2 часть (1081353), страница 13
Текст из файла (страница 13)
.,хп). .,рассма-фиксированныхприd{du).=3-годифференциалопределяетсях2,порядка,dxn:•.,d2uАналогично0,08d2uдифференциалапорядка2-годифференциалкакфункцияназывается5 +«порядка:Вообще,dmuДифференциал^2,•m-гожп•.,функциипорядканезависимые—d{dm-lu).=?/переменные,/(xi,=х2?символическойвыражаетсях„). .,гдеxi,фор-формулой/ЯdmuформальнокотораяНапример,хиdxi—+++•..биномиальномупофункциидифференциаловдляу\Яdx2—раскрываетсяслучаевпеременныхЯ(=z2-го]B)w,независимыхдвух3-гоиmзакону.у)f(x,—dxnтг-пересправедливыпорядковформулы2Имеем(поd2z, еслидифференцирования)Найти11.Пример<правиламdzДифференцируем(т.е.d2zе<ту=ежг/B/d(a;2/)(</•dx-+dxx+независятJ|дг/drf.D)dx+xdxчтоиdy).dyхоти/упостоянными):d?/иexy{y~dy2еЖ2/.=учитывая,вторично,dxсчитая=d(xy)exy=zdo;+d?/Jd?/)x+ежг/2+е'туdxd(?/dydo;=e<cy+re((ydy)dx=H-xdyJ+2 dxd?/).t>Гл.1988.Диффсренц.Найти8.87.х2=у2,lg (ж2у2),+z=In(у8.91.z=Incos8.93./(жь8.94.Найти8.95.B,01K'03.sin28o-cos61°.=конуса,нафункции2,1,доауz1от—=0,9.до1),2,8.90.z8.92.utg=—.=/(ж,еслиz)у,=—-.хг+yzУA,02KимеетстаканR2,5=A,97K.+Нвысотум,объемприближенно=внутренние4размеры:миматериала,растеноктолщинузатраченногонастакана.8.99.2 м,ПрямоугольныйbссуменьшитсяВусеченномаRzу,zна1-го+л/ж2z8.105.z=(хЗж2у-+-2жу.fу)е*У.иarctg—=exyz.ж+2-го=8.102.Зммнаипорядковz=--z8 .106.гh-.у\JxжихуInfyz+уменьшитьфунк-и=гсм,объемследующихж8 .104.20изменится—иRоснованийКакприближенно2 мм,г8 .108.у—см.жжZу3.=b2 см,наувеличитсяпеременные):независимыеж3-арадиусысм.увеличить—8.103.8.109.30—дифференциалы-8.107.3аизменениявеличинуеслинаhизмерения:приближенноконусевысотаесли8.101.Найтим.параллелепипеда,1 мм?(ж,6=диагонали1 см,8.100.10 см,имеетпараллелепипед3 м,=Найтифункцийдифференциал=1,2.хт{2~хз=8.96.Найтидм.длинынаж4)ж3,Цилиндрическийизготовление=у2).+-.d/(l,8.97.1^х2+основания=уz1 доох—приближенно:8.98./афункций:ж2,Вычислитьфункции2,1,до2отдифференциалы8.89.2иизменяетсяжпеременных^дифференциалотприращениееслинесколькихиизменяетсяжполноеНайтирадиусприращениееслиНайти8.88.=полное+ху—функцийисчислениегж.=§2.Найти8.111.Найти8.112.Найтиd3z,d3u,d6u,8.113.Найтиdm7/,еслиzеслиеслии=х3+у3+г/=In(x+y +еслиСложные1.ииж-2,Xi,независимой•дифференцируемымии3udx-2диdxndx\dtdx-2dtdxndttсовпадает,поих\дидиtgформулеЛyz=1.НайтиA)имеем«пол-тоХ{,dx2диdxnдхпdxi'dx\duесли—,-2t1+игдеxyz,=х=t2++1) In*sec21,уIn=i,о+xz-ху•2.ПримерНайтиtsec9^(JJC—yx \ny.(^По+c/cи~~аж-^=2t]nt gt+=Имеемдх2вычи-равна''дх\^п(^))•»переменнойснапример,функции••*.dlt—^(O^dxidx\Поf(ipi(t),=9u_ОфункциямиdtпроизводнаяПримерпеременных.переменныхфункцияduесличастности,=независимыхявляютсяфункцииdu5Гнесколькихфункцийнеявныхиформулепоz).t:сложнойпроизводнаяисамикоторые3xyz.-дифференцируемая—переменнойвычисляется«полная»хп).
