2 часть (1081353), страница 11
Текст из файла (страница 11)
^J7.422.1OOД^_.J f y/TTx^0+CX)I+00*xj.xedx.j0Исследоватьнасходимостьинтегралы:+оо/ /.f7.424..\2+оо3 +^2х2dx^1ЛЖI7,,._Н1+оо+3 ++1+00+dx7.430.3+Зх+ОО7.427.7.429.dx.+ocоjxxe0+007.423..dx.+0OOOJOO1+Г.417.2xcosxdx.eо+J/7.414.-2oo—7.Г.425.425.dxfJ+oodx/Г.413.7.421.ихe+ooГ.41Б.переменнойоднойООsinхdx.1рас§+-—^-_XЪ<хf(x)limих-^Ь-0существует,аВасимптотойкогдалюбойC)правойеслиC)х[этот—унесобственныйтонепределf(x)/(ж),случаевфункцииЬ.—C),формулычасти0>естьпрямойвинтегралс(а,GЬ)точка—точкиокрестностислучаеразрываlimf(x)dx=J7i->+0f(x)функцияинеогра-с,6с-71Уне-ею.—вf(x)функцияопределениюf(x)dx.интегралграфикомопределяетсяслучае,ниченапосходящимся,несобственныйfix)liraxЕсли/впределограниченнойвертикальнойиАналогичноУ7->+0называетсяфигуры,=f(x)dx^-расходящимся.—Геометрическиплощадьх[интегралтоIn6-7limконечныйсуществуетInXтоею,—ЬУ-функций.неограниченныхот^аdx[J7.432.COSZ+yJXприЕслинесобственный159интегралы+ООИнтегралы2.непрерывнаНесобственныеОО[J.431.5.f/(z)dz+lim72->+0у[f{x)dx.D)c+72ПризнакисходимостиНапрактикеаналогичныкачествевобычносравнение,несобственныхрасходимостиифункцийнеограниченныхсинтеграла,интегралыиспользуютсясходятсякоторыепроизводитсясравне-ьdxвdxС1<априинтеграламикоторым1.п.видаьСаналогичнымиотинтеграловизпризнакамE)расходятсябесконечныхислучаеапри(сравнитеинтегрирования),1^пределовсанало-2Пример3.ИсследоватьсходимостьнаралинтегралJ/dxГ-—.\пх1<такПрих->1~-—\пх(эквивалентные——х1—большие),бесконечнокакJ/bHL=)Umя->1±zllair=limx-*ii=l/jL7.Гл.160Интегральноефункцийисчислениепеременнойодной2/dxкакрасходится—-E)типаинтегралприaСледо-1.—12вательно,/dxрасходится]In•>ж1ПримерИсследовать4.насходимостьинтеграл1tgar-жО ЗадачаподынтегральнойВсостоитзнаменателечтобытом,привфункцииВ~х(х=оСледовательно,хпри+tgx/интеграл}-tgx:-х3.о+0-)•2х2как+о(х3)оимеемфункциидля-х3-х=уподынте-+0-»хприМаклорена+о(х3))-х3+уповеденияхарактерчислителеформулойвоспользуемсяtgx1акустановить+0.-»ху/Бх1'2хх3/3—з-=1ж5/2dx_/оторасходится,расходитсяизаданныйинте-о>грал.Вычислитьнесобственные(илиинтегралырасходимость):установитьихе7.433.У/-/^.ж2+ж47.434.У0О/т^Ьг.(ж2[12/347.436.7.435.IL/5-,dX0■/-7.437.1/3^2-Трас-§>37.438.Несобственные5.dx\/4dx/Г.439.х2-161интегралы/2/тг/7,440,cos—X1dx7.441.-~.X60(х{1оИсследоватьсходимостьнаинтегралы:11cos(l/x)шЧт^dx.1/./tg7.446.7/cos—x*жv-y/x{l-x)'<dx.1=dx.7.449.1-V^2)+ex/Г.447.ex7.448.х-ln(l/J7.445.—.хdx.:1Г.444.х)-U7.450.f^-dx.Г.451.•ьJ-1о7-452.