2 часть (1081353), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

.f2(x,yu..,yn)/n(z,yi,. .,yn),уп)!GJиспользоватьито7,——..свойствоследующее—любыхпридробей:равныхai,++a2u2+..=—=—Vlместоимеетап. .,если.,.V2соотношениеa_+a2v2Числавбылai,(8)былВравенобычноподбираютсядифференциаломan. .,полнымнулю.G)соотношениичтобыобразом,такимзнаменателянезависимаяилипеременнаяфункцииискомыеичислительзнаменательжерав-равноправны.ПримерНайти8.общееmz,lyЗапишем<\системуlx—иdzdymznzlx—(8).соотношениемвоспользуемсяnxd(mxmyВыбираема\lz)+Л-пуm,—Oiп=иоз/,==ъоd(mxе.+lz)+пу0,=откуда+mxАналогичнымк—имеемтогдат.nz-форме:dx—my—lyсимметрическойвlynx,*nz'-уравненийсистемырешениеобразом,равенствуd(x2у2+выбираяа\г2)+0,=(9)СоотношенияНайти10.412.^общие+образуют1у^dt2ж,(9)Ci.а22гу=иа3—2г,приходимдваz2=ClпервыхA0)интеграланеявносистемы,t>решение.решения=dtA0)иобщее==откудаx2+y2определяющихlz+ny=системдифференциальных1.10.413.^хуравнений:=ху^ty=^.txГл.10.3384U10.414.1ПЛК10-415-ДифференциальныеdZ~Zdx(zdxx=TtуравненияуJ'—dyу-У(zdx7Г?10.417.=—z2'—2xzx2dxx2txydydzT"~yjz^Найти*L<=dtxобщее1у-У-,=удифференциальныхсистемырешениерешение,частноетакжеx-dtz2—2t2'-dxЮ.419.y2—=—xt10.418.аy2—Tt=x7^7'dz-2хуx2dxdzx-y=^уJ'-уравнений,заданнымудовлетворяющееначальнымусловиям:~У-10.420.-~—,dxю.421.=-~-х2Для—tdv-}-j-будемжх—системау—2/системыdx(гС—у>21, 2)—=—б)2ху\+yj(t)—х=У=i/'@Охуфазовойt/i(*,/г(*,х2—ty—первымиу),^,2/)-эт°йтраекториейфазовойплоскостью,криваясистемойаA1).Динамическаяеслиявпмчвобразом.правыепри-время:некотораясистемы(стационарной),ограни-прямоугольнойсистемой.вх^дгттестьестьсистемыназываетсяигпростотыуравнений,tж,декартовойдинамическойBrW^TfiДлясистемы.переменная=автономной,?тойt2=дифференциальныхдвухфиксированнойназываетсяназываетсяуравненийсПлоскость<p{t),A1)<£>(£),=Охуipiщнезависимаячтосчитать,плоскостикоординат.a)системыРешениев!•=уравненийнормальнойсмыслрассмотрениемпричем1.-системы.Физический3.ограничимся*@)-1,-^(о)=соотношениялиэтойу@)ху(о)функцийиявляютсяпроверить,интегралами4;у1=-дифференциальных—х——!—;усистемыdtу-^dxyz10.422*.-dx—,ах=^zСамакриваясистемачастиуравне-си-§Системы3.Динамическаясистематочкиплоскостисистемыхx{t),определяютположениеx(to)условияу (to)Начальные£о,—траекториюмоментуэто■-точкиУравненияуо-—будучидвижения,моментточкиположениезадаютточки:любойвt.момент:такжеопределяютэтойонивремениначальныйвдвиженияуравнениямивдинамическойдвиженияуравнениедвижущейсядвижущейсяРешениеt.времениy(t)=339скоростейполеопределяетлюбойв=уравненийдифференциальныхкривойитра-параметрическойвформе.ПримерНайти9.фазовуюавтономнойтраекториюдинамическойсистемыdjпроходящуюхчерез=уихт.е.второетак:обе(—)-\yjdtНайдемхполучимобщееестьтраекториямичерезДлях=1-10.424.х=1-10.425.х=2а;,10.426.i=3)-х\-CiC^e^1*,(C2eClttпрямыеоткудапо-3=траектории,—ж,уу=у=-х.=Ciy,причемt>проходящие1).1).МоA,Нормальнаясистемы.an(t)xiМоA,линейнаявид+012(^J:2fln2@a;2-f+ainW^nj+..•••+a>nn{t)xn,чтополучим,—2).МоA,М0B,1).2х\2ху\C2eCltуравнений.у),хуdt,у—прямаяегосистемы;уравнение—у.С\=—О,—перепишемухфазовые2у;у-2х]+ж=имеет=у2,у2,-однородныепорядкаиливтороепроходитнайтих2х2ууЛинейныеn-гоявляютсяиMq:точки10.423.4.системысистемуказанныхзаданныечерезвремяМоB,точкузаданнуюС\,=(уJ-функциейу2наворешенияуунеизвестнойфункцийдифференциальныхсистемыобщегоиз,Уусистемаили—одной-подставимнашейрешениефазовымииИтак,выражение(уJучтоподставимиуравненияследует,C\C2eCltC\C2eClt.ИсключаясистемаОтсюда—спорядкапоследнегочасти=0.у—ПолучимвторогоуравнениеРазделимtпоуравнениеуравнение.первоеув—одно3).МоB,точкуПродифференцируем<X,у,Уоднородная34010.хЛ.или,уравненияфорг'е,матричнойвДифференциальныеX(l)A(l)X{t),=A3)гдеВобластиA2)единственностирешенияудовлетворяетФундаментальной=условиямКоши.задачитеоремысистемойсовокупностьx{2k)(t),■А;Х&(£),Еслирешений1, 2,кn,.

