2 часть (1081353), страница 9
Текст из файла (страница 9)
.,корней+второй,на17х2остаткеправильнуюai,.х,многочленавдроби.рациональнойдробей.пары(si-f.соответственновиде:выделенияоперациярациональнойзнаменателькорни-fапредварительноПустьобразом.целойвыделенияD>A),следуетДляканоническом2х2-10,+проинтегрироватьп,3.=первогобх+закончено.формулапроизвольнойправильнойчтобытогоРт{х)частипвСледовательно,и>«уголком»ж3частномвт1)'+знаменательих(х2икакчислительчи-дробичастьQn(x)делениемпроизводитсяQn(x)целуюсоответ-правильная.—•«уголком».Выделить1.A)mт-пHиг._дробивзнаменательПример<]127Qn{x)'степенейдробье.т.п,+многочлены—гпричемственно,(х)мMm~n{x)-Qn(x)гдефункцийэлементарныхвидевееосновныхPix-..следую+st.
.,/Зк кратностейт.е.+Q\.xqi)tlимеетclqкомплексно-иt\,. .,tkсоот-+qk)ik,разложениесправедливо+на-..(x2+рлжГл.128Логда7.ИнтегральноефункцийисчислениедробиразложениеQn(x)х4,.,.,(x-ai)ol\-имеетпростейшихсуммув,'"(хx2+p\2+xai)Sl-+.AfКоэффициентыприравниванияР1П(х)многочленаB)частиМожноB)подобранным(вчисламили~\-.—{ I}.q)tk++PXопределяютсяпухправой(методхнеопреде-коэффициенты,этиопределятьподходящеравнымпо-действительныхзначенияммно-учислителевзнаменателюочередьпервую[x2получаетсятакже<«+~степеняхэквивалентномему*£*-разло?кенииобщемукее,одинаковыхкоторыймногочлена,приведенияравенствевэтомвприкоэффициентов).полагаяС\икоэффициентовипосленеопределенныхкорнейQn(x)).знаменателяИскомое(хДробь2.Пример<\B\,вид2(хqi.путемпеременнойоднойх(хразложениеI-имеет(хх{х-1JПриводя2J+—.Апростейших.суммуIJ'{х-1х-общемукСВ—|1—хчастьправуюввид2J+разложитьгтгзнаменателю,тождественноеполучаемравенствох2Приравнивание4х+4+А(х=коэффициентовIJ-Вх(х+-C)Сх.+степеняходинаковыхпри1)хдаетсистемууравнений:ЛАполучаемоткударазложениеимеетВ+В4,=-2Л-Б1,=+4х4+4х(х-1J1Л+Лнаходим2В-С=4,=1,C)тождествев0=искомоеразло-т.е.хпри£==-3.93(х-1J'х-1хкоэффрщиентыопределитьпоследовательно,т4,=Следовательно,9.=А4,=вид:х2МожноС—3,=С+х—1 получаем0,Л,СБ,ж=Сспособом,другим1 и, например,=9,аполагаяхприх=———11:имеемприИнтегрирование2.§Приспособа,основныхэтогорешенииB)ФормуладробирациональнойхJa-+Метод/+ринтегрированияПримерВ4[fАdx—-—хC),т.е.изобакомбинировать1, а Б=определитьА-\-Вравенстварациоследую-дробейпростейшихНайтих2+р2(х2какобразом:+называетсятрехчлена,1Г1_Оставшийсяквадратного1=IO+х2х=(х2+—3=1,+то0,<имееме.т.дробичислительпроизводнойчислителевПоэтому1)'+хсто-трехчлена,4—знаменателе).внаходитсяинтегралAq—выделениемстоящегопримере.dx.1+хнарассмотримдискриминантТактипа.типа1—-тслучаепреобразованиеквадратномэтогох/Jследующимх-C.+отрицателен:третьегоdxИ__полноговыделениемквадратавтрехчлене:dxdxГ_~х2+х1+(х+2х-1f_^fix3/4+31+B(хзаданныйрезультате/1/2J:/г\/3./В1.—произвольнойинтегрированиедробейзнаменателе,квадратногоJвбыхприq3.в(этох29=Aln\x-a\=а-рассматриваемомдробьпреобразуемСинтегрированиюкг<О,129типов:Aстоящегобыловсего=чтопоказывает,функцийэлементарныхлучшехприсводитсячетырехследующихпримера4 при=коэффициентовравенстваизАнайтит.е.классовинтеграл,=-1,In,(x\/3*1/2)/>/зJ+равен2+х+,1)ч-Vг-3 arctg2^—тг—+1+^С.Оква-ОГл.130Интегральное7.4т4)2Л*.Метод"R4-+Р2-4,/<0,,fc,*дробейинтегрированияоднойфункцийисчислениепеременной2,3,.
