2 часть (1081353), страница 2
Текст из файла (страница 2)
.,.(а:П0_1такжечисло,число,6хп.т,действительноедробью[x],xix2..гдесреднейматематикикурсанеотрицательноедесятичнойбесконечнойпредставляетсясимволикачисла.всякоечтоизвестно,АНАЛИЗВВВЕДЕНИЕдесятичныхконечныхисизбытком.потридробей,первых01..членаприближающихизпоследовательэточислосГл.Следующие5.2.дробей:рациональныха) 1,B);<числаlg5рациональное—lg5рацио-т.е.число,—;=правильных5 иррационально.числочтовидевв) 0,110B5).lgчтоПредположим,анализвпредставитьб) 3,00C);Доказать,5.3.Введение5.Z.6nга,пТогда:1От/пНопоследнеенапростыеправойдляначиселчточасти,Доказать,что5.4.\/3.5.6.5.8.2 +log3p,5.9.—Ь5.5.p5.10.Gтг5.10-5.13иПредположим,чторазложениеразложенияпредположениецелыхневерно,иррациональны:число,п1.>л/3.+число.есличтоизвестно,сравнитьуД-уДлевойразложениеваналогичное>простое—\/2Z,виррационально.простое—тгп,задачах5р5.7.дп^=исходноечисла^j/p,л/З.входитПоэтомуследующие7ГВ<lgчислодтединственностипротиворечитмножители.следовательно,и,.2 входитчислоненомножители,простые2т^=невозможно:равенствочасти1Ош^=ттиррационально.числа.указанныел/3-2.неравенствоверно>/2->/5<>/3-2.B)Тогда:л/2+2 <4л/2б 4-<<8 <Таквыполненныхкакнеравенствовернопоследнеепреобразований5.11.log1/2-иlog1/3верно,исходноеи-.У5+8 +1 +16УЗ,2л/15,л/15,4товнеравенствосилуобратимостиB).выполнен-t>§Действительные1.НеМножества.числа.таблицами,пользуясьЛогическаядоказать9символикачисловыеследующиенера-неравенства:log,5.14.105.16.log426>log617.5.17.Доказать,а) |.т|чтов) \х(неравенстваг) Vr+——l0g22.>——l0g57Г7Гдействительногообладаетчисласле-—х}]-|3ж4|-| -ж2у/(х1/2.=2J-1.=2.т5.21.Г3+1-1.=1х+2.-ж+-0.-неравенства:\х5.23.2|-х25.25.совокупностьЗаписьа(принадлежитЕАиоперациинадобъектов,называемыхсодержащееэлементмножестваодногоАЗаписьназываютСуществуютАэлементова\,а-2,изАнекоторогоосновногоАеслиСВ=Вa2,какмножества..каждыйэтомслучаеМножестваАА.Сперечислениемзаписывается'{ai,вмножеств.описаният.е.обозначаетсячтоВ\В.иМножество,означает,непосредственнымаП)А.ипустыммножестваспособа.
.,определяетсяD)множестваопределяетсяАМножествов(£а(при-АмножествапишутсодерлштсяВ),—понимаетсяэлементэлементомосновныхдваМножество-множества.называется(А(А4множествоместьаподмножествомравными1|элементамислучаеявляетсяназывается|т-12.+<,Подними.противномэлемента,ВСААмножествов7х-15.26.объектчтоА)]х2>1.-означает,ни0.-х12|+0.<<множествусимволом10-7ж-IJМножествалюбая3J++|ж25.24.1.^2J{x+л/(ж5.27.б)Vx*5.19.2ж-3|+Решитьа)\у\-уравнения:5.22.своих\ х\+=5.20.В=щ;у\ ^ \х\\у\ и\х-у\^треугольника)]\х\.+5.18.2.\х\х\х\.\у\и=Решитьэлементов5.15.модультах{.т,=б) \х-у\и4.3 >свойствами:следующиминеlg4+,всехвидевап}.совокупностьтехТ,которыеитолькообладаютэле-техобщимГл.Н)свойствомВа.анализвобозначениеиспользуетсяслучаеэтомВведение5.А={хеТ\а(х)},а(х)записьгдеПримерОписать1.АА<(хесть{х=3)(х2-ОбъединениемцелыхАААиПересечениемВВи{х\х=корнейилиА\ВЕсли,Ачастности,вТ,множестватополнением5.28.множествоа) {1,2}б) {1,2}GВ=5.30.