2 часть (1081353), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Еслитопроизводнойу/2 {у'х'х{^2)существует).—0,{(ж,области0,><—-£2и1/e=—в=1)—=у/2/е^)—x't't(идлянаходим01—выражения1=производной==-t(t-2)e=расположенаИзточкиКритические£прикривая1/е]}.(—оо,Gtпри0=чтоследует,0=переменнойпараметрически:te~\=однойфункцииисчисление0=отрицательгоризонтальнаяположительную—имеют(табл.приведена4.4)ивседелаемнарис.12.>Векторные.действит.функциикомплексныеи99переменнойТаблицаtI.XУУПоведениеXXкривойВыпукла-х/2)(-00,<0<0<0<0х4.4убывает,вверх,0=вертикальная—асимптота-у/2(->/2,-1)1-1Точка>0Выпукла<0<0<0>0—еенеНСсущ.сущ.>0<0перегибаТочкавозвратаВыпукла(-1,1)10ел/2)>00><0<00>Точка0>0<0>0лежитперегибаубывает,вниз,0—уубываетвверх,ВыпуклаЧ-оо)0)кривойВыпуклах/2(\/2,возрас-@,МаксимумеA,вверх,точкавозрастает,на1убываетвниз,горизонтальная—асимптота6.525.х=t26.526.x=t +6.527.x=acos3t,6.528.x=t3Построить2t,-уe"S2t,+2*+у=asin3*,уt3--M.£ Gt G[0, 2тг).Garctgt,M.t Gзаданныекривые,следующиеR.t ee~2Sу=Зтг,-f=полярнойвсистемекоординат:6.529.г=6.531.г=§1.каждомусоответствиевектор-функция5.asin3</?.6.530.?•л/тг/V.6.532.г2Векторныезначениюдействительнойпеременной=2ip.cosфункциивектор-функцииа(£)а(£)2a2переменнойдействительнойвектора=cosy?).+комплексныеидействительнойОпределениеa(l—GУз,действительнойтоговорят,tчтопеременнойнаGDпеременной.СЕслиШпоставленвDмножествеt.заданаГл.100Дифференциальное6.Заданиевектор-функциичисловыхфункцийили,кратко,=обозначать:Годографомописываемаявaz(t)(а;с(£),ay{t)iМ(ж,точкивекторомпринятоаay(t),ax(t),аможноа(£)=вектор-функциивекторr(t)=называетсярадиус-при-описыва-линия,Всякуюг.годографявляетсяавектор-функциювекторакаквлиниюпространствевектор-функции.некоторойx(t),=Найти1.Имеемгчисло-треха:годографа:xПримерЕслисоответствующуютопеременнойзаданиювектораaz{t))-концомоднойравносильнокоординат—z),у,пространстверассматриватьуравненияПараметрическиефункцийисчислениеyгодографпараметрическиеy{t),=z=Параме-z(t).вектор-функциигодографауравненияi-t2it_Исключая£, получимпараметрСледовательно,ж2+у2из-»которой±00.1,=z0, 1),( —Г,точкаисключенаr(t)вектор-функциигодографомявляетсявполучающаяся>Найтивектор-функций:годографыB<л/16.533.г=6.534.г=6.535.г=6.536.r=M+6.537.r=cost6.538.r=26.539.r=til)i-^2i-4 ch<-(-3<+\/l+^2j,ji +it2)+4tk,+k,t-t e[0, 1].< Е3 sh+tGiteR.sini +■2)j+Bt-t2)),-cos3+i•+t3k,t2•j£k,+sin3it E•K.feK.j,i Eокружностьl,=[0, 2тг].R.пределеприt ->Векторные-§5.6.540.г=cos2t6.541.r=5cost6.542.r=(sht-i +•sini +■l)iаa(t)=£аргументуdalimdta(t)(ax(t),=AtAt~+o=Еслиr==покасательнойнаправленныйвозрастания(x(t),r(£)о\2)пЧ3)(±Ь)±*\4)r.0,=d.тотопроизводнаягодографуv——,d,-r-(v?a)кхЪесть—г(£)вектор-функциивектор,всторонуестьскоростивекторпостоянныйг.(а—вектор..—а:где—,постоянный—скаляр.dbdaч,dadipЧ-—а^~т~?(Хьd.вектораконцавектор-функции—,гДе^(Хьч(p(t)=функцияскалярная—t.от/daLNLldaтраекториюdr2;(t)My(t),dtdaa=dсгдеч5)A(a'b)=U'7)'dtt.время,—dc-—(cva)—.daz(t)day{t)дифференцирования—aft)dr£Правила1)--~At'dtкаргументаЕслиAt)+—то/dax(t)Vda~diвектор-функ-вектор-функцияAt->oaz(t)),ay(t),R.t Ga(t,.lim=—[0, 2тг].t G[0, 2тг].t eноваяДа,.=k,Производнойназывается101переменной•вектор-функции.по—Если•ch2t-j+действит.j -fsintj + 2k,+ 3k,t cost4sintДифференцирование2.вектор-функциифункциикомплексныеи-—a(</?(£))=6.543.Доказать,6.544.Данои—•чтоуравнениескорость—,Гdbгде<^I a,V—dtдвижениядвижения.