.=этоготакжерассмотримтипанапри-примере.4.Примерр2Здесь<четвертоготрехчлена:4g—J^Найти4=12—Сначалатипа.—8=-}т.е.в(l/2)(*[0,<выделяем3)+l+3J2B2{х2Длявычисленияоставшегосястандартномук2х+7J {х2(х23)+интеграла2х+предварительнополныйвыделяявиду,dxГ1егоче-квадратногопроизводную2z+дробьпростейшуюимеемчислителеЗJ'+приведемквадратквадратномвтрех-трехчлене:dxГУ"(х22х+ДалееЗJ++1Jd((x+l)/V2)(IУ/•yd^Jt_/свести2v^7du(l~Уu2du_(Т+W1+/1_arctgnu2+частям:f1+n21+Г1_du((а.\14-22х4-ЗJdxС=\г/I arctgn-+4-^С17=—-2(х22х4НВ+получаем:■4-J (хпоУ1(х2dxГинтегрирования--а;4~A+г/2J1Окончательно2J+1)/ч/2JJ+метод_[^+u2~u2i_[n2J+"((х+используемdu1_J ({хГ1_~2y/2jAdxГ_общемвычислениеслучаекинтеграла>4\/24-3)parctg—7=~2 рассмотренный/ Aв4-и2)~к+л/2т"~^—^4 х24примереduквычислению2х+прием4-^3+позволяетинтегралаС-О§Интегрирование2.основных/ A 4-ii2)~fr+1интегралов(iu,131вычисленияметодинтегра-типа.этогонаинтегрированияметодследующемДробь2х[химеетi.)-тх(х2це-вIJ+ееправильная,—дробейдробейрациональныхпримере./dx<функцийэлементарныхрекуррентныйдаетт.е.Проиллюстрируемцеломклассовразложениевсумму+EпростейшихвидА1ВхСDxСх{х2++_Имеем1Полагая=х0=+0,находим=одинаковыхIJА(х2ЛстепеняхСЕ,+1)+=+1)Приравнивая1.0получаемж,т.Вх2(х2+Ex.+коэффициентыЛ=Dx2+Б,+0оди-приС,=0=2ЛВ+Z},+е.Следовательно,dxГЗаметим,не+х2)-х2+IJх(х2A+7.158.х(х2IJ7.160.J/ х2 dXA/т^-.
