2 часть (1081353), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

.,Ап—уравнениякоэффициентамиyW<коэффициен-постояннымисоднородныевидпостояннымиАоуравнения=решениее~х~ш\2химе-§Дифференциальные2.ПримеруравненияНайти16.частноерешениеу'"<ХарактеристическоеединственныйАимеетобщеевидЛ3гу\е*г,—хех,=у"иCi(CiС2ж+2C2-fчастное+2С3условия.3,=откудаимеетрешениеПримервидуНайти17.С2A—общееХарактеристическоеимеет^т^-xsin(С\~Известноэтогорешениеу@)=Поу'@)=даннымрешение.10.315.Ai10.317.Ai52а/=(С3решениеуравнения1+0,=кратностиимеетвидv23,C4a:)-fу\0,А2=тt>—p.линейногоодноспорядкахарактеристическоеНайтинулю.с10.318.А.AiAi==посто-частноере-условиям:линейногокоэф-постояннымииуравнение10.316.—-р,v2уравнения-2.=\/2начальным2г.-Азxcos—^=,0,=Следова-2.efca;=уравненияА2IJ-fV2второгоравныйBА2cossinхарактеристического3 ±=2,—решение:дифференциальное-С2+искомоеили±—у=гудовлетворяющеесоставитьобщее4А2Соответствующеекорнямкоэффициентами10.319.4-+—рдифференциальногооднородногоCi1,=Следовательно,0.=общееV2уравнения,1.системапроизводныеС\0.=решенийдискриминант,единствен-имеет+корняcos3.=t>у4А4частноеимеетуравнение+тC2x)02/"@)2,уравненияполучаем-f==фундаментальнаяж2еж.Следовательно,—a:)ex.4/+дифференциальногокоэффициентами.постояннымиегоОтсюда-7=.10.314.Получаем:С3решениесистемауоднородного1,сопряженныхфундаментальнаятельно,sinкомплексно+-fуравнениедва1—найдем(С22(С2+=4yIV<у'@)1,ЗА-Ь?/3Сгх2)ех+начальныеиспользуему@)=постоянныхея-О,=Поэтому3.=у2ЗА2—уравнения.произвольныхрешениеопределенияДляу-условиям1 кратности—321порядковуравненияЗу'+уравнениекореньрешений—Зт/"-начальнымудовлетворяющеевысшихА2А2=1.=А3написать=2.Гл.322Показать,10.320.бытьможетЛ=Дифференциальные10.общеерешениеfx_2у),+Найтиобщие10.321.у"у"4у"у'"yIV10.323.10.325.10.327.10.328.10.334.10.335.10.336.<ри2у'6у'--+----+Найтичастные10.337.у"у"у'"A sin=(atЧу9у++5у+17у'+Зу0.10.322.=0.10.324.13у10.331.+16у+V"3yIVyIV++10.333.0.=6у'++13у+2у'4у'-yIVyIVyv10.329.0.=х~8у-+у=0.=0.0.=0.=0.=у"Зу"4у"10.326.0.-илиуравнений:=-tp)+постоянные.дифференциальных-8у'by"4у"у"8у"6yIV2yv2yv-хпроизвольные—решения-t/ivyIVyvyVIyVI10.330.10.332.Агдеуравнениявидевпредставлено(atcosчтоуравнения2у'"2у"8у"'+++у"+0.=+у+16у'0.=0.=0.=Ay'"-3y"+2y'-+у0.=0.=уравненийрешенияпоначальнымданнымусловиям:10.338.10.339.--10.340*.Найтиу"уравненияу"уравнения-Ь0.=Линейные6.(га;Согласноу(х)видесоответствующегоуравненияу(х)произвольных+у0;=у@)0;=у@)уB)0;==+ЗуОбщеевобщем-fрешениеслучаепостоянныхвможно++..действительные(9) общее?7(жMауо(х)an-ii/'-hапт/любое4).^0.записываетсярешениесоответствуюрешениеДляA4).методомп.f(x)aчастноеA5)/(я),=A5)общее——формулойдаетсявоспользоваться(см.уравнениепостоянные,2/о(^)у(х)прямойкоэффициен-уравнениярешениегДе2)видауравнениее.х.=урав-Мо(О,точкепостояннымисудифференциальноет.—1.-дифференциального0) прямойдифференциальногокасающуюсяуравнения,однородногоA5).п).