</?(t)=J1=функцияскалярная—0,|а|еслиг~3ti=—отconst.4tj.Определитьt.102Гл.Дифференциальное6.Дано6.545.дляtмоментовОпределить0,—ДаноtНайтифункцииe2tiНайти6.548.функциига)б)в)(£3=r=tr=r=eli+cosг=t3i+(tt•tcos+•Найти6.553.НайтиЕслиа)г=cosб)r=tiпроизвольном6.555.моментовjj•+(t2+вектор-k;•A,*при1, 1);-2.=b£ji +==i +*j++u2j+n3k,t2k.+t2k,bгдеt\=u+j+sin^.=dvw=—CLvвекторe*jtj•и{t2+t sint=—-k0.гПостроитьтг.г.l)k,tдвижения:тг/2,векторавектор-функций:+£приконцаускоренияпроизводные+движения.=Ikui=—уравнениеускорениеtгодографаточкевaа—£Дано£cost3k,+если——cosвекторk.+есливторыеtвектор-еслиt2j-(IT+tl)kVt2+b],i +годографа1.—•da•вектор£k;+sinib),—,tt)j.векторы0.=—sin++ij—[at a,тоПостроитьcos—вектор-функций:i=j£lJj+Найти6.554.для+—(a,CLvвремя,—при•d2YtОпределитьi)i•a6.552.£ sinпроизводныеtНайти6.551.ti +costt2(l+вектор-функций:cos2i +sinНайтиа)б)t2}+sin£)i—тг.—припроизводные=(tt2(t—касательныйt)i+г6.550.тг/2,единичныйНайти6.549.скорость=■скорости3.=г8L/3j+Определитьвекторыкасательный(t-tдвижения.единичный=2,—движенияимоментовгtпеременной3^i+Dt—t2)j.=Построить1,—уравнениедля6.547.приtтраекториюскоростигдвижения.скоростьи6.546.движенияуравнениетраекториюоднойфункцииисчисление=2(£ —sin£)iвекторы+2(l—ускоренияcos£)j.Векторные5.§6.556*.ДаноwускорениеОпределить6.557.движенияОпределитьz(t)to,параметра(.то,Л/оимеютегоикривой-о)?2Льих,т/.нормаль-0.=плоскость.нормальнаякривойкоторойlK/ 2j.+и4приихx(t),=узначениесоответствуетх-=y(t),параме-2/-2/0dx/«ft|/=loнормальнойH—Bt овидхгде-t2i=нормаль-0.—тангенциальнуюtмоментпространственнойкпространственнойкточкев/,приигдвижениякасательной=tОпредеиwTмоментлюбой103£2)j.—тангенциальнуюzвКасательная3.D£Зй+=движения:ускорениеУравнениялюбойуравнениесоставляющиенормальнуюегоивДаногдвижения:составляющиенормальную wnzуравнениепеременнойдействит.функциикомплексныеи^dz/dt\l=fo'координатытекущие—плоскоститойвdx)-{У+Уравнениекасательной.точкинор-точке:жеК/о)~t=t0Примергt sin£,Найдем<Доказать,6ifc) образует2.(acosi,=чтокпостоянныйуголвекторакасательныйвектор,годографукdv(—asmt,=dtвинтовойкасательнаялиниисOz.осьюг:6).«cost,Отсюдаcosт.е.7—const.<3кДанной—"\dr/dt\D>Примерплоскости7НаписатьЗ.кривойхточкекасательнойуравнения/J2=1,—?/t—t'Л=~получаем~1?dtt-\УравненияMo@,2~di~1,точкев<izd//'нормальнойиt3—параметра~бЙзначениеzзначениесоответствуетdx*Подставляя1,/j -f=касательной:а:"^2у"Т~-22_~~3~'-1-3.t-\1.плос-2,Имеем1).Гл.6.104ДифференциальноеУравнениефункцийисчислениенормальнойоднойпеременнойплоскости:или2хДлякаждойкасательной6.558.х6.559.x6.561.ж22ж24.=в£,-£2,Z+Дифференциальныеy(s)),-+4 sin-f\</?2:(рис.13)£,cos-£4=гasht,у2zz13x2+9,=tat—длина—кривойвуголточке+вкривой,at приiтт/4.~As—0.=МоA,точкеy2-z203, 4).МоA,точкевплоскихПустькривых.гсоответствующийэтойдлинадугеR1/К=ради-называетсякривизны.ККривизнаопределяетсясоотно-ds2ПриведемкривизныесликриваязаданауравнениемвТУ1кри-дуги.соотношением1)r(s)-fрадиусом13=числоВеличинаРис.2).-1,вектор-функцииlim=£=касательной,поворотаданнойточке:2.=при25=годографомдугикривой.называетсяМоявляетсяscos22=прикаса-уравненияданнойвт:—10,2:2>написатьхарактеристикиОхугде—tОКЗдесь0.=плоскости==уу2Зу2+Кривизной5-кривыхууach£,=плоскости(x(s),Zzследующихsin24=жу +нормальной—6.560.6.562.