Л=5.31.Л=5.32.А=5.33.Л=5.34.ЛИзобразить5.36.5.37.=Ли2,2,{1,2}}А(?о-называетсяиГ).из{1,мно-универсальногосимволоммножества2,£ Б}.жзаписейдвух3}}верна:{1,или{1,или2}{l,2}СС{1,2,2,множествауказанные{1,задать{1,3}};2,2}}.перечисле-элементов.G|жбК|.-с{х|х{G| х2ZGК<-Зх-i|{хЗж2-+Nех3К|{хна{(х,{(ж,{(я,множествонекоторого(до5.29-5.34А5.35.{1,{1,своих5.29.екакаязадачахвсех{х|хВ}.жеобозначаетсяАУстановить,называетсяподмножествоТ\Аразность€перечислением=—множестваВиБ}.называетсяиАмножествуравненияD>6жЛПБ-{д:|хеЛРазностью3}.множествоАВи{1,=называется£Амножествмножествонеотрицательныхмножества.-1)=0иО0}.Следовательно,0.=свойствомэлементов| (хЪевсех1)-обладаетхперечислениеммножество3)(х2-элементчтоозначает,2х<-<log1/g1/22i| cos22х=+2х=2иа:0}.4 <б}.<2J>.1>о}.0 <икоординатной0}.жплоскости+ у-2у) еШ2\ху) еМ2|х2-у2>0}.R2е1)(у| (ж2у)-+2тг}.следующие0).=<2)=0}.множества:§Действительные1.{(ж,{(ж,{(ж,{(ж,у) eR2\y>у) <ЕМ2|у2у) е Ш2 | 2Х+1у) е R2 | cos2x5.42.|(ж,у)5.43.Описать5.38.5.39.5.40.5.41.АПАЗаписьделитель{х{х{х5.46.5.47.АСАиб)еNеNравенствоАи5.53.5.54.свойствомП=—ТотрезокZ,означает,AUJ3,множества{хеШ\х2=+-хчислочто5.45.GNGNга120}.=естьдели-{жG| 8 | ж}.Z| \ 8}.| 8 | х).хвтомитолькотомслучае,когдаВверновтомитолькотомслучае,когда2]иНайтимножестваВ[1, 4).=зачисловойнаихAнайтимножество,универсальноедополнениямножеств:следующих1/2).1/2].@,5.52.взятияоперацияобладаетдополненияСвключенияотношениемоперациямиисвой-Uдвойственности:законамиАсеслиAUВДоказать,=чтоВ,АПВ^Аэ~В\тоАПиUоперациииВПсвязаныС)С)U=AВ.Uзаконамидистрибутивности:(A(АБ,Uоси.1).чтосверноA/4,[3/4,U5оси5.51.связана5.55.В[0, 1]=числовойнаследующимиэлементов0],изобразитьиДоказать,рефлексивности:такжевсехмножества:{ж{жП(-1,=Б\А{0, 1}.{1/4}О}.фуф 1}.хВАПустьБ, А\Б,Принявизобразитьу}.^что:А Г) ВП2хиф О,следующие|х |8 и| х 112}112 | х)А;В.5.49.хGnm,равенство5.50.агдеДоказать,5.48.СN4+cos2y}.-,=Описатье0}.1 ^+если| п,п.5.44.у2=>2жи11символикаl}.+-+х-207пчислаа)В\А,и{х еЩх2=1+>2x|^Ш2е\/2хЛогическаяперечислениемА\ВБ,БМножества.числа.UПВ)В)ПС=UС=(А(AПUП{В[ВПUС),С).дистри-иПГл.]L2ИспользуяВведение5.5.54задачрезультатыанализв5.55,идоказатьследующиеравенства:Так<ПAиВ)=1А\В5.56.AкакВUАГ\=(А\В)А\ВАП{А\В)5.57.5.59.ОперациитоГ){АГ\В)леваячасть(А\В)Uдоказываемогоравенствавсех{AВ)UА.=>АиВ.=бесконечного)семействотехАп,каждыйОбъединениеN.6(J АпизАп.множествизПусть,множеств.псимволомслучайнасемействамножествэлементов,одномуобобщаютсяобразоместественнымобозначаетсямереА\В5.58.илисемействажествоВ.Пизаданоэтого==АПВ.Uнапример,АП=(конечногопроизвольногоменьшейВ,видпринимаетикоторыхf]на-множествмно-какопределяетсяПересечениепроиз-попринадлежитAnмень-какопределяетсяneNвсехмножествоДляпеппринадлежащихэлементов,семействзаданныхАП)множествN,ЕпАп.множествизкаждому(JнайтиАпиП Ап:5.60.Ап=5.61.Ап={х{Зпточекобразующихплоскости,вписанноговобъединениетреугольникипроизвольные;треугольникиправильные;изаданнуюокружвсехпересечениетакихпрямоугольные.