2 часть (1081353), страница 7
Текст из файла (страница 7)
И-у/2.хе~х=неравенства:следующиее*2у/х;+х=[0, 1].6.420..+уу[0, 1].-=хА6.414.в.416.\УяП;--2].р. 4].Ух~+1х26.421*.значенияm(аотрезкахопределения):=6.417.наименьшееиуказанныхобластивсейвоМнаибольшеефункцийследующихтоихх.-Наибольшееданномконцахфункциифхх,0.6.422.cosа;1>х2х-фж—,0.6.423.6.424.sinx6.425.телаДваДвил^ениеуголм/с.тг/2,началедвиженияиV2второесколькоспостояннымипопроисходиткbрасстояниипослеэтоговершинетелоскоростяминанаходилосьугла,расстояниим/сv\образующимпрямым,двумкоторойотна-вам,авто-Черезм.началадвителамимеждунаименьшим?будетДля6.426.доставкиNзаводапродукциивщеезаводпроходящейчемпровестипогородАпоРис.А Б,Стоимостьдороге.общаяшоссе6)А.городжелезнойчтобышоссе,вдорогойчерезбольше,(рис.соединяю-железнойспродук-Агород7VP,шоссестроитсяN@, тг/2).Еждвил^утсяпервоесекундрасстояниедвижения2ж,>направлениивна—tgx+стоимостьипол^елезнойпоперевозокКкакомуперевозокдороге6шоссеРпунктупродукциибыланаименьшей?вдвоепро-нужнозаводаГл.90б.ДифференциальноеОкноимеет(рис.7).6.427.полукругомформуЗаданхисвета?количествоИз6.428.боковыхнаклонаВ6.429.вписаннаРис.основании6.430.шараНайтирадиуса6.433.г.двележитвершинына—наибольшуюплощадьвписанвhвысотойсконусобъемивписанногооснова-радиусомцилиндра.наименьшийобъемконуса,описанногонаибольшийобъемконусаприНайтиНайти6а.равенцилиндрацилиндра.наибольший6.432.асеченияосевоготакогоЦилиндрНайтиг.высотойиакоторогоНайтиаплощадьпрямоугольника.Периметр6.431.угленаибольшей?основаниесторонах.объемоснованияоснованиемтреугольника,вписанногонаибольшийспрямоугольник,боковых7днищубудеттреугольниккакомжелобакжелобасеченияскола-шириныПриводы.стенокпоперечногоhодинаковойподачидлякакихнаибольшеепропускатьдосоктрехжелобсколачиваетсябудетокнопо-Прифигуры.этойрупеременнойзавершенногопрямоугольника,периметрразмераходнойфункцийисчислениеоколоша-заданной/длинеобразующей.егоОпределить6.434.вписанноговНа6.435.прямойотВ—у2хнайтиОтрезоквписаннаименееудаленнуюахразделитьнаквадратов,ивысотуу.частидвенапостроенныхнаиболь-спрямоугольникоснованиеегодлиныплощадейЛ/',точкуRрадиусаполукругчтобытак,этихбылачастях,наименьшей.DКоническая6.438.i?,которойобъемпогруженнойОАОпределить8дверьвженьМNнаименьшуюАВ./,по-Шириначерез^этустер-Nкоторогобашни\OB\—жесткийвнестиконецhвысотучтобыABCD,быломожношаранаибольшим?башнидлиныпрямойгоризонтальнойвдольбашнюворонкурадиусворонкиизбылшара,вертикальнойдвериВРис.частью6.439.долженвытесненныйводы,ко-Вводой.бытьнаполненаКакимшар.погружаетсячтобыоснованиярадиусворонка,Я",высотаа7-,скользит\АВ\=d8).(рис.2.Направлениедифференцируемой функциивверх)х2—Определить6.437.впи-прямоугольника,4.—площадью.суммаплощадьг.параболеу6.436.наибольшейнаибольшуюрадиусакругнаинтервалеТочкивыпуклости.уf(x)—(а,называется6),еслиГрафикперегиба.внизвыпуклымдугакривойнаэтомдифференци-(илипромежуткевогнутымрасио-<I§4.