2 часть (1081353), страница 5
Текст из файла (страница 5)
.,помощьюрекуррент-высшихпроизводныхпорядков.Например,L1.."25556Применяявпорядка6.216.уУуфункциячтоуравнению+В^)у—функцияу6.222-6.226Дифференцируяу/х24г/С2хе2х+у"4у'—cosа;ех+4у+удовле-ех.—диф-удовлетворяет0.=#n(cos=диф-удовлетворяет(ln#)х2упуравнению+sin(ln.T))A+удо-2п)ху'—+найти2-гопроизводныепорядкаотнеявно:заданных6.222.производ-0.задачахфункций,е~х=+дифференциальномуудовлетворяетС\в2х—у?/IV)чтонайтиху'.=уравнениюПоказать,6.221.arcsinx—х2)у"—функциячтодифференциальномуПоказать,дифференциальному<3уAПоказать,6.219.6.215,функции:задачезаданнойот0.уравнениюудовлетворяет6.220.A0=функциячтодифференциальному+_,d+Показать,6.218.х23419вточке?£±ь=3-2описанныйметод,производную 4-го~125'5+у2-aearctg0.>а*,уу=саеа6у(х))функциюопределяющееуравнение,*получаем-—•/г-2—_1_Отсюдах+уу'=я?/-j/(9)Гл.68и,Дифференциальное6.функцийисчислениеследовательно,у'(9)Дифференцируялучаему„=--6.223.у26.225.ууK-ииспользуя—.>(жtg=у).+ВывестиобратнойДоказать,6.228.Найти(Ю)х-учтоу6.226.е*-^(a2-гопроизводныепо-яу.=производнойвторойуA0),выражениехеу.1 +=дляеслиу'для6.224.формулуфункциизаданной^--найденное2рх.=кзаданных2(х'2+у2){х6.227.функции,f(x).—bx)ey/x+порядках3у"тох,—(xyf—функций,следующихуJ.—задан-параметрически:6.229.<3переменнойоднойхlnt,=t3,=у@,te+оо).Имеем/У±_з3_///_у//_.1у(y'x)'t_xtЗаметим,чтовуравнений,заданныхфункцииотВданномслучаеполагаяLимеетхобщему'х'хвидеслислучае,6.230.ж-sect,6.231.x=arcsint,6.232.x=arctg6.233.x=acos3t,6.234.Показать,уравнениюt,уух—ж2)у"х+функцияsint,у-иху'хt Gt Gуае^2Ь удовлетворяет=2у.то(-1,(-oo,(o,t G=длязадан-y'J.xкаквычисляетсяуххпо^Vt2),t2),asin3t,а-AIn=постоянныхA-ip(t),=fo,ln(l=чтоуравнениямилюбыху=извыражениеуt Gtgt,=з>ip(t),=9_i/rисключитьлегкоСледовательно,9е3х.=хуtпараметрех.=формулепри9^__xt(ж),1).+oo).-Vзаданная4-Ье~^2,параметрически£Gдифференциальному(—тг/2,тг/2),§Геометрические4.ккоэффициентуграфикуМ0(х0,точку2/о),у0УравнениеТТ1/(х)—егов3)графи-кМо(хо,точкеуо)видиме^тУПрямаякасательной,~Уоf'M(x=-х0).NN',черезпроходящаяперпендикулярнонормальюЛ/окасанияназываетсяУравнениеточкуРис.касатель-кграфикукфункцииНаписатьфункцииу6.235.у=х6.236.у=ж3\8.237..