.,199е«*+^+«.=однойх2,хп,•.,гъсложныхфункции/(.^i,=функцийнеявныхиe^siiLX'.—ДифференцированиеЕслиВсложных8.110.§2.тоДифференцирование—-,еслиz—ахформулеB)1)tg^yx,(t2+где?/получим).t>=i>Гл.200Дифференц.8.Пустьu^2(^1,=*2jнезависимыеtm. .,f(xu£771),переменные).х2,=•••функцийисчисление•?•жп),.
.,#n-3гдеdudx\dudx\_~dt2+~dx~['dt2~~dudu-(t\,tm)-,t2,dudx2функцииdudx2+'~"~du9xi_dudxndudxn+Приэтомdxidudxndxndtm'dx2дифференциала)duВыраженияdruдdxidx2\dxi+,ddx2dx2+..du<dzИмеем/4^=/i(x=fl(y-ydy)+cfe=.->OX2еслиz+,9d2xn.—OXnv),/(u,=du+..гдеи(x2—4з/2)/2,—duгдеdx+xxda;=dy)(x/i=dvydy,-y/i)+у dx—dx+Сdv)(x/^--\-yf'u)xdy.dy.вторично:d(fi)=}'vdv,+Дифференцируемd2zd2z,иформулойd2x2—функ-1.u+)du+§изxy.=Следовательно,dzdzНайти3.Vidxndxnl9B)выражается-—d2xx—сложнойпорядковпорядкасохра-дифферен-axn.dxnвидад+OX\Пример..du-—выражения2-го-—f2,порядкапервого-f..высшихот+v+дифференциаловд,dx2-—отличаютсяdx\d-—формы+axi-——дифференциал(-1-годифференциаладляdudu,говоря,Например,1инвариантностидлявообщефункции,§из(свойствовидdtmdx2dtmA)выражениесвойсохраняетне-—fi,по^lji''dtmim.
.,кобразом:_du•производныеследующимdu=t-2,ЧастныевыражаютсяxiiPnih)—переменныхнескольких■(funduf'u+du+•f'Ld{du)dv)d{fv)+du+fi--dv+fl-d(dv)d\+(Cdu=+dv+ft-d2v,§(Puгдеd2*2.Дифференцирование=dx2«fcr(C+(xfl u(x=-dy)(x2-(yCv(y2fl,dxdydx=-dy)dx2xy-(x2f:;u+2xyfl+y2f"vxyfL+fv)dxdydy)dydy))(ydy)(xxdx=е2х~3У,8.115.Найти—,еслиz=xy,8.116.Найти—-,8.117.Найти—,zеслиdtеслииatНайтии—-Найти8.119.НайтиНайти8Л22.их2-еслиzи—дхzu2v=zесли-—,ду=1,dy2.>t.угде=+ж.оГг4-П2e^^i;г>-,1.—-ж3—1.—t2—=уe2t=zгдег/где+-уhit,=,v2u,—t2=угг21п^,=fi)1+arctg=dy2)(x2-y2)f':v-+е?/),+-sint.=у=+-e2tе4,=(exIn=zесли■—,дуdz,Найтих+dydy2)у=xесли—■,ох8Л21.гдеax—xxdzиox8.120.гдеdxx2Cуихdz—lni,=dy2)fi(dx2tgt,=+dy-++=x2 dx■-+dy2)-2f'v+2(xyKvxx'гf'vdy2)+-,если—,+2*2/Cгде—,—dy)dyJx11ZIru{dx2f'u(dx2x2+гдеarctg=+2f:'w(xy(dx2"zx+flu)dx2B/2/lесли+dxdy+dy)у--ydy)++2xy+-^,dtdtdxy2dy2)+dxdxfiv (у++ох.