2 часть (1081353), страница 4
Текст из файла (страница 4)
.,этиу=гVеnимеет)(здесь<Ут1,0,числа—п..yr-аПример<Таккорняминазываютсяа4е=4=I27ГcosА:(^HПриА;=:О:2-й,ПриА:Прик5.495.3-ймогут1:=2:=иНайти4-й(\/а)\—(^/аJ=з5.496.>Д.5.499.л/—15.501.ty-1-i.5.503.{/BЧислаизA;zj.,комплексногостепениизг sm—зу1,то9/aчисла——2 +2г'\/3.f^4(cos—\cos—9\гsin—+гsin—+9на+гsinвсекорн*j.—-9)комплексной).>плоскостиединицы.У=Т.гл/3.5.498.^9.5.500.5.502.-найдены\/4укорней:5.497.Доказать,[cosиззначенияЧ-v^изобразитьивсебыть-степениНайти5.504.число).степени1, 2.0,=)12тЛ+—\гдеrsmгпп-,3-йкорни/з,го5^/а.все,2тг_1_n-йсимволомНайтиг..положительное2.как1,1,обозначаютсяирешенийп0,=Тогдачисло.различныхформулойcosдействительное—пдаются*;=комплексноеточностиврешенияn45числафиксированное—N,£причемЛф 0,аna,=Комплексные5.у/Г+Т^Д-2гL.чтоквадратныепоформулекорниизкомплексногочисл—Гл.46ИспользованиеS(ip)ТакПривести3.sin=ipsine/?какпрогрессии,кsin-f-ei<pIm=-f-Im+тир,ф 2тгт,(рформулуZ.£mгеометрическойсуммы(ny/2)(</?/2)Привестикcos(p +cos5.506.coscp +cos5.507.sintp +sinМногочлены2.cossin+..++..sin+cosтр.+cosBnein</?)+..=((n1)</?.l)cp.—Bnsin+..—(полино-Многочленомуравнения.функцией)рациональной+логарифмирования:для3^5(/?5cpcos(ny/2)sin=алгебраическиеицелойилиудобному2(p +3(/? +3(/? +виду,5.505.ei2</?+—^—^cin±l^Im{eitpIm=Imlpsin(полиномомein</?Im+..=1sinn-йфунк-называетсястепенивидафункцияpn(z)С,G2комплексные),ai,а0,причем+an-i^'1+ненулевой.••++axzа0комплекс-^ 0,апE)2о,илиВсякийодинмереЧислоявляетсяzqбезделитсяостаткаPn{z)q71-i(z)остатканакорнемкратности(z—zo)k,k^к1,ф0.—ноне-(вообщекореньитом—толькот.zo,втоме.zo)qn-i(z),Еслинаделится{z-zстепени.pn(z)\=вбиномна1)-ймногочленаPn(z)qn~k{zo){z=(nмногочлен—pn(z)многочленакорнемpn{z)когдаслучае,F).много-комплексный).говоря,ко-дляуравненияалгебры).крайнейF)Числостепени.теоремапоE)а0,говоря,0,=n-йимеет+aizмногочлена(основнаястепени+..(вообщеуравнениемкорнем—Теорема+коэффициентыУравнение—N.Gалгебраическим05 называетсяГауссаРп(^о)многочленпа,,.^71-1+ап.
.,^ 0,апназываетсякоторогоan*n=апгпгдемногихлогарифмирования:дляsin-f-..используяto,ei2*Im+=гдевополучаем:S{ip)гдечиселкомплексныхудобномувиду,2tpIme7</?,—анализвычисления.упрощаетПримервформыпоказательнойзначительнослучаях<Введение5.приzo)kqn-k{z),(z—этомzo)k+l,pn(z)делитсятоz$называетсябез§ГауссаТеоремап-ймногочленстолькоЕсли=—iyo+хоiyoможетимеетстепенисчитатьПустькореньpn(z)многочленЕслиобъединяяможно<3этотдействительнымисНайти4.