треугольникиXМножествовзаимноназываетсяNмножестваПример2.УстановимивсехZмножествооднозначноевсехсоответствиенатуральнымиустановленоэтогомножестваичисел.натуральныхчтобытьможетэлементамимеждуПоказать,взаимномножестваеслисчетным,соответствиеоднозначноеэлементамицелыхчиселсчетно.этогоэлементамимеждунапример,числами,множествоупорядочивобразом:следующим0,а{1, 11..,!}.=если:а)б)в)номерб.62.Л„всех(словесно)множеств,Ъ1}.-треугольника,Описатьокружность.Зпмножество—некоторогостороны<2,-АПусть5.63.-п^х^п}.Z|езатемвсякомувэтойцеломупоследовательности.1, -1,2,числу-2,3,поставив-3в>соответствиеегопорядковый§Действительные1.Доказать,5.66.{neN\n{nGN|n{neN|n5.67.Доказать,5.65.к2,2*,=есличтодоказать,{псчетнок2=АиАтакжекеЩXСего—Исполь-счетно.множествочтоZ|nеXмножествоторезультат,счетны:множествоподмножество,этотИспользуя13символикаkeN}.кеЩ.кеЩ.2k,=бесконечноеЛогическаямножестваследующиечто5.64.Множества.числа.fc +-1,счетно.5.68.Х\,ихобъединениечтоДоказать,Х2,ПустьУказание.Хп(J Хп^1,1,Длячтобытого£n,2>записать^1,2,доказать•••••^п,ь•>^1,/,,Тогдаэлементытаблицы:•••j(J Хп,множествасчетность•}•••следующейвидевДока-множество.счетное—[хп,i,=можноХпмножества.счетные—..(JПустьмножества-Х"п,.
.,достаточнотеперьnGNкаким-либозанумероватьИспользуяобразом5.68,задачирезультаттаблицы.этойэлементывседоказать,следующиечтосчетны:множества5.69.Q=^a;E'lR|#5.70.Множествовсех5.71.Множествовсех=всехмножестводля—некоторыхФпга,0\Zиз—чисел.рациональныхсплоскоститочекрациональнымикоор-координатами.смногочленовкоэффи-рациональнымикоэффициентами.3.Верхниенаибольшим{максимальным)всякогоЕхЧисловыполняетсяобладающееXэтимзаданногосвойством,ограниченного^хтакое,чтохадляверхнеймножестваЕесливсеххXЕX.XВсякоеminX=существуетчисло,множестваграньюмножестводляиопрегасверху,$СназываетсясверхуМАналогичноеслиМ.элементаограниченныманаиболь-называется{минимального)называетсячислотахХX,неравенствонаименьшегоМножестводействительное—мно-непустоепроизвольное—множестваэлементомXX.множестваXМПустьграни.чисел.понятиеопределяетсяДлянижниеидействительныхмножествовсехX.егоГл.14гранейверхнихточнойверхнейОчевидно,АналогичнонижнейmaxX=обозначаетсяпонятияX,ограниченноеsupXкогдаточ-сверхуиX.£Оче-supX.множества,снизуX]множестваграниX.infназываетсясимволомтогда,ограниченногонижнейсимволомМножествообозначаетсяитолькоиопределяютсяточнойигранитогдакоторыйэлемент,XмножестваанализвнаименьшийимеетграньюsupXВведение5.обо-последняяназываетсяснизу,ограни-ограниченным.Найти3.Примерточныеверхнюю[О, 1).<Этох€множествогранейнайдетсядля€уполуинтерваларавнымэлементом,наибольшегоимеетне[О, 1)1.Поэтому[О, 1)[0, 1)такое,это—^ [0, 1).1С другой[0, 1)[0, 1)min5.72.[О, 1)inf==0.Доказать,верхнейчтоМЧислотолькотом1)2)ТакимивышеприведенноеточнойопределениеточнаяверхняяXмножестваграньтомвиесли:случае,всехдлявсякогодля[О, 1).этокоторыйобразом,нулю,следующему:естьМ^хравным—>эквивалентногранимно-гранейнижнихполуинтервалаграньюнаименьшимсрассматриваемогодляМножествоэлементом,нижнейточнойявляетсянаибольшимсверхнихl,элемент0.