касательной,вышеложеналюбойточкеженадугиназывается(а,выпуклымфункцииувыпуклымвверхЕслиявляетсянаинтервалетоееВконечное0,=направлениенеж0,вf"(xo)которой(ж0интервалахпротивоположныетоПример<у=Находимиxq(ж0,производнаяточкеО,неж3онаравнаf"{x)ифункцияUq(xq)Еслипроизводнаяна-точкиэтомприимеетпротиво-перегибаточкивграфикапроизводную:х)--Х2=существуетнулю.3)х1,#з—(в3.частности,Прио)и(о,(-оо,хеGA,1),+оо).производнойпервойточкамикритическими—S)Пустьсуществует.некоторойпротивоположное,окрестностивыпуклости2(хх\вы-которыхX12Cточкиможноввперегиба.перегиба.точкаинтервалывторуюСледовательно,+хо/(ж0)),нанекоторойf"{xo)или—Найти2.|ж-1|J—т-1.О<S5 xq)знаки,9).рис.в=-(ж0,меняетсяточкидифференцируемафункциифункцииусловиедваждыf(x)этом9Точка(см.перегибаДостаточноеf(x)О>нанаправлениемточками,ограниченвы-иf"(x)Ъ) и(вверх)функциипостояннымссуществует.графикавыпуклоститочкойназывается(а,определенияж0)af"{x)либорис.внизвинтервале9 график(а,наРис.f"{x)(наинтервалевыпуклыминтерваловинтерваловэтихэтомЬ)).областьиз0вниз)навниздифференцируемачислоКаждыйвыпуклости.f(x)—вышенавогнутымявляетсяслучаяхнаурасполагаетсяфункции(ж0,графикпростейшихразбитькасательнаявыпуклымдважды0),<всякая(иливверхf(x)функция(f"{x)интервале.=Ь)дифференцируемойграфиктофункцииграфикук91графиковпостроениеЬ).интервалекривой,ипроведенной(а,ЕхЕслифункцийИсследованиеэтомвf'l{l)являютсяточках=х\4,а/^A)иХ2=вторая—4),ав92Гл.C,+оо).6.ДифференциальноеПолучаем0),1),@,точкиСледовательно,аграфикнех\ииПолученныеявляется.вверхрезультатыинтерваинтерва-награфикасвестиСле-3).A,интервалеперегибаудобноточками3),A,этихвнизна1),@,извыпуклымвыпуклымявляютсяхзпеременной0),(-оо,каждомвявляется+оо)C,х>2однойвыпуклости:производнойвторойфункциизнакчто(—оо,интервалахинтервалачетыреИсследуяинтервалов, выводим,функцийисчислениефункции,следующуювтаблицу:Таблица(-оо,X0)ВЫП.>0Найти0вниз>0сущ.интервалыперегибаточкинене2вып.вверх9вниз<00функцииккоэффициентыугловые+оо)C,3ВЫП.сущ.графикавыпуклостииA,3)1ВЫП.-Ьоовниз/"(х-)@,1)04.2>0у/(.т),=касательныхточточкахвперегиба:6.440.у=6.442.у-6.444.у=6.446.у=6.448.Приперегибах7$/(хУ(ж1.+2M1J-+6.441.+3.+$/(х6.443.уIM.6.445.6.447.-ж1п|ж|.какихкривой6.449.7х+значенияхуПрикаком6иаах3выборе=hпараметраперегибаточкиимеетначтоПоказать,кривойу2{4:3.чтоАсимптоты.ТогдаЕслитоа,асимптотой.нулютакаяприэтомДляфункциидляf{x))М(ж,—существованияух3\пх1.+1.+точкойявляетсявероятности±6?1+-\-имеет1точкитрикривойупере-функции>А/точкиМточки0либовертикальной<к0)являетсяасимптотылежатжпрямая,доэтойотначалапрямойкоор-графикастремитсяуsina;—такаяасимптотойх(уусуществуетудаленииназываетсяаf(x)—графикабесконечномпрямаякоординатахполупрямаяАх2.точкиприtyx^T.О,>—^х1—хе2х=криваяперегибаточки=Пустьотккоординат.х2)уу-прямой.что+расстояниестремитсяхкриваяоднойналежащие6.451*.абсциссамихПоказать,6.450.гиба,сh—e=6ж2.+~A,3)Ьх2?+хА=^х~П=токаhУуфункции.