кратно-Тогдаегочисла,сопряженнымкор-линейных1+ииква-егоразложитьмножители.ТаккорникакzQ3-йстепени2z3+l+(z3=-1:изlJ,+то7Г.7Г*3Прикаждыйэтоммногочленаz6+2z3Объединяя12e+2*3+52z5.510.+5.511.z2+EBi5.514.(z-+кРазложение2.=этоговидодинвсомножитель,получимкоэффициентамиl+(*=0.=2i)z3)z--двучленные23.л/3--1Т.l)V-*+lJ.+>уравнения:+Решить1имеетскобкидвеквадратные5.512..л/3кратностьдействительнымисz2z25.508.=1(z=множителиРешить7Г.множителипоследниена.имееткорень+7Г.СОв--18Ш-=линейныенаявляютсямногочленаэтогокорнями=-1;Лразложениеп)действительныекоэффициентами.z6 + 2z3многочленакорни—имеютzm)k-.произведениев1ILAz25.509.+5A+5t)--i=-2z1+0.=0.=0.уравнения:0.--16=0.5.513.23+15.515.B+IL=тождествокомплексномногочлен^n).=zoхо=гоисправедливо.
.(z-многочленамножителейПримернае.—соответствующиеразложитьквадратичныхz2)k*-km+..т.(гаzm•..,+множители,zx)k^(zскобки,k2+и~zqzqкорниz2,z\,(k\счи-числачислосопряженноепричемкорниkm. .,коэффициентыэтомприfc2,=an(z-Pn(z)корням,имеетмного-кореньдействительные—5.449).задачулинейныенаразложитьто,E)образом:каждыйеслитокорень,многочлена,(см.fci,соответственноможнократность.этогократностьстейследующимкорней,многочленатакжеодинаковуюпкомплексныйего—уточненаровноегокоэффициенты47числабытькаковараз,—Комплексные5.0.=+16=0.разложе-Гл.48Решитьбиквадратные+ Ш2+ 9z2z4z4z45.516.5.518.5.519.Решить20+5.522*.3+Показать,Следующиемножителис5.526.£4+4z35.527.z^всеz4limznп—»ооz4z3+6zs—фаооиодин1;—z2+квадратич-1.+корень2i-1-В.=двукратныйизвестен100;+известенкоренькореньлюбого0>евыполняетсясуществуетN(E)>пПустьхптогдаиЕлюбогодлявыполняетсяитолькоЧислочисел(z7l)neNiV(e)а\<>упlimxnп—>ооЕ.>limчтоlimПустьznФа—п—юоlimиооп—>ооwnRe='иаlimп—>оофЪ—Доказать,оо.что:(znlima)n>oolimn-^oolimПусть5.531.чтоwn)+?г->оо=—wn-.О+а=zn=аlimб)6;фznwnn->ooооиlimп-^-оо=wnzn=yn=п—юоIma.5.530.чтоN(E)номерДоказать,когдатогда,назы-пишуттакой,существует\zn\Im^n.=аибесконечностик02г.е.неравенствоKezn=чисел.сходящейсяназываютеслиоо,—-1 +=номер|^пнеравенствоznzxкомплексныхдляпри5.529.—z—(zn)n^чтоzA5.525.комплексныхп-ъоотакой,z29z2+еслиlimпишут0.линейныеизвестен—Последовательностьи1.+последовательностиЛГ(е)>ппри=коэффициентами:l £2+14£+10;z4+а,16-(eeга)-напоследовательности=15г4+.\/3Пределпределом3.0.уравненияA5.524.15.528.корниJъхг85.521.разложить++=0.=действительными1.-34-различны.многочленыz4+1)0.=чтои5.523.4г2+уравнения:действительныназывают2A+-квадратичныег40.=i)z2+Az3+анализ5.517.0.=трехчленныеz65.520.вуравнения:81+A-Введение5.ab.—bФQ.Доказать,'ВычислитьКомплексные§5.гН—A п49числапределы:(lim5.532.п—>оо2—уШ^.Ь.Ш.