криваяизуравнениеи+рядформулдлявычислениякривых:явнойУ"формеу—f(x),то=§Векторные5.2)еслифункциикомплексныеизаданакриваяуравнениемформеl)неявнойвF"1ту3)еслиж(£),=у1у"=заданакриваяесливкоординатахполярныхгуравнениемточкеназываетсяМточкуиточкидругиедвесоответствующейточкенаМ,акривизныокру?кностицентрокруэюностъю)кривойРравенрадиусуиокружности,Q,Ркогдакривизны)МточкеМв(центрвкривой-Лкривизныкривизныпроведеннойкривой,кнормалигг"-положениепредельноеокружностинаходится2г'2+(соприкасающейсякривизныМРадиусвпроведеннойиQМ.-Лсоответствунахо-сторонувогнутостикривой.XКоординатыЭволютойкривизныназываетсяу'получаем1)Здесьуу"вп.0,=откудачастныеиспользуютсясм.у1т.е.3§1гл.8.После-.у"производные==центраэволюты.у2=2(х+1).дифференцированияповторногоУкри-координатпараболыэволюты=центромдляуравненияуравнение2,=-fописываемаяпараметрическиеНайтиУ"Формулыкривой.по/21 +=линия,точки4.2уу'ГУ"определяютИмеемравны-кривойПримеркривизныцентрах=движенииприкривизныопределениеУиX<\=тоОкружностьючерезхуравнениямих"г2еетотоКв0,=уK/2F'х14)г(</?),у)0Упараметрическимизаданакривая),F(x,У УF'+105КF"кпеременнойдеиствит.—-.УфункцииУ3Находимдвухкоординатыпеременных;опре-Гл.1066.центраДифференциальноефункцийисчислениеоднойпеременнойкривизны:-lly)3~~У"1+y'2,темпараметрВычислить6.564.х26.565.х26.566.ж6.567.х6.568.г6.569.г2=началевху+=t2,2/=^2,—9а)6.571.а) х-2/36.572.хпривточке(/?sin^),а(£=-a2cos2ЛC,(влюбойб)2<р;ижНайтивершинукривойданныхacos£,=кривых:у=a(l-cosf).гat/?.=еетакаяНайтиминимум.е'х.6.575.тг.=1.-называетсяили</?приточке)б)=1).2а2/3;yВ@,1/3).точкетг/4.0)1.==1).и1).МA/2.^-кривоймаксимумJлюбойв^б)у2/3+Вершинойимеет*3при^х;=г2а)(/9)cosвидеМA,точкевМA,точкекривизныу=it3=а2 sin2(/?радиусы6.570.иэллипсав*=—1—вкривой:вершинахву2уаAэволютыкоординат=эволюты:уравнениеданной9у2+=6.574*.ух2~=Найтикривизнанайдемкривизнуу6.573.уравненияг/,'зпараметрическиеРкключив6.563.1/У1 +,найденысамым-l/y3292У'~у—Inж.точка,вершинувкоторойкривойВекторные§ 5.Вычислитькоординатыокружностейуравнениядействит.функциикомплексныеицентровкривизныданныхкривыхкривизны107переменнойнаписатьивуравнеточках:указанныхз6.576.у=6.577.у=е~х26.578.у=жех6.579.у=sin6.580.х=а(£Найти-г;а2ж2+точкежточкевsini),-эволютыа).М@,М(-1,М(тг/2,точкеввМ@,точкевоу1).-1/е).1).аA=cost)—М(тга,точкев2а).кривых:6.581.а)6.582.ж=a6.583.ж=2£,уб) я2х3;=у2-в) ж2/3а2;=у2/3+а2/3.-InУf=2.-Дифференциальные5.ВоухарактеристикинеособойвсякойможнопостроитьТ=[dr[В,=at1atТ](направляющийr(t)—бинормали),векторнормали)главнойвекторединичныеосновныеимсоответствующие(направляющий\гвектора:касательной),векторd2rl~гт-г-,кривых.кривойперпендикулярных(направляющий—пространственных2) пространственнойt/,взаимнотриatNМ(ж,точкеилисоответ-векторы.Nмоленокоторыетакжевычислитьdr/dsdrТрехгранникв[триэдром)являютсяMq,точкеребрамибинормаль,инормальтрехгранникомВвекторыглавнойчерезиNвекторыимеютнормали-хрNxкоординатыz—координатытекущиевектораявля-ТвекторыN),и(проходитспрямляющая_■увид-уо~х,у,В),егоТ).хгдечерезитрех-Гранями(проходит(проходитУравненияестественнымкривой.соприкасающаясякасатель-служаткоторогоназываетсяпространственнойплоскости:нормальнаячерезвершинойсглавнаякасательная,формулам:поN.z-z0_~NzNyточкиглавной'нормали,Nx,Ny,Nz—Гл.108Дифференциальное6.Уравненияу-_Уравнение-Ву{у+спрямляющейtбинормалиzэтойус)+Bz(z-уо)+iV*(*-0.=г0)-0.=векторыМ,точкевкоторойкасательной,уравненияvг,главнойAt)isin-dr—tcos~—-fi•-cos£sint••at£=^sin=—r-i•tcos—-j£k,1-k,j -fj.0 получимdviкJ-110=i +k,0-10NТ][В,==iJ10101--1kСледовательно,-iТаккакtприж1у.