равени0](—оо,множество>существуетвсякогодля[1, Н-оо)=наименьшийстороны,множествакакМножествох.множествоsup[0,l)причемтакэлемента,у >чтомножествагранинижнююи0>Х\ЕхенайдетсяiGlэлементтакой,что>хМ-е.а)Указатьнаименьшийониеслимножества,б)множестваКаковыX?ДляеслимножестванаибольшийэлементыиверхнихsupXНайтиinfиэтогогранейнижнихX.maxX,найтимножествследующихонимноже-множе-дляsupXminX,infиX,существуют:txeR\x5.74.x5.76.X=5.78.X=5.79.Пустьудовлетворяющихнаибольшегоисуществуют.=={хGZ|ixеXусловиюэлемента.-5^х<0}.Ш\х—-^,neNy—;=множествог2^НайтиX5.77.nm,всех2.X5.75.Показать,supX.GNит{хеШ\хмножество0}.<<п\.чисел,рациональныхчто=1].[-1,=удовле-Xнеимеет§Действительные1.IcKПусть5.80.Доказать,Пусть5.81.множество.X}Ех—15символикаограниченное{х \=xограниченоСИ1,УY+такжеограниченоY)+снизуX-YxeX,yeY}sup=X+сверхуУsupсверхуДоказать,{zeR\z=сверхуСRогра-—yeY}xex,x-y,=Уимножествочтои{XsupЛогическаяУ)-=supX-infy.Присимволика.применятьзаписинаиболеенескольколишьрассужденийматематическихэкономнуюздесьукажемy,ограниченное—множества.целесообразно+x=(XIcKПустьограниченоограниченныеиsup5.82.-supX=множество{zeR\z={-X)произвольные—чтосверхуограниченноеinf-infX,=Доказать,множества.МыЛогическаяравенстваsup(-X)4.произвольное—X—множествочтосправедливыиМножества.числа.символику,используемуювлогике.употребительныхипростыхсимволов.Пустьт.е./?,.
.а,сказатьможноистинноЗаписьЗаписьутверждение/3»Записьутверждению/3»,(=>е.означает:утвержденршиа/3изследуетэквивалентности).ЗаписьЗаписьЗаписьаЛаV/3/3квантор«для«аиозначает«аилиXа(х)Xозначает:а(х)»Еслиэквивалентноэквивалент-конъюнкции).дизъюнкции).символистинноутверждесимвол—«существуетэлементсуществует,элементCхX,ЕхноиXЕсуществования).квантор—такой,единствен,то3\хеХчтоистиннокоторогодля(Vа(х)»утверждение—а(х)ЗхеХтолько—утвержде-всеобщности).Записьутверждение(<£►символ—(VЕха/?»еэлементавсякого(Л/3»означает\/хозначает:которыха.следуета«утверждениеCизутвержденияотрицание«изследуетат.е.а»,импликации).C<&изкаждоголожно.означает:символ—ат.«неC=>аутверждения,илиотносительноилионоозначаетавысказываньянекоторыепредложения,—повествовательныепишут:а{х).длянегоутверждениеистинноутвер-а(х),неГл.164.Примерутверждение:а)б)естьVхV АЕ£гранейверхнихя;Xб)(см.бытьможетПример<ПустьaМ)^записанотакжеЗх£Х(х>(т.е.МX);изнаименьшая—следующейвэквивалентнойлогическуюнекоторое—-е).М>сформулироватьсимволику,индукции.утверждение,смыслимеющеедлявсехмножествот.е.аистинно.всехN.{neN\a{n)},=натуральныхтехТогдасформулироватьчисел,Такточтоозначает,C)утверждение(аA)сформули-ПримерЗаписать6.а(п=>1)))истинноаVn=>а(п).N£>Vxвысказываний:отрицаниячисладляиначе:и+C)к=утверждениезаписатьможно(а(п)Л1)еА))=>А+а(п)записьN,£утверждениеможноиндукцииобразом:следующимкаккоторыхдляматематическойпринцип({1еА)л(пеА=>{па(х)XЕЗхеХа(х).<£пмножествоAпусловия:множестваграньА=>Используя5.математическойВведемвыполненычтоверхняя—утвержде-X».множества5.72):задачу\/е>0принципзаписатьсимволику,граньМ(т.