Ь.Ш.Ш-^—^—.5.534.П-+ООlim5.536.га—юо+И+—)Iп{2i)n.72—»OO5.540.щ,, !_!5.541.lim,-fclim.т<П/1sinn+-у\/(lim1 +-Tiз-1—последовательностиследующие1\п\1 +tn5.544.-r.что-еш4\iTг)пг-'. .+n—>oon,lim[у2n+i(l--liminBга—юо/3^,__qlimlimп->оо5.537.5.542.-г.1 +га—юо44г-—~—~.lim5.533.).+n-^ooпV)П-КУЭf"Доказать,+5.539.n5.543.1п12\lim5.538.ЗЗпг)+)JI.\n2iiJ.ноограничены,расходятся:5.545.znг11.=(5.547.г„не\чтосходятся1\1 +=Показать,но5.546.(-1)г-e1-n)25.548..21.шггп-(гп2-+n(-l)n).+последовательностиследующиебесконечности:кznнеограничены,•7ГП@—5.549.гп5.551.Пусть\a\<argaаргументов).Результат<(припA-+гп).тпoo)тогда5.550.\zn\—и—часто-г)2InДоказать,rnП~>00областиlim\a\=znlimи=аргу-вычисленииприa—G97;7i-^OOзначенийглавныхиспользуетсяп.чтоlimкогдавыборе5.551(ег-arg^n.тогда,надлежащемзадачиюптолькоигппределовпоследовательностей.комплексныхПример5.Пустьlim</?/—I Hдействительное(</? ф 0).числоi p\n—cosш+гsinip—ещ.Доказать,чтоГл.50<РассмотриманализвдействительныедвеГпВведение5.последовательности:=71?nВычислимихОтсюда1 +rn( 1narg=+J—narctg=-.hmtpnIlim=hm—Ч>arctgnn—№oU(cp/n)arctgi.limy?=—</?.=;У/'П'n—>ooполучаем/упчоо5.552.—)n+Пусть2(llimДоказать•(costpсходимость>5),примерisiny)+ei(p.=(см.ex(cosy=n/isimp)+Доказатьiy.-)+\n>oo1=/+x=n\•[llimихJ—пределы:limn—>oo(arg=ex+iy=чтоe*.=последовательностейследующихнайтиипределы:5.553.гп=zn,5.555.zn=1+5-556-^-5.557.Вычислить5.558.Пусть\z\+z5.554.1.<+..znlimlimzn—lrim71—ЮО+Z$'+a^oo.—Zi+Z2<1.\z\<l.zn,n-+ool+Z271—ЮО|^|n^n,-если-,Доказать,+..+чтоZn=Пa.\z\''<1иbo'I'<1.ГлаваДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕПЕРЕМЕННОЙОДНОЙОпределениеПустьфункций.функцииуПроизводнойД/(хо,#о,/(#о=Дх)+Дх.аргументапроизводной)первойфунк-приращение—приращению(илизаданныхявноf(xo)—соответствующеепорядканазываетсяхоДифференцированиеАх)точкев1-готочкевПроизводная1.производной./(х)=ФУНКЦИЙИСЧИСЛЕНИЕ§1.6функцииу/(х)=предел^Аа;-»0A)ДхЧисла/_(жо)lim=Д(*„)=/(х)точкевточкеввэтойточкеПримерИмеемДляХо-необходимохопроизводные<левойсоответственноназываются=lim/!_@)Д@)илеваят.