т—-1,=11ууу—1,z=0,kто:1-=-—1и=химеем1—х0~-i +k+—касательной;уравненияглавнойуравнениябинормали.1=-уравнения-—1/3 кривойнормалиИмеем=изначениесоответствуетточке.гПриz0)единичныеt—Написать0.вiVy(j/+основныеcost,==х0)Найтиу-плоскости:-5.sin£,параметраОх0)-Nx(x1Bzплоскости:Вх{хПримерz0-_ВусоприкасающейсяУравнениеzуо-В'х=переменнойбинормали:хходнойфункцийисчислениенормали;t>иВекторные§ 5.Еслидействит.функциикомплексныеипространственнаязаданакриваякакпеременнойпересечение109поверх-двухповерхностейF(x,у,z)=0,у,г)=0,(z,вместо(da;,=векторовdz)dy,d2rи#,переменныху,Примерd2y,ееМA,точкеДифференцируяd2z),drвекторыможнопричемсчитатьоднудифференциалвторой=пе-изравнымсоприкасающейся,уравненияплоскостейнулю.нормальнойикривой\<рассматривать—гееиНаписать6.и—(d2x,=независимойzспрямляющейвd2rdrудобнеетох2у2-z2+4=1, 2).данныеуравнениясчитаяинезависимойжперемен-переменной, получим:хdxхdx++dy2-dy2Прия;1,=у1,=dy^dz0,=drСледовательно,этиним2=уd2y+y-yd2y+zdz+zdz+dz2+z+dz2+2d2z0,=■0—d2z=0,=0.имеем:1--dx=2(V do:,=0,векторами,векторыdydyу—имdx--l)d2r),=коллинеарными,(V 0,0,B,0,dx2---8/—1)иоткудаT=B,ТЭОтсюдаij20-100-1=2j,-1),0,кN-iJк02020=2(-i-2k).-1находим:у1—2хх+2z0=z—=—уравнение—05уравнение—=0—уравнениесоприкасающейсянормальнойспрямляющейплоскости;плоскости;плоскости.>@,).Заме-0,—1),Гл.110Дифференциальное6.Найтиединичныеосновныеоднойнормали/3v^т,векторыглавнойкасательной,уравненияфункцийисчислениепеременнойсоставитьиурав-бинормалииданныхкри-кривых:х6.585.х6.586.x6.587.у6.588.Написатьестественныйt—ребериплоскостей,2у,+т,г14,—образующихcost,унаписать2:In=/3A,0,написатьи,A,2, 3).кривойtпривсехреберхвсехуравнениятрехгранникре-кривой.аналогичног—кри-r(s),тоds2ВобщегослучаеI\dr/dt\3кривизной){второйКручениемпространственной1ар0бинормали,поворотауголрадиусомназываетсяЕсливг=крученияr(s),в,.hm————,Asn-*mргдекривойчислоназывается—имеемd2v/de\\\[dv/dt,=RМкривойзаданияпараметрическогосоответствующийилирадиусомтоо=Т{dr/ds){d2r/ds2){d3r/ds3)ds\d2r/ds2\2—1).определяетсяуравнениемзаданакриваяsinкривойуравненияточкевточкевестествен-t/\/2,=естественныйЕслиег—образующихиv,точкеестественzтрехгранник1+т,-2пространственнойкривой.плоской/3образующих=уt/\/2,i^,\А2=векторы=Кривизнакривизне—1,+естественныйt3,=z2+хt2n.—1.=плоскостей,векторыуу2+—tпри1.=плоскостей,хt4sin-—iприжуравненияНайти0.=zi2=точкеобразующихIJ,22:вtcost,-уравненияНайти+6.591.'1кривой6.590.t при——lni,2ж2=—Написатьтг/2.(tzуу2:ж,плоскостей,=sint,-2i,=—e~~l:—трехгранник=иукривой6.589.естественныйt=трехгранник1, !)•а,с1,6.584.дугевторойМАГ.кривизны.ВеличинаточкеВекторные§5.знакгдеберетсяминуснаправление,наковоеЕслигr(t),Пример4z—еьв=(е*когдаплюсjdr/dt){d2r/dt2){d3r/dt3)\[dr/dt,_~ds111vимеютоди-e*cost,услучае.тоd2r/dt2}\2икривизнулюбойи—противоположномпараметр,в—переменнойвекторыпроизвольный—Найти7.е* sint,случае,знакtгде°=томви=действит.функциикомплексныеикривойкручениех—=точке.Имеем<г(eb(cost=—е* sint,cost,atd2r(-2ef-—dtzef),ef(sintsint),—2efcsint,ef),cost),+el),cost,), 2ef(costIt?efc).sint),-ОтсюдаIdr<Py_dt'ef(costdt2e^(sint)sin—d2rel(costd3rit'Jfiel2e*coste2f(sint=<ire*cost)t +-2etsinte*(sin£sint)-2ef-2e*(sint2e^(costcost)+eltcos2eu.=efsint)-2),cost),++cost)-2efsint'It*-(sintcost,-Следовательно,f_\/(sin*~-a02cos(sin+cos^J*(sint+coscostJ+IK+~—e4*((sint-costJВычислить6.592.