х2=у2.+хгдеи/(n,и),f(ui?;)'я=sinу,гдег/г;=ухЛ-уcosx,v=,—Зу.8.123.Найтии—ху2.8.124.8.125.НайтиНайтиdz,dz,zеслитт"?~дуох=xxНайти8.118.у+(x8.114.f\'\=dxdy))ж+dx2C(y2++dx+dx2y2)d*fa++Следовательно,/1B/+dyJуf:u(x2=+у-dxdy)-1/201функциинеявныхи2dxdy.=/;'„(xdx-ydy)(ydx++dxd2vdy2,-(C(x-сложныхеслиеслигf(u,=z—f(u,г>),v),г/гдегде=^nix2~(жу),cos=itигдеsin—,г;иУхъ=%=У2)->~~,/I—х—.У У7у.Гл.8.202z=Дифференц.8.126.2s*.Найти8.127.Найтиdu,хАиажf{yх,zv8.134.и—/(ж,и8.135.^-^-,dxf{x/—ж4—-.т3(у+еслиичастныег/(ж,=и+у)—-т-=0.dy2=9d2u8.137.Найти8.138.Найти8.139.Найтиd2u,d2u,d2^,+и=еслиu=еслиz~/(«),f(ax,/(г/,tгдеуф(х+у)удо-I удовлетворяет—У/ж2=+у2+£2.жsinу,г?cz).by,?;),функции0.=если=у).от/х\диuср(ж,=+((р(ху)+фduгдепорядкаd2udxdyиz;г^(.г'2,——г—(-функциячто=d2un—где2-гофункцияdx2од2и-x2yzZ+v),/(u,=z),?у,производные—-тгх—-у—+х--у-z)и\уравнениюудовлетворяет^Г-у2)—еслиdydyчтоПоказать,Уор(d2zаууравнению8.136.удовлетво-.—-r-^,92?jвлетворяету2—ayху^).Показать,у1Z92zвсех2——d2uНайтиудовлетво-уравнению9zху.——zфункцияdxz——7—,аж=yz-^-^-,-^-^-Найти8.133.^з99х—удовлетворяетx/y.—гдеу))—s2~t2,—z=чтоНайти.z=у оух)уЖ4),жз,(.7;(\х/ )aycb8.132.х<2,</?(cos•xf=функция-—Показать,—zI dz+ажж8.131.-\-у-г-что1 dzу=dz+Показать,-—f(x\,i2,+-.функцияа.туравнениюs2=учтох—8.130.—=ayПоказать,уравнениюхz—dzряетгде=zdz——Ь8.129.ифункциячтоуравнениюz),у,если-—?dzряет/(.т,=переменныхнескольких(=Показать,8.128.иесли-—x2),g(xu=функцийисчислениегдеи=—уcosx.§Дифференцирование2.Неявные2.Пустьсложныходнойфункцииу)f(x,уравнениепеременныххнеявнойфункциии?/,=определяетуу(х)=несколькихи/гдеукакфункциювточкеxqдифференцируемая—ПроизводныеШ)dvНайти4.l +Обозначимdи—(е'гуInПоE)формулеуравненияхе^ddxПусть/y\Vх/dy2ye~xyуdx2xe~xyхвычисляютсяпоХ2,y—yи(х\,=формуламF'_жьХ2,(rQ^^'2yх2х22'%п)-•>'**Г°п'F{M0,u°)что=0.F^x®,2*2,.
