2 часть (1081353), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

.,р{х)у'решениерешение.есть=9частное+уравнениярешениеsinxi10.284.у2(х),функцийпониженрешение.решениеобщеефункция0,решениеегоесть10.283.Еслислучаебытьможетесть4-(х) (С\у\—частноеобщеее~~хеслиуу\{х)хI/iфункцияегоНайтифункцияр^х'Jе~Jобщееесть10.282.У2этомрешение.Найти10.281.у"уравненияуравнения,~Вединиц.линейного—кизвестнокогдаE).уравненияуравненияпорядокподстановокслучай,нарешенийнезависимыхнадлежащихкнаобобщаетсяметодвышелинейночастных?Уп(#)€х0линейно•••>6)2/п(ж)линейновсюдунулю(а,уп{х)..имеемнезависимазависимаэтомна\V{x0)нанаинтервале.ф 0, то(а, 6).система. .,решенийДифференциальные2.§Всякаясистемауп{х)уравненияэтого10.304).E),задачууравненияизлинейнопE)уравнения.нуляототличенВронскианCi,Примергде••Cn•»W(x)системылинейноидифференциальноеуравнение,системойфундаментальнойтом,СоставитьНайтиx.общеезаписатьвронскиансистемаинтерваледифференциальфундамен-являетсярешениеуравнения.вронскианW(x)как1=-хрешенийсистемупорядкаС\Х \С2+2у',выраженийдляу,уу1у"у'"Легковидеть,жилинейноcosж,sin44-которогож4-Сзsinж,х4-ССзcosж,СзСзsin.т,cos.т.С2sinху"-—-исиXу1у"10у'"0—уя;sinжsinж——еслипутем,другим.т,а;cosжsinхcosхcosx,системывронскианжsinвтороеиF)=-cosа0.=функциямипоэтомуcos—1,нанулю:Упосто-получимху'вместепо-урурав-равенствополучитьсистемузависимую-третьеравенства,4-функциязаИмеем:sinи3-гоявляетсяпроизвольныеcosпервоечетыреуравненияффрдифференциальногоисключимиС2Ож,осифундаментальнуюС2-всейнаоднородного=былоравеннезависимахвсеXсоставленияуравненияжxcosможноискомогоsin—СчсложивF)уx=ху'"Уравнениеxcosу", у'"у', у", уш.С\С—умноживчто,начетвертоеcosобразуетДДляС\х=1Silxрешениемsinx.зпроизводныеизпостоянныеобщимСзcosх4-Xsinследовательно,линейногои,некоторогонайдемненияCOSлинейно0=Е\{0},областив—систематож,=точкиисключениемрешениеобразуету, ж,sinж,функцийсистемаэтаи0=виднекоторомоднородноелинейноеW(x)уравууcosж,начтоXТакурав-Cnyn(x),+функцийврешений,Составимимеет..(см.решенийсистема+системакоторогодлярешенийопределеныпостоянные.независима.<3Ciyi(x)=Данаубедиться10.решенияуравненияпроизвольные—этифундаментальнаяэтого..реше-системыгдерешениеуо(я),системойфундаментальнойинтервале,у(х)у\(х),решенийфундаментальнойизвестнаобщее315порядковнезависимыхназываетсявсемнаЕслитовысшихуравнения0.чтоучесть,sinжфункцийобра-Гл.316Раскрывая(проверить!).определитель,обеДеляУравнениеG)дифференциальнымуравнением.10.Дифференци&пьныеуравнениятополучимчастиявляетсяисамоежеF)уравненияналинейнымискомымF)уравнение(прове-получаемх,дифференци-однородным>Исследоватьлинейнуюназависимостьсистемыследующиефункций:ж,10.288.е"10.290.ех10.292.сЬж,10.294.ж,Знаяоднородного10.287.sin10.289.ж,2ж,10.291.sinж,йЬж.10.293.ех,ех.10.295.1,1пж.10.286.же~х.х,0,фундаментальнуюдифференциального1,10.298.ж3,системуж4.sinx,10.300.1,10.304**.ж.е5*.е3х,10.302.cosДоказать,линейногоснепрерывнымиивронскианW(x)W(x)=010.305*.наДанауравнение,дляэто1,2ж,10.303.е2х,вронскианоднородноелинейноесистемаэтакоторогоs'mx.ех.жет2,-sins,1.+cosУ2(ж),у\{х).однород-уравнение:е2хж,ж.уп{%).