х6.593.a;=е*,£,уу=—e-t,i?^0z—=t3'+4)costJ+кручениеикривизну=(sint+3кривых:tv2ввлюбойлюбойточкеточкеииприtприt=0.=0.Гл.112*=Дифференциальное6.6.594.1.х6.595.х=6.596.у=6.597.2жt3,-2i,ж2wж2=D:функцийхпри1.=t\=2t2j+1.=у-t3k.+ttzиинормальнуюtприШСкаждомупоставленосоответ-вiy,+х—1.=Еслипеременной.DЕОпреде-ог(^)тоtназываетсяобластьюсопре-z(t)=x(t)+iy(t).функциидействительныхприпеременной=zz(t)—x(t),=и£приwTдействительнойкомплекснойимоментчислоzЗаданиетангенциальнуюлюбойпеременнойфункциейкомплекснойопределениягкомплексноеопределенноеидействительнойфункцииточке1.=движениядействительнойпеременнойлюбойвточкеточкевt3+любойлюбойв3t=ва;движения,Комплексныесоответствие£2=ускорениязначениюzприуравнениеускорение6.^—гсоставляющиеwv=у2,3£2,=lni,х3zДаноу=у—,=6.598*.лить3t=однойфункцийисчислениеу=заданиюравносильноy(t)iилидей-двухвектор-функциизаданиюv(t)={x(t),y(t)).Пример<-00Так<jаz(t)ц>е^^—0<+оо),§3,1,гл.гПроизводнойzf(t)1,9./30—1п.чтоц>z(£)+г0.(ext)'называетсяфунк-комплексныеобычныеЛгдеext=e(a+i^)f,=x(i)тогданаходим:x'(t)=aeafcos/3tj/'@=aeatsin-Ct+/?eQ/sin/3i,/?eQicos^.—При0.комплекснаяНа\ext,—ф>распространяются§1)./3t.|^@1=а/3если—iy'{t).=логарифмическойуравнение11слева),лучx'(t)arg^(i)иСледовательно,-г.—eQt==аправила+i@произ-—число.z(t)Отсюда=рис.=Доказать,комплексноеПустьtтакжеприпеременной|z(t)|тополучилиа^LitAfc*O(см.Примерea<sin/?Lе^а+г^1,z(t)=уравнениемфункциидействительной<3мы5,=lim=дифференцированияпроизвольноеип.комплекснойфункцияцииесли<(р1,isin^t),^ ^ 0,+находим,окружность—заданнуюкривую,eat{cosf5t=/Й,=(—ос(т.спиралиПостроить+00.какПолагая—8.t <=ea1cosfitиВекторные§5.ифункциикомплексныепеременнойдеиствит.113Следовательно,Z'(t):--X'(t)+Iy'(t)=={aeatfitcosaeat=(cos/ft=t26.600.z=16.601.z=:2e2S6.602.z-3eu6.603.z={2+6.604.z=t2+6.605.z=t +6.606.z-ae^(l/ft)+(acati/3eat*е*4+г(cos/ft+(a=(~оо,B(-oo,ie-{t,it),а£Ш,чтоzг(-oo,* Gw,z(t)DzЛинейныйp(D)коэффициентами=дифференциальныйanDn+p{D)z(t)6.609*.дифференциального=Доказатьа) p(D)extб)(-ос,Длякомбинацииanz^n){t)++..Dz(t)следующимaiz'(t)+свойстваaoz(t).дифференци-линейногокоэффициентами:постояннымиp(D)(extz(t))=extp(Dфункция,+оо).пфункцийзаданных\)z(t),+разz(t)гдепроизвольная—дифференцируемаявычислитьприлинейныеуказанныепроизводных:6.610.x"(t)z'{t).=коэффициенобразом:постояннымисопределяетсяclqточкиp(A)eAi;=комплекснозначнаяt G+постояннойскоростивекторт.е.операторa\DследующиесоператораRe—дифференцирования,+..f{z).=поперпендикулярномуи\z\wзаконудвиженияускоренияpiz(t)—Найтипооператор(ITнайтиизаконокружностьcz—>+oo).скоростиединице.вместеПустьz(t),=определяеткривойпробегаетравнойдвижущейсяAeAi.-oo).-f(-oo,te—компонентыкскоростью,=i/3)e(a+w'+нему.угловой/ft)=-foe).[0, 2тг].t GНайтиzsinг/3t)+оо).i)e"*,-i G-Точкаcos+оо).(-сю,t Gкасательной6.608*.Eса1+oc).i е,+-+уравнениямиe~'l\i)eJit4,г/ft[0, тг].t G+siniij3c<e+f73U(-oo,teплоскости.направлениюкsin+it,+-Известно,на+заданныеz6.607*.fit)гкривые,6.599.точки+sinae(a+W=ПостроитьCcat-+3x'(t)+x(t),еслиx{t)=te~lcost.любомком-114Гл.<Заметим,=(D2W6.6096),+3DRe(teS~1+i)t)).=l)x(t)+l)te(-1+i)te(-1+<))'(£>2=Отсюдаe~'(((l2(i+>2 +=+3Dl)te(-]+i>'.+переменнойZx'(t)+Используя+6.611.6.612*.6.613.6.614.6.615.6.616.3x'(t)=результатAe(-1+'-u((D1)D-2i)D++(-2+B-2t)cost-(i++-i))tiIJ3(D+3D+3(i+i+1)-1)-e^1+i)t({l=t)smt)+IJ-2t)-i((l-2t)smt++++l)t+iBB++x"'{t)x"(t)ж"(«)x'"(f)x"(t)(l/2)x"(t)x(t)Re=+-+46x{t);x'(t)2x'(t)f+-x(t);-{D2x(t)2x'(t)x{t)E/4).T(i);2x(t);=5x(t);+x(t)\x'(t)+-+W+=e2t\)te{~l+i)lt))t)cost)).