е.^А)(хX).множестваУсловиеформеsup=(х ^ М)£(\/хX£анализвлогическуюверхняяозначает,точнаяМУтверждение<ИспользуяМ«числоВведение5.ОтрицаниеУхвысказывания(существуетИначеа(х)X£такой,любогодляговоря,XехэлементдляимеетЗхвидкоторогоа(х)утверждениеутвержденияистинноаа(х)X£и(суложно).высказы-следующеевысказывание:\/ха(х)XеЗх&а(х).XеАналогичноЗх7.ПримерX/:«функция—>£ИспользуяЕ,а(х)XУх<=>логическиеX>записатьсимволы,Е,Са(х).XенепрерывнаточкевX»,£аутверждение:атакже<e)егоотрицание.<Исходноеутверждение:\/е(для>360любогое0>f{a)\<e).удовлетворяющееS >найдется>|х—а|такое,условиям\f(x)чтотакое,$,-f(a)\любогодлячислах£X,|/(.т)неравенствовыполняется—утверждения:(\х-а\ЗхеХ00<этого\/6>0е(\х-а\<6=>X£ОтрицаниеЗе>0(существует\/хусловиюудовлетворяющего,-0>что|х—8любогодляа|6Л<<6и\f(x)\f(x)>0—-f{a)\^найдется/(а)|число^е).e)х>£X,§Прочитатьz,Ь,а,са) УхЗу{хв) Зж, у (х5.84.3 ж,у5.85.Уж,у++у=(ж(ж>Ужу(ж2^2у2).(х2 >5.88.Ух(ж5.89.Зх{у/а?<х).5.90.а) Уа,Ь,хх>>3(х22точныйа)5.92.Числоб)в) Уравнение+ахс0)с>+b >0)=Ь2Ф>Ь2Ф>4ас-4ас-0);^0 Л<0).>а0);высказыванийнижеприведенныхисформули-символики,отрицания.естьхорешение/(ж)решение0=/(ж)уравненияединственноеестьхо+логическойихЧисло+смыслзаписатьи3);=3).<хЬх+использованиемсиху3).=0).<х2 <Ф>Ьх+УЬЗаУхУстановитьзаписать1 V(ах2(ах2(Ухс+у,обозначеныоговаривается,3);=Ь, сCхб)в)сформулировать4Фх2 Л>уж,=<5.87.5.86.V.T,а)неспециальноих(символамиложныб) ЗуУя(ж3); г) Vz, у {х + уу > О Л ж + у0).< z < у).у) Ф> 3z(x5.83.5.91.иличисла).действительныеб) Уа,ониэтогдевсюду,выяснитьвысказывания,истинныустановить,Г7переменнойнижеприведенныеисмыслдействительнойФункции2./(ж)уравнения0.=действительноеединственноеимеет0.=ре-решение.а)5.93.б)в)МножествоЧислоXМножествоа)5.94.краткойЧислочислоЧислор§1.nЕсливполненазаписываетсявидеnZ,Gвили3,наионото6.наделитсяпростое.переменнойдействительнойПустькаждомузначенийв2наделитсяD£Dпоставленодействительноеа/./(ж),Множествосоответствиетоговорят,множествофункциииливчислофункциячисловаячисловойf:D->Eхчислудействи-множествопроизвольное—определения,множеством—числаделителемявляетсяопределенноеD определенамножествеобластьюназываетсяZEфункции.чисел.некотороеZ-X".множестваэлемент.п.Функции2.ПонятиедействительныхNGэлементнаименьшийG|гаЕслисверху.ограниченоимеет?nзаписи:б)в)чтоIcKнаименьшийестьmу=f(x)./.СимволическифункцияDна-Гл.18НаиболееОнсостоитфункцииобычноаргументаобластьх,не<{х\—{|}l/\/l\х\<Пустьусловияу ЕЕ(или[)1),бытьтомножестводля(естественнаясмысл->заданыfug)чтотакова,этомтему;=XY->полученнойфункцияиYg:вполнеZ.->новаяИхкомпозициейприменениемод=/.функциипоследовательнымhизчислуопреде-определеназаданнойк=DЕх2всякомусамымобратнойЕх\,случаенекотороеf(x)называемаяназываетсялюбыхдляВмножествомножество—соответствиев/:являетсязначенийф f{x2).чтофункцией,сложнойЕ->такое,D,функциифункциимножествомпоставленоЕфунк-значениймножествоиэтойаf{x\)DЕхDследуетХ'2f"~l:функцийопределенияопределения(-1,=/:фчислоПустьобластьобластью1}можетопределенноенеюимеетf(x)=определениязначенийх2.