.,решенияпорядка—уравненияft) коэффициентами(a,равенфункцийсистемаСоставитьлинейного10.301.системысоз2ж.нулюпри(a,Exqпft),тоft.<интерваленекоторомнуля.жвт2ж.ж,ж,интервалеэтой<априcosсоставить10.299.некоторомв.т.х2.решенийe2:rcos.T,дифференциальногооднородногоcos.г,ех+1.10.297.есличтоsinsinуравнения,е~х.10.296.2д:,у\{х),И^(ж)являетсяуг(ж),уп(ж),. .,этойсистемыпричемототличендифференциальноефундаментальнойуравнесистемойрешений.Зная10.306.линейногочастноеу"@)Знаялинейногофундаментальную6,у'@)=системудифференциального14,у"@)ж,найтиsinжегоу@)условиям:=36.е2х,ет,решенийнайтиуравнения,начальнымудовлетворяющеерешение,cosуравнения,=-1.=однородногочастноееа",решенийначальнымудовлетворяющееу'@)=4,10.307.-системудифференциальногорешение,3,=фундаментальнуюоднородногоусловиям:е3хегоу@)=§Дифференциальные2.Линейные4.неоднородные!/<">f(x)которомвдифференциальным^ 0,ап_!(а;У+..порядка.7г-го(8)уравнениявидаan(x)y+f(x),=неоднороднымлинейнымназываетсяуравнениемрешениеОбщее+317порядковУравнениеуравнения.а1(х)у<"»+высшихуравнения(8)дифференци-формулойопределяетсяу{х)=Уо{х)+у{х),гдет/о(х)E),аобщее—у(х)ПримерчастноеСогласно<Даноу"—суммауравненияислучаеСледовательно,+C3sin:rС\хx3.ЕслиобщееметодомЛагранжаИменно,Сп(х)v-lу(х)£ yWdC"№будем+=0нашему(х)C^coszаС\х+х3.=+v1, 2,—dd+У2-7-dxdC2dC2!h+yiэтойу\(х),решенийотносительнорешение,,12.фундаментальнуюу\\х)функциисистемурешенийсистемаоv-~—,чтофунда-вронскианнуляпоэтому1, 2,—(XXЗная,!{x)-=dx~имеет.__yiотdCuТогдаdCnУп{х),—у„).-0.=dx,+-..уравненийdCnУп—г-^+^0)систему+■■■(8)С\(х)уусловиям(где2-отличныйестьсистемысистемыопре-уравненияфункцийотудовлетворялип.

.,Adx-ониполучим+dxсо-длявоспользоватьсягде0, 1,п,. .,E),можнотонеоднородногочтобы-Cnyn(x)+..постоянных.решениек-f(8)Cn{x)yn(x),+..всехдляС„(.т),С\у\(х)=уравненияиХОпределительобразуюту=уравненияпотребуем,дополнительно«Примерестьоднородногочастноеискать,dCiединственноеВ10),примерпроизвольныхC\(x)yi(x)Vi~r~фундаментальнойсоста-однородного(см.уо(х)(8)у(х)решениявариации=функцийдляегоестьуравнения.решениерешениеуравнениючастного. .,общееизвестноопределениясоответствующегонеоднородногоC$s\i\x+х3уравнения.уравненияt>соответствующеговидеC2cos#+искомое-fуо(х)у(х)урав-этогорешениенеоднородногорешениерешения=Известно,решениячастногоуо(х)общееобщего(8).уравнениядифференциальноечтофункцияобщеенайти(9)формуле2х3.—уравнениянеоднородногонеоднородноеу—Требуетсяоднородногорешениелинейноеху'+решение.каксоставляетсявчастное11.хууравнениесоответствующегорешениенекоторое—(9),п..

.,costч2/2(#)и=хуравненияу"+sinx=2Х—у'х+у=0Гл.318(см.10.283),задачуДифференциальные10.общеенайтирешениеху"<Общееетсях,уо(х)виде+хуA1)х.=однородногоCOSС\=TSHIC2-fхчастногоопределениядля2у'+уравнениясоответствующегорешениевуравненияСчитая.С\хфункциямисоставимсистемуразделитьвсеA0):вида1=(уравнениеA1)членыл,С[Положив,~/\ч/ЕслиxcosC2 (x1)xsin/2/o(x)+2/(x)=Уг(х)2/(")+о1(а,-)у<п-1»хx+С1,cosx+С.sinлинейного•cosxC2-^-sinчуравне-х=1.химеет_+решениеcosx)+жA1)Ci-^-2частное,^=)видsinx+неоднородногоl.t>(8)уравненияфункций{i—1? 2,+чтосоответственно,..частноерешений).—+ап_1(тJ/'=yi(^)частныенекоторые+/;(х)=решение+у2(ж)уравнения+••.+(8)(г=1,2,уг(х)(принципестьуравненийрешенияап(хJ/суммаУ(х)некотороег).