358.уу—6.239.у=6.240.г/2)вэтойточке.кривойВ6.246.перпендикулярна6.247.+foe+кграфикугломкакойМоточке4хпрямой—кнормаликривой3.—хъ+уъ—2хукривойкасающейсяфункциикривойЗу+2=О?у2у2х3=!)исвкоэффициентыс,о—1).какимНайтиукасательнойуравнениек+оо),иординатойскривой(—оо,тг/4.=точкев0.ккасательнойточкенормалиЬф—,t €tточкевв+—tsint,=2?==икасательныхy0=МоA,прямуюу-^-,уравненияПодхкасательнойtcost,62.=—1.==и—точкев6.245.Xq1.=хНаписать6.244.3,уравнения2а;+функ-1-уравненияНаписатьу2+графикукнормали4.;п=0.-жжокоординат6.243.х2хоVo)ихо4х-—Написатьначале4,+12ж:у^^x=Ъх—+tg2x,lna;,=к6.242.О/(х)=если:точке,НаписатьМоB,—касательнойуравнениявданнойf(x)—6.241.х3?/3нормали•вугловомупроиз-касательнойуравнохок(рис./(х0)смыслфункцииточкевчерез=(геометрическийпроизводной).графикуТТ'проведеннойгдеf(x)=касательнойtgy?=уЗна-производной.приложенияфункциифункции,этой69механическиеи/'(х0)производнойЗначениеПроизводная1.прямой—ех'2касательнаяперпен-параболыуравненииу=,твпересекаетточкеMqA,у1).=Гл.70Дифференциальное6.Показать,6.248.ееках=2+координатноготочкев6а;+6,х2—Вточкахтакойупервого4х+прямой5проведеныточкиa(costчтоух2окружностиУгломMq(xo,о)уу2+междуи—0=параболыиНайтипараболе.кплощадьстягивающейхордой,ипересечения.isini),+х2=начало1+у—нормалямиПоказать,6.252.хнормалиобразованногоуказанныеусоединяющейпрямой,—коорди-параболекнормаликпересечениятреугольника,нормалиа2.=кa(sin£=укривыминазываетсяокружностиявляютсяfi{x)=уих=касательными/г(ж)—вкасательнымимеждууголразверткеtcost)—кобщейихэтимкточкевкривымМо.точке6.253.Доказать,Найтиуглы,х2у6.255.у6.256.у6.257.ж26.258.Доказать,ж1/2кривой—уу2+ии=у8ах2/1/ 2уАх=cos—кривые:=4.+[0, 2тг].Gж—-—.2аж-а1/2накасательнойотсекаемыхотрезков,сумма=х2-ж,у2ичто+заданныепересекаютсяж3.=2J-smx—=которымии(ж=tga;чтопод6.254.равнаосяхвсехдлякоординат,ееточека.Показать,6.259.+собой.междуфункциибиссектрисойсZXграфикукточ-в=параболы.вершинойс=купараллельнынормалиуравнениеперпендикулярнакоторая6.251.=координатпересеченияСоставитькоординатуосямиж-4гиперболекуравнениепеременнойоднойугла.6.250.—сСоставитьу/х—касательныечтопересечения6.249.функцииисчислениеу2/3чтоа2/3,=длину,постояннуюу6.261.—е2хДоказать,+междуж2,отпроведеннойчтозаключенныймеждудлину.а-осьюначалах2^астроидекоординат,+по-имеетдокоординатточкевскасательнойотрезок9Iпостояннуюкосямиа.равнуюрасстояниеНайти6.260.линиикасательнойотрезокзаключенныйабсциссойкнормалих=к0.трактрисеVа2Нординатиточкойкасания,имеетпосто-§Есликоординатах4),уравнениемTVкасательной(рис.Мкасания71полярныхв#, образованныйуголтозаданакриваяПроизводная1.