—функциях\функцияНайти1.=Естественнойуфункции).ПримерDподзада-конкретнообластьслучаеформуладаннаяопределенияf(x)этомпонимаяуказывают,которогоформулыфункциизначенийВх.аргументадляспособаналитическийпомощьюсчтотом,вычислениязначенийизфункциивалгоритмустанавливаетсякаждогоанализвявляетсяраспространеннымфункции.заданияВведение5./:XZ,->определяемаяравенствомНайти5.95.отегозависимостьвыражениеНаписатьса2=bи1=какконуса/SплощадидлявыражениеоснованиямиVобразующейданнойприцилиндра1.—объемадляSповерхностиRрадиусаVобъемеданномприНаписать5.96.боковой5.97.трапециифункциональнуюНвысотыегофункцииравнобочнойтра-функциикак2.=ауглаприа.основанииС5.98.ускорениема.момента£опокояНайтизависимостьтелосдвижетсясобойВ5.99.ABCDb иdмваниямнаSплощадь5.100.функциональнуюобластьABNMфигурыВзависимостьопределенияшарRрадиусаVятойфункции.1)hпроведенапряосно-\АМ\=переменнойВыразитьх.х.НаписатьотегоАвершиныототстоящаяцилиндр.цилиндратрапеоснованиямисперпендикулярнаярасстояниевписанобъемаравнобедренной(рис.ифункциюкакускоревремемеждускорость£?высотойMN',мая-риипутьвременитрапецииасвязаныпройденныймоментвотпутиКакдвижения.нилпостояннымпройденногоискоростивысотыН.функцио-Найти§В5.101.действительнойФункциишарRрадиусафункциональнуюНаписатьS2.19переменнойкруговойпрямойвписанзависимостьНапи-конус.боковойплощадиповерхностиконуса:Найтиа)б)в)егоуглаотуглаобластиапривершине/3приоснованииНайти5.103.НайтиНайтиЕзначенийкаждой/A),/(а),Найти/@),/(-я),In(х=5.108.у=5.110.у=5.112.у=lg Eх5.114.у=2&rccos^-xlНайти=5.117.у=5.118.у5.119.у=5.120.y=5.121.у=0</(а</(хX+5.107.у-V5=arccosln(l-2cosx).5.111.у=5.113.у=arcsin5.115.у=ех2~2.х26).-G,F==^-т,\/жF-7ГХу,==F@,1).@, 1).C, 27).F=даннаякоторое=ж2,Flog3x,sinна2].[-l,{х 11 ^ |ж|=QY у^у,1, /множествои[0,1/2).<21-у/l-функция—=еслизна-2х.-1уF/(ж)еслифункций:5.109.х2,|ж|,0,Dопределенияу/х,-если2/Bа),/(а-1),1), /(х)+^lgx2.=j:1),+/B),ysinF:у2*,3).+множество5.116.-ООфункций.f{x)/A),1 +£,следующихусечении;полученных/A00),'если/@),областьиз5.106.множествоиз/(-0,001),/(-1),Найтиестественнуюкаждойосевомеговконуса./(-1),/(-2),х*-1.5.105.конусаопределения5.102.5.104.Z;образующейотот2х\х\.отображаетГл.20НайтиD+£)_5.122.[х | /(х)/(х)5.124.fix)=0}{х \ f(x)>для=l+x.=sin5.123.5.125.у5.128.5.129./(xi)2)+2/(х-/(х+/(x2)+/(хfix)=1el/x~l.--соответствую-удовлетворяет1)),+()&х=/(ж)/(х)х2),f{x)0,=Ь.+logflх.-ах.=функциюопределить1)х2=Тогдаt.=f{x)у/(х),=удовле-условию.+1+х++=.заданномухf{x)2 +f{x(x-5.130-5.133удовлетворяющую1)+1)/(xi+-задачах5.130.поло-функций:х2.заданных/(х)областьотрицательности==0},=областьиуравнению:f(xf(x)/(xi)/(x2)Пустьизфункция{x\f(x)0}каждой-.анализв=xчто5.127.<Doфункциональному5.126.В=<Показать,соответствующемунулеймножествожителъностиВведение5.х/(х=Зх-t—+1)+VI2.+1-х2=х2и-ЗхЗх-+2>0.+cosxi2+t2=t2=5t-5t-6.+6.+Поэтому>5.131.5.132./5.133./(xi=Какиеизsinxiванекакиех45.134./(х)=5.138./(х)-sinx-cosx.5.140.