праваяиу=f(x)производ-е./(х)функциидля=|х|./(х)limДх=|х|ДхАж->-01^1=Ах>+0Д£lim=Дх-0lim+функция\МИАД@)=чтоf'(xo)еесовпадали,функциифункцииопределениюГ(о)=Заметим,чтобыиНайтипроизводнымиправойпроизводнойсуществовали1.поисуществованияидостаточно,неАж->4-0имеетпроизводной^Дх1.=*вточкехо=0.t>Гл.52б.ДифференциальноеПроизводная2.{хаУ{ахУ3.(logaz)'=аха-\=ах5.6.)7.(ctgar)'8.(arcsinx)'9.(arctgx)'2-(/0,>аз.(CfyП.Пустьz=д(у)z=#(/(х))хCOS2V—7-2-.sin=/'=X~t~функций:/(х),ифункцияимеетуf(x)=производнуюимеетимеетх0—=log3производнуюуB),ифунк-ув/(#о)-=точкеТогдах0,сложная=^'Ы/Чяо)функцияфункцияB)функции).функцииarcsinx,zимеем=1og3eполучаемarcsinаравнуюсложнойНайтиz'(y)согласноуопроизводную,дифференцирования2.дифференцируемые—производнуюточкевточкед(х)^(f)^^^'^0-••+cf.=zх-.x.постоянная—в-.1-х2дифференцированияС*)'==-(arcctgx)'=ПолагаяОтсюда,(Inж)'x-(arccosx)'=ПримерОф\;аX*'Ы(правилоех.sinx.-=+то-функций:элементарных=Тогда:функции.технахожденияcosx.=ПравилаПусть(е*)'0;>аа,logae--,=I.множествеа^О.In=(sin ж)'(cost)'4.основныхпроизводныхпеременнойПроцессфункцией.дифференцированием.такженазываютнарассматриваемаяявляетсясамасуществует,производнойТаблица1./(х),функциионагдеточек,однойфункцииисчислениехл/1-х2=log3(arcsinx).§Д/(жо,Найти/(ж)/(ж)/(ж)6.1.6.2.6.3.Дж),г3,v^,==/(ж)6.4.ж0sin53-Ах=Дж-90.-Дж,функциюкакж0ж,0,1.0,25.=0,100,=Аж)=Ах1,=ж0Д/(жо,НайтиПроизводнаяесли:ж0lg:r,-1.=-.Имеем<^8Ш='V2/)+\2Sm~=2Л/(ж)/(ж)/(ж)6.5.6.6.6.7.=ж2,ж0=-е\жо==log2(a;),Пользуясь/(ж)</тгДж—cos(--+ДаЛ--2sin2-—.—JлДжо.D>-1.1.ж0только6.8..2sin=1.-f'(x)\найтипроизводной,определением=ctga;.Имеем:,(ctgx)ctg(xhm=Д.т)+-ctgx~hm=ЛжАа;->>00Hm—sinАж->о6.9./(ж)-6.11./(ж)6.13.Известно,—.2х.=Доказать,hmэтот-жо/(ж)—Жзаданной6.15./(ж)6.12./(ж)=/@)—/(ж)=/(ж)\х-ж,найти1|4-|ж+(жсуществуети4-Sil,(жг-f/АХ)sin2Дж)Hmпредел/1_(жо)1|,^производную(ж0).ж0/-жsinXжж.имеет/(ж0)=—Sinх->0/(я).Ж/'@).равенЖожlog20—есличтож/(ж0)Для-пределДоказать,х->хо/(ж)чточто6.14*.6.10.:.АхАж>Аж->0=тоесли:иж0=1,Д(жо):±1.вточкежо,54Гл.<Имеемб.Дифференциальное/'A)=Иш шоднойфункцийисчислениепеременнойX-l-0(6.18./(ж)=6.19./(x)=\/le-^2,-ж0@,6.20*.x<^0.=0,=xПоказать,функциячтоО^ и,непрерывнахприправой0,=нохтнеимеети,О——вэтойточкелевой,нипроизводной.Найти6.21.производныеу3=2ж-_16.25.6.27.уу=+-хА.Ж„ +1.—6.22.3у=и~х-1_6.26.ух=(ж2Ц^-.
