2 часть (1081353), страница 3
Текст из файла (страница 3)
.0, 5, 0,-3,хпхпчлена-|, \-\ --2,|, |, I"-'5.219.формуламножествечленомп-м5.214.общегоформулу5.217.действительнапоследовательности:п5+чискл(.Написатьачленов(-1)п-.—:1.определеннаяназываетсяхп,пять1 +у\=4.-последовательностипервыехпf(n)символомчлена-3|.-\х-+ПоследовательностьюN —> IR,/:Числообозначаетсяхп2\х\-действительныхчисел.Написать5.215.у\+4=N+функцияобщего5.213.1|+последовательности.иВ\2у+\х2координаты1.называетсядействительных5.210.точек,=последовательностиПонятие1.1.==-\у\|ж5.208.=25чисел-Юп(наи--14.Гл.26Предел2.\х„N(e)а\—<Прие.Коши.ДляN(e)<.?>0.=еслиоо,~бесконечности),кначинаяс(отрицательны),Еахп(+оо=последовательности,Принциппоследовательности иlimИспользуяа)б)в)г)д)последовательностьестьаесть—а)а\хп<е=бесконечноlim—всехприxn>п.3,0,33..следующиес=N(e),ибольшая;последовательности.точкап->оо\хпзаписатьвозрастает;предельнаяапоследовательно-xn).последовательности;пределНайтипоследовательностиотрицания:ограничена;{хп)П£щчислоограниченнаяточку.этойlimмонотонноапоследовательность5.230.(последо-е.точексимволику,ихпоследовательностьчисло<предельнуюпределомлогическуютакжеаоднухп{xn)neN,этойчленова\—предельныхп-юо5.229.числобыизсимволомвысказывания,N(e)номеропределитьтакой,если:0,001;б)хп0,001;г)хп=е-,=0,005;Пв)1хп=-пsinттп—,2чтоначи-этом,последовательности(нижним)верхнимобозначается=—оо).=\хпхотя(наименьшая)называетсятакой,приВсякаяимеетНаибольшаяхпусловиюБольцано-Вейерштрасса.(хп)П£щlimП—>ООбесконечноеудовлетворяющихпоследовательностьxnположительныточкой0 найдется>еN(E)ЕслиЕ.>последовательностипредельнойназываетсялюбогодля(схо-limзаписьиспользуемlimЧислобольшойномер\хп\П—¥ООеслиесливидев0 существуетчленывсеномера,томалой,п—>оо>су-нера-записываетсянеравенствонекотороговыполняетсябесконечноформальночисла0>вбесконечноназываетсявыполняетсялюбогоN.называетсячтолюбогодляN(E)>пприN(e)>пЕр(хп)п^Писледовательность(сходящейсяприлюбого(хп)п^Последовательностьlim(хп)пещдлячтобычтодляепоследовательностьчтобытакой,хп\—неравенствосходящейся.называетсятогопосле-0 сущест->евыполняетсядостаточно,иномерлюбогодляN(e)>пприпределомназываетсяаеслиа,—последовательностьсамаэтом\хп+рхпп—>оочтонеобходимосуществовалнеравенствоlimе.т.такой,Критерийпредел,имелаЧисло(хп)пещ,номеранализвпоследовательности.последовательностивуетВведение5.е=5п^=4-—-—-,7п2—13е=0,005.что§3.ПределпоследовательностиВычислитьпределы:lim5.231.ЗпMil!.lim5.mn—>оо,i5.236.lim5.237.limZ7T,05.241.lim5.242.limQIL[77,z+5.249.у 5n(n+l)j£{хп)п^щпоследовательностьФ 0),последовательностьтопоследовательностейзаданных2^.=xnвсехпxn7ГТ1nsin—.=4--^=arcsinхп=п^1^.5.250.жп=lg(lgn),,{—5.252.■nI)(-1)".тгпxn=беско-{1/хп)п^щявляютсяпоследовательности:(—1)п=—5.248.точкипредельные95.253.77,-1большими:хп3nJLZ_^n:lim(-l)n~1-+..(хпизкакие—77,z+'••'.