5442+4х1)+по-можнокоэффициентов,{х2+именно:аIJ1жж_=1)+(х2+интегралы:Jпростейшиех-ж2х{х2Найти\у+=на—х{х11ж2)+dxнеопределенныхметода{1ждробиприменяя1х{х2жразложениечтоилучитьA-5^.7.159.7.161.IJжж2+1(х2+IJ'Гл.132Интегральное7.-=-^—./7.162.функцийисчислениеJУ^-/х3dx.-Ах7.169.У[(xх3Зж2++7.173.2)(х777-Уx2fx-+4+17.179.-.Найти/уdxJJ2)+/-г|Чт.B174*7.180.7dx-7.165.У (ж-1J(ж7.Ш.переменной\ -тг^ТГ7.163./7.168.однойf^r^dx.xA-l7.181.неинтегралы,J/тх42x2коэф-неопределенныхметодаприменяя+коэффициентов:/7.182*./7.184.7.186.У7.188.2.Ух4-+*""„+f^—£-dx.(х+х5отделяя"Ух4-а4"Гг^Ш7.185.85*..У х(х6/"—j7.187*..У (х47.189.1)9Уи/ sinвидаизодноотнечетнойчиселcos"a;илиmстепениI)++^——--2)1)(х/ х9 ff++??\4-х3-2dx.тригонометрическихбыхотято,„■3+ИнтегрированиеЕсли7.183*.о.а2х2'&.Ах2,/ -^х7.а) Интегралыфункций,число,х4гиперболическихфунк-xdx.пнечетное—одинположительноесомножительцелоеивыражаясИнтегрирование2.§sin2формулыпомощью,основныхcos2+хфункцию,дополнительнуюх1 оставшуюся=J/степеньчетнуюинтегралу.табличномук133функцииэлементарныхприходимНайтиб.Примерчерезdx.,yxosхИмеем:</sin3x.ax.v^cosx/dЕсли/=,/cos/* sin2x.smtaxx,x4-v/cosx7тип//* cos2xУcos2A-cosxчетные—V-—34/—:r~x—4/—-—-i—-vcos1^^-^.x_t>11точисла,двойномукcos4cos13неотрицательныеперехода.avcos;rVcosxпосредством.т——,4,a/./——^cosx,жепонижаютсясаргументустепенипони-помощьютриго-формул:тригонометрических1 +9cosх2хcos,х/ sin2Найти7.1оsin—Пример2хcos—1sin—,xcos4cosхx=2x.sin-xdx.Имеем:<J/f2.sin4xcos\=-8/7jxdxf/—sin2Если+mотрицательным=рованию-8 77//fsin2A: G2xsinт.e.m/" sin2=-8 7x2x1 +sin+являетсяn4xcos//sin1/3xcosНайти8.113оокак=степеней/sin1/3xcos3/3xdx—4,то4xцелымsin32x/tg1/3x_четныминтегралаdxCOS4Xсводитсяt>отри-tgx13/3xdx.вычисление—C.-^—+подстановкитангенса:=dxdx+2+использовать2xcos—1/*1dx2xdsin2x-—--^-N,I—2xcos•7xdx2xdsiцелесообразното•?cos"t.ПримерТак\+—2A:,—\2(smxcosx)16числом,ctgx<nft-dx2xЛиклассовкинтегри-=tГл.134ДляИнтегральноефункцийисчислениевычисления2, 3,—7.интеграловtg2Пример/ ctgmxdx,xsec2=x/ ctg4Вычислить9.ctg21,-xdx,гдеm~формулытригонометрическиеиспользуются.
.,/ tgmвидапеременнойоднойxcosec2=ж1.—dx.xИмеем:<\/ ctg4dxx/ ctg2=^(cosec2.xctg2——1)-d ctgxxdx—(cosec2—x1)—ctg3Вобщемцелыевычисляютсячисла,выводятсяпутемспоВывести10.помощьюОИмеем:гдетипформул,которыеформулудляJdx/COS2/C+1си—-г—.—Xнайти/2*+!=J/dxГJ/=2/И-1COSX2/sin2xC0S2^+iтт.cos/у4-xcos2+x^ШCOSfu——,их=sin=ГsinsinжГогдачастямполучаемdxf~2kJИЛИ^2Jfc+i(рекуррентнаяформула).—7Г,2ксо^гкх^7Ь(\1—777"2к;)hk-ixcos2A;+1аиx1x/ужЖпо^~x==,—гт—:—аж.C0Sинтегрированиемsin in.dxdx—2.cos2^-1Sinш;ж,xX•Полагаем—f sin2dx—Lkdx,xчастям.рекуррентную.