2 часть (1081353), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Вычисления<Найти4.0,^2Тройной2.-0l lr3к==cosOdrdipdO-TxTтг/22тгЯ/"dy? Ifc=lr3dr=cosOdO-MТаким9.130.=х-2у2,+zповерхностямичислуповерхностью9.133*.9.134*.г2\+7ТЬ2с2+у2объемz2JНайтиazz=+(aимассух2у2—z2—>0).a2,zповерхно-замкнутойповерхно-.т2замкнутой—у2поверхно-ограниченноготела,0,+параболоида).(внутриплотностьсреднюю=замкнутойсферойZazограниченноготела,данному1^-б2у2-Vравен9ограниченноготела,х20,=0).>у1+а2—по-ограниченногоzограниченного9х1объем+(a=~Ттела,ax,=ограниченноготела,/у2+тела,9\2-Тх2zж.=объема2axyz=объем9Найти{х2поверхностямиобъемповерхностямиу2ж,=аг,=параболоидом9.135*.9.136.z2Jу2Найтииповерхностью+у2+-Т\ а24а2+Найти/ягузначениих2у2+ограниченногоу2),+какомНайти(х2тела,2(х2=1/?/9стьюобъемПри9.132*.2-Я^IНайти9.131*.=(О, О,VСобразом,z—а>0,еслиплотность+^2=Гл.262каждойвточкеравнаинтегралыаппликатепропорциональнаzиплоскостивza=7о-Найти9.137.Rпропорциональнаf/,высотойичерезравнаНайтиплотностькаждойвзначениеу2—Найти9.139.расстоянияточкиотплотностиограниченноготела,a2,=z>0),z,а(z0—еслиплот-наибольшеесферическогоплотностьсреднююу2+z2+точкеначаладопро-основания,аппликатеих2каждойвплоскости,•массуплотностьплотностьх2-\-у2az,поверхностямиеслидоплоскостипропорциональна70точкира-точке•среднюю—точкеплотностимежду70имассух2поверхностямиотсконусакаждойвпараллельноконусавершинуоснованияцентре9.138.круговогоплотностьеслирасстоянияквадратупроходящейвплотностьсреднююимассуоснованиярадиусомиКратные9.о2=х2ипропорциональнаz2+наибольшее4а2,=квадратуакоординат,слояу2+рассто-значениеплот-7о-Найти9.140.свращениякаждойточкеRпараболоидасегментаН,высотойикорнюплотностьеслиизквадратномуоснованияплоскостидоравнаплотностьсреднююоснованияпропорциональнаточкиотимассурадиусомсегментаиврасстояниясегментавершинев7о-Найти9.141.еслиплотностьточкидоодногоравна9.142.диаметру,вточкеНайтиh0,>Найти9.143.ограниченного0,zничейногодиаме-этомукоднородногох2),—-^-.a1 т2,=zтела,z0,—уограа,—однородного—(bb—zгот+утела,у),—z0—огра-(а0=zплотностьточкидо=\Jx2—массвначалаУ2)>каждойкоординат.z>0,+у2,полушараточкетела,огра-тела,огра-Н.=однородноготтцентраеслиоднородногомассцентракоординаты0,^~^{^2=координатыНайти9.146.массцентракоординатыповерхностямирасстояниюокружностимассцентрауНайти9.145.Л2,—^{у2=координатыповерхностями^отбольшого0).Найтиограниченного>0).наи>0).h9.144.Д/?,радиусарасстояниюмассцентракоординатыповерхностямиb>шараперпендикулярнойплоскости,поверхностями>пропорциональнашара7о-ограниченного(аплотностьсреднююидиаметровизлежащегокруга,массукаждойвz(НИ—х2пропорциональна+у2+>0,z2^§Найти9.147.теланогоz*Найтиточки9.150**.егох(у2пропорциональнарас-поверхностишараUпотенциалравна7о-телаоднородногох2плот-у2+вращенияz21—-а1оказываемогопритяжения,силуНвысоты7?