.,у"@)-1,0@,точкекривуюa2y{n~2)-2.==уравнениянеоднородное+Уо[х)=у'@)в0,=у'B)кривуюинтегральнуюкасающуюсяинтегральную1.=1,=0,=aiyin"l)1, 2,формулеу'@)=3,-коэффициентами,у{п)в4улинейноепостояннымигде+неоднородныеРассмотримкоэффициентами.с4?/—2у +-у—Найти10.341.хЪу12у;у'-Лагранжауравнеотысканиявариации§Дифференциальные2.Найти18.Примеробщеерешениеу'"<\Общее+Сгsinx,частногонахождениякаку\СистемаС[+—-Умноживобечастиsin2хСложив.С2cosС2sinС2cos+ххТогдаобечастиИнтегрирование=tgx.dI cosx|,Следовательно,имеетC2sinх=0,cosх=0,sinх=наsinx,извторогоtgх.натретьегоcosxсло-иС%следуетуравнения—найдемуравнений,третьегоиC3cosx,=общееискомое=С\C2-fМетодомследующиехsinx-lntg=,неоднородногорешениеиме-уравненияcosС3-fxвариацииsinx| cosIn-x|sin-x•Intgпостоянныхпроизвольных+Tt>77решитьследую-уравнения:у"10.342.10.344.у"10.345.у"В+-+частных/i(x)=(coxm2{doxm-f+2у'+уV+4усовпадаютни..+..неопределенныхкорнейЗу'2у=-±—.е*1-=е~2хилиsmCx)eOcX,cm2)In/(х)изодним/2(х)-^^.sinDxxm-1у(х)химеетbmi)cos^a;или+найтиa±iCнекомплексто+видможноЛеслиA3),+..+соответственноили+..решениедействительных(Doxm+Именно,уравнения==A5)(F0^miчастноехарактеристическогоу(х)4ууравнениив=коэффициентов.с+ж.функцияdm)eA*+уу"10.343..1+=когдаслучаях,+методомкомплексныхС3С3С3методомвидпринимаетслучае+виду+этомС\=нахожде-дает:-In=уоДлявоспользуемсявпервогоcosxС[-уравнения=sinx.2/3уравнения+хcosx,=уравнения—sinx.=т/2A0)второгоС2получимсложив,1,=неоднородногорешенияпостоянных.вариацииу' =tgx.+однородноготак323порядковуравнениясоответствующегорешение+ СзcosxвысшихуравненияDm)eXxу(х)ищетсяввидеA6)Гл.324f(x)дляу(х)f(x)Въ)cos/Зх£>*,,В^(Сохш+С„и+.smpx)eaxCin)+-коэффициенты,неопределенные—A7)7n2).Ажеа±г/3илисовпадают(случайгкратности+..Здесь(mi,ЕслиA7)+уравненияпидев/2(ж).=max=или{{Вох1Ъ=длятf{(x)=Дифферснци&пъныс10.следуетсрезонанса),то.тг,надомножитьнекоторымкорнемвыраженияискатьт.е.A3)уравненияправойвA6)частиилисоответственнорешениеввидеу{х)f(x)дляу(х)/(ж)+ПримерНайти19.А22+являетсяискатьA8)+соответствующегоимеетуСравнивая+ууо{х)ет,—{6D0тоD2)e3x.4-НайдяобеихDoурешение1/2,=—частей( -x2—Д)+4-x3I?iD2-1,=1 1~/~iх+e3xx2=2Do=1,2D2=0,D\,-(x2=2x-2)e3a:,4-2хBог)\Зху"x.получимследовательно,вид/~ч+D2:и,небу-у',тождества,Do,3=сокращения1.=имеетуравненияэтоговос-производные2D2)+об-арешение(посленеизвестныхопределенияDxЗА4-урав-АкакчастноеполучимBL>0+уравненияТакуравнение,2D{)x2Итак,A9)е2х,=С2е2х.+неоднородногоD\x4-+дляу2С\ёх=уравнения,коэффициентыуравненийоткудаfix)eQXsinоднородного2.Следовательно,=коэффициентов.исходноевувидестьрешения(Dqx2=у"иАг1,=имеетнеопределенныххарактеристическогоу'у,Aiкорние3х)системуСЛ)+..уравненияуравнениявидевподставив2Dox2общеерешениечастногокорнемна(Сох"г+решенийнахожденияметодомбудем0=однородногорешениевоспользуемсяиобщеесистемаДляcos/ЗхуравнениеЗА-фундаментальнаяобщееJB*)+..