.,.т°,и0)дифференцируе-—иЧастныев'Fгдеопределяети,хп.••-,х:x(—y/x)^этой.т^,М°(ж5,точке7/QNiфункциюкакпроизводные^ГА*__условии,е~жуфункция—0,—хп,. .,-Т°и)жп,. .,Х2,Х2:х\,Fiааnпри+естьух2х\,ичтоx(dy/dx)F(x\,функциинеявнойе~хуexlJучитывая,переменныхпеременныхнезависимых'_j_хе~ху_)_ e~a>yрхууравнениефункцияpxyТогда^У/upp-xy-=х-вторично,d2yдифференцируемаяУу).Д.х,черезup_j_0.=получаемДифференщ1руемdx'2последовательныме""гг/)+данногорхуу)0.=если11рхуу(х,2/о)Джо,у-гт:?xy-частьлевую2/(жо),=E).формулыПример?/0E)о)УвычисляютсяпорядковдифференцированиемОгдеэтойформулепоfy{xo,т^ 0>высшихпере-производнаявыражаетсяx_xq2/о)/^(жо,чтоусловии,переменных.функцияПерваях.'при203независимых0,dxфункцийнеявныхи0,—где1.
.,ж°)^2и0—гг(М°)вы-f i^iиГл.204Дифференц.8.Можнонайтитакжеего3FJcfoiaxiOF+<31-й1Найти5.+2г/+z3+ОбозначимF)F'y(x,ch_dy~~Отсюдаz)у,№,du3+0.=данногоу,z)Зх2z)z)у,y,6y2 dyуравнения3z26y2__x23yz-_Зху-_-3xz~23(xy-z2)данное3z2dz-3yzdxdx+z2'1-6ij2~3xz-23z2-3xy+3(x2_уравнение:dy3xz-dzЗху--yz)-F?/3xz-2) dy-3(xy-z2)сdzформулойx2-_~dx~Найти=dx-г—+dydzyz_Найти6y2получаем3xz-2-~~z2'xy--р,dyеслих2е2уеслиу sin3{xydu—,iXXж—cos0.=(x>'z2)-y2e2x-ax8.141.dy,—oxdz8.140.через-yzхуdz:выражаемСравниваяп0=Zx2=Дифференцируемспособ.+—auчастьF'z{x,y,z)~~dx+-2yлевуюF'x{x,F'z(x,_dxЗх2и),жп,•.,получаем:dz_2-й,dxn~—Sxijz-Тогдаформулам•оуF'x(x,Поa?2,если—,охz).OF+••.aa;nи—способ.у,следующимиF(x\,функцииdu.х3F(x,функциипроизводныеdx2-r—ax2отсюдаПримерпеременныхнулю:—выражаемнесколькихдифференциалполныйприравниваемичастныеВычисляемобразом.функцииисчисление—у)=0.2dy=0.§+Дифференцирование2.сложных8.142.Найти-^,dx;8.143.Найтиd?yd—,—-,8.144.Найтиу24x-8.145.+у2'2-и—-дхдуидху+arctg?;0.—если,dx;3v=iA,точке2),-2,ду-^и-^,дхж2z3еслиеслиyz8.150.Найтиdz,еслиxz8.151.Найти—,8.152.Найти——,8.153.Найтиd2z,4ху—+суaz,ид2zezly-дху2+z2)+0.=еслих2у2+—-а2—где^~с1б2dzПоказать,Л-дхч?•Ъ—уравнению+уравнениемс.=дууравнениемопределяемаяа\2-угагде,27Гez.dz=V2zдифференцируемаяz,/z=+уравнениюфункциячтоzопределяемаяудовлетворяета—+упроизвольная—4x—1.—z,ср+z2функция0,х—0.=2y2-\-z2—ду1дучто/х2если—=,переменных,\9x2z,у3+d2zесли=x3+—,z-——,дхгдвух+y(xz).arctg=дхдудуд2bz)zесли—,—,дх—+0.=—-dzdz—-Показать,F(xеслидуTilz)+•dz^8.154.zlnixесли—,Найтиудовлетворяете*"*.'dzdz—-8.149.(x—acosa)+{y—asma)=x=lв—Найти/у0.=8.148.8.155.