2 часть (1081353), страница 29
Текст из файла (страница 29)
.,0нулю.условиямэтойanрешениемданногочтоу\(х),(ж)0,равныэтокактеоремыдоказать.(ж)0,=однородногозаключаем,требовалосьУ'начальнымW(x)=являетсяу{х§)основаниивронскиан=ли-. .,=a*всеa*t/n(z)и,функцийсистемаНо4-линейногорешения6),нечто..жена0.=15у+a2i(n—1)решениемОтсюдаединственностиanyn(x0)условиямлюбогорешениеу1системаai,+..a*,. .,+такимЛи-4-8у'-однородная(являющаясятожеу"10.302.чтоуравненияНо0.—0=уа2?/2(^)+1)/—начальныму(функцияa^,однородногофункцияиa*2/i(ж)уп~1(хо). .,a*,за-у"'-у"10.299.неизвестными+(nрешение—с«22/2(^0)(n—1)/OL\y\0.=0.=0 следует,=уравнений+—ух1Ли-0.=VF(xo)равенстваj/"-у1110.296.+у'"алгебраическихлинейных+С2х.10.294.19х10.301.у'+1независима.зависима.независима.10.298.у"--у'0.=Линейно10.291.10.293.0.=С2е~х.Линейно10.289.независима.10.295.у"-4у'+10.287.независима.(л10.297.-независима.независима.зависима.СхеЪх=/1.Линейно10.286.Линейно10.290.ууотноси-С110.288.зависима.10.282._Ю.284.-|х1.+—зависима.С2ех.+„=Г110.285.СхеЪх=ужбалкисеченияпоперечногоинерции10.281.cosуказанияиВсякоеОтветыискомогообразуетлинейно10.306.ууsinжCi=cosж.С2sin10.315.у/ -у/-6у(Ci + С2х)ех.10.318.у"'6у"-у'"у|cosСi ex=е2ж+10.328.у10.329.уC\уx(C42жcosу10.336.у=10.338.у==Cisin4С2ж)ежGСхе~х10.343.у={С\10.344.у=idt/4Сз=4(Ci(Аж3Bcos&rС2ж4С2ж4-х21пж44e~3a;(Ci4C4у=у2х)е3ж.10.321.у=C2sin2x).+10.325.у=10.327.у=10.332.уC2x).cos-2ж4х24Ах344С6ж).(еж-\4ctg-С6ж)sin4уСъх).ж.10.337.у4у-ех--е?х.=еж.=Ука-shx.5=11).J sinx2ж.ех.е~2х.Bsin4a:).44£ж2е3ж(С410.341.1.=sin2x410.340.^x(Acos4x(Ах10.349.жxarcsin-х2)10.347.(С5=-С3ж24е~ж.In( С2cos2x4C344е~2х)31С2жу'@)4C4sina:).C1+C2=42 +==0,(е"*Ci4C2x4C3ea;4C4e-a:.е-*(С54v^3^.sin=4cosxу410.351.0,sinС2е~4ж/3.+4C\С4х34л/4С2+cos2x+у=С4ж)4у@)Вх2)е4х.Бж)е4а;.у(С3Csin&r.4(Ах210.334.x\)fc)x).-=2ж=++x(C3cosa:10.339.| sinIn-уA+С3х2)е2х.С3ж)е4ж.С2хV^xcos4С2е~2жекхAcose-*/2(d=10.313.3x).4-С3ж2{dCie2a;уе2х.=е3*.44ж-=coszу"-2у'4у===С3cosб+(С2+уC2sinx4/10.350.жусловия:=4sinЗж)е*-2.-у10.346.sin4С2хНачальныеуC3Ciу+d=10.326.2ж).C5410.342.10.345.(d10.333.4=у10.330.4(Ci10.335.ие.у10.324.C2+ж0,==10.322.+у10.308.1/+10.316.0,у|).3xCicosz4н8уС2ж).cosуп(х).
