х4-Положим<уравнение,которого—AiА21,=общие10.377.10.380.х2у"х2у"-6ужУ"10.382.Bх10.379.8.Воуравнений.ху11)Увна(а,Ь)Краевыеа0,/?iи(#)2/2у(х)комбинацияКраевыеКраевыеусловиям.сначалаиуравнения,из<граничныхCq,=условийграничныхтакчтоприлюбомПримерфункцияу(х)Ci.CiНайтисистемаэтимусло-однородны.краевойзадачиуравнедлязна-определенияобщегоизкоторыху"уравнения0.общеерешенияхС'2 sin4-?/@)=+C<iуравнения2у——0играничнымрешение2г/'у1,удовлетворяю-1.н-худовлетворяетчастное+видарешениеcos-линейнаяихудовлетворяетприcosxH-1у"ичто0, очевидно,Прирешениидифференциального=>25.функциичтотого,задачи.получаем:=такжеСп,С\=постоянные.изследует,БB0)заданныееслиполучаетсяимеетуравнениепоинтервалаВ,=нулюданного=аназваниедля0гу'(Ь)+равные=краевойуИзЛ.

.,диф-получилиусловийусловиям,приуравне-решениеусловиям,краевыхСг2/2(^)решение0.задачиразрешимы.у1 (тс)10а;.=0.=искатьаху{Ъ)решениеНайтиз/'@)4у2у'-начальнымА,н-C2,4у+таков:неусловийжу'+дифференциальныходнородными,даннойрешениеИсходное+вид=общееусловиям1)у;-ТакиевсегданезадачиПримерх2утпорядкаB0)постоянныхудовлетворяющее10.381.ОбщийCiyi(x)=24.0.заданнымпоМ{а)условияполучаетсяж2/приходитсяэтимнаходитсязначенийнеудовлетворяютестьрешение10.378.+называютсяусловияУг(х)-одновременно—0, корнифункция=ж.2-го+урав-3—=Эйлера:линейныхзадач./50,а.\,Зу'2Bху"заданноев2ЛН-2)л~1,+>интервала.аоу(а)где+\(ху', у"Л2+задачахуравненийслучаевInслучаеконцах(граничных)краевых12физическихуравненийзначениям2)0.=-задачимногих?/,общее+уЗху"-+Краевые+—уравнениеуравнений=дифференциальныхихC(a;решения+у'имеемСледовательно,=Эйлерауравнениявыражения-3.—2/НайтиТогдаПодставляемхарактеристическоеполучимоднородного0.=2)Л.4-уравнениярешениеЗу-2)л~2.1)(#Н-—общее2)у'(х+уЛ(Л=Найти23.2)У+Дифференциальные10.=ех,у'(тг)——Счусловиям—0,§2.Дифференциальныекраевымудовлетворяющее<Характеристическое=1 ±у0ех(С\Аех—Л2решениеПодставивех,уравненияАех=Лоткудаимеет329порядков2+имеетИтак,будемАех==ет,=уискатьобщееи—естьвуравнение,решениеданноев\^корниуравненияуравненияу"и1.=0=однородногонеоднородногоу12Л—соответствующегорешение+ C^sina;).cosxЧастноеАех.высшихусловиямуравнениеОбщеег.——уравнениявидеу—получимисходноговиду^^(Ci=cosж-f-C2sin1)+ех(—С\+1).a:Найдяу'используемопределенияС\VIсх(С\—С2'-краевыеэтуПолучимС2+1)+е.частнымискомым1_10.388.у"+10.389.уу'10.390.х2у"-2ху'+2у10.386.1.=ху=0;у=0;+у=0;+у=0;у'2+--+у+_OpW/2н-sin—1 IН-журавнений,.>удовлетворяю-условиям:краевым10.387.10.385.определе-дляфункцияявляетсядифференциальныхрешенияу"у"у"у"уу"10.384.1)+1решениемудовлетворяющие заданным10.383.С2+етг/2_cosНайтиcosx),С2+уравненийсистемуe^/'^-Ci+sinxнаходимсистему,етгт.+условия.(CiРешивC2sin.x+о:cos=у'2у@)у@)y'@)у'@)1+=уу"===0;==0,==2.=2/(^)=0.1, у(-1)у@)а;2; у@)+2у'@)0;====у@)1;1.уBтг)1.0, 3/A)1.0, у'A)1.0, ^(тг)1, уA)у@)0,====1,0.уA)-у'A)=0.