2 часть (1081353), страница 12
Текст из файла (страница 12)
.,DПустьарифметическогоW1,хп).заданаЕслиЕ|GВл^ети=25}Gппространствефункции1.{(.х,говорят,Rсистемойвообщеговоря,Найтиобластьопределения—=Е=/(P)^/)~/(.т,поверхностьфункцииУ—.—мо-гео-трехмерномкоординатOxyz.f{x,y)},некоторуюarcsmхп.. .,точекz) eR3\zу,собой,привмножествоDu2переменныхi^Gмножествофункцииплоскостиарифме-множестве.x'i,адвуххопределенаидействи-переменныхзначений.Функцияпточекхп). .,начтоотобластью—z<\хп). .,определенноеопределения,называетсяГ=представляющеето—>2 функцияфункцияс фиксированной=какэтойПример/:Рслучаегеометрическомжп),Епобластью/(Р),частномкоординатамиn-мерногоР(х\,точкевпелне.
.,называетсярассматриватьсяГрафиком/(.xi,—точеккаждойнекотороефункцияDP(xi,точкамимеждумножествопроизвольное}{Р)Множествоарифме-д-мерногоназываютсяхп. .,упорядо-обозначаетсяхп. .,=—числоваях\,Расстояниесоответствиечислодействительноеназываетсяичислапространства.вх\,точкойформулойПIRnСпоставлено{ихп). .,. .,Всякийпеременных.чиселопределяетсяР(Р,—несколькихР(.тьилипонятиядействительныхппространстваРточкиОсновные1.функциинаборупорядоченныйФУНКЦИЙИСЧИСЛЕНИЕДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕв1R3.Гл.1868.Диффсрснц.Следовательно,^—хОбластьфункцийисчисление^ух0>хприна,-2),/Cf(x.Пусть2.—хграницы,>у),.т2ху1}/(г/,\/C,Рис.з2--2)хуУ2-х2ВыразитьсторониSу,функции.ееНайтистороны.Найти5площадьеслисторон,хиуобластьобласти—образующей.равнобочнойэтойопределенияфункцийz8.6.8.8.z^/В?-х2-у2.-1z='К22хzЗу+=х8.10.z=\п(-х8.12.z=v8Л4.г—arccosх2--у2-1-у-у).—-+У8.5.zу/х2областьфункциюбоковойфункции.двух=площадиНайтидлина—переменныхconst):8.4.двухобластькактрапецииоснований,длиныопределенияфункциюкакконуса/длиныиВыразить8.3.длинНайти2р.равенкруговогоповерхностиэтойдлинVобъембоковойегофункциюкактреугольникапериметрего>функции.Выразитьопределения—еслиэтойопределения8.2.5площадьху).~f{x,=ху8.1.5"б'з26A/х)'2его'2(-2)-=у2—=Имеем:<0.<хпри(содержиткоординат).началаПримерНайти^у26рис.исключениемзапеременных^хиизображенафункцииопределениянескольких+у2-В2.(R—§8.15.z^9-х2-=8.16.z8.17./(г,у2Xarcsin—yzобласти8.19.и8.20.>/ж2+A4.-у).-/(г,8.18.</>)функцийу2+z2/9\уarcsin=у2+определения=uу/х2+гу/шпр.=187понятияarcsin-f—(р)НайтиОсновные1.х4*трехR2-{Rr^cos2у>.=переменных:const).=9~у~.z8.21.пНайтиобласти8.22.и8.2J.Uz2),4—V-rcf1//(а,/(я),8.27.Пустьsin2.у)у)^(д;,Ро(^ьa2j-г/;2(ж,у)=ф{2х,и••»—1),Найтиг.\х//A,2),/(—3,4)/иг,еслииху).Найтиf(x,у)б) cp(f{x,ср(х, у)яп),у)=tpBx,+функциих2приеслидляхстремлениилюбогоу)).ср{х,у),excosy,—х2=-у2.*у2,-\-ip(x,у)ф(х,у)ж2=у2.-c^siny.=2y);2у).у)ж2=б)-у?у2,tp(x)(/(ж,у)).точки£АЧислофункции.f(P)-)у,-^(ж));непрерывность—(х//(ж,а) /(<р(ж),и•=^у2);функции:Предел/B,Найти()еслифункции:Найти:функцииу)/у),у),Даныпределом6х-—f(x,Даныж./(ж,функции:а) (^2(ж,бJ(^(х,Зт/f.2у=0.—Даны8.31.у)z~xJryJrf{xа) f((p{x,Доказать:жп-"*"2'<еслиНайти8.30.V1+■переменных:-а).НайтиНайти:••О/г8.26.8.29.+'"f(x,функцияуп~22a2Данапри~^i«а),/(а,х2v^l-fфункция8.28**.=v/l8.25.=функцийопределения=Дана8.24./C,222=>0 существуетР(жьcos—а;,^(ж)хп)кпреде-называется^2,такое=.