/2-6.28.1)(х2-уу=(л/i-l)4)(х2,(-т=+1 )•6.34.у+=3/—о6.33.-1j_хл=функций:следующих=L9).ни§6.35.у6.37.у6.39.у6.41.6.43.Производная1.6.36.у=6.38.у=6.40.у=1пж-Зх).6.42.у=Зtgж.6.44.у=6.46.у=81Пу.6.48.уA+4.т2K.6.50.уsin2Ж3 Ctg\T.COSЖsin1 +ужу2 sin6.45.у6.47.у6.49.у=6.51.у=6.53.у6.55.у6.57.ужж—+а.Зж6.52.-.Inarcsinжу\/l=ж.sin2^K.еcos'log2sinжsinхж—+—.cosжcosж-.+2ж6—cos—.о=sin+Зж3Ах\/1-sin4:r.—(6.54.у=cos26.56.у=ж2ея.).--.ож-уж26.58.j/6.59.2/6.61.у6.63.у=6.65.у=6.67.у6.69.у6.71.у/а0+а+In-(жг-г.+=arcctg-.COS2ox/=(жarctg32'.-\/l+ж2).lnx6.72.а).+уж-6.60.у6.62.у=6.64.у=6.66.у=i±£In=43/lг+tg[x+-].6 +arccosа6.68.у=6.70.у=у=Inх•lgж—а+bInаcosхcosж•logftжГл.56б.Дифференциальное6.73.у=6.75.у=НайтиInlog22x.y/llnarctgsh.x6.78.chx6.79.thx6.80.cthrrс~х—=—shxу=6.76.у=ch.TСП=Жslu;Применениесинус),(гиперболическийкосинус),тангенс),котангенс).функциифункции,этойуf(x)—называетсяпро-т.е.логарифмированияпредварительного+х2).частоупрощаетвычи-производной.Так<Найти3.Примерфункциякак(см.Отсюдафункциипроизводнуюопределена\пу=хприGу[0, 1]—B,U\1х(х1)—•Vх-Ьоо),2—то1| -1п|х-2|).-Aп£-Мп|х-6.117)примере.VПример4./=(lnv)Найти/1ч/;х2-4х*V=2/A)BK2+t>,сложно-показательнойпроизводнуюфункции-н:О\/а2+(гиперболическийпроизводнойлогарифма(хфункций:(гиперболический——переменнойоднойIn(гиперболический———отвычислениет.6.74.гиперболическихсхЛогарифмическойпроизводнаях2.+производные6.77.функцийисчислениеЛогарифмируя,получим(такVкак1 Н—0)>х1 н—ж/)./§ОтсюданаходимПроизводная1.57левойпроизводныечастейправойиСледовательно,Используялогарифмирование,предварительноепроизводныенайтипроиз-функций:следующих(ж1K+6-83.У=6.85.у=ж*.6.86.у=я2*.6.87.у=VaT^.6.88.у=(InжI/*.6.89.у=(sina:)arcsinx.6.90.у=ж**.Вводяпеременные,промежуточныепроизводныевычислитьфункций:заданных6.93*.у6.94.у6.95.у=—(cos2(arccosxJIne~x6.97*.\/1+x(arccosx).In(e~xarcsincos2.t).+)=Найтиу—a2x=—arctga~x.Пустьжкоэффициентыдифференцируеманепрерывна1Л6.96.—.2аииb так,_i_От*+Ь,чтобы<ГПж>0.функциялюбойвт*/(ж)быланепре-f(x)быланепре-точке.Пусть6.98.—ах2НайтинепрерывнаикоэффициентыдифференцируемааиЪ так,в|ж|Ь,+чтобылюбой<функцияточке.1.Гл.58б.ДифференциальноеНайти6.99.производные/14-=6.102.у=у=In6.107.у=log2sin6.109.у=logxe.6.111.v=x/xs'm2x.6.113.у=ln(sha:)6.115.у=6.117.у=-(cos2sinух)т{1+cos(sin2x)Aпи/—6.100.ш+у{1уФункцияОхЦг.6.101.=переменнойу/х+х\у/х.+х)п.x).6.103.тх).у6.106.у=6.108.у=6.110.у-6.112.v=6.114.у=6.116.у==cosnrnxЖIn—^~\хf2тга:++j.-——.zsna:shax.e~xоднойфункций:следующиху=\-6.105.функцийисчисление(tg2arctgж).