.есличтоNЕ+'+25VnиНайти5.251.—ТГn—>oo2-3—--.2nn—>-oo5.243.—--большая.5.247.+..',—-lim5.240.77,-1+-^Доказать,Установить,2).-77,limбесконечно\/n3-{y/W+2-y/n).lim5.238.2+—'limмалая1+1[n->ooбесконечно071-|i"n3/2(\/n3n—>oo5.246.071—2f-{n-2f+.lim5.245.2n—>oo1+—39nn—>oo5.244.9fi—f;7"Вт5.234.3/45.239.7п—>оо(n5.235.^H±l,lim5.232.—-.п—>ообесконечно27чиселдействительныхcos—.4^2.Гл.28ВведениеанализвДоказать:5.254.а)Нтlim+хпИтб)Дляиз5.255.1 +=5.257.жп=(-1)пBп5.258.хп=^уп)+limиxnП->ООхп^,3sincos2=2.^n5.259.Итравенствочтодостаточными§условиемПредел1.D.аf(x)X—>Xqчтолюбого\f(x)пределКошвточкефункцияуlim—пне-являетсяxnп->оопо-предела/(ж)—функцииунаипределенаf(x)=в0 существует>е|ж0 <условия5(е)\х!хо|-6(е)<Говорят,чтокстремящемся0>>ВисуществуетДляи.xq\—точкеS(e)<множествеихоJ(e)числопишут0>следуеттакое,неравенство\х"достаточно,и0>числоестьабесконечностщЛчислои(г)>пределфункциипишутlimх—юо0такое,а\—прих,для<г,0>етолькокакеслиа,\f(x)чтоe,f(x)~=имелалюбого<у/(ж)}{х)=дляf{x")\-S(e).<учтобы\f(xf)чтотакое,жо|-функциячтобытогонеобходимохо,существовало|ж|изI._2~a\<e.КритерийеD£х^Ltil^-Непрерывностьлюбогодляеслиа,=дляПустьпределомназываютнайти4существованияфункции.функции.ЧислоlimПредел4.уд.—.*пхп[Хп)п^.последовательностиlirn{хп)пещп,>оообходимым+уп\1).+Доказать,xnlimп—>ооП->ООп2+xn\5.256.-.-lim<ппхппоследовательностейlimжп5.260.(хп71->ООследующихsup{o;n},{xn},Km^п-»ооlim<yn71—>ОСкаждойуп)+п—>ооlim+хпП—>ОО(хпШп^уп7i->ooп—>ооinf5.какстрелюбоготолькоА(е).дальнейшемиспользуютсязамечательныеследующиепре-пределы:limlimгдее=2,71828..(^ж-юо—основание1 +«™=-limа:->0X'/натуральныхA)1,=(I+хI/хлогарифмов.=е,B)§Нарядустакже4.f(x)ж-».то+О{—S{s)<у<5(£)0)<х-хо( х—>хоа=числоществуетВlim0>точкевхоа),—<0f(x)X—>XQ=хf(x)толькопользуясьlimчтодоказать,<понятиеf(x)).limих—>ос—пределаопределениемиа,заполнитьследующуютаблицу:ОД0,0010,016(е)5.261.5.262.5.263.f(x)/(ж)f(x)ж2,==2,=1/ж,lgx,=Используях0ж0=д?о=а1,1,логическую4.=а=а=1.0.записатьсимволику,следующиеутвер-утверждения:5.264./(ж)limх—>0х—>1—0/(ж)lim5.266..т->+ооz->-ooВычислить5.272.limЗх2lim|ж-з5.278.я-н5.280.5.282.V 2i->2±olim1->1/2limх^ох"V 2Ж2N.Gп5.281.'5ж-X+oo.2.=/(ж)ос.=выражений:lim-!-3'ж2-2limг45.277.lim-5.279.lim-■ж2+1; т,16ж2=2х1+1+х--/(ж)5.275.3|+-ос.5.273.1'+1limlimЪх-=рациональныхследующихж2-2х->о5.276.z->-ooпределы5.274.lim5.271.-oc.=f(x)f{x)lim5.269.X—>OOf{x)lim5.270.0.=lim5.267.0.=/(ж)lim5.268.lim5.265.ос.=3+1limж2(ж(а—++-/iKх3-1)ж+аа3„.25.283.limI—>OO;—3^+су-6(е)<хо—пи-О>ввводитсях—»-}-ооназыилюбогоусловиябесконечностиа(слева)дляАналогично( lime.используютЧислосправаеслиизчто\f(x)~a\нафункциипредела.