расположеннуюНайтии1,=Ъ1однороднымRоснованиярадиусаеговмоментивершинема-насодержащую20,=усоднород-поверхностямиzх——а1±а.=момент7Ozосиограниченного7?Найтиотносительноинерцииплотности-ж2),однородногоинерцииRоснованиярадиусомкруговогоНвысотойиконусаотносительнооси.Несобственные3,Интеграл1.непрерывнавпобесконечнойDгдевошларасширение).область,и/G—расходящимся.dxdyYimG=/(ж,функцияу)непре-определению,пото,Iрасширяетсянейf(x,dxy)A)dy,иобластивпроизвольнымлюбаяточкаконечныйсуществует/(ж,лежащаяцеликомDвDподобластинесобственный интегралG,у)осталасьЕсливыбораинтегралыЕслиобласти.Dобластьчтоозначает,нее(*,конечная—кратныебесконечнойобластиЦслучаенаашара,относительномассы.§вНа).>точку,плотностиего,высотойиRрадиусаточкеэллипсоидомплотноститела9.153.центраньютоновНайтиконусомматериальнуюединицу9.152.однородногодо(Ьцентре9.151**.шаракаждойвограниченного7,2параболо-RоснованиярадиусоминерцииНайтиностиb—х=сегментаоднородногосплотностьеслиотувращения.моментдиаметра,однород-0).Л >°>инерцииосиНайтирасстояниюь >7Ozосиповерхностями°>>моментего9.149.в(аплотностивращенияотносительноегоУ)-относительноограниченного7>263интегралыинерциимомент7(Ьо=9.148.параболоидакратныеплотности0,=Несобственные3.способарасширенияy)dxdyназываетсяGобластипределDA),—>сходящимся,G,образомтак,->Gчтобы{исчерпывающеезависящийнеG,DпричемтоотнесобственвпротивномГл.9.тодля264АналогичноКратныетройнойопределяетсяу)/(я,Еслиинтегралы0,^интегралнеобходимоисуществовалдляВычислить1.ПримерA)пределисчерпывающегоодногоG.областих'=области.интегралачтобыдостаточно,быхотярасширения1убесконечнойпонесобственногосходимостинесобственныйсу-инте-интегралdxdyГ Г*4+</2'JJ1аGгдеРис.48х2а,Ь,х^Л-у248)(рис.h+оо,-»азададимх*J Jd-*gDаиhm=lim=IJa->+oo/7a-^+ooаdxJIX2hm=—X*+y2f—Ja->+oofУ arctglimУ&->+оо1—/dx4//=несобственные/ /9.154./ /77ж2Gгде,+у2/*область,—dij6txт~я(ж2^+dxх2^гДе^77>у2K-hm,.a—>+oo=~^X21/(7Г—4-неравенства-определяемая+у2dzd,y+область,—определяемаянеравен-круга).(внешность1u567//pнеравенствомJ1./9.155.ствомlima-++oo-/^интегралы:dxdy1,^жЛX214У»\dx—-47ГВычислитьarctg\ X2-))-X2,—=минеравенствамиТогда:-foo.-»dxdyKm=GгденеравенствамиопределяемаяDПодобласть<^хобласть,—-,z2^1где(внешностьТ—область,шара).определяемая§Несобственные3.+ооН-оо[9.157.кратныеН-ооfdx0fdyе~^х+у+2)несобственныхсходимость/9.158.dz.00Исследовать265интегралы(х2sinинтегралов:у2) dxdy,+Gгдеобласть,—определяемаяGнеравенствамиGx2A++y2Интеграл2.непрерывнав^,9+yz)a1(внешностьо) (илиL).линииЕслиG£—окрестностиобласть,точкиPqлинииокрестностинесобственнымназываетсяGизполучаемаядиаметром,Lс«шириной»,от/ / /(ж,черезГ(соответственноменьшейе), тофункции/(ж,y)dxdy,lim/ / /(ж,пределпроизвольнойАналогичноПримерокрест-произвольнойэтотназыва-пределу)Gобластипоdxdy=lim^°УУ/ / fix,y)dxB)dy.G£этомвy)dxdyнесходящимся.