Гл.330Задачи9.физического10.391*.точкасилыотк0).>начальныймоментСилаНайтизаконотравна10.393*.законУзкаяскоростьюсоШарик,находящийсяНайтиосиб)вначальнуюУзкаяскоростьюсоШарик,находящийсявеличинаНайтичтодругойсторонысоскользнетееГрузнадлинуконец=состоянии2 sin30£покоя10.397*.соединенныхисточникавращенияугловойвертикальнойоси.нейеслисвисаетотЗам.вращенияеекакоегвоздя?4массойподвешенкгНайти1см.и(см)(сопротивлениемЭлектрическаяназаконвначальныймоментсэ.д,с.времяТ8 м,ацепьувеличиваетверхнийколебаниенаходилсявсостоя-пренебречь).средыцепьтокагармоническоегрузгладкийеслигруза,на-ичерездлинойипружинедвижениявертикальноетрением,начальныйвосичасть10стренияпереброшенацепьикоэффициент—адлинойсовершаетпружины/iотапостояннойшарикэ,сторонычасть—с10.396*.однойсосипорасстояниинулю.равнаоднороднаяТяжелаятак,где(Льдвижениянанаскользитdr2mjiu)—,—расстояниинулю;нейкзаконего10.395*.свращаетсятрубки,находилсяскоростьгвоздьнаходилсятрения.если:наравнаперпендикулярнойitшарикначальнаяуvq.внутрискольжения.моментсшарикамоментскоростьшариктрубкаоси.безнейтрубки,находилсядлиннаяугловойпоотносительношарикскоростькоторогосвертикальнойскользитмоментвокруг0).>центра,точкупостояннойснейктрубки,начальная10.394.вращаетсяшариканачальныйотарасстояниисоединяющейперпендикулярнойдвижениявращения,имелтрубкадлиннаяначальныйпропор-Аточки.внутризаконвпро-средыпрямой,подвижениявокругцентра,(коэффициентцентрананаправленаиv$Найтипрямолинейносопротивлениянаходитсяvq.Атк,<пропорциональноститочкамоментА2началь-скоростьравнаидвижетсядоСилаВаа,неподвижноготочкик > 0).(коэффициентскоростистот0).>равноцентром,чтомассырасстояниюскоростьцентром.центраточкуусловии,точкапропорциональностиа)приотталкиваниясилыначальныйдоточкипропорциональнойВпропорциональнаАсоединяющейМатериальнаяпропорциональнасредыточкипропорпропор-(коэффициентсопротивленияотдвижения10.392*.действиемцентру,пропорциональностипрямой,попрямолинейнодвижетсянеподвижномудоцентраточкирасстояниенаправленатк(коэффициентскоростимассыпритяжениярасстояниюпропорциональностиуравненияхарактера.МатериальнаядействиемпропорциональнойподподДифференциальные10.состоитe(t)из—Еш\оЯ<соеди-последовательноиндуктивностиL,§Системы3.Rсопротивления\/'■~~77^гЭлектрическаяС,состоитцепьстокаисточникаемкостиипричемэ.функциюкакцепи=L/C/t,времениLфункциюсС,емкостииi,есливременис,=о;г|^=осоеди-(ojt+Найти(/?),токиндуктивгкакцепив0.=Т"—=0.cos.гтокпоследовательноE==LНайти—изe(t)с.д.причемеслиг|$=осостоитэ.соеди-индуктивностирезонанса).еслицепьтокаисточникаиндуктивностиФшвремениEs'moot,=(случай.Электрическая10.399.соединенных0,<последовательноизe(t)с.д.ув4L—функциюкакцепивВ?Спричем0.=dt10.398*.С,ток331уравненииемкостииНайти772'=t=oсоединенныхидифференциальныхi=0§Системы3.Основные1.п-гоЕслипорядка.связывающаяпеременнуюотносительноу£.