+=3t.cosж(<)x(t)e'/2sint.==e' sin=elsin2tVl2t+e~lcosfismt.x(t)x(t)=+A+t2)etcost.t2.l)t==получаем:x"(t)x{t)+находим:+=x"(t)Поэтому(D2Re=однойфункцийисчислениеx(t)что+задачи(D2Дифференциальное6.t.=ГлаваИНТЕГРАЛЬНОЕ7ФУНКЦИЙИСЧИСЛЕНИЕПЕРЕМЕННОЙОДНОЙ§Основные1.методывычислениянеопределенногоПервообразнаяпервообразной1.называетсяX,функцииииF'(x)/(ж),еслитолькоf(x)Ф(х)=тотомвнеопределенныйфункции/(ж),всеххдлянеопределеннымФ(.т)ТакимF(x)=отобразом,поС,+F(x)ВфункцииэтойСэтомpi/ af(x)4-fт.е.томпо-называетсясимволомA)аA)ввидепостоянной.произвольнойназываютинтеграла:=f(x).f'{x)dx{fi(x)f{x),равенствотрадициисправа,множестваf(x)dx)3.f(x)обозначаетсявнекоторая—C},функциинеопределенногоfСгдепостояннаяСпри-значения.Свойства2.жеопределениюпервообразныхизсилуустановившейсяобозначенияявногоприодна—действительныепринимаетпервообразнаяфункции—функции+гденекоторомтойназы-множествеF(x)Еслипервообразныхвсехинтеграломf(x)dx.напервообразнойкогдаслучае,заданнойЕ X.F(x)Функцияинтеграл.являетсяСовокупностьпостоянная.интегралаf(x)=dx+=f2{x))a+C.I f(x)dxdx,=аIfi(x)dx+Ф0.[Mx)dx.записываетсябез7.Гл.116ИнтегральноеТаблица1.основныхJ3lxi=In|a:IJ/aax=;■7si/ sin4.dxx//"thoIn(aо=интегралов:C.+*~"'.переменно!l+nf—2.неопределенныхdxxоднойфункцийисчислениеcos-ехdxех=+C.+x>;/,>6.7.У1112131415.'У/tg"=lntgcosx/"/1/.IC.+Сf^+1Xa1+ж2axVa2x2-/ж2shxdxchxdxx—ha=In=Ina2+=—\x+chx+C.shx+C.dxf^ch==111XО-гxdx=sh2x-arcsin=.—cthx.+С.Сa+^x2ж|ctg-4"aa—| coseccc7\zdxIn=dxa2/dx■/■///+x2 2,2= + a2fJУlnsmx16.18.x=У9.-ctgx=sm/^У /^8.10/ T-f—С(a ^aC,|x|<0\a\..С.§Основные1.вычисленияметодыНайтипервообразные3-7.3.7.2.7.5.-I.+7.6.1-2sin'*..2ж17.7./аЬх+17.10.cos2_„„/V7.14.7.11.:Esin(acosx)sirrнепосредственным1-x)—Zi(asin+cos22.x2x..fx)+синтеграла(asin—x).таблицыпомощьюпреобразованийтождественныхи.9ж\2Zj(acosl-8sin27.12..1cosнеопределенногоинтегралов14-Zj+17.9.ж3-&Отысканиеосновныхе2-3х.ж„.ж2—hcos7.8.хж9(7.13.Ax117интегралафункций:следующих2х7.7.1.неопределенногооснов-называютнепосред-интегрированием./dxdxГ.1JхА--^Г1-Х2+У~хЦ1х2)-таблицу.г-2A+УахХ2_dxf/dx ^ИспользуяXXdxГ-i=_11=Г^основных-+~х21 +In+1-хнайтиинтегралов,Xследующиеинтегралы:7.15.I C.x2+2х+J-dx.mxdx.7.17.+ж1dx.7.21.7.23./2TA/2ж^3dx.7.18.17.19.7.16.+3.x2•2~x)dx.7.20.■7.22./2xexdx.7.24./B.x+3cosж)dx.dx.С.ОГл.1187 .25.Интегральное7.Г-J12sin—xsm2si/У2x7.31.5—.sin'+sin2xa;dx.-fth2xdx.6):cosctg2cos2/7.28.xftg2xdx;a)7 .30.dx.sin2xпеременной3-2/Г.26.2xcos27.29*.dx.однойxcos7.27.функцийисчисление/Jж(arcsina;arccosa;)dT.+7.32.7.7a)(x7.38./cos2a)I%7 .40.7 .41.3+a;b)dx.+coscos2a;2-da;.жctg2xdx;Аб)7.2.этого-97.4МетодСуществуютпеременной.заменыследующиедвавариантаметода.а)Методтребуетсяподведениявычислитьинтегралфункциядифференцируемаяподынтегральноеf(x)(указанноедифференциала).иf(x)dxвыражениеdxпреобразованиезнак/ f(x)dx.(р(х)=может=д(<р{х))<р'(х)называетсяПустьдифференциала.подиПредположим,чтод(и)функциябытьтакие,записаноdx=вд{и)=/ g((p(x))(p'(x)dxи/ д(и)подын-duподведением=чтовиде—Тогда/ f{x)dxсуществуютduu=ip{x)ц>(х)подзнакОсновные§1.вычислениет.е./ g(u)(которыйduможетusin3xdxcosxоказатьсяВычислить/ sin3—Имеем:Ух-2x)3-Операцияduх/ u3исходного)последующейиxcosxdx.4u=sin/ —^X"=.t—-—4xС.+_,-dx.