называетсяслучаеилисуществуетравенЕсли/ / /(ж,тооо,жеy)dxdyGрасходящимся.тройнойопределяется2.иГ ГУ)G€называетсянепре-т.е.GB)?/)исключениемконечныйудаленияГ/ / /(#>JJИнтегралзавсюду,еинтеграломобозначается/(х,функцияGy)dxdy,путемменьшимсне-определяемаясуществует{х,гдеПустьобластизамкнутойуобласть,—круга).функции.разрывнойотограниченнойPq(xq,точки,.7-Gгде—J Jравенством0.^уitГ/ /9.159.0,^хГИсследоватьа>0,функции.разрывнойнесобственногосходимость-,отинтегралгдеG—кругинтегралах2+у2^1.Гл.266<3НачалоGиз1.ифа(подынтегральнаяестькольцополярнымкмеждуу2)а.окружностями(Гполярный—1rdrdiffJJ(x2+j/2)«имеем2тг/1r£arlim2тг-При+функ-координатамdxdyfJJПриGeобластьПерейдем1/(х2функцииразрывакоординатG):областиобразточкойТогда£радиусовинтегралыначала£-окрестностьположительна).функцияКратныеявляетсякоординатУдалим9.=2(l-a)=2A1-a)lim7Г1<=приa—+00Приимеем:2тгlr/ /=diphm0ГИтак,1 интеграл<априВычислить/ =^,In7'=а).>+00.5сходитсяинесобственные9.160.lim-2n—тг/Aравен—интегралы:гдеG0 <квадрат—1,^ж0 <у^1.1.<G9.161./ /9.162./ /-~^=====,Indx—7=y==гдеGdV->гДеж2круг—G—у2+х2круг+у21.<GИсследовать/9.163*.GО <у<несобственныхсходимостьж.~—,гдеинтегралов:G—треугольник0^х<1,§§^В,тонепрерывнаиотзависящиеинтегралы,определенаинтегралотпараметраЕслипараметра.прямоугольникев267параметразависящихинтегралов,Собственныеу)отзависящихинтегра.пов,Вычисление4.1.f(x,Вычисление4.$СафункцияА/;,^х^^убJ=называетсянепрерывнойвИнтегралзависящиминтегралом,промежуткеболееобщегоотВ][А,(I)f(x,y)dxявляетсяипараметра,,непре-функцией.видаJF(y)=f(x,y)dxB)ч>\у)называетсятакжезависящиминтегралом,функциейнепрерывнойнепрерывнанепрерывныаргументаупрямоугольникев[А,GуприПримерВ]иАЬ,^В],ip(y)В,^увсодержатсяявляетсяи[А,промежутке^хзначенияихВычислить1.^апараметра,отвf(x,ф(у)еслииу)не-[а, Ь].промежуткепредел1 +.hmJ?;->о/2/Гdx-х21 +у2+-.-A+2/)ОРассмотримследующийзависящийинтеграл,1 +Таккакпределынепрерывнынепрерывная-AподынтегральнаяI/?/)/(ж,^поду:тофункцияF(y)непре-—1-12/)+параметрааргументов,2/Еслидифференцированиятакже/ i+gt+ga=i!°0j'(y)=j'(o)=/r^=arotH!-i=f->ь^асвоихзначенияхПоэтомуфункция.1 +Линтегрирования,любыхприот2/Z?,тоидлязнаком2/)/^(я,внепрерывныA) справедлива(формулаинтегралаинтегралаF'(y)j- [а^х6,^дифференциро-формулаЛейбница):6б=прямоугольнике/(*,!/)<&=//;(^,У)dx.C)Гл.268ЕслиB)вip(y)ижетехприКратные9.интегралы/наусловияхдифференцируемыприfyи(А,Еупределы13),интегрированияформула:вернато№dx.У)D)<р(у)Пример2.F'(y),НайтиеслиcosуfF(y)=sin<\Такобластикаксовместех'2еу^1~~х2—?усвоейеу^1~х",частнойинтегрированияпределыафункциями,дифференцируемымиdx.