.,.1,=7г,. .,си-единствен-A2)системы1, 2,=называетсярешенийXk(t)системарешений=п.,фундаментальная—jинезависимыхxik)(t))T,-,■=г,существованиялинейноппроизвольных(x[k)(t),a{j(t),коэффициентовнепрерывностисистемапA2),системы(?2,Сп. .,общеето(см.3).Решитьdy^-fах-+х=--,10.430.ж=--rz;,частномслучаематрицаиспользованыИзY2 CkXk{t),=С\.где=ух2-?-=ах=у-.х-2у+zx.-—-ж.коэффициента-постояннымиправойA3)частинеалгебры.линейнойзависитXk(t),решенийсистемыметоды+2£ ++свхарактеристическогоуравнений:z--.системA(t)—! х6исключе-методомпроводитсядифференциальных2yахzx,уфундаментальнойбыть=—2когдаотысканияxz,+-у=10.429.Вdzхахкоэффициентами,у-2-=х-У-10.428.обычнолинейныхсистемы10.427.A2)системыпримерX{t)видпостоянные.произвольные—Интегрированиеисключенияимеетрешениеотк—1, 2,t,.

.,отыс-длямогутп,уравненияdet(i4-AE)=0находятсяучетомразличныеегократности)корниопределяетсяAi,A4)A2,. .,соответствующееAsидлявсякогокорняемучастноеА(срешениеуче-§Системы3.Общее.уравненийдифференциальныхсистемырешениеимеет341видA5)k=iПриЛУ^Л)гдевозможныэтома)—кореньсобственныйПримерНайти10.частноеХ\хз<—+х\@)условиямудовлетворяющее\Х\ЪХ\2х\—Характеристическоеоднородной2^2,+3x26,A4)+4жз,ж2@){АdetХЕ)==системы124.имеетвид02-А=х*3@)-6,этойдля4-А-системыЖ2>+=уравнениесобствен-соответствующийф 0).решение—±2Л,Y^АУ<А>,=Тогда1.матрицывекторAY^(т.е.Азначениюсобственномуслучаи:кратностиследующиедействительный—0=0.4-АЕгоAiкорни1,=А24,=А35.=Собственныенапример,векторы,таковы:ПоэтомуОтсюдаобщеерешениесистемывсоответствиисA5)имеетвидГл.342ДляследующейДифференциальные10.частногонахожденияуравненияСзС2,С\,константырешенияопределяем7CiС\откударешенияС21,—Сз2,—Окончательно3.=C2+искомогодля5С3,+частногополучаемб)Л—комплексныйхарактеристическогоВместоA4)являетсячастные11.ПримертакжеНайтиобщееХарактеристическое+Х\=комплексно—Зх2.+3-АсопряженныеAij2корнисоответствующеговектора,/1у^Л^=1,находимл(А)^+А,2/2=1 +i,Для2±г.—корню(-1-02/1Полагая(t)Х21-2собственноговзятьуравнение1-АимеетиЛ.числоследует£2,—2x1—X^(t)ReX(A)(£)=ЛсистемырешениеX\(t)%2(f)характеси\t)Х{решениякорнемсопряженноеX^(t)решенийчастныхкомплексныхТогда1.кратностикореньуравнениядействительные<изсистемы:(А)т.е.2 +==°>пг,соб-нахожденияполучаемсистему§ОтсюдаСистемы3.действительныхпарауравненийдифференциальныхрешенийчастныхe2tрB+»)М_(см.Окончательно47t\ cosв)Aрешение—A5))формулуtкореньищется\ cosвидевVcosl~sinltJitрешениеe2lt +sin^Cicost +=C'2sintСоответствующее2.^гкратностиA3)системыt)JобщееI2вид:costsinsinполучаем/£sin—t-e2tследующийимеетcose2t (cos343t.этомуокорнюре-вектораA6)коэффициентыизкоэффициентовA6)а?котороголинейныхсистемыв1,получающейся=исходнуюв1,=г,.