(sinx)C0StT./^^--v^^(thx).arctg(arccosj——1п|ж|.2/|ж|In=VxопределенаlnlxlМ,Glnx,=n.x>0,х<0..(In/ 0,ж(—ж),иОтсюда{-,х>0,^jAп|х|)'т.е.=х-,/0.>ж16.118.у=6.120.у=6.121.у=ФункцияОжGав[fc,точках?у/с -Ь1).жarcsin| arctg[ж]ж,у\ sinxl.—ж|.[ж]где[ж]ж=6.119.т—г.определена—целаячислачастьVxGIK.ж.кЕслиПоэтому=к,кGZ:f'_(k)=k-l,/+(*:)=fc.t>GZ,тоу=&хпри§Производная1.59ж6.124.у=6.125.у=6.126.у=6.127.у-ах".6.129.у=sin(sin (sin ж)).In6.131.уу=6.132.у=6.133.Доказать,3а(р(х)Отсюдау=f-J\хJа£—-.OXпроизводнаячетнойнечетнойфункциипериодическойпроизводнаяпроизводнаячто—/'(жо),виф(х)точкеJ(p2{x)у6.138.у^ф(х)^х\6.139.у=кестьфункциягдеНайтифункции.функций:ip2{x).+6.137.ф{х)logv(x)четная.хо)<р{х),—дифференцируемые—сложных6.136.(х=функция—жо-следующих-f(x)еслифункциифункцияфункциипериодическая.(р(х)Перейдем6.130.(logxa)x.ж3 COS*3чтонепрерывнапроизводныеОиНайтиПустьcossin31ax3cos6xтакже6.135*.+x-.Доказать,6.134.функцияsinу3хsinнечетная,•6.128.О,<ф{х),у^Щ.<ф{х)arctg=>0.ф)>0,ф{х)>0,(^(ж)/логарифмам:натуральнымнаходимIn2ф)-•«*■*1.про-Гл.60Дифференциальноеб.f(x)ПустьНайтипеременнойдифференцируемаяпроизвольная—однойфункцииисчислениефункция.у:6.140.6.142.у=/(Inж).j/=/(e*)e'(x).6.141.(/(ж)).In=уИмеем<\у'f'(ex)exef{x)=6.143.J,параметрически.функций,функциячто2/)F(x,уравнением0,=есливсехдляпоазатемПример(-1,5.1)Уравнениеу2+у/(х)=C)тождествоследуеткакчастьсложнуюf'(x).относительноразрешить1урав-C)левую—параметри-задананеявно0.-уравнениех2или6),неявнонаопределяетинтервалефункции:двенепроизводные,иху(х)Пусть/(z))полученное(ж)ш{х)О>Ъ)(а,Е.т(а,(рассматриваях2/1Найтинеявно€хфункциипроизводнойх),f'(x)f{ex)).+заданных/(х),=уF{x,вычисленияДляпродифференцироватьфункциюe/(x)(e'/V)=/(/(*)).=ДифференцированиеГоворят,2.f(ex)ef{x)f'{x)+любая—Vl-x2,=тождествоТогда,функций.этихD).выраженийявныхиспользуяизD)_^~^=дифференцируяхпох2+2/2(х)-1,получим2х+2у{х)у'{х)-0.Отсюда*"т.у(хУе.б.ПримерВывестидифференцированияправилофунк-обратнойфункции.ОдляЕслихвсехf~l(y),=у£ЕувыполненоGЕ,—равенствофункция,обратнаяку=/(х),х€Л,то§Иначеобратнаяговоря,уравнениемнеявноПроизводная1.функцияхf(x)Для-y1(у)/=функция,естьзаданнаяE)0.=функциипроизводнойвычисления61хf~l(y)—E)дифференцируему:пооткудаПринеявномнеобходимоНайтиНайтиНайтиуху/х6.150.ехsin6.152.2х+6.154.arctg6.158.\пу——НайтиИмеемдлядействительнойу/уу—2увсеххосиу/а,еуcos=5-1),а;0.=+у2.хухА6.149.2у In6.151.sinуА+ух-уху6.157.