функцияподынтегральнаяопределенияу/1e^^томожнонепрерывнапоравнойу,дифферен-такжеявляютсяD):формулойвоспользоватьсяоблас-впроизводнойcosy/fZ^dx//(ж,Еслидляупод2/)непрерывнаA)интегралазнакомвпрямоугольникеаформуласправедливавF(y)Ady=Л6,^поJdyJAьi/^Б,топараметрувьf(x,y)dx=aJdxJa/xbоЗаметим,^.тинтеграла:в<\^интегрирования=чтоь_—\nxxay) dy.f(x,E)Adx(b>a>0).§ТогдаВычисление4.искомыйинтегралов,принимаетинтегралотзависящихвид161dxlnx—JIdxJ0ПодынтегральнаяО ^я1,^[dx J [xydy=ОJВычислитьdy.непрерывнапрямоугольникевE)формулойвоспользоваться1[dy J [xydx=J/-J—dj^ln^t1 l-a+1У +0aaxyIaху=можно616Jу)/(ж,функцияЬ, поэтому^.
у ^а269параметраследующиепределы:2/lim9.165.x^cosxydx./ \/xAlim9.166.1y2dx.+0xo9.167.lim/i—»o—hJ/(f(x+h)<0 <xq<f{x))—dx,f(x)еслинепрерывнанао[a, b] (aотрезкеПродифференцироватьb)/@)и0.=функции:y+iу/М!±М^.9.169.F(y)=X0y-lУ2F{y)9.170.I=Уe~yx'2dx.F(y)9.171.[{x-y)smxydx.=оу9.172.F£y,НайтиF(z,еслиу)/={xyt)f{t)-<ft,f(t)где—x/yдифференцируемаяf(x)Пусть9.173.функции.дифференцируемаяфункция.—дваждыДоказать,дифференцируемаяF(x)ифункциячтоx-\-atIu{x,t)=-{f{x-at)+f(x+at))+—If/F(y)dyx-atудовлетворяетуравнениюколебанияд2иструны-r~o"otz~a9д2итг~о-ох1—диф-Гл.2709.174*.НайтиКратные9.интегралыпроизводныеинтеграловотинте-т/2Е{к)j \Jl-1,2sin2к2-Н^J1к1—sirrПрименяяЕ(к)функциичерезих1)/с <<(pовыразитьdip,ip@=иэллиптическихполныхзнакомподинтегрированиеF{k).иинтеграла,вычислитьинтегралы:19.175.Jо/sin (i\ n-)-^-(x2-l)dx.xJ\nxK19.176.J09.177.[cos(ln-)—(x-l)dx.xjlnx\Доказатьформулы:кf)F{x)xdx=E{k)-(l-E{x)xdx=h(l+ОА;fб)k2)E(k)-{l-k2)F(k)),оЕ(к)где9.174).F(k)иНесобственные2.эллиптическиеполные—зависящиеинтегралы,Несобственный интеграл,зависящийоту,+задачуНесобствен-параметра.отпараметра=(см.интегралые.т.ООJf(x,y)dx,F)a^дляу)/(х,функциягденазывается2/2,непрерывналюбогое>0такоесуществует/я*,прилюбомуG[уь2/2]областив•вВ=^асходящимсяравномерноZ?(е),х<-f оо,чтопривсяком^У\[i/i,промежутке^2],Ь ^.уеслиВ(е)^§Вычисление4.Еслипредставляетпромежутке.собойАналогичносходитсяПриравномернойКритерийF)интеграладостаточно,отзависящаяа) | Дя,+у)\Лdx<сходимости^аин-F(x))функциятакаячто:у,еслизависящихравномернойсуществовалапараметраF{x),он<х+оо,ОС[б)Длячтобытопроме-параметра.интегралов,утверждение:следующееВейерштрасса.^отсходимостиу2],этомнесобственногозависящегоиспользуетсявусходимостьравномернаячасто[у\,промежуткеаргументафункции,исследовании271параметравфункциюопределяетсяпараметра,отравномернонепрерывнуюнеограниченнойотнеF)интегралинтегралаотзависящихинтегралов,F{x)ФункцияПример+оо.F(x)называется4.Доказатьмажорантойу)./(х,длясходимостьравномернуюинте-следующегоинтеграла:+ОО/Заметим,О9У-■Пустье0>b >любогоуказанногох2С.у2+1В(е)Полагая=(длянаходим-,В):limпоПример5../dxy2J(limУ2bb2У2+b2+увсейнаb/61<Всходимостьука->оси.сходимостьравномерную^y2равномернуюопределению,параметруУстановить1У i2+)XbA2согласнодоказывает,интегралаx2У2Alimи+00.