.,3е3ж.+sinz10.314.13у+==0,sinС25ж4sin2z.-6у'-1бу;4С1е3ж+С2е-2ж.=-С2ежС14С2ж4(Сз4С4ж)е-ж.=(С14С2х)е2ж4(Сз4С4ж)е-2а:.а1/12i/;С2cos=з^ех+у/;++у2(ж),2е2*+10.311.4С2еA+ч/з)ж.(C2—=10.331.0,e3a;(Ci=(Ciех==++10.323.cosx+8у"-Cxe^~^x=Сзеж=Схе2х=1.-Cie5*=ууу2ж2-10.317.=10.319.С2я10.312.+10.307.x.10.309.-х.4я:sin43x4С\ех=cos+2+С2ж4410.310.-ехyi(x),функциямиссистему.зависимую=Cix3=вместеуравнениярешение425указанияиB)sin2a;4Сж.Ах10.348.4(Сж4D)cos2a:.4Ответы426((Ах10.352.ех10.353.хе2хВ)+((Ах2cos2х+(СхВх+С)cos+Схех+(С2Oie4-О2е10.354.у=lU.uDo.v~10.357.у=de2*+10.358.у=(С1+С2х)е'"х10.359.уC2sin2a:4+(С\=^(l8 +zsin2z).+10.365.y10.366.у+C34-C3cosx4-C3x210.371.1/=cosжe~x4-Зеж4-уCi=Bx+sh=shl=у(х-2J10.387.ний.\Vl~e\.е-110.390.10.360.уd2a:.=x33)exуjC5уеж.10.370.у10.374.t/+Cxe~2x3x2.+C2x++C2e~xC\=+2a;++4-162xex.=10.375.еж(Bх=10.378.10.381.j/Cix3=+C2x4-10.383.у5.-+ух2 In=х.1-sinx-cosx.+4-—^—SI1решение).10.388.х2=Ci2 sin4-l)sinz=e-\.+10.373.cosx=-21nxС21п|ж|4-(единственное=тгj/%-4-Ci=1|).sinlt/--2exsin2x.—тг4e'2x~l=7-r4-cos2x4--уу^2уx10.372.x=C2sin2a:Cxex-10.369.jsinx.-4-10.379.у24-у+d=у10.368.+|е3ж+10.367.12).dcosx=3z2.-ex.J-C2e3x=\+—:—-уCicos2x—++C2sinlR|x|.cos10.385.XShx'sin3x).=у10.376.х——-."10.363.1/+2xAx-4-С21п|2жl)(CiЗх).sin'тж.i/2C3x4.4-F)+■"=10.361.+-—Cicosln|x|=C2x2+|(x2e*.+LVfl1+2хеж.+4-C3x2/f+—4-C2sinB1n|a;|)=+x24-5sinz-10.377.+—(x2+Ж4+уcosт-^тx)e~x(C3ex-e~x+x2.=2sinxC4X3+Ex+-10.364.C2xC4sinx4-(£>х2Ciex/2+C2e~x/2-x3.=ie-2a:.+C4+cos.x+ж).cosy+Зх10.355.+++fci=sin№+Ci+C2x=D)-Ecos3xС2х)етхie-x+2x).+е~х.+10.362.C2e-3a;указанияе:r(zsina;+|)-С2е3ж4-иу=ж+t cosx).-cosB1n|a:|)^.4-10.380.j/=С3ж3.10.382.у=shx.10.384.j/=^7T10.386.Нет10.389.решеt/=Ответы10.391.xe~atiacospt-t=Указание.гдеdУравнениеимеетУказание.=гtu2r.cha=б)10.394.гвидг=#£],JdxаА—/3кх4-dtгде4-а^=/3-—,кхa2.-V0.=2m-J-=0.—асУказание.ut.Уравнение[chtu^/l-]-ae~^ut=dt2т^-,2=aА—4-—гsh—xsh—-Eимеетыс;т—~-гвид4-Уравнениеа)—Btcha10.393.427указанияиfj2t +имеетвидshu;\/lyt)./i2+оT10.395.d2s=л/5ащейся\участицепи.х4точкидхжот/),-гдехо/I)4д—2#sin30*-60^/0sin=e~2lf=J(/Л1+2Указание.г—2Lоднородного+J[ [Lcj-у),-^sinf fкгде\/Vтт; LCcos^У7y/LCd2iуравнения:<Имеем4-~г=Eljcosго=асEtvcosut.=dt1rd2iL—-цепи:—)Luj—уравнениеL—t7~)VVВ?гцепи:уравнениесоответствующего-к(х=поэ-покоя,—4д,7Т^^~4L2~1Дифференциальное=5\Hноеd2x-начальнойотгруза\д—dt1состояниив4—-4—-топокояУказа-(см).груза,пружиныследовательно,и,опускаю-*—точкивидконцомд/iftпокоядлина—tвремя—*-положенияимеетсм/с2.г10.398.зарасстояние—пружины,-98110.397.УравнениеУказание.пройденныйone10.396.отсчитывать-1/к(хо=«Зс.путь,—inподвесатомуsгдеУЕслиние.л/80)4-о—«=-,—-j(ХЪ-j(9In—iС\cosRsinut)+di+it-—de1.4-ai.