тг(^)>ОМрадиус-вектороми=точкисоот-определяетсясоотношением6.262**.6.263.ВывестиНайтикасательнойгралиаек*.Найти6.264.касательнойЕслихальнойточкиРис9 междууголкасанияописывающаязаконпроизводнаяперваях=-—(механическийЗакона)б)совпадаетВкакиеВкакиемоментымоментыВкакиемоментыНайти6.266.частотойи6.267.—t2—В6.268.какойНайтисТочкапостояннойдвижетсяабсциссыизменениявращаетсясугловойнулю?равноспонадополярногоскоростьюпоокружностииординатыскоростьюсил,колебаниихскоростьюvлогарифмическойспиралигеслирадиуса,cos3£,—3/2.==моментвдействиеустранитьгармоническомхзаконутелаэнергию[0, 2тг]амплитудой0.—сопосовпа-движенияпрямолинейноравномерноизменениявращается6.270.t Eвдвижетсяскоростьсркоор-началеколебаниякинетическуюмоментТочкаускорениедвижетсяОпределить5.двигатьсяпродолжаласефазойучаствующаяточка,6.269.ееимеет0x1осигармонического4внаправлениевременискоростьначальноймассой1.-t-tчтобыскоростирадиусиТелоt+временионвременипрямойпонаходитсянаправлениемtвременипроизводных).точкиточкавтораяамоментввторойивремениположительнымсв)а,-bl6t2.скорость,точкиматерп^шйдвижения-4f.3(l/4)t4х-координат?первойсмысл6.265.этойускорение—-at-вид=матери-движенияестьх=—сРхпроизводнаяг2лемнискатыдляdxтоточки,функция,—4касаточкиx(t)=тспи-радиус-векторомиa2 cos2cp.=ка-междулогарифмическойдля=0радиус-векторомикасанияA1).формулууголизвестно,=еа{р'.чтоалгточки,и.=2аcosеслиср.Найтиполярныйско-ра-Гл.72б.ДифференциальноеВ6.271.тойсжекакойРадиусКолесо6.273.квадратуТНайти8с.посленачалаГлавнаяееААхфункциясправедливоутверждениеимеющуюЭтофункцию,употреблялиAx).§dx)являютсяТакмыиупо-ИзA)формулыфункциичтоследует,dyбесконечноэквивалентнымиеслидифференциалееималыми,равенство:|Даг|приприближенноB)1.<<СVобъеАмазначениешарарадиусам.V(r)какB),формулуV'(l,02)Найти1.всякуюсмыслевидприближенноезаписать/;(х0);f'(xo)dx,=Ах.—иточкевтакомв0 приращение—>Ах,дифференцируемойимеетdxАхпридифференци-называется1.Ay^dyОбытьможетпроизводнаяf'(xo).—дифференциалаточкеПример1,02Ах)дифференцируемойИменновфиксированнойпозволяетбыланазыватьобозначениетодиф-называетсясуществовалапозволяетдляф 0,/(.т)Ау(хо,приращениюfix)=dy{x0,=32с—A)АуАпроизводную.Выражениегвремяtо{Ах).+чтобывыражениепринято—соответствующимравенствоэтоуААх=удостаточно,иэтомхо,dy(xQ,необходимочтозавремениприращениеприращенияточкевчтобытогоФункцияеслиАх)частьфункциисимволом/'(х'о)моментввиделинейнаяэтойобозначаетсявпропорционаленколесомсделаншпорядка.х0,Ау{х0,гдескоро-Дифференциал2.1-говприповоротауголбылскоростьточкевпредставленох0,С какойv.движения.1.