Доказать,функцийчтоестьзадачах5.134-5.139нииобластьееf(—x)=функций=х25.139./(х)=lgi^.четныхдвухапроизведение+f(x)четные,нечетными?ничетными,/(х)четная,0=5.135.произведениефункцияфункция.еслихточкиявляются5х2.+sinx2-(нечетной),четнойотносительноуказанныхнечетнаяхCOSX2называетсянечетные,—х2,+симметричнакакиенечетнойХ2)+f(x)Функцияопределениянечетныхх=-х.илидвухчетнойнеи§2./(ж)ФункцияВыяснить,определить5.143./(ж)/(ж)5.145./(ж)5.141.заданныхихнаименьшийcos7х.5.142.=жsinж.5.144./(ж)/(ж)5.146./(ж)какиеизуказанных(/(жТ)+являются=/(ж)).периодиче-Т:=cos2=cosx=tg^-2tg-.2ж.(>/Зж).sin+функцийнижеобратныесоответствующиеположи-существуетОпериод5-sin.T2.найтиеслифункцийиз21VxEчтотакое,=Установить,обратные,функции)какиеипериодическими,переменнойпериодической,называется(периодТчислоположительноедействительнойФункцииобрат-имеютфункцииобластиихиопре-определения:<5.147.у=ах5.150.у=1п2ж.5.153.у-х2Для=у[1, +оо).Такразличныхж2=Dпрямаякаку1==ж2обратной.Dx1,+обратную,имеет5.155.а)Найти5.158.<Имеем:1уж2у=sinу=Однакоcos2Е€у/а—=5.152.у-cos2x\^—^.естьопределениязначенийжг(а)и=y.i+\/а—ж2 +-1,=~~J9=а)жЕхG-у/у=областьижжж2(у)и-1.1?то=дваимеетданная0],(-oo,ееуказанном>еслиопределения,промежутке:(-ос;-1/2);G [-тг/2,тг/2];(—ос,0],@, +ос).Gб)б)жжG[1/2,G[тг/2,ж:б)/д{[тг/2;Gхкомпозициих2,о=функцийизкаждая1всяЕлуч—ж2уравнение1и1-а)1:ж:=умножествоаана-[0; тг/2];f{x)+оо),функцию=5.149.областьестественная=заданаж,е2х/2.у/уж,х-IK.-соответственнообратную5.157.у[0, +оо),=функция5.154.5.151.х\(а)равнуюНайти(жлюбого=ziO/)исходная=+дляимеетнеу(—оо,=решенияфункция5.148.1.+функциичисловаяЬ.+оgтг];иgов)fжследующихG[тг; Зтг/2].функций:+оо).Зтг/2].ис-Гл.22/(х)f(x)f(x)5.159.5.160.5.161.чипм;3.4.ЛогарифмическаяТригонометрическиеХж,ууконечногосистемоймножествосОхукоординатуПриотносительнофункцииосиОх\осиОу\2) графикотносительно3) графиквеличину4)графика>(прицелесообразнопромежутковточекb >В1)разбить=f(xфункцииу4у5ивпоследовательно/(ж)=/(ая),=раз=1/66/(ж),приопределенияраззеркальноеа)—f(x)—а0,>(при(приbстроитьто:отображениеГотно-отображениеГотно-вдольосиОхнасмещениеГвдольосиОуна^ 1,аГГвоси—осиОж;вОу.целесооб-функциинепересекающихсянакаждом(приразарастяжениевдольнесколькографиксжатие—вдольграфикапостроениина/(ж),=Г1)0, 6^1,< 1)6 >усмещение<апростыефункциизеркальное——следующиеграфик—естьb +=1/оуеслучаяхобластьточекуиспользуютсяГ—}{х)—узеесисте-соотношениючастофункциинекоторыхпо-помощьюмножествомудовлетворяютf(~x)сжатиеспрямоугольнойпредставляется=илибытьможетf(x)},=декартовойу2функцииyЕслив=умножествофункциифункциирастяжениеarcsina:,=функции).у\функцииtgx,=плоскости.фиксированнойграфик6;5) график1) илиб) графикуфункцийy)eR2\xeD,а;величинуукотораяназываетсярассуждения.1) график1.cosx,=композиции./(ж)графиковпостроении^ауфункция,операциии=изображениегеометрическиеsinx,=\.0,элементарныхкоторыхкоординаты>ауфаbgaa;,=всякаявсехплоскостиу),М(ж,(графическоеуосновныхчислаоперацийфункции—назы-arcctgx.=Г={(х,Наа>0,о>х,=функции:arctgx,=ГрафикомR2функцииК.