такое,5.261-5.263,задачахО—29пределаf(x)f(x)=следуетпределаодностороннегофункции,понятиемодностороннегофункцииlimпишутвышепонятиепределомНепрерывностьфункции.введеннымследующееназываютПредел1Гл.305.284.lim5.285.lim\2x+bm,тоДоказать,"+1Рп(х)еслиa^x71=ОJlimПao/ЬоосПричастодляизвычислениипределов,следующиеиспользуютсязнаменателяПустьВычислить1.limt—yfx*Тогдаlim—£<приn=ra,приn>ттг.а)9я->81<3limVx27-х—юо(\/х2~Т7lim=-7)(у/х21lim3 +у/х2—t>-.6t—7).=Vx2-Лт2Qrlimi-«-7){y/x2+7 ++7 +Vz2lim51_i_+5.289.,„-x/a:27)-714=fx2Л-limlimlim7 Л-V-7/S^T-з'х—5.291.1=пределы:5.288.5.290.7+—Вычислитьпеременнойиррациональностиперевод.liraвыражения,новой-—Вычислить2.=га,введениеб)Qm(x)an,иррациональныеt-*3Пример+..nнаоборот.или+привыражения;числительвПример<содержащихприемы:рациональногополученияN.Ах-что+..Еп,2+хz->oo5.287.анализвП?lim5.286.Введение5.1-100.>§4.ПределНепрерывностьфункции.31lim5.292.lim5.294.X5.295.5.297.limх->0lim5.299.lim5.300.lim5.301.5.302.limx3/2(VxT+2-limX—УООXУООИспользуя5.303.замечательныйA),пределlimвычислить:lim5.304.х->тг5.305.5.307.limctgxlim5.314.5.315.smx7Гlim51п2а:^.lim4^tgza->oДоказатьследующие5.31ГMimхJx->an,mG2a(-Z.a3lim5.316.a7ГХ—:tglimх-ч-тг/25.312.—sina—соотношения:e.x->0"Ax,lim5.310..Ax—~~^~;lim\ctgxlim5.308.limх-»7г/45.313.ОХ3 arcsinx-—(5.311.lim5.306.тг.т.^tgcossinITCV—--—.2а^ /3.Гл.325,318*.ахlimх-->£оПример1<33.рvA4-limх)а£->0замечательный=а.limгдеu(x)1,=B).предел[limВычислить1-;Xu{x)v^x\limвидаиспользуетсяоо,анализ5.319*.а.пределов=вXвычислении?;(x)limIn=.т->0При1—Введение5.хюоИмеемVхх2+х)Так/_(ЛVхj±\_-2fV(2+хУ-2V2+хкак/lim\-21 +-2lim•2 -{■х-^схэ(lim=Зх—6,=XTOlimar->oo(здесьфункций).задачиспользовананепрерывностькомпозициифунк-непрерывныхр>Используя5.317-5.319,замечательныйlim5.320.ж-»оо5.322..x(\n{2limlim^^—-.lim5.332.lim^osx5.321.+x)-lux).5.325.1).5.327.-(cosa—xI/81111.+lim5.331.sinxI/1.(Ilimlim5.333.tg2+In-x->05.329.Xрезультатыж->с»5.323.x{allxx->a5.330.2/—lim5.326.5.328.(^П\х(cosжI/1".t>ooтакжеапределы:Х+lim5.324.B),пределвычислитьд;=limlimx->0Xlim^—.limi->00уЖза-§ПределДоказать,5.334.сходящейсякзначенийфункцииНепрерывностьфункции.fix)limчтох->холюбойдлякогдакf(x)=5.337.f(x)=x-толькоитом(хп)пещ,[x],xQf(x)5.336.oo.=чтодоказать,f(x):x-ixoxQcos,t,случае,сходя-{fixn))nG^5.334,limсуществует5.335.томзна-а.задачинедляследую-sinl/rr,=x00.=oo.=пределы:односторонниеlim5.338.варгументоврезультатфункций33последовательностьсходитсяНайтиа=последовательностисоответствующаяжо,Используяследующих4.4-ж->3±0\Х2 +lim5.339.г.3|-4х->2±0XX2л-1(гlim5.340.'~5.342.T»±O0пlim5.343..токогдавчтоэтойlim[1/x].точке•\-Tlim.Л.^^»^^Л.ЛЛ.Л.А.•х->2тг±0функциипределопределениясуществуютее5.345.•.7Г/2-области72-х.X—>±OOДоказать,5.346.limх->2±01^-DЖ,:I.2жXJ.JJ.J.