ДифференциалдифференцируемойДлячтооборот§дифференциаломубываетшара?так,угловуюпеременнойординатаскоростьюповерхностьПервый400=соивращаетсявремени.—изменяетсяшараобъемоднойвозрастает?абсциссакакойсизменяются16ж2+9у2эллипсаточкескоростью,6.272.скоростьюфункцийисчисление--ят*,—то,полагаягоАг1,=о0,02=ииспользуяполучаем:V(l)+AVA,0,02)иVr(l)+V'{1)•0,024=-тго+-4тг■0,02^4,43м3.>§Геометрическийdy(xo,равенуf(x)—Используяy'dx—формулувычисле-правилаи(см.производныхвычисленияравном5).6.274.dyграфикуко)уаргумента,(рис.АхА/о(.то,ТТ1касательнойординатыточкевДифференциалдифференциала.приращениюприращениипри73смыслАх)функцииДифференциал2.доказать§1,1),п.свойстваследующиедифференциала:а) d(C)0,=Сгдепосто-—постоянная;d{Ciuб)C2dv;+C2v)+6.275.z(x)ПустьCxdu=ут.е.дифференциалиназывается6.277.Найтиж3,=Найтиквадрата,помощьюASdS.-рисунка6.279.промежутокИспользуя6.280.значениемb прира-дифференциалиДа;Дать£.до(АхJsфункциираз-двуми=dS0,01.площадистороныAS,a2—ипо-разностьпрямолинейнопройденный—Сх.dSза-позапутьмеханическоеистолкованиепромежуткусоответствующеговремениt2-ti.=отвремениформулойAs.предыдущейпройденныйрезультатприближеннонайтизадан0,1=движетсявремени,0ds,путииМмоментот+ах=.тоистолковать—-на-dyаргументаприращениюточкаtвременидифференциалапромежуток{Ах)\ASприращениесоответствующиегеометрическигдеудифференциалиаргумента/(<),—АузначениюМатериальнаяsзаконуфункциичтоутверждениесовпадают.приращениеприращениям6.278.Atdy(этодифференциала).диф-черезформу,жеdx1-голинейнойдлясоответствующиеразличнымSчтофункциитакуюzfx(x)=чтоdx),имеетформыДоказать,идифференциалДуприращениеdy(.T,dx)образованнаяДоказать,сложнойинвариантностью6.276.у^(у)dz(x,udv—=z(y).=аргументапромежуточногоопределениеосновноеу(х)=duv5функция,zиdx)Jдифференциаладлявыраняение\—сложная—=dz{x,Рис.(иz(y(.x))=функцийкомпозицией+t\=5=путь3 до1 +Дз,t2arctg4,=t.еслиСопоставитьзадачизаконзапромежу-МточкидвиженияответB),формулуиМточкойсточнымзна-Гл.74Дифференциальное6.Для6.281.значения.т,6.282.укоторых=отрезок[.то,xq/(ж);Ауdyифункцииб) dy6.283.РебраобъемаVкубакуба3a) dyПри1см.см3.12равными-Ay;—отрезке?этомвсемфункдиф-хравенства:лиувеличены0.—tаргументаприращениенаоказалсянайтифункцийАхприизмененияВозможнынаsin.x—этихсоответствующие-Дт/=б) tp(x)иприращениямАх]переменнойоднойдифференциалы+—у.в) dyAy;=хп—ихДанференциалdVприэквивалентнымиявляютсяфункции/(.?;)а)функций:аргументанефункцийисчислениедифференциалэтомНайтипервоначальнуюребер.длинуРадиус6.284.кругаоказалсякруга1наувеличенэтомприДифференциалсм.бтгем2.равнымплощадиНайтипервоначальнуюрадиуса.величинуНайтидифференциалызначенияхпроизвольныхДа;=аргументафункцийуказанныхиприхпроизвольприращенииприегопроизвольномdx:/1"xVa26.285.sin6.287.xarctg6.288.жIn6.289.xarcsinxcosх-xж-xxy/lIn+1.+\/lx2.+x2-3.~дифференциаловнеявносвойстваосновные6.2745.4.+x-вычислениииспользоватьзадачахa2 arcsin+а6.286.Прих2-6.275.и2.