ееctgxрекуррентныхпомощьюинтегрированияПример=x/ sinm;rcosnвидаинтегралыслучаеdxx=cosxax,г?=§Интегрирование2.Восновныхчастности,/dxкприsincos3Найтиинтегралы:7.190./sin37.192.Icos7xdx.7.194./ sin27.196./1=dxГ2j.хcoscos2xdx.7.208.7.210.б) Дляразличных7.193./7.195./coscos4У7a;tg3/coscosvsin3x/'-;v7.205.sinxdx.cos/"7ж7.211.применяютсяcosapsinasinCsinacos[1-(cos(a-(cos(a—=—dx.xdx.dxsin3(ж/3)cos--(sin (a -/?)+•/?)/3)-f-(ж/3)cosxcos22xdx.исинусовтригонометрическиеследующиеcos/7произведенийинтегрирования|)/sin62xdx.7x7 209аргументовcos5ctg4+f7.207./-4-.sirrxIУxxжJ (ctg3 |7.203.^-==.—cos2xcos&жdx.x/"-^-.7 cos4У2xsin4sin4x7.201./dx.-dx7.199.cos0xsin7.206.3•xsinJJseca;2x7.197.7.200.7.204.1351ж/•-—.7.198.7.202.sin2 cos2x*xxdx.xфункцийэлементарныхимеем1x2 cos2жклассовкосинусовразлич-формулы:(аcos-f/3)),cos(a-f/3)),sin(a+/?)).Гл.1367.Интегральное11.Пример<функцииисчисление/НайтиоднойпеременнойcosQxcosbxdx.Имеем/cos9xcosЪхdx—2 уНайтиинтегралы:7.212./14ж)(cos4x+cossin3xcos5xdx./xxcos/7.216./cos-2cosв) Интегралы3cos2xdx.-3xdx.7.213./7.215./УR(u,v)X—Приt-рациональной/*—282хт,sincos-3sinUx+C.>dx.—3sinxsin2xsin3xdx.этом1-t27~±oiНайти12.xПолагаемtgJ—к/2dt^Хi_—""To"-dx4cos3 sin+xx5+Тогдаt.—приводятсяt подстановкойформулыиспользуются:Примерпеременных,аргументадвухнового2t<\sin4ж+cosx)dx,функцияфункциирациональная—отх8видаинтеграламtg-—sml0a;sinl5x<ix./7.217./ i?(sin;r,гдеdxda;4cosx3 sin-f2=2|__|__x5+dtУ DA«2)/(l-=2|<2)++3■2*/(ldt+t2)+5)A23Jt +3tg(/(x/2)+32)+3+2.§ИнтегрированиеЕслиосновныхподJГcos2наdtgxJ_~sin2хНайтисте-xиподстановкуиспользуяtg2dtГJ_~~1 +х5-tg2xl+2t41П4-1С+2*—1=-2tgzInD>.l-2tgxинтегралы:/-———-.J 3cosx7.218.7.220*.j//'fJ7.222.7.225*.УJfdx7.219.2+8ШЖda;.1 +7.221.sinx2coszJ7.224.используютсячетныхвt.=xзнаменательиdx5-г)sin21-5=аналогичнотолькоtgx£, получим:ГJсодержатсяx137dxГчислитель=1cosифункцийэлементарныхподстановкуНайти13.РазделивxиспользоватьПример£sinинтеграломудобнеетостепенях,классовx—"Г"2-cfa.cos7.223.5+xdxfJ f3/—У47f2 sin—+xcosxdx.siira;^21 +4 cosz—7 cos2жdx.x-*?—.2f—sinж(s smx+sin2x4j(smx8 sin+Интегрированиеxcos7.226.lj—xcos212+Jгиперболических1—ctgxxфункцийпроизводитсяпричемфункций,тригонометрическихинтегрированиюследующие/формулы:ch2х—sh2-—th2ж=+l),xxchsh2xcth2то-,chsh1,i(cli2ich2a;=1xxsh^(ch2a;=ж—-12ж,1),-=shжанало-использу-Гл.138Интегргтьное7.Найтиинтегралы:7.228./ch2Зх7.230./sh2x.232.Jdx.ch2dx.x*/sh27.229./sh32х7.231./ch4x7.23Г.ch2xJxdxоднойфункцийисчислениеdx.dx.sh2xch24—/ \/chx7.235.переменнойxldx.+jf7.236.cttfxdx.Интегрирование3.fth4xdx.7.237.а)функций,иррациональныхнекоторыхИнте-видаИнтегралы\\схi?(x,гдеаХ-fЬСХ+d.