~г=Gсоответ-решение—==ty/LC4-С2sin—.acДифференциальОбщееcot.cosut—==t.yLCОтветы428Частноеt(A=Тогдаdt20,=Арешение:гdz1y/LCг=2xzz>xy'),1^f=cosyy'zz1=z'(y'-^(ut-{-^).cos^=£in^(y1d,^IMM.10.416.x210.418.г4-+Ca)!,j/24-2j/-Cie2i-г=x24-+zz'у2w=0,=^du=dv____t+vdvduwdw—.ly*=dvx2+£^iL.w10.413.WZ—Ю.412.уZ—1-xyi1=y2C,,+i2+C->.1)/.4-C2.4-^-.=<=lnlCsldidzvUuCo).+0.=10.403.dy=+г4-——-*-=*=CiBt=—Vиг;--*Ц.dzdy=1-£—ж-1=1+dx—V^=1/4nc:10.405.t +Сз—yy'10.401.=dxy2С\10.400.xy').-=t7^__dttЮ.406.х-еж,—rtdww__=2L4-+xdvdw=2L\fbCВычисляя^.>—=найдем1£sin—-_v2t4-условия,—10.402.du+г,^'2.=_W1£ sinОбщееLCуJ5tyrLCначальныеcosipsmut-:-uу'2y/LCрешение:2z(y-+j?y—p=.*jt,со?t2iv~r1cost—t 4-,Еdy-1.sinC24-используяичастноеz2=t,LCу10.399.„»^~7==Искомое=С2£ 4-.г=——Eu>=Е—Jsin12TЬичто2J3o;cosa;£)4-=4-Isin2Lучитывая,Следовательно,—-.2Х/sin:y/LCrp4-7—=cosCi'dtЕ1С\=и—■L(-2Au;smu)tВО,—(—2Au)smu)t+2BujcosLJt).^игтождествополучимоткудавыраженияуравнениев+гAcosa;^+smu>t)~Подставляявид^(-Ajsi iu^+JStJCOstJ^=-~имеетуравненияcosut—BuJt(—AuJ=—-указаниянеоднородногоsmut).+ВcosutBsinujt,+линейногорешениеи=Уz2Ci,=ln|C3(CiH-C2)|-Ci,Ciy,гC22/.=10.417.10.421.уг=G\y,=у*10.419.~^-re~L'lX;+xxC\>.=10.420.Л.z2^/z^lT^y^yC2ef.е=——=(C,-Cjf,у.т2=C2elde2i=z4-=4-C2eCl-T;Ответы10.422.а) Да;первыминтеграломтолькотогда,10.423.2е2~У=х{14-Сгж1-^,+когда—х2=zх4-4-С2е4£;ж=e5*((Ci=10.434.2C2e2i.Зе2',C2)sin2^4--xж10.436.xу=Aj/=C,e'(Cit=+C2)e-3t,угг-=C\e2t=2е"*.-x(С2-2С3е"^.2de*г=у=de2*у=(CismtжC2e2i+ж3C2e~3i+-C2~cost)cKC2e2t,-cos2iC2sin2*),4-ebt{cos2t=cos3t{Cxt2*),sin-сЛ-(c2еГ1/2x^t+C3+C3)j-.10.443.е~*,4-уж10.442.xsin^Л,z(V d(C2=+C2*Схе21е~*,4-С3в3^,2de2*=e2tуC?e~3icosi4-4-—2C22C3e3i,5318--3/4-2sin*—-Сх=4---*-—,4-e2t=def=С3е""*,+г=+жzС3е~£,=\--N;cos=4-4-ж==-2C2e2tC2e2i4-уу-10.441.-2te~3t,^Л,sinC2)4-С2е~',4-е2*=(Сзл/3-Cie2t-=/77^-*sinsin3*).4C2)4-e~3t;cos(С2ч/3-Cd4-&)е~1.+^f3C2e2i,de*2C3e3i.-3C2)+cos=жж4-x=CxelC3)10.440.4-=4-+у=-Ci*de*=C2e4i,e5f(Ciу=/n"-Ci=ж(~Cit+Y=C2)-Сз)е"£;4-4--i/=10.438.10.439.С2е2*4-el.=3Cie2'хC2)cos2f);4-у10.437.-10.431.10.433.Ci)e-',+72>/3==\e~2t{{ACi-Щ-.уъ-+10.428.%4-уC2sin30,|e-*/2 ((Csv^+Сг*-иС1Ж1+>/2\/2).-тогда10.425.=Ъж(Ci4-2C2-e2t.-+2i)e-3(.-жС2е1==cos3tBCit=.х-^-1С2B10.429.ууу10.435.+10.432.et(Ci=>/2)0.=10.427-2/1.=у)0.=—1)-10являетсяx,dipу)-хLCie*х2—.Щ-,=4-—х,3у(ж2+жJ-4-2С2=10.430.=у(уу[Ш,+у310.424.xV2~1C]BЪуХ->У)~^у),x,~Cx,y)/2(£,ip(t,/i(£,dip—fi(t,+10.426.=C2z,—.х\dip(у-1J.+у/\х\).г4-СоотношениеУказание.нот.системыIn4-Ci-б)429указанияиЗеЧl)eb,e2i,Ответы43010.444.хС\—t 4-cosС2sin=(C2у10.445.x10.446.xCi=3(Cie2t=C2f 4-cost£ 4-C2e~2t)4-Искать10.447.у,х£2/VmV-A:2t/.=10.454.г=i—;;—-<j>iполагаяпеременным,Z{Точка10.455.дифференциальныхпокояуравненийУстойчиво.10.451.х\(г0=х\г(pi,—устойчива,еслиизto.Если,х-^г1-—у).-Указа-—к2х,ту=Неустойчиво.F*(£,=A)—1/2.^n),>а^1,.