.,Отсюдаполучаемsin(ж+ч-/_1.—x2получимхегоуравнение,интегрирования+0,второе—sinx\xcosxуравнениячво•-xcosС[(х)жx=чsmx)частьправаяC2=решениенесколькихсуперпозиции=т.е.жПослеxcosx.—-чж:/2/(x)sincos=общееX—:жC\ (x)(xcosx=cosCOSsinC'2CiСледовательно,естьж—(8),виду—x2например,2/(ж)суммаsinж—xsinx,=A1):уравненияС!2(х)(~ч/(x)кпривестиПодставляяGимеемследуетх).наполучаемиСгиA1)уравнениярешениязаписыва-уравненияXсуперпо-. .,г)§Дифференциальные2.Проверип,13.Примерчастныму"2у'—т/iЗу—?/'уравнениярешениемуравнения<1функциячтоуравнениярешениемвысшихуравнения2yf—2,"-2j/'-32/Согласнофункцияявляетсяуравненияе=частныму~-гх=у2--е2<г=общеенайти,—3решениепоследнегорешением-с2х.—частнымe*+e2*.=суперпозициипринципуявляетсяфункцияаЗт/——eJ>=сх,—319порядковОбщееуравсоответствуюрешение-'>щеголинейного(см.задачуимеет10.282).однородногофункция;i/oрешениеданногоi-глъураъксниьПо(9)формулеобщее(V]—(>ч<-4f:г~уравнениявиду=Cie3xИспользуя10.308.решениеуравненияубедившисьвх2у"\а'-\е2'.-6xyfж/2—функция12у■+■—естьО10.298,Зя:,задачирешениечтотом,С2е-Х+убе-предварительнорешенийизоднообщеенаписатьэтогоурав-уравнения.Используя10.309.убедившись+г/е?хуравнения.Проверив,10.310.фундаментальнуюНх'+у0.—уПроверив,образуюту'•х•у"2у'+частнымчто-у11частнымрешениемрешениеcos2и6^'Ъх=Ьу--у<2{х)ж—+ху1fcosжу"\~уравненияб?/—част-являетсяf/2 (•'*')функцияа(iyf—5у+6Л-25;/;,--у11у"у1ж.уравненияуравнения\)у"—решениеу\(х)+X—уравненияобщеенайти=-л;решенийctg x)yфункция+хcos—образуютж--(жэтогоby+25ж=+—=3rrr.Зс'2ж(см,10.281).10.313.решение—общеезадачучастнымB tg0,--уравнениярешением—е2хнайтирешением+Проверив,10.312.\)у+У2{х)иу"у\{х)системуBtg2.T+ехуравненияфункциифундаментальную+2tgo;=решениечторешенийизуравнения(х-1J.=10.311.ctgобщеенайтипредварительноодно~решенийсистему1-естьобщеенаписать10е3т,—у\_(х)функциичто2у—функциячтотом,в2у"—10.303,задачирешениеутуравнениярешениеПроверив,чтоуравг*енияу1"решениемуравнения+у1™уравнения:/"yi(x)функция:-у"-сх"в"\ау"'+'i iO3-еэ:—янляетсяУ2\^)функция?/—2:i6cos2a;,(c>i.частным~-■-sin2xгадг>м'—общеенайти10.300).Гл.320Линейные5.Общийкоэффициентами.Дифференциальные10.уравнениялинейногодифференциальногогдо(гat1,=2,Уравнениеaiy{n-l)+A2).уравнениякратностиг(ц\п-1+каждой7/(fc)КаждомуsпарлинейноТакиму(х)-i^(x)гд()Q^(a-)еслихарактеристическоекорнейг'Д,-fа\+2si-+-..

-frjfcri,аАг/?1,-.4-25/n),г/3/,+а;общеетоА: действи-имеет/ париг^. .,. .,=соответствуюта/комплексноifa-кратностейрешениеуравнения..0ix)eQlx+{Qi{x)+..произвольный—уравнениекратностей+..cosfitxмногочленНайтиобщеестепени2у+А2Следовательно,ЗА2у'+Следовательно,+А2Ъу0—видимеетcos2.x\iА;,. .,1,—корниуху=С\е~х=у\5-f==0+имеетe~a;cos2x,решений,Aiе~х,Сое~2х.а/.. .,=—у>1,=t>-HСгsin2x).t>\ i2корниy2общееавиде~х(С\1,=0.=2А+систему=1,уравненияфункцииуi/—решенийрешениеуравнениефундаментальную2Ч-имеетрешениеобщееХарактеристическоеs^системуобщееНайти1,-0.=+фундаментальную15,г„A4)уравненияЗу'+0ix)eaiX,sinстепенирешениеуравнениеЗашшюмД/(ж)+многочленыпроизвольныеу"составляютsвиде+sinXk.

.,Характеристическое-\±2г.кратностиcos/Зх,14.Примера±г/3=sin^x.Ai,уравне-хг~1еХх,,Аxs~leaxу"(Гж...дляA3)решенийнезависимыххеХх,фунь-искомойуравнениемА уравнения. .,Лм(.х)-2.п). .,xeaxsinCx,Пример-1,eaxsinf3x,—иA3)корнюкорнейрешений:в(x)0,=0,=xs~leaxPi(.r)eAi;r/?!+an. .,(ri6/запишетсяимеетсA2)xeaxcosf3x,образом,A2)<п0,=eaxcosf3x,корнейсопряженных5i,. .,(А;линейногнезависмыхдействительных+действительномукомплексныхпареanyхарактеристическимеХх,а+an-iA+..называетсясоответствуютA2):уравнения--порядкапостоянные.производныхАл,степенямиan_l2/+..действительные+заменойполученноешш+п)—.

Характеристики

Список файлов книги