.,(х),имеетy[Pl\x)уЪ»\х)Уонар21-го—..—fi{x,yu=/а(х,У1>Jk{xiVli--1=..У\раз-у[р(ж),..••1..Ук)число•системадифференциальныхсистемаA),пКаноническаят.е.,yl»-%у£--\..yki,-,причем1,,ук,..,•-•=)•)Ук<>Р\+Р2A)+•при•+•Рар\—уравненийпорядка2/10*02/20*0Уп0*0называется..системы.Рксвязыва-Ук(%),. .,функцийэтих,у[Р1-г\у!,..канонической,порядкому\(х),вид=—называетсяназывается—\Х)куравнениямиуравнений,производныхстаршихт.е.уравненийсСвязьдифференциальнымик дифференциальныххик функцийсистеманезависимуюразрешенатодифференциальныхпонятия.нормальнойсистемой/1(ж'Уь•••»=/2(ж,Уь..,=/n(^,2/1,=порядка..^/п),Уп),,п.J/n),/2чГл.332РешениемB)ф\{х),системыфункцийсовокупностьу\(а,надифференцируемыхотносительноЬ)(а,Ехнауравнения2/п),.

.,упобращающихизводными<9Ф-т—5т,—дхив5••B)B)областиb)xG(fl,любыхприпроизвольногофункциясснекоторойвдуптождествавназываетсявместенепрерывнаят;—•»сово-дифферен-системысистемыи<9Фду\нееназываетсянепрерывноЬ).принимающаяподстановкеЬ<хipn(x),—уравненияопределенная<9Ф<aинтервале. .,нормальной2/i,менных—иИнтеграломФ(х,Дифференциальные10.ичастнымипро-измененияпере-постоянноезначениеприсистемы.решенияРавенствоФ(Х,Ф(х,гдепроизвольная2/i,j/n). .,—свестирешаяпорядка,ПримернайтиПривести1.B).дифференциальномукСпроизволь-—B).порядкасистемеможноасистемыинтеграломсводятсяслучаевкотороеС,системы,n-гонормальнойк-нормальнойуравнениебольшинствеуп),первымДифференциальноев..интегралназываетсяпостоянная,можно7/1,иОбратно,A)системыисходнойрешениеканоническуюп-госистемы.дифференциальныхсистемууравнений2/ГнормальномуПоложимdy2=у3и-—•ахвахможносистемуданнуюзаписатьвидеикотораяПоложим2/4,=Уз=2/4=22/!2/1—Н-к2у(х)z,тогда--З2/2,■22/2,4-госистемойПривести2.у"{х)у'-"=2/3,нормальнойявляетсяПримеруравнениесистеме1огда2/4-=-г-У[V'2<22/2-виду.dyiтт<2/1=3/2к2у1-Зу2,=нормальнойк=г/"порядка.>дифференциальноесистеме0.г',=уравнениеиприводитсяуравненийV'=z'=z,-k2y.>кB)илиуравнениюнормальной§ПримергдеуСистемы3.Свести3.у(х),=zуравненийдифференциальныхуравненийсистему2(ж),=333У1=z'=У?,~-iy+2-гоуравнениюк,C)z,найтиипорядкарешениесистемы.z(х)Найдем<у1—у".-уравнения:первогоизПодставивполучиму"уравнениефункция2у'—Зу—у(х)Отсюда,de~x=ТакимначальнымС1е-*+С2с3х,z-2Cie-x'yi(x),у?,.•.,2/пКоши.Теореманормальнойпеременныхх,t/?,М0(х0,интервалсуществуетх$<хотB)Коши,задачивтождества,изКоши.писовокупностиобласти,функцийнепрерывные7пог/п,.

.,точкисуществуетх,системывB),которомудовле-E).B)..,называетсяС„),С\,визмененияДпеременнойI/в=1,2,которыеС„. .,которой(б)обращаютвыполненыможнофункцийсовокупностьпостоянных,произвольныхпостоянныхзначенияху\,решениесистемыС\,нормаль-Dимеютиизмененияусловиямрешениемзависящихh/п. .,окрестностипеременным+хо/2,областинепрерывныединственное2/„(я,допустимых<притомначальнымОбщимначаль-/i,1)-л«ермойнекоторойвподУзhиобразом:следующимудовлетворяющеечасти4-fu———удовлетворяющееЕ'слггфункцииI)Gпроизводныечастные}I/(пвyn.. .,2/°).