Характеристическое<Dm)eXx+../2(.т).=уравнения+илихг((Вох™=для/i(x)=xr(Doxm=си-§Дифференциальные2.Найти20.Примерчастноеу"<]Характеристическое±2г.yQC\2xcosx(Bcos2xВsinCsin2x),таккаку1-2Ci=sinИмеем:Искомым2x2тгПримерХарактеристическое<Лестьт/оЧастноеу1у"ив2х2xcos4--2тг2x)2 sin4-2С2=10.347.2тг+(sin+2x1-С2=ф2.x).cos-1/2.=функцияsin2x4-2x(sinжрешение2.x).cos—ОуравненияЛ24Л—4+0—двукратныйимеетоднородногосоответствующегоданногоуравнениякорнем(т.общеенасокративх)Doнаходимрешениепринимаеткал^догоданныхизнаписатьу"т//;-+8у'Гd16у=D\=+С2хsinDа-=A-+0.подставиву,коэффициентыСледовательно,сх)скоэффициентовж)е4ж.+^2хдифференциальныхрешениязначений16у+у"',сравнивнеоднородных(числовых(a==урав-видчастногоеговиди1/6,=участиуравнения.у',найдяе.е2хвидевправойвхарактеристическогокоэффициентовстепеняхискатьэкспонентыдвукратнымуравнение,абудемуравненияпоказателькакнаходить):10.346.условиями,решение:-ДляуравненийкоэффициентамиоткуданачальнымиЗтг,общеетакисходное6исходноев4cos2.t,4-sin2x4-.T(sin2;r-cos2x).cos2x+C2жBуравнениес-х3е2а>,С\=решениеD\)e2xуодинаковых==2x).cos—воспользуемся4-Схнеопределенныхприу2xНайтисовпадаетМетодом?/"у1,у,4sin2x=являетсярешение+у+C2x)e2x.(Ci=видевхарактеристическогоподставивиобщее=ФcosОбщее2.=x2(DqxуравненияЗтг21.кореньСгиcosтг-2x=решением—iестьискатькорни—4Ccos2x(sina:—уо+у=2С2+частныму—уС\=у"у1',4-Ciпродифференцировавпредварительно0—уравненияследовательно,будетнахожденияAi,2корнибудемуравнения0 i 2/Найдя1.-4Z?sin2.xрешениеДля2тг.=имеет2ж.?/Общееу'(тг)—0=^1 и,=4-4однородногонеоднородногократностиполучимG1,——(it)уЛ2соответствующегоС2+решение4-cos2.r),+условиямрешениеЧастноеуравненияуравнение,4(sin2.x=уравнениеОбщее==4y-f-325порядковуравнениярешениеначальнымудовлетворяющеевысшихуравненияconst).неопределенныминенахо-Гл.32610.353.у"yiVу"у"у"Найтиобщие10.354.у"у"у"у"у"у"Ау"у"у"у'"ylv10.348.10.349.10.350.10.352.10.356.10.357.10.358.10.359.10.360.10.362.10.363.10.364.10.366.10.368.Найтиначальным+-+-условиям:10.370.---+-10.373.у"yiV-y+у--=-2у'УххЭйлеракоэффициентами.=у-+<cose-2t(y't'tпреобразуетсяех.2у+n)у'A)0, у'@)-1,=1,4,=0,=cosж.•••—у'@)у'@)у'@)=0,ж;у(тг)=линейноеж2+же1=у"@)anyновуюе~3%ш-уравнениеу'"@)1, у'"@)=0.4,==у'(тг)тге",=f(x),хфО,линейногоЗу£х>переменнуюподстановки2у[)спостояннымиху'хТогда0.+на-инезависимуюилиew.=случайкоэффициентами0)6.=вида=частный>1.2.=2, у"@)=переменнымихх.-|.+(еслиу"@)Уравнениеопределенности!#£,+-3.=естьеь=е~х.6хначаль-2,=On-ixy'+Введем+-=0.=Эйлера.сдлявcos2=у"у"yIV+=(|)упостоянные,хi/J),у'"yIVyv4у+удовлетворяющие=Аех=Эйлера.-10.365.10.369.=у@)у@)у@)=-1,46^;8ех;8ех;Пустьу"10.367.ж.у@)а^-У"»0).10.361.е-2х.=уA)у@)х-+chx.={тфп).уравнений,подстановкихтж.уравненияуравнениемпомощьюsin+уравненияназываетсяпх18я.2ех;-2ж;1,2,.