.,S >0,точкечтоизГл.1888.Дифференц.функцийисчислениенесколькихпеременныхусловияр(Р,О <Ро)=следуетх2,ПриэтомПусть<lim3.Выяснить,прямойвдольlimРезультати1) функция2) существует3)м—Моf(P)Функцияразрываповерхности<в-Функцияz+4Поэтому=0,вЕслиточкевточкойназываетсят.пределы:8.32.limРо,точкевНайти3/быфункцииразрываиесливы-линиинепрерывнаодноусловийиз/(Р).Точкипо-разрыва,функцииразрывавимеетонаеслихотяобразовыватьточкионаобласти,Роточках,поверхностьвобращаетсязнаменателькоторыхразрываплоскость—>НайтиА;,выбранногод.определенаненуль.Рои4.отРо;точкеизолированными,разрываПримервобласти.бытьмогутзависимостивнепрерывнойнепрерывнойтот^-/(Ро).этойнарушено,=—/(P);lim=точкеизмене->имеет.называетсяназываетсякаждойРассмотримlim=г^-тгзначенияР->Р0lim0).Ро(О,точкеО,->хприх-■триусловия:определена/(Р)предел—Получаем—не/(Р)—следующиефункцияккх.=х->иразличныепределаФункция/(хьлиHm=х-л-уимеетвыполненыстремитсяу—функция1)-3)А\-Hmимеету)Р(х,точкахнупоэтомуf(P)=А=х^овхп),пишут:Примеризменение..%=.98.33.lim^2х+Зу—§Alim8.35.Ух->00(x2lim8.36.189понятия^^.Ню8.34.Основные1.y2)sy)sm+х2+y*)W**+v2).+.%Ж~»ОО'У2/->оо8.37.Показать,можетчтостремитьсяприближенияlimлюбомукточки2limz2,—Показать,8.38.у),/(x,limу)limzчто0-)уфункцияz@, 0),=уПривеститочкектакогопримерыlimкоторомпри/(#,функцииповторныеzу)не=+жсуществуетуy)j,у)).(lim/(ж,lim9Показать,существуютчтои(limтемне8.40.хВыяснить,0,-»у8.41.у->у) 1/(ж,у)/(ж,имеетПоказать,точкеу=lim/(tнепрерывнойtfsinacosвточке+(х -уJу))f(x,limО,=(ж4 Л-у2)Insinфункциях2+у4х1-\-уг—пределпределприхпри->оо,функциячто@, 0) непрерывна@ ^ 4a,tsina)(limфункциялиJy2пределысуществует.лиимеет{2-^,внеу)9—повторные—О?Выяснить,оо?8.42*.->limменеесобоймеждуlim/(х,функциидляравны3,=пределыlim/(rr,8.39.ж-—2.=длявычисливипределу.(ж,1,=0->жприО,вдоль<—+сю),/@.@, 0).еслия'еслих=укаждогооднако=Ожлучачерезпроходящего0),у^О,+этафункцияicosa,=т.е.точку,этунеявляется190Гл.Дифференц.8.Показать,8.43.совокупностижпеременныхизнескольких@, 0)точкевчтокаждойпонепрерывныфункцииисчислениефункцииследующиеу, ноипеременныхнепресовокуп-поразрывныпеременных:а) /(ж,у)\*?*+ у2J{х2<=[0,/Т»б) /(ж,У)Найтиточки8.44.z8.46.(жzsinz8.49.2У2Ф+у=х20;еслиху—двухIJ+у2 ^ о,+8.45.-т:.0.=переменных:"z#8.47.+0,==sin2zsin2+тгж\n{l-x2-=у9X8.48.;(у+sinжхфункций-^IJ-еслиесли0,~7—^-.—.=уK+разрыва-.—х2О/{ (х=еслити/y2).9.У=(ху){у2-х)'+1Найти=(х2+у2-1)(а;2-у2-1)'точкифункцийразрыва18.50.и=8.51..итрехпеременных:=г„ONtxyz8.52.u8.54.3.и-=-х2=Частныеz2'—8.53.^.#2l_z2рассмотримобластиизu=ж2х^,.