конечномучислувертикальнойвточкех=а§необходимоЕслифункциижедостаточноуlimпределовк=пределыуказанные~>хообытьмогутасимптоты)иооиликх)-—>Ь.при(дляТак<]Найти3.ПримерлевойфункциякакможетИмеем:следовательно,прямаяНайдемlimтохнаклонные|Х|/Х'2=0±упрямаяНайтиА;0=(в0+х•уу=(^Ц^у=6.456.у=6.458.j/=6.460.Доказать,L.aia:71Inто•х]0==правой,иасимптотой.илевой>функций:6.453.у=6.455.j/=6.457.у=6.459.уУх3х2.-LjХ^^жодновременноуказанных-.X0-т*-^6.454.+являетсягоризонтальной)графиков/6.452.0=■случаеданном0,=какlimихточке.асимптота.вертикальнаяТак=асимптотыao£n—±наклонной=0—.+оо,=асимптоты.I-точкиэтойв(дляоонаклонной\х=кромелишьJ—г—1=уоси,существоватьlimи,всейнанепрерывнаасимптотафункцииграфикаасимптоты+—>хпри—ооимеемнеобходимо=различнымихтооо,—которой(/(ж)limиXоо-fкасимптоты).вертикальнаяf(x)ж-»а±0асимптот.вертикальныхстремитсядлясуществованияпределовМkx-\-b,=1^1-»наклоннойправойимеютточкидвухlimхэтомнехкоординатаасимптотусуществованиенаклоннуюПриизодинбесконечности.равенНепрерывныеибыхотя93графиковпостроениеичтобыдостаточно,ибылфункцийИсследование4.2*.+(+е).—графикчто+..+an-\xцелойЗжх—an,рациональнойn^Дляпостроения++5ж.arctgarcsecx.функции2,имеетнеуникакихасимптот.4.у—определенияпроводимf(x)Построениесфункцииэлементарноефункций.графиковкроме,производнойвторойнепрерывнойбытьисследование,может,конечноговыясняющееграфика(всюдувточек)числанекоторыефункцииобластиопределесначалаособенностипро-=Гл.946.Дифференциальное(еслифункциизнака,используя4.проведенотаблицувычислить1-3.объединениепримерахв—записатьиРезультаткоэффициентугловой4.1кРис.такжекоэффициентылевойданные10.рис.<3точнеепомогают—1=О,—всюдупро-свестиэтомследует/'C)ввычи--1/27=—перегиба.точкев/+A)и1=A,точкеграфикфункции,угловые—0) графика.Этиприведенныйвнульточкахх=наеефункциина4х-получаемнулю,1+хх\нечетыреосиобра-и1.=х=:являются:1 производнаявсейпроизводнуюпервуюПриравниваяхиIJ.——на0уух{хдействительнойфункциинепрерывнаЗх2определенияфункциивграфикиУ=ПриграфикупостроитьопределенаНаходимжзхисследованиеполезнотаблицыкасательныхПостроить5.вточкамиточкиОПримерФункцияобращается—.Ее1.—клетку/i(l)правойI-10вычислитьииxz4.2.иЗатем,п.асимптоты.исследованиятаблицт.экстремуматакже\х=кромехэтогокасательнойРекомендуетсяуточкевлишьсоответствующуювточкивсюду,нулюиафункциинепрерывнаиравнаиразрывавыпуклости,ипеременнойпостоянствоточкинаходимграфикопределенаоднойпериодичность,Оу,осьюпроизводные,ПостроитьнеотрицательнаоднусмонотонностиПримерФункциясимметрия,пересеченияивторуюпервуюинтервалыперегиба,<3имеются):ониточкинули,функцийисчислениеинтервала=0,=1/3.Х2Этисуществует).монотонности-1/3Таким=1/3,образом,х^критическими1=(вточках(—оо,х\областьразбиваютточки0),@,1/3),0=иопре-A/3,1),§+оо).A,у(х)Исследование4.Такнанаходим,0 приВ<убывает.~л/4=ЕхточкеA,1)1/3иХ2=J,0,529и0)(-оо,1/3)A/3,а95графиковпостроениеGхпри(-оо,у'(х)что(г/тахA/3)максимума0>иинтервалахинтервалеэтомнау'(х)каквозрастаетрассуждая,функциифункцияфункцияисходнойфункциятретьемифункции:вверхвыпукла—0)@,касательной).