точке5.341.arctgrr.limх->тг/4±05.344.д;I^.+COSуЖf(x)=левыйиправыйивнутреннейвотогдасуществует1-толькотогда,пределыионисовпадают.Бесконечно2.малойБесконечнобыхотявуетпусть,а)Вствительноебесконечноа(х)тоСЕсли0,fl(x),чемчисломалой«(ж)тог>порядка0такое,=чтоо(/9).limотносительноаболеемалойЕслих-+х0гмалые^.~прис\.( х}ф(х)г)C(х).этом^ 0,иХоод-малымибесконечнобесконечноапишутианазывают—>хТогда:бесконечно1—.приС.=р[Х)называютСпишути=C(х).малыеlimпри_.Р(Х)(%.(х}х->хоичастности,limбесконечносущест-Ф)х-+хосравнимыеэквивалентнымиб)а{Х)называ-еслиуили——тх->хо—ф 0,СЕслиPi?)limа(х)0.—сравнимыми,существуетпорядка.называютпорядка,р(х)ияктназываютсяГпределовиза(х)limеслиxq,/3(х)иопределенности,дляодногоа(х)одина(х)Пустьпрималые—>хФункциябольшие.бесконечноималыебесконечноназывается(ж)ивысокогодей-существуеттоа(х)C(х)называютГл.34а(х)Функцияa(x)limх*хвводитсямалых,ВведениеанализвбесконечноназываетсяПодобнооо.=5.понятиебольшойэтокактомувышебесконечносравнимых->хприсделанодлябольшихиеслихо,бесконечнокласси-ихклассификация.Доказать,5.347.такоеО\х5.348.а—C—о(а)хо\-S<Доказать,ааC-и/3~о(C).—втом0:ж->а(ж)5.349.f^.=1a(x)5.351.5.355.а(ж)=5.356.a(x)=5.357.а(ж)=5.359.Доказать,относительнов) а(ж)->3^-1.л/а2=A++0,->хприж,х)п,5.352.а(ж)=5.358.а(ж)1/1,03.5.361.5.362.A,03M.5.363.5.364.Доказать,/3(х)—найдетсякогдаслучае,/3(х)v^хприVx*.-tgx=sinx.-2х-cos-2-йимеетя.малостипорядокесли:/3(х)=C{х)=вычислить5.360.жо,=а(х)что=Приближенното=хб) а(ж)а(ж).томотносительноxа(ж)а(ж)только5.350.X=5.354.5.353.COSО,чтоиа(х)малостипорядокф=чтоилиОпределитьхС\константыиС=р[х) )С^-,х+6 >числоot(x\limесличто+а1 +j(а ф 0);—х2а(n£ш;следующиеN).выражения:у/Щ.@,97L.чтоеслиа(х)~ol\(x)итоа(д;)C(х)_ах(ж)'P()C(х)~Р\(х)при§ИспользуяТакПределЖarcsin\;Inlim--.(I1-хtg 7x'(cosжпорядокВ(х)х5.372.А(х)Э.о/о.uxyXJ5.374.А{х)ж33.ФункциявНепрерьшностьуточке=Если/(ж)условие(ж/2)'sin•Л(ж)=\/х2f\А(ж)5'377вотноси-=Dвточекточкет.е.жо,разрыва.непрерывнойназываетсяусловия:триопределена+/ОКлассификацияточке.определенияследующиех-t\з—^'f(x)А(х).5.375.выполнены—3xбольшойЖ~т~у/х.+lim\ш\Офункцииуarcsin10.~тобластьюсarctgx2lim#—cosxж)sin+—j/(ж)еслижо,а) функцияб) существуетв)-o/?nбесконечнооЖ|у/х=А(ж)1x->o+150ж+X\-—>оо:г5.376.lim'роста->жпри-2x)'-1.=4ж+xc-coslim=ж20,->хпри~Х5.369.ч.„A——Определить(-ж)~—5.367.-,.sin22ж)-x->0z-*o1limAх-*0.arcsini/2относительнопределы:-^ж/vl,lim=Ж)-4z2-l4ж2lim5.371.Llgxж->15.368.х2)—Inи,(x/y/iarcsinж->05.370.вычислить«у~.lim5.366.5.364,задачи35=1П(Ж/УГГ^}limкакНепрерывностьфункции.результат5.365.<\4.ЖоGD\/(ж);/(ж0).=а)товыполнено,следующему:условияД/(ж0,limАж)б)и=0,в)эквивалентныследую-гдеД/(ж0,функцииприращение—приращениюаргументаДжДж)у=ж=/(ж)=—жо-/(жо+вточкеДж)-Жо,/(ж0)соответствующееприра-тоГл.36Еслиточкевследующиеf(x)limх—>жорушеноf(x)limусловиех—>жоX—>ХостороннихПриэтомтов)остальныхтох0различаютуExqуДоказать,чтоf(x)5.379.