■+■полX—одифференциалазнакипеременнуюновуюинтегралsin4С«<^(.т)на+—"У3Jпеременнойт.=J-хзамену3 dx,duфункцииВычислить4.~+переменнойПроизведемТогда.т2подведениязаменеПримерпрощеинтеграла=интеграл./"'а;эквивалентна<Вычислить3.+к/ sin3d(smx./<]вычислениюсводитсяинтеграл=Примерdx119интегралаip(x).=2.Примернеопределенного/ fix)интегралаподстановкеjвычисленияметоды/—jvC.r4-экви=у?(.т)-IJформулепое.dx—о/f/x1Выполненноедифференциала=.преобразованиефункции-/du[wo,=-т~гэквивалентноW-3.X+1.>w1/3С.,подведениюподзнакдиффе-оГл.120Интсгрсыьное7.Вычислитьсинтегралы/гл/3Ml./.функцииисчислениеxdx.+tg4a;Г.49.sec2axdx.b tg—У/(ажb)+dx.7.60.7.62.7.64.7.66.7.68.7.70.7.72.7.74./////////•xdx.7.61.e-axX'e~2ax1 +dxV9x2-x*xsdxГ+dxa2+ch2b2xxshxdx.7.65.7.67.7.69.7.71.7.73.tgxdx.x21'7.63.dX'7.75./ 34xdx./(In ж)Уж/sindx.////////—.dx(xcos/7.59.5(x/\/2)2-3sin(a;/>/2)7.57.-$-.sh23xx7.55.bx'аcos7.53.cos/"-7.51.sinv/i--p.7.58.Уж/ ctgxdx.7 .52.cosxdx.Cx7.50.перемсньзамены:(i-As'mxI^7.45.7.48.7.54.подходящейпомощью/ chxshxdx.7.46.однойтг/4)'-ж~dx.Ix1-1dx1-Ax2'dxv53x2—sindxxл/cos2sinax(IXr,cosJ4+x^.ax'XGcthe*J-4xс?ж.xdxch2(ж2+1)I-§Основные1.вычисленияметодыdxг'./(о6)z2-(О-<121интегралаа).Ъ<dxf.77.неопределенногоxdx./x2draxxПрименяя7.80.найтиприемы,различные■■/a2xdx.1-инте-неопределенныеинтегралы./7 .82.T^dx.Г7Уxdxа2х*7.86.■5х7.88.I+Ъх-dxУ (з-j==«О27»l-Г.И.7 Q17"Ь2-■937'е2х7 .97.7 .99.J[|^.clixshxdx./У xVl77.98.In2-4ax:J/"—^=xVl—/7 .100*.7.102.+cosaxJdx.7.104.sin2sin(a;/\/2)/"cosdX'.4 Inя;/ cos2xdx.{sinexdx.1IdXI+7.96.y/3-cbxshxdx.7 .101*.7.103.жa:/^arcsinex\/A4+Darcsin7/(a;3)жdx.Гл.1227.Интегральное/./7.107.7.109.JSln-,/\/cos4.t7.113.I esccxtgxsccxdx.Введемt,g2 (ожновуюtp(u)Пустьтребуетсянаcosжctg2(ж33)-dx.интегралвычислитьА'.множественекоторомUмножественекоторомнаUотображениеоднозначноеX,нат.е.иuхц>{и)=исходноев}(х)Далее,т.dx[f(x)dx=Jвычислениее.X-+U.подынтегральноеf((p{u))sp'(u)=получаемвыражение,dug(u)=du.равенствосправедливоJip-l{x):=[f{ip{u))ip'(u)du=[g(u)duJu=<p~l{x)/ f(x)интегралаdxвычислениюсводитсякпрощеисходного)irxu--<pинтегралаj/ g(u)du(которыйподстановкеu<функции=5.ПримерВможетрассматриваемомX—оказатьсяипоследующейtp~l(x).Вычислр1ть/интегралПроизведемх-—tp(u)1 +областьслучае[0, +оо).Гхy=dx.определенияподстановку—и2,иG[0, +оо).подынтегральнойосуоб-имеетобратнуюПодставивВве-формулойдифференцируемавзаимноосуществляетx2определенаипеременнуюфункциягде/(ж)функциягдеsinr/Jdx.—7.112.dx.b)+Ithaxdx.7.110.подстановки.dx,.//^=-.If(x)7.108*.переменнойsin2xf/7.106.—dx.3+ctgV3.xМетод-dx.Z7.111.б)/cos2.tK/* A+/7.105.однойфункцийисчислениеОсновные§ 1.dxТогдаметоды2udu,—вычисленияutp~]=Jнеопределенного(x)y/x,=откуда+U123интеграла+Ut>.Применяяуказанныенайтиподстановки,интегралы:dx/J7.117.е2хСexПрименяя7.118.Метод3.поЖ7.119.+dx.тоЭтачасти[ V1 ,в/7.123./интегралы:dx.ex-^dg.—и(х)Есличастям.справедливаиформуласледующаяv(x)дифферен-—интегрированиячастям:вкраткой—u(x)v(x)формулаf(x)B)/ v(x)u'(x)dx,-записиudvвыражениеJ7.121.поинтегрированияфункции,найтиподстановки,/ u(x)v'(x)dxилиЫ.=[x{bx-l)l9dx.IдифференцируемыежподходящиеJ7.120.dx,1+dxинтегралиспользуетсявможнотакприпредставитьнадлежащем=техuv/-B)vdu.когдаслучаях,ввидевыбореподынтегральноеudv,выраженийчтовыра-стоящийвииdvправойможетГл.7.124Интегральноеоказатьсяисходногопрощеесливыражениеи/ х2Найти6.Полагаемх2=dvи(постояннуюsinxберемстоящемуПрименяяxdxcosdx=Еслиформулех2sinxх2(—за2х—cosx—Jх2итак7.