.,=sinе~х-хех=у-хе~х.+-=Зу'+=у"2Ах.6уе3х=IJ.-3s).sina;(х=2x).3 sin+-7у'-уравнений:=х3==2xcosж.Дифференциальные(i13sin3x.cos+2у'у'=ylv-yу"uje~ix=решения4у(еслиАх=++=т2ут2у+-у+=+5у'Зу'Зу"-1)((хе2х(ж2соз3жех=Ay6у=у"10.351.10.355.+-у+2ж.следующих=дифференциальногос13у-уу"arVn)tЪу+sinж=е~х.Зу'Ъу12ту'2ту'+10.372.10.376.+=10.371.7.=уравнения4ж.Ayже41.+решения-уу"у"'10.375.cos22=частные10.374.гдеАу'Ay"Ау'2у'Ау'-Дифференциальные10.ит.д.,и=уравнениекоэффици-=-еье~ьу[,§2.ДифференциальныеУравнение+/;)Vn)гдеа,6,<ч(ах+(гп(суравнению(в области1, 2,—b >+ах0)>хЭйлера,вхарактеристическогоПриanyприводитсяf(x),=линейномукподстановкой+видеb+охе1—у",г/п). .,Леслиэтом,+anj/0-хЛ.=?/,an_i;q/+..?/для—кратностиуравнения+ЭйлераV"ai*n""искатьЛ.степенипоказателяпостоянные,—Ь)у'+коэффициентамивыраженияхарактеристическоенаходимan-i(ax+..уравнения+Подставляяводнородноеуравнениедействительныйтог,уравнениепока-определениядлякореньемухараклинейногсоответствуютрешенийнезависимыххх\пх.Xх,если8хаif3±асоответствуют(уЗcosЗху1-Положимж=e2t(dicostуравненияе*,=решениебудем=J', у7,3e2f.jy"укАе21.Эй-у'Тогдау"—к3e2i,—иt+Съcosпеременнойилит/о=уравне-2Ae2t,e'2*(Giнезависимойпервоначальнойестьприходим=2/J),Зе2',неоднородного=?/уо+У=+ oy—=■уравнения^Следовательно,уc~2t(y/fti——уравнение,естьуравненияe~ly't,у"х3et-e~tyt=решение—неоднородное=3.Аоткудаж).ж).InInуравненияоднородногочастноеав?/^.e2t-e~2t(y"t—yft)соответствующеговидеsinнеоднородногоТогда0.>видв,соответ-(/3(рcos(In ж)'xQейтоs,xa(\nx)s~l,решениежC2sintf),искатьнеоднородногоВозвращаясь....считаяуо4-кратностиЗж2.—приметподставляяЛе2*ж),InобщееЪу4-уравнениеОбщее(/?cosхНайти22.х2у"нашеInжа1пж8ш(у31пж),ПримерЭйлеракорнейрешенийкомплексныхха.хлAпа:)г~1,.

Характеристики

Список файлов книги