—dx2Найтифункцияхx=i8.147.ср(схесли+иdx1dxНайти—ж2050.=8.146.еслиdyНайти-4dxzdx2y+—~,функцийнеявныхиБ"=а,а,га—постоянные,—5=0.Гл.206Дифференц.8.Показать,8.156.xip(z)=dx2Системы3.уравнением)\dyихпроизводныеотг>(.т,удовлетворяющихусловияму.то,—щу,u,v)переменных.=0,=0нуляопределяетvdG_Дифференциалычастные2/о)dFda:—-,dF+^dx8GПримерб.системойиdu,<]Якобиануфdv,,—1.-Ьичастныепроиз-dF+aw,=0,=0.c/fdG+dv—-,du—8G+-^-auavнезависимыххпеременныхзаданыиуv=1/ж,2/t?—G)1Дифференцированием1=1(M)dvудва—1отличен—dx,du—у dv—vdyотсвязывающиеуравнения,переменных:четырех-\-—-Унаходимвсехdu0.=d2v.D(F,системыдифференциалызначит,уравненийиНайтиvтаJrfu—-.ai/Функции^о-=(аdvиOF+dy—отнеявно,d2/-7Г-+2/o)у)удовлетворяю-уравненийc/i/8Gduфункцийот—-v{xQ,системыизиси-и(х,функцийпроизводныеuo,=РоточкиокрестностинепрерывныхпаруэтихнайтиможноdvнекоторойвчастныеdvасТогдаFфункциипричемнепрерывныед£динепрерывныеи(х0,vo)якобианединственнуюг>о,=ио,2ЛьG)v)Pq.точкевG)иЩ—Ро(хо,ипорядкаv)у,иуо,=точкиимеющихпроизводные)ОграниПустьфункций.заданныхнезависимыхдвухдии-0.\dx)dy2dyпараметрическиD(u,G)у),=_окрестностипервоговотличенууравненийимеютсистемаfdz\232zdy dxdxфункцийрешениеGопределяемаяd2zdzdzнеявныхдвухимеетпеременныхуравнениюF(x,G(x,инескольких_рассмотрениемсистемаz,удовлетворяетS^fdzVОграничимсяфункциячтоij)(z),+функцийисчисление—0.нуляпри§Дифференцирование2.Решаясложныхduотносительносистемуэту^duДифференцируем+dvиd^при1+2/фу—2071, получим^dv—функцийнеявныхи—повторно:{dx2dydy)(ldv-fy)-hс^Дт/—г/жг>dy)-f2/J(dxdy_Ay)4-dxdy(ldi;—dyЛ-у)Пустьпараметрическифункцияz(анайтиvdy)_dydy2v—2(dxdydy2)v—-hvнезависимыхy)+dxdy-dy2+vdy2узадана2(vdy2—dxdy)переменныххипараметри-уравнениямиD{x,D(u,в?7 dx—dxdy—+УJ+y) dy(l(i + yJ+vdy2dxdy(ydy)v-ч;dxj)/{l-fAdy2i?—dy(dx--—dxdydxdy-h-(dx_y)dy)(l+y)-(dx-v+Р(щ,точкиокрестностизначит,иизсистемыееdxdxу)~duIfov)dydydudvТогдаvq).производные)частныеуравненийdxах——dudydz=duдифференциалв1dz,—-duдх+тг~ov—du+du—dvdu-fокрестностиdz—ovаи,dv,dv.,dzфункцииэтойточкиРможноГл.208Дифференц.8.т,dz,_Найти7.Примерохпеременныхеслиоуucosv,=несколькихdzи—,—x<\функцийисчислениеsin—uуzv,cv.—ИмеемУ)v)Д(а,D(u,cost»dxИзнаходимвсехcosпервыхduvsinu—фО.ипридифферен-связывающиеуравнения,триdv,vdyуравненийдвухнайденноеvdyтретьев(cos—cosudzdv,vс—rit>.sin~dt>—-fdv:значениеdzvdusin=найдемcosПодставим0переменных:пяти=фи=ucosvДифференцированиемдифференциалыus'mv—dyvуравнение:sin—dx).