ах'уж.=+(ху)cosarcsinx=6.155.х2у2.-(ху)—.(=-определеннаяу,уравнениему2обратных0.=arcsiny.-arctg—уравнениюфункций,е.=неявно:6.147.такжеудовлетворяет+1.=заданныхфункциячтоу(\)еу6.153.Jx2Inесли0,=если0.>а1,—функций,=М,схsh:r=определениюи,@,дифференцирование.гдетам,к(од+—1)у'0.=заданным:shx.=Gу17х.Доказать,1,по+2х+?/.=—=уЪхх1.=производные6.159.<У—+^6.156.точкеточкеv2+6.148.вследующихдля—+вухх26.146.2х2у2-уху'хтипаведетсябу-функцийсложныхдляобозначенияпеременнойзначениех36.145.какойпотакжеатакжеиспользоватьуточнить,6.144.хуфункций,заданиипроизводнойдлябудемтоследовательно,функция—с~х.sha:монотонноимеетТаккакнавозрастаетобратную,сх(sha:)'=обозначаемуювсей-\-с~хдействиarsha:.>0ПоГл.62Дифференциальное6.обратнойдифференцированияправилух'(arshtyV=переходяобычнымку6.162.уПустьуа(а;)=6.163.уу(х/\\у2arcsin2x.=).обратнаяа(х)?и—,>+оо-,и2iимеем.функция,—черезкзаданной=уf(x).если:гт.-Учитывая,—ехх,-—лобозначениям,6.161.2х2=af(x)Выразить<dix.=-—.chxе~х+(arsho;O6.160*.=——ехпеременнойполучаем—У1однойфункции=——Следовательно,функцийисчислениечтополучаем:хутаккака:а(у).=i,i~~В~обычныхобозначенияхQ(a)6.164.у=х+ех.6.166.у=х+log2Пустьзаданы>=x(lna(x)ж.l)'+6.165.у=6.167.у=хх3.+-.тInж.функцииte(a,0).Еслитоприопределенаэтомх—ip(t)наобратнойзаданнойфункцией,ДифференцируяфункцииG)(пример/3)имеетобратнуюt—(р~1(х))функцияноваяу(х)называемая(а,интервалеF)пох6),ииспользуяполучаем=г/,{<р-1(х)),G)правилоF).соотношениямипараметрическидифференцированияобрат-§у'х,Найти7.Примерх] Таккакip[-2=t,yt,ф'ьsincost63еслиcos2—Производная1.[О,sint,=cost,—тофункций,2 sinзаданных6.168.х=2*,6.169.s=t36.170.x=6.171.x=6.172.x6.173.x=6.174.x=arccos6.175.ж=InA6.176.x=36.177.ж=arcsin6.178.ж-6.179.x=у+(8)формулепо3t22,у5t,-найти+oo).(-oo,t Eух:+oo).(-oo,t G0,5t2,=находимtпараметрически,=.1_,хДляJ—t=У2"*,у22*,=уacos<p,—tgt,уbsin^,sin2*=(-oo,t e—Ecp+oo).@, тг).2cos2*,+16.180.x6.181.a;6.182.a;log2t,ctg(t2у1),-ash*,—уу\/l-=уt(tcostel=t—,2sint),-+oo).+oo).t et E@,A,+oo).+2cost),>/2).+oo).1.=уt(tsint=тг.cos@,точках:.=@,* Elnttint,-,y/i,t et et,ctgarccos=@,t E* +bch*,=указанныхв=у,arctgt,tg=arcsin—t-=уy/l-y/i,у^,Найтиt2),+*.у-Vf--,t <Et,у—e}smt,t——.оt7Г=—.64Гл.6.3.Производныеисчислениефункцийпорядков.производнаяПроизводнойДифференциальноефункцииувысшихf(x)=называетсяпроизводнойВообщеДляпроизводной<]Имеему7порядка=производной)п-йп1,—еслиу—In(х\/\+у6Л86.