<у=число.(ж2+2/2Jчтоdxу2J+произвольное—хуJ<-ooчто(я.2Гdx,интеграла4-оое~хуОПокал^ем,мажоранты.чтоДействительно,cosxdx,0 <F(x)функциюесли>Т2/ое=ууо,то^уоможноу<+оо.взятьвкачествемажо-Гл.272КромеКратные9.интеграциитого,+ооe-*vodx=1-—eоСледовательно,интегралДляотнесобственныха) функция^<хинте-пределом,вместенепрерывна4-оо,^^уу\зависящихусловий:следующиху)/(х,ауказанныйбесконечнымсинтеграловвыполненииприобластиВейерштрассакритерия>сходится.параметра,воснованиинаравномерносвоейсоу)f'y(x,производнойi/2>+00/б)/(х,у)dxсходитсялюбомпри[2/1,£у2/2],а+оо/в)/^(х,I/)dxравномерносходитсяв[у\,промежутке2/2],справед-адифференцированияформулаливапо(формулапараметруЛейб-Лейбница):+d+ООООIf(x,y)dx=dyаПриидляразрывнойотЛейбницаформулафункции,условийсоответствующихинтегралавыполнениивернойостаетсяG)C).соотношениюаналогичнаяfy{x,y)dx,остаотзависящегопараметра.Пример+Вычислить6.интегралОО/е-ах_е~Рхcosmxdx(а^>а0/3 ^ /?00,>0,т£Z).о<3Пусть+ОО/mxdxcos=F(a,/3).о+Заметим,чтоОО/интеграле~ахcosmxdxравномерносходитсяприоQ.а^с*оиравен—гос14-тг(проверьте!).Исходныйинтегралсходитсяпри§любых^асвоейсоВычисление4.интегралов,/3 ^ /Зо,иаочастнойусловияа),G).соотношениемзв)поСледовательно,cosmx.можновоспользоватьсяcosmxdx=ивыполнены,вместенепрерывна—e~axравнойа,273параметрафункцияподынтегральнаяпроизводнойб),отзависящихсоотноше-Тогда+-IдаООe~ax'Ja1+тпгОтсюдаF{a,ДляОС(/3)нахождения=-1(/З2In+/3)F(a,=Ha9.178.F(y)P)полагаемт2)+±(In (/З2С(/3).у)m2)+dxIn(a2впоследнемравенствеа=Имеем/3.Отсюда«е-5»языке/ /(ж,=-\=(a2In-m2))+=сформулироватьсходится-In2утверждение:неравномерно>2-интегралнаотрезкевуказанных[yi,у^\.аИсследовать9.179.сходимостьравномернуюинтегралы:наследующиепромежутках/e~axcosxdx/—~^~fX-^f~dx@<<а0а+оо).<о9.180.A<а<+оо).о9.181.j@<a<1).19.182.J—оо/Гcos1 +ах_хгdx,(-00.<а<+оо).проме-Гл.9.274+КратныеинтегралыООО9.184.z/1dxsinУ@<a<2).xxa}оl9.186.9.187.7/ -^LSfLv/|x~-a|@ ^dxДоказать,1).^aфункциячто+oot\f __5_Ж_-ж2J(у+<J-~OOудовлетворяетЛапласауравнению~%2Применяядифференцированиеповычислитьпараметру,интегралы:дующие+О°22q(аdx—>О,Р>(a>>0).0).о/9.189.:sinmxdxо-foo/"9.190.е-ах--—(adx>а0о-foo9/1п_e"OLXdx(a>-1).0,/3>0,mф 0).§4.Вычислениеинтегралов,e~lx\os8xdxI9.192*.зависящихGот0).>о1л9.193.^лл/ifarctg—xvaxь1—.х2dx,(-00<о;<+оо).чпараметраГлава10УРАВНЕНИЯДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ§Основные1.Уравнения1.1-гопорядкаФункциональноепонятия.уравнениеF(x,у')у,A)О=ИЛИу1связывающееееиЬ)(а,интервалеподставленаэтовегоэтоопределяющее(частныминтегралом)фиксированнойФ(х,уравнениеинтегральнойрешениеу)ФункцияеслирешениемрешениеможетлюбомкакрешениедифференциальногоИмеем1а:иу,частноенекоторомпри0,=общимопределяющееинтеграломcos,XсложивПример2.