Найти/dvlnx\==2х).cos—B),формулупосле—т.е.Имеем:и=I (— cosxJsin+xIdx=J2xcosx2 sin-xC.+>логариф-сомнолштелемфункции,тодифференцированияихследуетфункцииэти\nxdx.—dx.хInхdxduТогдаполучаемправойх——J=vи—[=Jdx=х.Подста-=частиуравнениехInx—x+С.>xформулыприменениядвукратноговприходимvнаходим/InxdxИногда—£.хвdxxинтегрирования(т.е.содержиттригонометрическуюврезультатекакгг,cosкачествевформулуs'mxdxфункцияобратнуюили/=окончательно:получаемsinxvdx.xмногочлен=ит.е.sinприменяемvиподынтегральнаяПолагаемнеизвестного.можетимеемI 2x-dxнулю,B)относим2dxB),—Примеринтеграл,мно-B)формула2x=равнойсновасноваи—формулулогарифмическуюприниматьупрощаются.частямтригоно-отнестиследуетэтомduПо—вивНапример,наиПриТогда\<кОтсюдаs'mxdx.—duх2dv.полагаемхcosкпричемdv2х,—здесьинтегралусправачастям,dx.xпервообразных)./ х2Кприниматьxdx.coscos=Сизоднупоудобноинеоднократно.Пример—ток—запеременноймногочленафункцию,оставшеесяаприпроизведениестоитинтегралапоказательнуюилитригонометрическуюмногочлен,применяться<\упрощаетсязнакомподэтомПридифференцировании.интеграла.которыймножитель,однойфункцийисчислениеквыражению,сискомымпоинтегрированиясодержащемуинтеграломисходныйвкачествеfОсновные8 1.ПолагаемиПодставив=Ьхsin/enxВеахeaxsinbxdx.smbxdx.—иsinbxdxbxdx=еах,Тогда--eax=dubxcos6dvTeaxь—полученоаеах=+т/6Jbxdx.cos=Решая(о?\l +bxcos+dx,vcosbx.-—bеатТогда-7-Vь=аеахeaxsindndx,¥jJeSmbxdxvпf/eax(asmbxПрименяяsin7=eформулуdxjьnrasinbx/bcosbx)——a24-7.126.fxlnxdx.7.128./ (ж27.130.I-х+l)\nxdx.поC./7.127.f7.129./ж2sinжdж.7.131.fx, 3e-x2dx.7.133./*zarctgzcfo.7.135.feaxcosbxdx.7.137.Jcosхx/fdx.■x3exj_,dx.sinжж—COSe*TCC0SX>найтичастям,7.125.x2e~xdx.7.Г.1132*.32*.)_+b1интегрированияarccos^dx.dxClt+интегралы:7.124.bxинтегралаfecosbx—-bx-—находимИЛИeaxbxsinьнеизвестногоуравнение,этоГ(7относительноуравнениеsmbxdx.7.136.125интеграла=иитоге/sinполагаем7неопределенногоимеем/еахТеперьdveax,=B),в/Найти8.ПримерОвычисленияметодыdrc.Жdx.инте-).Гл.1267.Интегральное7.138.\n(x+7.140.fx3xdx.функцийисчисление\/l+x2)dx.dx/xcos2Применяя»+A*/J^—ax.7.147.-dx.7.149*.C0S2rex7.150**.Вывести—xzНайтитг—.НайтиJ/2f3)+(In x)coscosxdx.dx.интегралы:dx.[A»2/ xctgJ/J7жаж.x2fdx.—■7-r{x21J+формулурекуррентнуюaz)n+/2x-/x(arctgxJ»+%/J7.148.7.143.7.145.arcsinxff {x2найтиметоды,e^dx.7.146.7.141.xразличные7.144*.x3\nxdx.7.139.——.переменнойоднойдляInинтеграла/з.иинтегралы:y/x27.153.J7.155.J/xarcsin/x2 axctgxdx.adx.+/7.152**.7.154.xdx.J7.156.J.х1//dx.x—j=V1x-7.157*.§Интегрирование2.1.вольнойИнтегрированиефункцийрациональныхРт(ж)Qn(^)дробирациональнойкоэффициентамительнымиклассовосновныхэлементарныхв=дробей.bmxm+anxnобщем..Интегрирование+ bix4-..4-произ+4-aixсдеистви-a0производитсяслучаеb0следующимобразом.Еслипредварительнот^п,т.выделитье.дробьисходнаявэтойдробирт(х)*;<Эп(ж)целую■.тонеправильная,часть,т.е.представитьследует—ИнтегрированиеS2.классовMm-n(x)Rr(x)и<ВыделениецелойнаслителячастиRr{x)Qn(x),Дробьх(х2~2хтакнеправильная,записываемчасти2х-делениевыполняядалее,получаемб—1)+2х2-fцелойвыделениеКакпоказываетинтегрированиемногочленаиДлях3=Qn(x)<т,простейшихзываемыхследующимдействительныесопряженныеQn{x)где-an(x-ai)eiЭто..1.+-.-f.a/)s'.2tkо,пхп(ж2^),-г+si,/3*,=сводитдробьвтаксуммуосуществляется—.,частиинтегрированиюкеекратностейа/Дь+(ж10храциональнуюразложениеQn(%)ft,6ii+2^i—целойдробиразложить.