.,у2+z2—(кх^хп). .,функции1, 2,определенияпеременнойзначению(xi,Пустьточка#1"—i+производные.Придавая=ип). .,произвольная—=f{x\,хп).. .,приращениепредел/(^ьгфункциияу2—2фиксированнаяЭтот+•»•,+^Jbпопеременной..Xk,хп)-/(хь..вточке(хь,{1-гопроизводнойчастнойназываетсяпределАхь. .,х„)иобозначаетсях^,..,хп)порядка)данной——OXkили§ЧастныеОсновные1.вычисляютсяпроизводныеПримерНайти5.частныеСчитаяупостоянной,1у\у^"zMV'получим19уuX2,.j;х2ххп)•.,любогодля1{у/хJ1 +f(x\,=еслит,х\И?){у/хJ1 +постоянной,ФункцияV-./dzстепенирассма-функцииarctg==~дх.тформу-их^,получимdzСчитаяправиламкромепеременные,производныеz<всеэтомпостоянные).какрассматриваютсяобычнымпо(придифференцированияформулам191понятияу2'+однороднойназываетсядействительного/tчислафункцией0справедливоравенствоЕслистепениоднороднаяпроизводныечастные(теоремасоотношениеxux2,xn)-i-x2/i20rb,+/(^i,=Ж2,жп).
.,имеетвыполняетсято..х-?г/^п(хьПроверить6.у)=хп),.т2,+..,Эйлера,теорему/(л,соот-Ах2хЛ)=m/(a;i,х2,..ж„).,если2В.Т2/+..Сг/2.+:Имеем/(*ж,*?у)Следовательно,У)*£(*,+2(Лх=!/ ;(!,2B{tx){ty)4-Ду),»)=+гоБу):.т;.»]ю,ч)у)^2/(а:,-порядка+функцииееnopmtta2(В.т=2у{Вх+отпоошнодныеПроизводиьл}C(tj/)'2н-/J(r,МАхпроизводными2частныепорядка.+у).2;—у)ЧастнымипазываютслA{txf=m/i(a;,dofoипеременных,х2,..<изЭйлера)..ПримерфункцияmкаждойпоСу)2/(ж,-wм^сгныхС?;),+—f(x\,у).„со-производныхибозначаюее>•-•»^»г)пер-яследующимГл.8.192Дифференц.функцийисчислениенесколькихпеременныхобразом:/с?;д.т.АналогичноряднаопределяютсяРезультатразличнымусловии,независитотвозникающиечтофункциидифференцированияочередностиэтомприНайти7.частные«смешанные»поразличпричастныеarctg-.2-гопроизводныеУпроизвод-функциипорядкаzхИмеем(см.5)примерdzх2дхДифференцируемд(дхх2\дуду\д(д2гх219/•(жу2)+9+(х2у2+чтотом,вду2дучастные+у2J2у—•(d2z(ж2z=8.57.z-8.59.z+—7М=.fa-^-.ху52+х2-,2ху(х2+у2J1-го5rrV--х'\x2+y2jпроизводныех5—у2-гоипорядковфункций:8.55.у\дудх\ху-——охауд9л)у2{х'2+у2J=-——td2z\у1.(х2+у2)-2х-х(х2+у2J\d2zrНайтих2ду2ху\хубедилисьздесьмых—у2+дх\х2+у2;дудх\у2\у2/дх+ивторично:&lzОх2dzу—(попроизводныенепрерывны.Пример<частныедифференцированиямногократногопеременнымпроизводныеобозначаютсяивторого.выше=ХкХ1Уdxkdxi\Ле*/;,чd2udu\__0__ (8.56.z=8.58.z-хе'хУ.8.60.z=ух.xy+-.хотзаданных9■-§8.61.z8.63.и=,г*/(.т,y)8.67.++Зж/iC,Найти8.66.еслиxyVi'1=у2ж3=z8.64.u=(V\1.t +2),ДДЗ,2),/£,C,2),2),/^A,2),/^A,2),1.—/^A,2),/J(l,-/^C,3y+=-2),2x2),2z+/£C,—arcsin8.62.4y-жу2+у/£A,Найти!2),193понятия=+8.65.Основные1.X2+1J2fx,y)=еслиeldt82zПоказать,что8.69.Показать,что8.70.Найти8.68.82z=———oxддz=OX/^@,1),№,у)=е*У.8.71.Найти8.72.Найтидх.ахQP+QUНайти8.73.В-——-,а.тр»,дуи/^@,п=х°еслии=(хпроверитьz-8.76.г=.т3+arctg-.х2уsin-.то)р(угcosвз'Xcosу ++=дх~дг~ду~дdzдбdzдердвв sin<р,дуdipср,у=гcosобУ3дхдг=иуо)9-Эйлера=дхдгdzх8.77.-у2+дуеслиzsinx.у°+ухВычислить8.78.8.75.1),■теоремуу3.-—.X/^„@,1),функциях.8.74.иarccos—1In=еслиау98.74-8.77задачахcos=X1),еслиzby).+иdAu,если(axxsin—OXUlJ2,zzт:—тг^UlJеслиoxoyoy——тг~/£x@,———,+ду2=гsin0.