у—-2-го+у",иНайти6.191.Найти6.192.Найти6.193.НайтиПусть/(гг)х2).отследующихх.6.185.у=arctga;2.log2\/l-x2.6.187.у=е"х2.1>функций:-у'@),?/"B),£/IV(l),?/@),у;/ @),?/@),еслиуеслиу=у"@),у'@),=e2xsin3rz;.1).-ж31пж.еслиу=2sinxcosфункция.дифференцируемаядважды—(xIn=у(х)если(sinж).Найтиесли:6.194.ПустьНайти6.196.<3порядкаcos2V6.190.dnyахпСледовательно,,производные6.184.Имеемуи(х)у1\ у",y\пуГ^/=и6.195..т;(ж)дважды—у1п/(е*).-дифференцируемыеесли:(u>uv=—е.называетсяобозначениетакже.Найтиотт.т.е.используетсяу11',Найти8.Пример(илипорядкап-гопорядка2-го=порядкап-гопроизводнойотпроизводнаяпеременнойпроизводной,первойееоту"(х)однойflnu.0).Отсюданаходим^ =v/lnu+—и',Уифункции.у'§Производная1.65т.е.у'(Vу=In(и'hv6.197.уу/и2=Найтиухт,6.201*.у=sin6.203*.у=cos2Разлагаянайти<3Преобразуем6.200.6.202.6.204.In=+vквыражениедг2уа*ж,у=Inфункций:у=я.-.болеефункций,простыхфункций:заданныха;+11какG1)(докажите!),то+6.206.6.207*.у-у-^=L,1VоХ~т~Лнайти—X(жуE°).найти-т2———-,X-l)n+1уB°).икеШ.11In-.виду-/мv=2хТак2иЧ+г/п\найти2/vu'-заданныхот,1-,vu"u+-и'2комбинацию-i:х1упроизводнойa;.2х=-и1)+иv'u'uHии"N.производныеу,u+vitn-йлинейнуюв\2In.т.указанные6.205.£тv1НиInимvIn(Vuv-6.198.для-..vv2.+формулу6.199.-и')+u-1)71+1.>Гл.666.Дифференциальноеи(х)ПустьТогдадлясправедливаформулаv(x)ипроизводнойимеютпроизводныеп-гооднойфункцийисчислениеп-годопорядкаихпеременнойвключительно.порядкаu(x)v(x)произведенияЛейбницасправед-V1к=0V=биномиальныеПрименяя6.208.у=6.209.у=6.210.у6.211.у=6.212.у=6.213*.уаг<ПожГ9Доказать,6.215.+Вычислить22.x+-к +0!определениюнайтиsinх)ех,п!1)()=1).производныеуказанныхт/20).уE).найтиуA0).уA00).(еах cosbrc)(n)найтичтоbsmep—-,а=х+пер),{-l)n—^-=п-йфункциипроизводнойуU.—имеемусловиюлIу\х)\хПродифференцируем|/у»(дляп^откудаприа:=2)ПС—zxJПСI~гтождествоэтоТогда^ (п^чuj|——ох—раз,Ч.Т»-г1Оz.Лейбница.формулуприменяяполучим2О5у(п)@)-2ш/(п~~1)@)или2гдег(xn~lel/x)MТочке(Ьхcos-.значениевгпеах=Ь•что5у^1Ъ\найтия,найтие~ж,•найтиtgcp6.214.1)+х-£log2£,xsha;,Ь2,+З.тж2sin+Показать,Г9.(п—функций:(х2(х2—1)..Лейбница,формулузаданныхот=(покоэффициентыпорядковгп(пИ—+п{п-1)?/(п)@)=О,—§Мыпроизводнойрекуррентнуюполучилиточкевх(п0=Производная1.формулу?г-йопределенияиудляЗначения2).^67у@)@)производнепосред-найдемнепосредственно:2«@)=5'Затем,-Зж2чформулы-4.Тпзначенияполучим5j^+2, 3, 4,=19+(.x2-2xпоследовательнополагаярекуррентной.,g@)=с.