Используяf(x)f(x)f(x)5.382.Заданавходящихврода.2-горазрыванаязыкеопределение,а,=logax;=sinx.аDнепрерывнаточкевнепрерывнывкаждойвGх$точкеКепНьютона,0.=еполучаемС№1-Дх)=функцияеедругрода.непрерывнойфункцииДх)п-я#+Д/(ж0,lim5.381.равныезаписатьопределенияявляетсябинома(хо-Д>05.380.неодно-определения:хп,формулуАх)неследующиеобласти-областьюсf(x)=естественнойОтсюдаточкойсимволику,f(x)=D;б) функцияД/(х0,обасуществуютутверждения:а) функцияточке1-гологическуюследующиеточкой(очевидно,разрывана-илих0называетсяхоf(x)называетсяxqточкевэтомприх—>хо—ОслучаяхИспользуя5.378.«е-5»случаеlimиточкойназываетсяХоВf(x)limх—>жо+ОопределенаэтомЕслисуществует.непределадругу),Вфункции.f(x)limнеf(xo).—разрываб)функцияносуществует,устранимого<3f(x).—а)-в),условийизодноуслучаи:а)ихбыфункцииразрываанализвхотянарушенох0точкойназываетсяВведение5.>К.aаф\.0,>/(ж)5.383.f(x).f(x)Прибудет=выборекакомнепрерывной?5.384.,arcsinrr.х>тг/2.параметров,входя-D.§4.НайтиточкиустранимогослучаеПределфункции.Непрерывностьразрываразрывафункции,исследовать37ихвхарактер,функциюдоопределить«послу-непрерыв-непрерывности»:fix)5.389.N.enf(x\5#390>=5.393./(*)=5-395-/W=x1 -жsin-.5.392.f(x)=5.394./(*)=/(,)=x(xI.1) arctg+О <f(x)={А-2х,2,5^x^4.-7,cosя:,—тг/2—,7г/4<д;^7г.IДоказать,5.403.4.являются—на/(.т)0 такое,>что|/(.т')следует—Теоремаотрезке[а, Ь],точкеD,дляf(xn)\окаравномерноGD>еиз0еслионаравномерносуществуетне-число|.т' -.т"|неравенства<($(е)£.ЕслиКантора.тох"D,называетсялюбогодляФунк-непрерывность.ОнаD.монотон-рода.множественаеслих!,любых<6хмножественаограниченной1-гоРавномернаянепрерывнойкаждойвнепрерывной8(е)7г/4,<яразрываразрывамножестве.называетсянепрерывнаточкиточкамиНепрерывностьувсечтофункцииФункция^„16монотоннойJ1,2,5,<а;1<х<2х5.402.3x/D-*5.396./wуТ^гп-5.398.5.401.Isjnx.=xf(x)5.391.(l+x>~1=функциянепрерывнау/(х)—нанепрерывнаэтомотрезке.наот-Гл.38Доказать,5.404.функция,тоа)б)значенияиниченафункцияух»4оо[а, +оо)./@)5.407.Наf(x)непрерывнанепрерывнойпромежу-и).нанепрерывнафункцияэтатоогра-значенияпромежуточныенепрерывной[0, а].нанечетнойимеетстепеникорень.сформулироватьнафункцияутверждение:D,множествеВмножестве.этом0,многочлен«е-5»навседействительныйязыкеf(x)—=являетсявсякийчтоодинмере5.408.—неоднакоДоказать,х[0, а]отрезке/(а),именьшейпоулюбомнапринимаетвсеКошфункциячтоО,между[а, Ь]С/(я),lira(теоре-граней(a', bf)(теоремаконечныйПоказать,нижнейиf(bf)иесличтосуществуетна5.406.[а, Ь]нанепрерывная—интервалеf{af)междуДоказать,[а, +оо)f(x)—верхнейлюбомнапринимает5.405.у[а, &];[а, Ь] своихнанадостигаетв)анализвона:ограниченапромежуточныеесличтоВейерштрасса);(теоремаВведение5.