г>exОтсюда9гdzcsint»^dx8.157.системойФункциипеременнойсисте-заданыхуравнений7х2dy+dzу2d2yФункции8.158.системой3z2-4х2-1,=2у2+3z2-0.-cPzнезависимойуигпеременнойсисте-заданыжуравненийх2Найтиdy,8.159.+du,=d2u,dt?,Показать,8.160.x2Л-у2z2-х20,=2у2+Зг2+=1.иинезависимыхvпеременныхихууравненийxuНайтиу2d2z.dz, d2y,Функциисистемойнеявноv2uнезависимойzиуcost»сdyu++=1,х+у ++иv=0.d2f.чтоz2.yv9ux—+ydxdu—+z—udydu=dz0,еслигш=Зж~заданы§Дифференцирование2.8.161.сложныхНайтии——Найти8.162.дуzи——дх8.163.Найти8.164.Найтиdz,бк,(^)Замена4.дуеслихнеявных+v,ж+и=у?;,wellеи=увходящие209zv,—г;,уzг;2,+и==иг;.г=г/,3.+г;3Частовыражениях.производныенихvbsmudiu,~sin?;,и2=вчерезвыразитьи=дифференциальныхвнеобходимофункцийуcosa—с11 cost;,выраженияхпеременнымu=х~еслипеременныхдифференциальныхj;если—,cshv.=если—,охиновымпопроизводныеводнимпопере-переменным.Примерполагая<3Преобразовать8.журавнениеcost.=Выразимотпроизводныепоуsin*-Подставими/или9cosJ-d2y0.=—уПример*)(-•/ч\sinза1__sin2*)sinвыраженияtвпроизводныхd2y1-7-2-•cos*-—rdt-*•—y-Преобразоватьфункцию,уравнениеат/зааргумент.dy\—dt*sin>9.жsin*;(dy/dt)•4dx7принявt:d2ycos*dt2sin3данноеdydt'*уравнениеcos*:нахA*полученныезаменимcos*4-sin2поу_(d2y/dt2)•_отпроизводные—(d/dt)(dy/dx)dx/dt_\dx)dxчерезdy/dtdx/dtdy^dxdx2ж-Jcos*(\1-—г•—dy\=0,210Дифференц.Гл.8.Выразим<d2y1поу(ddx2dx/dy'dxотпроизводныеdyфункцийисчислениех\1переменныхотпроизводныечерез(d\dxjdy)dxнескольких\1dxd2x/dy2этивыраженияпроизводных~d2x/dy2{dx/dyK'dx/dyданноевd2x/dy21'{dx/dyJПодставиму:dy\dx/dyjdyпохуравнение:1~Tdx~/dyf+V_'~'(dx/dyJИЛИcPxdy2ПримерПерейти10.dx-2y——к>координатамполярнымввыраженииуу'Ч-хА^<=0.dyху1у'-Имеемхб/х(p drcos——cosг—sinг(/?,|/dydip,^sin(/),sintpdr?*cosifdfrsinypdip'г=—-{■rcosdip,<£откуда,Подставимвыражениях,g?i/sinip drdxcos<£> drу,у'sinCOSГ09•cosПример<производныеновымкВыразР1Мотпоipdrcosipdrr-и-frr-cosо?dc>sinipdiptpdipcosrsmd_r[a(p^_Sil(Z>^«V9ипеременнымorпроизводныеzпол:иг>,ичерез?/г/есличастныеv.иИмеемди'rГ)равнениенезависимымчастныеzipdr+sinПреобразовать11.перейдяipdr—А:вj.-f<9г>1даdvх—v:гг/.производ-——.§Дифференцирование2.ПосложныхC)формуламdzdzduOz01duдхdvдхd\дх)dx/dzd(dz\~du\dud)dxdvd2z(d2z!