.,[B),правыеопределеныyi,функций>B)ПустьB)системы2С2е3х.числа.заданные—является-системаставитсясистемы=где2С1е"жС2иC).уп(х). .,—системы,2С2е3х-системыz'имеемуравнениекоторого=С\=длявтороерешениемЗС2е3ж-уОтсюданайдемсистемыКоширешениеусловияму\—у'.—С2е3х.постоянныхисходнойрешениему=уво+Cie"'1"4-любыхприЗадачанайтиz=z10, общимиС1е-'=C2e3a?+образом,является=равенствоиспользуяz(x)zzзначенияполучить..,F)п,любыхприуравненияусловиярешениедопустисистемытеоремылюбойза-Гл.3344.ПримерфункцийВкачестве<н-оо;DКоши.этойС\отиС2получитьПутемD),.1-4е2хоизсистемылюбыхприе.т.Кошизадачирешение=-1Следовательно,Xq.иуочислаzqD)функцийдифференциальныхсистемыдляпараметровуравнений,^|Г уж2найтиможноу2+2г2=2Г2bz.\ у2системыилиуравнения+ах<дифференциальныхсистемамилиний10.401.ol-диффе-системусемейства6,+ах==2bиаопределяющихДифференциальныеоzz2+вb,=о=Ь2.'2заменитьнор-(журавненийпро-неза-—переменная):независимая10.404.хуу'уyIVу2у" -у'10.405.2"10.406.у"10.402.10.403.22-2//*',+2j/-и-0,=2/ +=у'"^112у(ж)«^!У~'=л*1~J/ +уи+y'-ж.и1"z(x)-яу.=являются2,_+,=,._1;u'==х2,е"^2,=„>*2Hу-=уравнений:--!,u"и/,+2; +функциичто•10.408.^0,=дифференциальных10.407.0.-0.=-+у/3+-Проверить,систем<zу,системуBzo2/о>х,выполнены>дифференциальныхпространстве:нормальными11однозначно,исключения10.400.#о,ZO2C—2е2хо=любомпринуляопределяютсялюбоеC).уравненийZO16<—оообластисистемыДотличенобластьС'2'исистема3).примерэтойиззначенияС\—(см.взятьzqиУоПодставивZoОпределительможно#о,определениядлясистемуC)длялюбыхдляD)равенствамиC)системырешениемобластиэтомуравненияопределеннаячтообщимпритеоремыусловияполучимДифференциальныеПоказать,является<10.=Xси-решениями2ех/2.1X1§Системы3.Проверить,Ф(ж,у,z)10.410.Ф(ж,у,10.411.Ф(я,у,Методы+=хя)=х22)=+I+z\у2+увуравненийсводитПояснимкаждом.Примернаобщее(см.такжефунк-3).примердифференциальныхсистемырешениене-илиодномукнеизвестнойоднойсисключе-методуравненийуравнениямпримерахметодовизявляетсясистемуэтоНайти5.Однимсистем.нормальныхдифференциальныхкоторыйдифференциальнымнесколькимфункциейдан-интеграламиI;-интегрированиянеизвестных,исключенияявляютсяz2\системрешенияz)у,335*систем:10.409.2.Ф(ж,функциичтонормальныхданныхуравненийдифференциальныхуравнений__*"*dxрешение,частноеигA)z1.—изкаксвеласьпорядкакуу"уравнениюЛеваяпервогоуdyпервогоу{\)условиям—(у1J,—1и1~усистемыуравненияz2—Системарешение=1,у"=,функцийзаданнойусистемы(ту'J=т.е.,У0.1-С\х={уу'I,естьпоэтомуу1-Сг,4zимеем:±у/С\хизпервогоу"порядканоУт.е.±л/С\х—гт.е.~2/,=у4-С2,дифференциальныхг==р—,-vуравнений.у'~С\,=4-=f—/^=получимуравненийдвухвторогоуравненияdx-С\системах,у"то—,—Упоэтомуполученного—z2z1уравнению{у1Jпоуравненияуравненияодному4-частьчастивторогоz2уравненияоткуданачальнымобеТакпервогокуудовлетворяющееПродифференцируем=dx-1/2.=<z2dzdyС2-Из—====.2vGixобразует-fобщее62Гл.336ДляуA)частногонахожденияz{\)1,—С\откуда=НеуПоказать,б.свестикху,получимкаждоеуравнения,вонеизкоторыхпучастноеу1егозначениеуравне-zС2вх.)=\>дифференциальныхуравне-комбина-интегрируемыхтакогоуравнения,котороеB),системыможноЕслисистемы.тонайденысовокупностьихдаетсистемы.Найти7.иинтегралинтеграловпервыхэтойинтегралкz./2B)первыйполучитьсвестихувместосистемсистемыизинезависимыхможнодифференциальныходнуфункцию:=С\ех=выделенияполученияПримерz1интегрированияметодпроинтегрироватьобщийуравнениесобойху,=находимявляется+z=толькосодержитметодомт.е.yrвтороемеждусвязанныхдвауравненийДругимкомбинаций,искомоеуравнению.у1уравнений—уравненийzf +подставивэтихестьи——системуху,=одномуДействительно,(Изzуравненийчтоу'<3у/х,—дифференциальныхсистемуПримернельзя=>всякуюуравнению.одному1условия0.=системы.решениеначальныеиспользуемИмеем:функцийпарауравнениярешения--.С21,—Итак,Дифференциальные10.общийдифференциальныхсистемыинтегралуравненийdy_zdx<\Умножимобе—второгоe~xz,+системы=0,е~хнауравненияу1exсиe~xzоткудаисложимтождеством+у=С\.сихe~xz—Это=первыйсистемы.Теперьобеумножим-e~~yzyfравенствамиe~yz+х=—части-e~yzЭтоС2.zвторого+ еуz+иж'-1,ехи(e~yz)'получимпервыйтожее~унауравненияx'+Таксистемы.интегралссложимсистемыотличенмеждузаданнойzуравнения+ех+У-_dxпервого(e~xz)'получимz2dz_ex'+частямиинтегралоткудаякобианzчастисоответствующими=ey+__отнуляпоэтомусобой,системы(проверьте!),ихуравнений.тообапервыхнеявносовокупностьt>независимыинтегралаопределяетобщеерешение0,™как§ДляуравненийдифференциальныхвыделениякомбинацийинтегрируемыхудобнеепоследнююСистемы3.записатьdy\системыизназываемойтакв337форме:симметрическойdy2B)послед-dxdyn'"/i(z,yi,.

Характеристики

Список файлов книги