.,новымкпере-п.п). .,дифференциаль-системыS(e)0 найдется>е0>та-пY1 Х1 (^о)неравенствачтодиф-припкое,Beht.—устойчиво,^nW)любогодляо"неустойчиво. .,1, 2,=2t).Q=систему1, 2,—уАсимптотически+sin^m^тпхZnC4к2(а=кук2у2НazПреобразовать—удвижения:. .,2.Система^7и£ 4-4-Aekty=х2^;-1/2,=+<pi(t),Указание.п.. .,fi{i,zi+а2*cosу),-10.453.если2(C3х-7=^;\/ /msm; smA:cosУказание.к.C2/; 4-хх4-sint).4-£(cos£2*,виде-10.450.устойчиво,=1, 2,=к\{аустойчиво.-1/2;<asin-в=Неустойчиво.Асимптотически10.452.если-C\C2e-2i)уравнения10.449.C^sint.VQ\fmДифференциальныение.4-C4 sin44-х—т=£,cosa=cos2£—уравнений:к=системырешениедифференциальных10.448.C3t/2(Cie2t=(Ci-tg £,4-—х£,cosCi)cos£-2/Указание.t—sinуказанияи^2(^)<^следует^2@<limJ^ x2(t)£"всехприпt^тонеустойчива,изнайдутсяесли|x^(to)|неравенствафокус.Устойчивыйточка«отрицательногоапокоя<5следуетНи0,—трения»,\а\|жг(£)|покояДляa—S >любомt^неустойчивый0,\а\<2.трения»,\/3\фокус;—0to.фоУстой-10.461.«отрицательного<>Неустойчивый\а\большогоне-некоторогоузел.10.463.а.узел;точка£0,=покояпри10.458.Устойчивыйслучайнеустойчивый>Седло.каких—чтотакие,гномер10.460.при|/3|^и10.457.узел.10.462.узел.10.464.0>фокус.Устойчивый10.459.Точкаустойчива.£<Неустойчивый10.456.соотношениеасимптотическисистемыпокояточкавыполненотого,кромеслучайa«отри=0,точкаОтветыпокояустойчивафокус;\а\О,>аузел.нормальнойсистемойсистемыНеустойчива.10.469.Vустойчива.10.471.У10.473.У10.479.уу2=10.476.Неустойчива.==-я2—х2Л-у2\неустойчива.10.474.VV10.472.Неустойчива.—однород-Зх24t/2;=2x2-fУстойчива.асимптотически+.т4fу2;у2]?/4:устойустой-устойчива.10.475.10.478.Устойчива.-f=х2=V10,470.10.477.—корня.V10.468.неустойчива.10.480.решенияхарактеристическогонеустойчива.-ж2;покояэквивалентнойчастногоУстойчива.у2;точкаC2х.записьзначениях+устойчивый—уравнение-2ау=10.467.устойчива.Неустойчива.у,покоявелико,Заменить=различныхприточкасредыИспользоватьУказание.10.465.10.466.х\C\,<сопротивлениеУказание.устойчивыйоднородной|/3|,^\а\0,>aцентр;—431указанияиУстойчива.устойчива.Не-СБОРНИКЗАДАЧМАТЕМАТИКЕПОДЛЯВТУЗОВькьдшиьДИФфКРЕМЦИЛЛМШЁФУНКЦИЙД И»ФЬPEFI11ИФУНКЦИЙВЛЩЛНЭОДНОЙИИНТЕГРАЛЬНОЕИСЧ «СИСЧИСЛЕНИЕНШМЕ-ШШЙЛIIЬIНЕСКОЛЬКИХOfcilИНТЕГРАЛЫТРА1НШ1ИИV.Л Г11HПMlHII J\.