.,определяютсякоэф-приравниваниемрезультатевектораподстановкиA3).системуНайти12.tjn;. .,степеняходинаковыхприПримерг,уравнений,общеесистемырешение±2@='Характеристическоеуравнение2-Л-14имеетвидекореньЛ=4 кратности-6-Aг=2.(ЛПоэтому-4J=ищемОрешениесистемывГл.344ПодставляемДифференциальные10.выражениеэтоуравненияисходнуювсистему\a2fo)Приравниваякоэффициенты2ax+/32+4а!-С\=общееобразом,Решитьначальные=у,10.432.х=х10.433.ж=Зх10.434.i=2х10.435.i=х10.436.£=10.437.£=10.438.х=—4у,—yу,4ху=5жz,z,уна-данысоответствующее+-x@)x;=+z=3,==у@)1, у@)1.=0.=-=iх{0)х{0)Зу.-2х-5у;ху=+уу==2у,+-жнайти5у;7у;6у.+-х=уТакимЗу.+у2у,5у;-ж@)у@)=x,zz@)ж@)=+х=у@)0,=у;1.=1.=у@)=2,=-1.10.439.£=ж10.440.£=Ъх5.Зу,C2.—дифференциальныхгдеТам,решения,-2х=—2Ci=линейныхобщегоу+=а2ивидкоэффициентами.кромех—2С2—системы10.431.0.=имеетпостояннымиусловия,решение:частное=4ftftимеемсистемыследующиесz@)С2,=решениеуравненийнеоднороднаяftи=ft+-0,0,0,=2а2-2ftaia2-201£, получаем:степеняходинаковыхпри01Полагаяе4*:насокращаемиЛинейные2у—+z,—2у-у3z,у+—ж=4ж=£iх2==aii(*)zia2i{t)xi5у+-уравненийai2(*)z2+a22{t)x2+i-г,4z,Нормальнаясистемы.неоднородныедифференциальныхсистемау +++....+ain(t)a;na2n{t)xniz.—=линейнаяимеет+ж=6х+4у-4z.неодно-вид/2W'A7)Системы3.§крайнейгдепоВматричноймереF(t)молено(/i@j=A7)система/2(^Mпроводитьнайтиоднороднойсистемы••(см.какое-либоичастноеA8)системыЕслиметодомвариацииэтомXk(t),Ck{i)крешениеИменно,постоянных.B1)подстановкой=уравненийO,решениев1, 2,=X(i)ре-п,найти.

.,можнополагаяA8).системуУчитываяk=l,2,. .,n,Ck{t):относительно*)этойсистемыCk{t)Ck(t)находимсдоточностью13.ЗнаяVk{t)—B2)Подставляяпостоянных.неоднороднойфундаментальнуюсистему71,WX2(t)=системы=6Х\+Х2-,функ-получаеминтегрируя,и,решениеХ\*"(*)•=произвольныхобщееискомоеполучаемПримероднороднойобщееB0)общеетопроизвольныхсистемекB1),ТогдаравенстваприходимИзA8)X(t).+системаA9),Xk(t)-A(t)Xk(t)функциипредпо-соответствующейA8).X0(t)=системыфункцииопределяемпримоле-A9)системыфундаментальнаяизвестнаоднороднойXo(i)иногдавидX{t)решений3),примероднакоA(t)X(t)=X(i)решениеимеетA7)системырешениеX(t)нулю.A8)Интегрирование•предварительнотождественноравнаF(t),+fn{t))345видA(t)X(t)=•>неимеетисключенияметодомпредпочтительнееfk{t)функцийизоднаформеX(t)гдеуравненийдифференциальныхсистемырешенийихA8).вГл.346общеенайтиДифференциальные10.неоднороднойрешениесистемыХ\=±2Воспользуемся<C\(t)C2{t)и—б.Х'1+Х2Ъх\+2x2вариацииметодомфункцийуравненияt,+1.+системуДляпостоянных.произвольныхсоставимB2)видаНайдя5*ипроинтегрировав,\-tC2{t)-t-получимn-7tТаким=j—1-Еслиг,общееобразом,e~u—\+n,.

Характеристики

Список файлов книги