\du-dzOz1dudvу'__дН211получимдхдх2функцийнеявныхи\dvduidvdx( d2zi_i_11(dz\\Ux)у)j_a\auavdzdudzdydvdvrovzу\i)Уd2zdu2+2Уdzd2zdzdzxdudvy2'd2zlduy2 dv2'dv~duдуd2zдdy2ду'd2z\ ^ди2dy\\d2z'dydudvнайденные( У 2#2du2+dy\X(d2z+dudvупрощенийзановую12.Idv2xyy2Гdy2d2z2x2du2y2dz+d2zdudv'y3Jdvdv\dv2xdv2y2)J У2\1d2z'dz1у3)2\У2)dvx2d2z2.xdzy4dv2У3dv'данноевidv1y2dudvdz1dyd2zпроизводных/2d2z2x2\du2y20иуф=уравнение:du+y3Jdvу).dz1dvdv2ui/величины(х2xdz.dv2yAd2zилиdv'—x2d2z.0 получимуравнениеInzd2zdudvdzпеременныеw\dvJd2zПреобразоватьнезависимыефункцию1\dudv^фхприduновыеd2zdu/dz\y2dv2d2zзаdyвыраженияоПримерdu)(2ПослеdУ2dudvПодставимdz\dvd2zz\du2^2IX~~duг(д2/f)(dz\\ду)dy—х-——и—(у—х)z,=х2+у2,принявv——Ьхи-уГл.212<8.Дифференц.ВыразимпроизводныеотчастныеwnoфункцииисчислениеотпроизводныеuДляv.и=dw(dx\-+—Kx*[dxdy).-fимеемdwdwClU_—у—§ 1,производсоотношения:ydy),dy-fzA)частныечерезуихданные2{xdx—dvформулупоzпеременныхпродифференцируемэтогоduУчитываянескольких~t~dzCLV—ovI (XX~~~~"—ovChi)~\zилиЛdw,2[xdx—dudwч,ydy)-—+I dxdy\ y'—dvxdz~\x2откудаdw<9iu1Следовательно,^£(о—-——du-dxПодставимэтиI'yz-^—dwI0.=dvI'xz[-J\х=2xl +х—dwIу21+-■—dudvx3^- dx«-0У~'уравнениеd2yполагаяdw1/t.Преобразовать8.166.2y-tg^.dyx2dxу(l\Jdvуравнение:уравнение'2XполагаяданноеоуЛ1вy2\>Преобразовать8.165.+dyт—ох-—dv^(о—-——du-—Jи—x2du\Лdvвыраженияdw2x-dwилиx2\+=ж2J'\,=J(j/-x)z,§Дифференцирование2.8.167.сложныхПреобразоватьуравнение^y\_dyd^_fy(dy\ dxdx3dx2)принявзауперейдякуравнениекоординатам.полярнымдиПреобразовать8.169.полярнымвыражениеПреобразоватьперейдядих——h=уохнезависимымновымкд/х2+8.171.у2,vипеременнымуarctg=,оу9^уравнениех——переменнымиПреобразовать8.173.Преобразовать29^Л-у——^—дх2еслиuhd,и=у,1г2(р<^?^=8.174.Преобразоватьзаза8.175.\9zz)—+д2и1 дид(р2dz2rкOr'(гсферическимк1ЛA+независимыеновыефункциюновуюоугpsin#,=уравнение/принявперейдятт^т?pcosd).(хуи+ох1д2икоординатцилиндрическихоту/ж.=2ттт—г?квыра?кениедг2=гс;выражениед2иперейдяи0, перейдя=дхдукоординатам.полярнымеслиг?,28.172.к—.Преобразоватьнезависимымновымперейдя—уравнение.Inwкоординатам.8.170.==\dx)dx2аргумент.Преобразовать8.168.213функциинеявныхиу-2,dz)—=wхууравнениеПреобразовать<Э£+uпеременные=хyz:yz——vx^xz=у—2.—1Э2^1_9у29у2ж'жпринявзановуюфункциюнезависимыеновыеw=переменныеxz—у.и=—,Уv=хизаГл.8.214Дифферснц.8.176.функцииисчислениеПреобразоватьзаизаwФормула1.Еслиxn).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