Следовательно,вертикальнойРезультатывнизвыпукла1=иA,0-f0 прихзиинтервалаоо).В0),<кроме(вторая1—трих0,>хперегибаIL-—Крити-=.9^/ж5(х@, 1)у" >приминимума—,х\исследованийпроведенных=Получаемточкойявляетсямак-достигаетхзявляютсясуществует).(—оо,0),как(так0<{у"неточкахэтихвинтервалепроизводнойпервойточкамическимипроизводнаявыпуклостивыин-первомавовторомхточкив1).=(сфункцииграфикасводимторассу-2у"производнуювторуютеперьоо),-fследовательно,и,(y«nin(l)=0).НаходимA,UАналогичноточкев1/3)@,U-Ьоо).вер-таблицу:4.3Таблица(-оо,X0)у'>0несущ.у">0несущ.1/3)@,01/3касательную.всейповеденияуточнения/!_A)чтоНаконец,<0/+оо,точкиокрестностит.е.ТакобразуяДляотсутствуют.сначалаXзатемlim(у(х)-х)—lim=~2х2lim=«></x2{x-V)xfxffix0)—1за-графикавертикальнуюфункциякакхA,точкевсовпадают,находимасимптотвверхв=асимптотых-+±ооасущ.0функцииасимптоты.определимвертикальныетонаклонныхневверхкасательныеправаяиДA)-оо,—леваяоси,сущ.>вып.вып.внизфункции0не\3вып.Для<0+оо)A,1<00заметим,1)0>0гУA/3,-непрерывнаопределенияна96Гл.6.ДифференциальноеСледовательно,праваялеваяиоднойфункцийисчислениеасимптотынаклонныепеременнойсовпадаюти2деляютсяуравнениемуГрафик11.рис.—функциихприведен>Построитьграфикиследующихфункций:12511Рис.6.484.у=6.466.у=6.468.у=6.470.у=6.472.у=6.474.у=6.476.у=6.477.у=6.478.у=6.479.у=6.481.у=6.482.у=6.483.у=2(ж-1J'ж3^ж2(ж2^ж3(ж26.462.у=6.463.у=6.465.у=6.469.у=6.471.у=6.473.у=6.475.у=6.480.у=---£—Зге—тзж3+2ж2-3'ж2-11-жж2-4'ж2-ж3'ж3ж3Г+-2ж.^/(ж-1J.+1.v/ж-++^ж3-1.-1.6.484.—у=ж3.ЗJ.5).опре--.3наИсследование4.6.485.у=6.487.у=6.489.у6.495.у6.497.у6.499.у6.501.функции—rsin—+a;cos.т.играфиковпостроение6.486.у=6.488.у=6.490.у=6.492.у=6.494.у=6.496.уsinxarctgsc.6.498.у—h=е2х-х2.6.500.ужеу--сГ[/х.6.502.уу=6.504.у6.505.у=(.т-2)е/х.6.507.у=(ж26.509.у=ж3е"х'2/2.6.503.6.511.—хVхсх1х.^.=у=ж26.515.у=ж2 Ы26.517.у=InIn2ж1*.Iу==Bж6.508.у=ж2е2/х.6.510.у6.523*.;*.1/=sinужхIn1)е2/-(жл/ж2++1).1ужInжInжIn|ж|6.516.у|ж'6.518.у6.520.ухх,6.522.уA+жI/*,ж>0.X1жх.у6.521*.ж^у.ж.J_6.514.ж.ж-X2/2у6.512.cosarcctg6.506.ж6.513.6.519.1)е"х2/2.++ж-.х>0.ж>-1.Гл.986.ДифференциальноеПостроить6.524.хПроведем<3заданныекривые,te\=уR.t Gвычисления:вспомогательныеУхy't'tТаккакх[Таккак?yjкритические£i^5уЧх:=1(у'х'х(—1)В(у/2е^,ипервойt3точки—Наконец,т.е.х=1=(у'хA)неy't't{l)ипроизводной0)ЕслиТочкиасимптота.координатуасимптотетоt —>->при+00,акоординатау ->вправой+оо),Gукритиче-Кривторойдляеето—>хчтопо0,т.е.приближениисводимисследованиявыводыОтсюда-.№х(-у/2)А{—у/2/е^2^—оо,приквколонке.таблицуКриваянейостаетсяхуу.Результаты1/e.=0)и—у/2ё^2)0, а уприближении—У—оо,12иххкривойпонеобходимыеэтой=—-у/2=Отметим,асимптота.+оо,UymSiX=выраженияСледовательно,асимптоты.кt -»0),=xm\nперегиба.точкивертикальнаякривойточекизнаходимтоу) | х G [—1/е,у'х определяемнесуществует).B/Jc(~l)1——Рис.отрицательной.