однородныхеслиГл.194Дифферснц.8.Показать,8.79.+Bx4y+(dz\21чтоЪ)е~у-что^3+du-—(oyduПоказать,что^переменных0,—еслиduziey—+dy+xесли,у +dzxтг~0,+—иеслиot=zdudu+—от3=ozuу—=z—+t.y-zПоказать,8.82.функциячтоколебанийуравнениюи__Показать,1функциячто2д2иа~ряети=2/t~dt=aПоказать,и—Лапласауравнению8.85*.Показать,д2ид2иЭ2иох1оугdy2dz2^с/О,частные8.86*.Показать,второйзначениеэтой0)-1.ху)—уf'y{x^иО,=у)@, 0),точкевхотяточке.что{х2смешаннойдифференцирования,порядкаесли/^.(ж,производныевразрывнаАфункциячтоуfyX{0,удовлетво-~функциячтоудовлетворяетот4fl2^2^2duимеет()т^^6"теплопроводностиуравнению8.84.удовлетворяетструныт*8.83.AsinA.xcosaAf=д2ии+ж—du+—t-x~\-dyduy)_8.81.+тг-—\oxу3++нескольких-x-1.Показать,(x3(In=dzI—\oxj_8.80.функцийисчислениефункциидлягу*л-у2iх2+f-\f\ТТТ/ГIо*'>—У^-/""Iу20,еслихпроизводной=вгименно:у=0,@,точке/"^@,0)зависит0)=—1,§Дифференциал4.функцииифункцииf(x\,=х2,аргументовприращениямсоответствующимДггf(xi=ФункцияДхь+иеслиf(P)—всюдугдерзависящиеточкевэтойДх2,а/Дх^—Дхотфункции.
.,+X2,+Дх^,Ai,разность/(хь-х2,..(х\,точкевполноеточки••АпДжп+•А2,хд).,х2,••.,хн),приращениеduАпчисла,—функциииx2,полноголинейнаязавися-не/(xi,—частьточке,о(р),+. .,главнаяназываетсярассматриваемойвДхп,приращениемсоответствую-х/г),■,называетсяДхп)+•видепорядкахп)•.,•А.тп,этойА2Дж2+..1-го. .,приращенияхп)Дх1,относительнот.е.ДифференциалыА\=Дх1А2Дх2+независимых+АпАхп.+..принима-определениюпопеременныхприращениям:ихравнымиdx\Для+Дхп.. .,.х2,. .,хп,вД.Т1А\duпринимаются..ПолнымP(xi,дифференцируемойД^2Д.Х2,1,Дх2,Дх2,представлено=+Дифференциалом(xi,Дх1,окрестностибытьДиприменение.точкевназываетсяможетегои+х-2195понятияхп).
.,некоторойвфункцииОсновные1.dx2Дхь—дифференциалаДх2,=функциии../(хь=dxn,х2,Дхп.—хп). .,фор-справедливаформулаduди7=dx\-—OX\ФункцииправиламOX2ди+•..dxn.-—OXnA)обычнымподчиняютсяпеременныхv)+d(uv)Найти8.Примеру)х2у=пра-/(х<у)=(х++ДхJB/duvdudv,+=dvиприращение+у+и-у).Дх,udv,+=полное(х,точкев==vdu«0Д/(х,+дифференцирования:d(u/(х,dx2-—несколькихvгг,ди+Дт/)2хуАхД?/)-=х22/+(х+дифференциалДхJ0/+функцииДу),=х2 Дт/+х2Дт/.2хАхАу+>т/Д.?;2+Дх2Д?/,Гл.8.Дифференц.Пример9.196функцииисчислениеНайтидифференциалх->О1 -йпеременныхфункцииУ->z)~~•г—г22Имеемспособ.dfПонесколькихdfxzdx(x2+формулеA)получаемdfyz1ixzdx•dy—{х2+у2)У2(ж2у2J-fdz—~(X22-йdf(x,Применяяспособ.1х2z)у,dzz—•d\Jx2+у2dzz(xdx-маломдостаточнофункцииuрydy)/(y/x2++х<2,•Дг^у2)+_£п)•.,Дх^z(xdx-■+-..Д.т2+имеютдифференприближенныедляместос/г/,«,ПримерВычислить10.ДжИскомое\А2=будемчисло0,05,У2хПРИДу=0,07...а:п).,+хоC,07J.Ах,у—Д?/,+уоеслиИмеем:/D,3)=л/РТз2ж/(ж,функциизначениекакрассматривать—х2,приближенно4-+'21уДж2~/(xii,—равенства<3dy)уимеем:(х2 +y'2)dz=+у2+2дифференцируемойdxх2+у2/х2Приz(xy2\3/2дифференцирования,правилау2+=_|_-5,dx+уdyх0=4,т/0у)==3,§Основные1.197понятияСледовательно,\/D,05JC,07J+Дифференциаломрассматриваемогопеременныхdx2,dx\,значенияхееот•5,08.=>функциих\,иf(x\,=1-гох2,хп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