Еауфункции:арифметическихгдеха,=уфункция:функция:называетсяизСледующиеграфики.ихитригонометрическиеЭлементарнойполучена+оо).=функция:Обратные5.хе(-оо,0],16@,/0,\-ж2,;если:функцииСтепеннаяПоказательнаяarccos^v+оо),/,оarcsina:.=элементарными.1.2.CtgX.тг], д(х)0],[—тг,Gб) f(x)основными=/~,=Ых.^е(-сх),же@,оанализвх2.==x\ж,/Элементарные2.называютсяд(х)/0,\а) f(x)==Найти5.163.I!/=f(д(х)1-х,ех,sinx,=Введение5.изних.6 раз§Пример<Построить2.Раскрываях2-Х4--х24-хГрафик4-1,1,хфункциюf(x)=5.166.f(x)=5.168.f(x)-sinкаждойу5-iкаждомV^_1iiiiиз1°-iРис.функциифункций:записать5.167.f(x)f(x)5.169.f{x)5.165.{2X'2).1.V-компози-y/x).(cosarcsin(e^).1/^/tg2=2видевsin=log3o;.найтифункцийследующихiiiiче-t>\x\.2s'mx\из1|.-V уобъеди-2).|х24-Y-элементарныеэлементарных5.164.\х\представля-(рис.23—0],естьнаосновных5.170.<\G@,1],A, 4-оо).функцииСледующиеДля(-1,(парабол),этупромежутковчетырехG1,заданнойпредставляющих(-оо,хграфиковобъединениеGх4-1,у-1],хже-функциизаписать:можем--х2х2,х-переменнойграфикмодули,'композициидействительнойФункции2.ееграфик:x/lnsinx.—ЕстественнаяобластьD{х |sinГ={(|=функциизаданнойопределениях1}=|=~2тгк4-кмножествоестьGПоэтому5.171.у=ж5.173.у=^cosх5.174.у=1 +у=кхПостроить/с1 4--\/sina;уа=а=а=1,2,-1/2,+ж0=х'о=\J—sinа/~|^2=1|-функций:элементарныхесли:б)(яа0,1,жоуж.следующих4-6,уо=5.172.г-4-6-0;2,=5.176.а)б)в)|c coseca;|.-графики5.175.а)а/14-=А;жоJ,уо=уо=-2,0,=—6-если:-1;0;Уо-3/2.-2;в)А:=-1,b--1/3.+2.Гл.24ук1,уа5.179.a)уa5.180.уа)р5.181.а)р=а=5.182.а)5.183.a)10,5.184.у=\25.186.у=х2=у=5.190.у=-6-2/3,д),если:+10,6б)1;6),у5.195.у-5.197.у=5.199.у=5.200.у5.201.аб)-1;х\.+9.хarcsin(sinarccosу5.203.у=ж5.205.у—sin2+ж.,ж~.23|.(x(cos Зх).| sin ж |.(cossgnx).>я=.х<а-тг/3.=А;2,=«Зтг/2.=1/2.=q-6.=1/2,jfcaЬ2,=1/10,=к-2.=1/2,=х25.185.у=5.187.у=\6х25.189.у=х5.191.у=+6х2.=|ж|.-+х\-1.+—у/{х--2\'+0.х.[.г]дробная—5.196.у-5.198.у=-1-О,0,частьх—1.-.тцелая—{х}где-\хcos-1/2.=_[х]logJ/2=1/2,=-1/2,==3где21*1—у0если:=2х)~—J-.~[.г1],{:/;},5.194.а2/5,=-1,—fc-2,=д.—-1,-если:==(kx+2Ж;/аб)1,О,5.193..т0если:рх\ + \26\х\ +-(ж25.188.б)б)-1,к-2,=если:=loga=+5/2;-а*я+ь,к2,+(жarctgд==(xкесли:тг/4;д),=б)рр-3,уaа9=-1;=у+р arcsin4,у=1/3,=а),тг/3;а),+аб)-1;=tg (/ежfc—=2,=a3,=уо(kxfc=Xq-1,=asm1,если:,Xх{)=--=HV{)—-5.178.а)анализвк5.177.а)Введение5.частьA/3Iж+11х.2.+\ log2(ж1)|.+J J.5.202.у=5.204.у=5.206.у=| arctg(x(жctgsin/I arcsinV1)|.-+тж+—-—52IJ.§На3.ПределдействительныхпоследовательностиОхуплоскостиизобразитьмножествазаданнымусловиям:удовлетворяюткоторых5.207.ху5.209.5.211.\х\|Ы-Ы|5.212.|2j/§3.0.+\у\1|Пределчиселвсехнатуральныхпоследовательностиформулой=3?75.220.1, 0,5 221Zil'-3522205J'3'^5'7'^15.223.хп-5.225.хп-х„=6п5.216.хп={-1)п9 +0,(~1)п)--\/3arcsin\-тгп...^01п2-т.найтинаибольший(снизу)последовательноститребуется-5.5.224.хп-е10л-п2-24.5.226.хп-Зп25.228.ж„=-—•п+называетсяпоследовательности:сверху——.2ппA^5.228-последова-f(i )9'"-ограниченнойчлен=-7,-^05.223задачах(наименьший)5.227.9-7—5.218.0,2,0,2,.