ноявляетсянекачестверавномернорассмотретьпримерафункции:следующиеа) /Or)6)/(*)в) /(я)1/x,D=lg*,I>=sin=5.409.^,Доказать,[а, +оо)иномерно==£>чточтоСледующиенаосиисследоватьнамножествах:/(*)=5.412.f(x)=5.413.f(x)=5.414.f(x)=—^,DDlnx,^,exDcos-,[-l,=1].1].@,=@, 4=D<—оо=@,1].хравномернуюнанепрерывнатоэта<+оо.функциявсейфункции5.411.ООнеограниченнаяназаданных/(я),lim+f(x)=[а, +оо).непрерывнанепрерывностьуХ-+наПоказать,равномернофункцияесликонечныйсуществуетнепрерывна5.410.=@, 1];@, 10];@,1].функцияf(x)рав-=xнепрерыв-+sinx§f(x)f(x)f(x)5.415.5.416.5.417.y/E,=Dдлясложения2/i)(xi,(х2,2/2)2/2)(xix2=образомопределены+z2,Z12/2обозначаетсячислаz(х,—С.символомдействительнойназываютсяхнуA)B)4-2/2),4-Х22/1).2/iyi2/2,-у)обозначаютсяимнимойиReсимволамиДвачислакомплексныхтолькоИз(х,z\A)бытьможетB)изаписаноу)принимаетчто(х,0)@,1)+(хг,=2/12/2)называются2/2-=всякоечислокомплексное@,1)Q/,0).(х,0)отождествить1)видачислоах,г2иобразом:числачисламииХ2=следует,=комплексныетеперьдействительнымиг/г)Xiследующим(х,Если[хЛ,—когдаслучае,томвопределенийу)обозначитьC)действи-ссимволомравенствотог,видzалгебраическойназывается5.418.чтоiy+комплексногочисласложенияоперацииобладаютчиселх=формойДоказать,комплексныхиz(x,=у).ком-умножениясвойствами:следующими4- z\Z2(коммутативностьсложения);а) Z{ 4- Z2z\ 4- (z2 4-23){ассоциативностьб) {zi + Z2) + z%Z2Z1(коммутативностьв) z\Z2умножения);(ассоциативностьг) (z\Z2)z^z\(ziZz)умножения);4- 21Z3z\Z2(законд) ^1 (^2 4- 23)дистрибутивности).=сложения);==——1)Тоестьоперации»:{(х,0) |(Ж1,.тО)(«1,R}Gи0)(Ж2,+0)•(Ж2,ИзR.=0)=:(х,соответствиеоднозначноевзаимноустановитьмножествами«сохраняетгсоответственно.равнымии(zi=чиселчислакомплексногоC)~(х,у)zпарыследующимкомплексныхвсехДействительныеImzкоторых+2/0(^2,МножествоКомплекс-числами.упорядоченныеумножения:и(xi,комплексныминадвсевозможныечисел,частямичислаоперациидействительныхи=Комплексные5.называютсячисламиоперации[0, +oo).[0, +oo).DАлгебраические1.R.==^xsrnx,39числа,D^arctgz,§КомплекснымиКомплексные5.A)(Ж1+Ж2,(Ж1Я2,иB)чтоследует,0)<->.Т10) <->+Ж2,Ж1Х2.0)это«->соответствиеа;междуГл.40Доказать5.419.a) Vzi,(числоф3z(z2z0z\)=частнымназываетсясимволомделенияотеслиz\+,Т|—z2игу\zВрезультатЗадачаформеA)формуламиПоэтомуib,2г)B-5.423.25.425.2г)C-+г24г++4г)г21)3-1)@,3 +==ввида0)(—1,==—1.4г,2г-=118г'211=-2г,11=2г-гK-ABi5.424.5г++-2гJ.г2JЗг.+A+бытьполученЗгK.числительумножаяг)—2—B-г)A-г)(Ц -0A1 +г1Зг-11+'и0C+3+-г5.427.:.4-t012-0-A -0C-03 +г-.задачи5.429.число.дробинаходим:2-гиздействительноеестьзаданнойзнаменательиформулепонепосредственноA +г)Aчтооднако,A-:.может5.426.>г—Заметим,5.428.задачепредставленныхс биномамикак@,—5.422.A+-5гi).-гK-г'J+Зг)C+1+гРезультатПоэтому,4 +=A=2г)B-BA5.421.