.)z,?/,П2,Ш2,функциярациональнаясвоихвычисляютсячисла,г,гдеsПроизводимоощий/mi,ni,подстановкипомощьюдробейзнаменательНайти14.Пример—аргументов,с„=<3—целые—..d+7П\7712—-,—,..П2П\dxГ,подстановкух+3=tA.dxТогда4t3—dt,следова-и,следовательно,1dxГ-л"(^T-i)v^T3IГ^dt-"(t -1)*2=Найтиинтегралы:7.238./-7.240.JГ%=.-JL^.y/x-tyxЦ</х+In|^ТЗ1|)-C.+/"-^Й=.7.239.7.241.3 +J//(x+</a)(l^f~a;'+j/x+a)dx.>§Интегрирование2.классов[?[Щ-±-ш7.242.б)основныхвидаинтегралов/ R(x,RгдеВыделениемполногоиизодногоах1Л-Ьхв+х—квадратномbисходный—следующихс) dx,-\-спроизводитсяаргументов,следующимтрехчленедвухподстановокквадратапеременнойуфункциярациональнаятригонометрических—помощью1397.243./ Vl(lKВычислениефункцийэлементарныхпоследующейиинтегралпо-Выделе-образом.заменойприводитсяинтегралуктипов:трех/l2-u2)du,ПоследниеиI sin—=и—иltgtилиu/sectилиuкПримерПроизводимasht,f\/x2tилиприводятсяОилигиперболическойcost)dtилиподста-соответственно1)2)u3)=тригонометрическойинтегралыподстановкойlcht=/ i?(sin£,/ R(sht,cht)dt.Найтихподстановку-a2dx£,lsht,=видаинтегралам15.иI th——acht.Тогдаdxashtdt,—далее=a2fsh2tdt=—f{ch2t-l)dt=y/x*—ас=Гл.1407.ИнтегральноеПримерВыделяя<4ж+7K+/имеемdu[—,У(мУ(п2л/3=где3K'+и2.-fх—dtg ^,получаем:dx//переменнойтрехчлене,иподстановкутеперьv3sec£,JУ7K K+4.x+квадратном=—.ПроизводяIвквадратvVодной—.полный/dx=/У /{х2Найти1G.функцийисчисление=у/ l/1iIn\Q2sin-iQ3вычисленииf/-Iлt dtcos1?/.интегралови1уо=5-4-rr+3уж2о+4.x7+вида+тж\Jax2пdxbx-fввыделитьпредварительно=•Iследуетctt3-/-оПри1.7=/4-11=уДf/+счислителепроизводнуюквадратноготрехчлена./хИмеемx~l4.x--x2dx=J2У1—V1ft4ж-y/\4.x-Заметим,чтотабличному-вэтомmxрассмотреннымк+n=-./54примеретак—вышеу1—4х{х-х2—2)+—23 arcsinС.-f——-V5нетнеобходимостикаквыделениепроизводитьполноготригосразуквадрата>интегралу./dxдятсяx2-"Vlподстановку,кж2-=тригонометрическуюприводитdx..(тх4интегралам—гnyy/ax2=====+сbxпомощью+с(г=подстановки1, 2)сво-§Интегрирование2.основныхПример<1Полагаемх/Найти18.=■классов—,-2*.2.т-=1-dtdxТогда\/х2—-,сс/L141dxГJ ху/х2-.функцийэлементарных2х—1—a/V~j=1с=гt2-tdxxy/x-=—2x£ -+-arcsin1J y/2t2(l/t)(y/l-2t-t2/t)С+—?=-НайтиrfifУ1-arcsin——1/х+1\- С7=fdxI7.247.—di.7.248.++1—7="dx—7.:тт2-dx7 250dx/"-==7, .252.7.251.x2-бхЖ~Vx2=da;.J6z-A—.7.255.1+XxVx2+1JA \/l7.262.fГ.264.А Уа;2-2а;-2жx2-=.7.259.dx.7.261.-j=L==.+10«Ьв.+V2/JAx-q4-7=Уd3:7.258.d,X.+px+7.257.8x+yjx2/xЗа;2—.7.260.хarcsin——(tинтегралы:.246.7.