решение,удовлетворяющееху'функцияучерезточкуМоA,=1).)Сх3,-1.Зу—(Найтисоответственноуху'=ху1уA)условиюиуполучимуравненияреше-а:..выражения,чтоестьУмноживXX1Показать,уcos—ххл_—.полученныедифференциальногопроходящуюуsinxa:=4-sinфункциячтоуравнения—решениемкривую,подстановкой,sinxуифункцию,Проверить1.__наФ(х,егоСо)называетсяявляетсяоналюбое<р(х,С)=A)уравненияСуравнения.Пример<ууравназываетсярешениемкромеи,плоскостикотораяпараметратого,видевУравнениенеявнуюдифференциальногониеобщимопре-координаткривую,уравнения.значении=Науравнения.называетсяС.параметрау)под-обращает0,интеграломсистемойдифференциальногоС)<р'(а;),называетсянекоторуюдопустимомэтогоуравненияпредставленобытьСозначенииопределяет<р(х,=причастнымобщеекривойуB),или0интер-будучиФ(х,Уравнениефункцию,неявнуюнакоторая,производнойЬ).(а,B)или<р(х),дифференциальногопрямоугольнойдекартовой=своей€хкакA)усовместеотносительнотождествовфункцияуравнениеуравнениемуравнения=функциюискомуюпеременную,решением)любаяназываетсяB)дифференциальнымназывается[частнымРешениему),независимуюу'(х),производнуюпорядка.1-госсобоймеждуу(х)fix,=Л-уС€0.Найти=Е,интегральнуюcosа:.являетсячастное>§Оу'НайдяЗСх2—ЭтоСИначефункцияговоря,Пусть—плоскостинаисключаяэтойиздифференциальноех3.=<3у2+—уу1),1),Ф'х(х,С)у,С,0,=вообщеполучим,семействаотуравненийдиф-говоря,кривых.дифференциальноесемействауравнениеокруж-х2+у22х+2уу'Изу2находимуравненияпервоеауравнение,2хуу'.=2а.=второгов—х22ах,—Этох2получаеместьи=4-ху2-fдифференциаль-искомоеОуравнение.чтозаданныелюбомпридействительномдифференциальных10.1.параметрасоответствующихуравнений:ух(С=1п|ж|),—X*Узначениирешенияопределяютвыражения1 ПМоA,зависящихкривых,двухсистему0,выражениет.е.Показать,Сх3.—0,=параметра.это2х(хууравненийподставляядифференциальноепараметрарешениеточкучерезсемействозаданногопараметр+значение2ах.=системуИсключаеми,системыНайти3.Имеемо/rp—II—р^/\(хfjAИгру)—jdxTilxdy+7/—0.=rpp%—JТ>оВсемействезаданномудовлетворяющей10.4.—выделитьуAп|х210.5.у\\10.6.у10.7.Написать-=1|Сх)-2 +-у).1,Ccosx,Каку@)1,=уA)7/@)=точки1.0,5.=--1.удовлетворяюткоторомукривыхотличитьудовлетво-условию.уравнение,интегральных/(х,С)+кривой,уравнениеначальномуприведенномуэкстремумау10.=>С)у,=уравнениех2найдемчастноесоставитьФ(х,»,С)Пример1,=некотороеЕслиС.параметраокружностейуЗСх3—дифференци-решениемпроходящейудифференциальноеЗСх3вуравнениеопределяющеето,являетсякривой,Ф(х,значенийу1иискомоепараболазаданоСх31,получимкубическаяявляетсяутождествополучим—хобразом,интегральнойтакими,уПоложивуравнения.1—277порядкавыраженияСзначениичтоозначает,дифференциальногоподставивилюбомприуравнение,1-гоУравнения1.вседифференциальногомаксршумауравненияотточекминимума?точкиуу1—Гл.278Написать10.8.перегибау1—Дифферснци&пьныс10.