г*J+перечисленныечисел,обращатьсяможнофорследующимполучаемA<3нимичтог'J+окончательно5.419.операций,комплексныхспредставитьнепосредственнополучитьможнорезультатдополнительно,Bоткудажесвойстваформе,пред-числокомплексноевоспользоватьсяумножениииучитываяAзаданноепоказываютсложенииоперации,5г.этотоднакоiJ'2,указанныеможноэтого•2,форме.чтобытом,ДляB),иКакобразом.5.418,прив алгебраической-Ьвыполнитьвiy.-f22t/2+состоитх2-°'алгебраическойвA-2г)B-НJ5.420.аобозначаетсяиz2то.2/1^2,,5.420-5.429задачахпредставивХ2 2^iy2)+х2—/12/2<\наz\—б)ванализвчто:z2zВведение5.3.на1—г,§Найтидействительные5.430.A12(B.т5.431.РешитьCDBC5.433.5.434.++++Z2iЕслинакомплексноймнимойуравнений:6.8.=1 +=г.декартоваизображаютсякоторойплоскостью,осьу)+точкиВсякоегiyМ,у/х2=у2+обозначаетсяимодулемназывается\z\.символомизображающейэторешениеМодульчисло,Оуосьа--называется=~7T==flединыма/Ж2Argz.ссовпадениясовершаетсязначениеИзнекоторыхслучаяхудовлетворяющееArg2,ОмсоотношенийиD)стрелки,условиюобозначается00ipв<символом<для0,если2тг,случае).называетсяargz.Arg2^зна-тг.комплексноговсякогочисларавенствосправедливоz=|2формойтригонометрическойназываемоеПримерzчисло1.=—2|г|=Имеем+Представить2г\/3-л/(-2J+B\/3Jчислаz.форметригонометрическойв-4,1допово-называетсяаргумента—тг>ве-спротивномArgz^ар-Охосьэтом<tpВсесовпадает(прииусловиючтоиповернутьзначениемследует,2тгаргументаМф 0.обозначаютсяiy+х—следуетточкиглавным^у2+zзначениечасовойпротивудовлетворяющееаргументазначениемВуГХ2кратныекоторыйнарадиус-векторомArgz,главнымКал^доеугла,Учислацелыенанекоторого(ру2+различаютсясимволомвеличинойрасстояниюкоординат.sin<P==f=fкомплексногоzравенz=уравненийаргументомчислааргументыzчислачисланачалаотсистемыц>C0S^<называетсякомплексногоXЗначениеиком-числа,осью,действительной—хизображаеткомплексныеОхабсциссойсу)коорбытьмол^етгуосью.ЧислоповоротН-х—А/(х,М(.т,точкаiy.+х—zточкачтоговорят,системапрямоугольнаячислунекотораяна6г.+Зг.комплексномуэтомzчисло17=7.==A -i)z2+При2г))-1 +=введенаПлоскость,у)C+i-=соответствиеу.комплексное-всякомувординатой-C+2ф23i)z2i)z22i)z2+B+l)z\топоставлена[х+17г.+линейных+B-плоскостиОху,координатD+^2+г)+-4=системыi)zi2i)z\г)^2i)^i-{ixг)A+уравнений:следующихЫ)у+следующие5.432.—(-2+41числарешенияг)х+Комплексные5.'комплексное^3zГл.42главноепоэтомуzтельно,значение4—/fcos3Следующие5.438.—^4.5.440.sin1i+—iy+х-5.439*.Доказатьcosхz5.443.(z)5.446.J[^2+zкомплекснойна5.437.-cos^+плоскости:1i~~.+--\/3zsin-.1 +cosназывается+—sinг—.сопряженным~z.символомкомплексномуравенства:2 Re=гz-zи^1^2=|г|.=(—)V Z2и2ilmz.=|г|5.444.г.=следова-и,тригонометри-впредставитьi\f%.iy—2тг/3=>5.441.обозначаетсяиargz/—.следующие5.442.=\5.445.zi+z25.447.—.z\+=^гz2.Ы2.=Z<i'Вычислить:5.448.z{z<iиб) ^i?2и(^ —)^2Решить5.452.