ПримерНайтифункцийзаданныхдифференциала,dy,функцияеслиудобноперечисленныеуу(х)=внеявнозаданазада-урав-уравнением^In<иC)Перепишемлевойдифференциалывычислимдифференциала,C)тождествавидевяУ.=иправойИспользуячасти.свойстванаходимj(\d(ln-)Vd(x2y2)У\-т--d=1^?//я;ж/-я-2ф2)(У\(-)\х/=xxdy-ydxу+у2 с1(х2)11х1-~dV=т~—х/у2х-2?/г/т/+2ху2оdx.dx'§2.ПриравниваяУэтогополучаемdxdy—ИзdyдляОтсюда,вбыть6.290.у56.292.ж2/36.294.у6.296.функции6.2^9.выражениер нагдедлявеличинурЯ—Др,1,04;arctgАг.V,температуранеизменнойобъемаVпритемпературуех~~хсуAVизменениизанимаемыйТгазом,формулойсвязаныНайтипостоянная.=приращенияh привысотойобъемAVf(x)длясвеличинугазоваясчитаяб)функциивыражениецилиндраабсолютнаяприращенияабсо-малойприаргументаКлапейронаифунк-подходящейх.значениекруговогонаж.\/2Ь.приближенноегу).+=функцииэтойДа;законуу.приближенныеДуdyприближенноеНайти+указанныеприращенияформулеэтойПоДТ,произвестиж2у2.=(xy)cosформулугаза=6.297.приближеннуюпрямогодавлениеу2.+функций(жcos—Обосновать6.302*.pVуa) arcsin0,05;основаниярадиуса6.295.ж-приближенно:1,2.Vобъемау.у4+ВычислитьНайти6.300.=е^дифференциаломпоа;6.293.заменуиспользуявычислить6.301*.а2/3.Jx2In=-х4приращения1,2.припроиз-длязаданныхнеявно6.291.6.298-6.3026.298.и=arctgвеличинеInвыражениеи1.=у2/3+х=х2-+/(.т)—полученоследующихузадачахабсолютнойв)+arctgуJx2l-2xh/'дифференциалыУ{х)-В2гУокончательноенаходимфункции:Найтивычисления,dx.dy,1 +уУУ2ху2+dx:иуможетчастности,неявной=dyотносительнох,черезdV=dxпроизводной2х2у=%линейногоуравнения,75выражения,полученныевыражениеДифференциалприближенноевы-изменениидавленияТ.Гл.76Дифференциальноеб.2.Дифференциалыdy{x<А\х)высшихf'(x)Aix—Предполагая,удифференциалнайдем.т,функциячтоувыражениядифференциаломf(x)—ТакимАух.=точкев—А\хd2y(x,символомАг-х—dx=2-гоназываетсяпорядкафункцииdx).образом,f"(x)dx2.=Аналогично2Найтиуasin{bx=у=6.307.у=у=3~х2.6.306.у-а.т26.308.у=VI+ж2).6.310.у=arcsinвторойдифференциал-.у6.311.-.{хIn=З.т—>/1+чтог(у(х*))Для2+Доказать,=дифференциаладифференцируя#z=Этотещеd{dz)(поразd(z'y dy)==ж,ноz'y d(dy)(аarcsina;.ж).sinфункции6.275)задачуиспользуяобладаютне1-годифференциаламdz—z'ydy,от-формыинвариантностьфункцийу6.312.ху+6.314.х3+у2у3(см.==6.313.{ху.6.315.х>(ипорядкаболеесвойственной6.275).неявноследующихаJ-=z'y\ dy2.+формы,порядка1.z'y d2y2-гозадачуу(х):=d(z'y)дифференциалы2-го—■инвариантностьюпорядкадифференциалыdy+чтопоказывает,порядков)Найтих2~получим:примервысокихс.сложной(см.имеемдифференциала),первого+формулойвыражаетсяпервогоto;+.—х1функций:указанных6.304.or16.309.откуда,порядкас),+sm6.305.z(x)2-годифференциалы6.303.заданныхД.тf"(x)AlXA2x.дифференциаломd2y<3приприилиобозначаетсяидваждыAi#)дифференциалфиксированномдифференцируемаАхА2Х':приbix))\x>Ax=b2X=полученноговторымf(x)dy(x,отd(dy(x,Значениех=переменнойРассмотримпорядков.функциюкакоднойфункцийисчислениеу(у+-asin-у.bJ-R2.задан-§Теоремы3.§Теоремы3.1.