у)частности,в+xs]Составитьб) у'ПараболГиперболууосями\МВ\Оу,кривых,этойс—кривойфиксированнойпостроениячерезу1Проведемtga(поля/(.т,направлений)со)У)М0М]Охуизо-фикси-определяетвсякаякри-начальнаяскривойпроведемвМ\М>2МъточкетакогоприближеннымизобразитьсЧемдругиевизоклин,t/i)y\)Mi(xi,точкик\L<iточкиинтегральныеМо,кривые.аналогичноточкеинте-дугуит.ломаную,кривой,сетьПрове-—/(xi,д.являющуюсяпроходящейчерезболеетемточнокривую.начальнойивзятаче-2/о)«пересеченияизизоклинойполучимПустьпроходящая/(#о>=заменимкоэффициентомугловыминтегральнойгуидедомыДалее,мыинтегральнуюполо?кениек0самымследующейсоLo,&0равномукасательной).построенияизображениемМ§.точкуначальнуюееотрезокпересеченияВ результатеприбли?кеннокоэффициентомL\(темугловымотрезкомИзоклинаfc,у)/(.т,=к.значенийточка.значениюсоответствуету1уравнениянесколькихдляизоклинойновыйпостроитьсназываетсярешенияизоклиныближайшейИзменяя(методплоскостик=(графического)некоторая—точку,можнокривыхкоординату).=вк.плоскостиинтегральнойдоу)уравнениемнаAll/(х,=системойпрямоугольнойфиксированномДляприближенногоэтуотрезокчетвертойинтегральныхравенствомуравненияукоординат,пропорциональнауравнениеопределяемаяMq(xq,кри-осямимеждуординатой,декартовойпостроимссемействауравнение№приотношениивкасательнойпересечениязаключеннаяметодИзоклинойкривая,у)М(,т,касанияточка—кри-междуординаты.направленийполесемействазаключенныйОх.переменнойиГрафическийДифференциальное2.изоклин).касания.дифференциальноеэтойстепениАплощадь,которыхумеждууравнениеточкойосьюСоставить10.15.точкекасательной,делитсякри-заключенныйвлюбойгдесемействауравнениенормали,пополам2:1,=В2ах.любойотрезоккоординат,:у2=дифференциальноекоторыхкривых:achx.=делитсяСоставитьусемействдифференциальноекоординат,10.14.\АМ\у-отрезоккоторыхосямиа/х.—х2Гиперболуравнений:х.—lax.+линийСоставитьуосьюх2точкиуравненияуравнение=Цепных10.12.10.13.кривых,еу—дифференциальное10.9.10.10.10.11.кривых,дифференциальногодифференциальныхкривыхи,у=всеудовлетворяюткоторомууравнение,интегральныху(.<£,а) у'уравненияможнопостро-1.§ПримеруравненияИзоклиныОизоклинх±3/2=параллельныеММММММгМз.и-10Мп-Iсоответственнорешениях2=Методом—1,у'10.18.у'=10.20.у'=+ху.--.+хУравнениясу'1 +10.19.у'=у-х2./(х,зависиткоторыхуравненииу)10.21.у'==Mi(x)M2{y),dxПх,=разложенасемействоинте-уравнений:у.Пустьу)иdyу)=dxнамогутNi(x)N2{y).+бытьуравнениикаждыймножители,у)/(х,iV(x,ву)переменной:однойотN(x,>переменными.бытьмол^еттолькопричастноголоманой.^=^.разделяющимисяМ(х,коэффициентыестьиуу1функцияломанаясоответствующегоприближеннодифференциальных=10.17.Эта..построеннойсследующих=1, 2,кривой.построитькривых10.16.0,0,графикегоизоклининтегральных49построитьсравнитьикоэффи-3интегральнойчитателюу3.—2,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