еслиz\Z{1=3 +——2г,гуЗ,z2^2+г;2г.2 +=у/3=2p(z)p(z)5.450.,если—,коэффициентами.равенство*~z2Пусть5.449.действительными3числачисло—1.—точками5.436.Комплексноеа)г sinизобразитьи-г.zравно2тг\.комплексныеформе5.435.числу+—\тригонометрической.анализваргумента2тгIВведение5.произвольный—слюбогодлядействительEzСверноуравнения:следующие\z\чтоp{z).=-многочленДоказать,zДоказать=2г.1 +\z\5.451.равенстваи+z2 +=выяснитьихг.геометрическийсмысл:N^1Z2б) Arg^i(равенствас.9).+б)Arg^2понимаются=Arg(^^2),Arg^iвсмысле-равенстваArgz2=множествArg(\z2/ —)—см.§Выяснить2.5.453.*->5.456.*->—A5.459.*->—^—.*-|*i—М\Доказать5.462.a) \z\*2|равна|*хИ|*1+*г|2~~*2|-плоско-комплексные| ^i|^Каковчисла|*2||-геометрическийсмыслZ2x/z\Z2\/*1*2~множествописаниегеометрическоедатькомплексной|*2|2)+смысл?);+5.463-5.473задачах2(|^i|2—2точек2z.->комплекснойнаизображающими+Z2В*iz.->*5.458.-*.расстояниюМ2,иб)*всех5.455.*-->*.геометрическийего->zг).-тождества:*2|2+5.457.|*l| + |*2|треугольника).^неравенств?этихг)*.C+*что:*2|+->z5.460.точкамиб) |*1(неравенства(каковпреобразованийследующихг—величинамеждуZ2',5.454.-1Доказать,а)Исмыслплоскости:5.461.Z\43числагеометрическийкомплекснойплоскостиКомплексные5.плоскости,следующимудовлетворяющихусловиям:5.463.Rez^O.5.466.|*|5.468.К5.470.5.472.\z-i\|7Г5.474.ПустьПустьв<£2||*+=arg^|-всякое^2.5.469.+2|.тг/4.5.471.<т^*5.473.числочислокомплексноеzПредставитьsinг=Су?.0этогобытьможеткомплексныеследующиечисла:5.475.7 -I-24г5.476.—.55.477.12г.-о5.478.-25.480.sina+sin5.479.г.+гA-cosа).a-icosа.<3>Символомпомощьюsinc^)формепоказательнойв1*-Re|^|(cos(/?+2=*.число.+формепоказательнойRe-*.=чтоcosc^2.^2.=действительноепроизвольное—*|Im*|5.465.|* + t||*| > 10<arg^<?r/4.Доказать,—1.комплексноеобозначаетсяобозначенияI*1.<5.467.1.<Im*0 ^5.464.-3-4г.|*|—ег</?обозначезаписано1.обо-Гл.44Доказать,5.481.Введение5.чтоана.пизвег(/?символобладаетсвой-следующимисвойствами:a) ei2nnei(pxв)ei(f2•б) ё&Z);^)числаиz\z2а)2i22,б) 2^22,~iесли2i=—,если2i=Доказатьвформулу( *Л5.489.Доказатьt)n6)(л/3-гГ5.490.синусы/5\a) cos35.491.(cos ^2"/2=5.493.гег(/?,тогmp).sinследующиевыражения:(/A-гK ^++*sin2»(сов—-isin—VGVб) sin3~)6Эйлера,формулыфункции:■/выразитьчерезкосинусыcoscpииср.Муавра,формулусояЗср.cosAcp.+вычислитьфункции:следующиеz)дугИспользуяеслиn(/?20Используяcp;Li—равенства:=кратных(cos5.486./14-'+e-itp_гпеггир^=Муавра,iI0.+5.487.а) Arn=формулуAг\/8.—форме,zn5.485.у/%=ещМуавра:тригонометрическойИспользуя3\/3г;—simp.,znили,22e-i<p+2Доказать3=Эйлера,формулыещ5.484.22г\/2,+формепоказательнойними:2г,—\/2—внад2\/3215.483.представитьz<iдействияуказанныевыполнитье"^;=е^1+^=Данные5.482.и(VnG1=5.492.sin3<p.5.494.siвыразитьчерезs'mcpсле-§Пустьaуравнениеzi,гег</?,—zn2n_i,.