Г(а)Доказать,что(а)ГЭйлераинтегралгамма-функцию0 определяющий>апри/=е~хха~dxсходится,овитьсоотношения:следующиеа) еслиб) Г(а+д)Га1)fпп=+=^)-целое-аГ(а)=любогодля1•3•5..Г(пточисло,Bна-+>1)^,1)—п\]0;п—целое.иустано-Гл.162§7.ИнтегральноеГеометрические6.графикомплоскойПлощадьфигуры.функцииух/аих=интегралефигуры,f(x)—Ьи=15),уУх—ха,—Ь(рис.16),SПростейшиезадачи(задачи7.356-7.363).§4=науf2(x)и/] (х)—прямыми.двумяМх))-Bdx.A)формулприменениеB)ибылиy-f\(x)Рис.Примертии3Найдем1.ограниченнойточкиРис.16Найтифигуры,х2площадьокружностьюпересечениялежащей-fуравнений+у2(рис.кривыхх2у2г/2\.формулепоI(f2(x)графи-ограниченной^гAфункций/i(x)^хJf(x)dx.фигуры,/г(ж),определяется^аформулепонепрерывных=кри-дуго£f(x),=вычисляетсяПлощадьграфиками15площадьилиограниченной=Рис.гра-прямым1.двумяОх,осьюфункции(рис.x0),^трапеции,графикаbограниченной(f(x)волинейнойjпеременнойопределенногоприложенияПлощадьнепрерывной1.однойфункцийисчисление=8,-2л.=в8и17),17правойполуплоско-параболойу2решивсистему~2х.урав-§Геометрические6.ПолучимнайдемОх,у2)B,точки0 ^Иногда(считаяуфункциейж2,-формулы,2 ^параболыл/8-^хA)аналогичныеу),откри-дугамил/8=осиплощадейсуммусоответственноуиспользоватьхотносительноудвоеннуюокружностии163интеграласимметриюкакограниченных2,^худобнопеременнойИспользуя5площадьтрапеций,\/2ж,определенного-2).B,иискомуюкриволинейных=приложениявB),ипоночастности,aj{h{y)-h{y))dy.=Пример(у<J—2JФорма—1,B).илинейк18)(рис.фигуры,площадькасательнойфигурыA)формулыНайти2.х=ОднаконеточкевспозволяетеслиC)параболойограниченнойординатойуо=3инепосредственноОх.осьюфор-применитьфигурурассматриватьотносительнооси-4Рис.Оу,томожноУравнениепеременная.уравнениеТаккасанияпараболыкасательнойкакх'ухок2(г/——2,C).формулуприменить2),—получаемж-2=Итак,запишем=х'\у=$пустьвОнопараболе.х'ото18видехимеет=2.уравнениекасательной2(у-3),илиуххдалее,=2г/-4.у2=видНайдя,независимая——пе-\у-хо-f=абсциссу5.х'0(уНайдемуо).—точкиГл.1647.ИнтегральноеПолагаяf\ (у)C)вфункцийисчисление2у=/2(?у)4,-54у-5,+имеем:ззУ ((у2=у2=переменнойодной4j/-5)+B?/-4))-dyвычислениясуммы9) dy+B)и=\(у-3Jdy=A)формулприменениечтобы-6уJ{y-=Заметим,потребовалоJ(y2=решениипри9.=D>2примераинтегралов:трехB-dx+-4ПримерОхосьюНайти3.ипрямойфигуры,площадьх1=лежащейиограниченнойэтойправееИскомая<кривойу19)выражаетсяпрямой.(рис.площадьнесобственным1/х2,—интеграломооJ~ОЕслиYимеющейРис.то19=где=x(t2)(y(t)Формулаограниченнойдолжно^D)0замкнутойсоответствовать[tuотрезке=—хжа,/;=и#(£),=О.т,осьюJy(t)dx(t),D)уравненийизаx(£i),—t2}).такжевычислениядля(изменениекривойобходуимею-уравненияхпрямымиJy(t)x'(t)dtприменимаОкривой,ограниченапараметрическиенаходятсяна1.=~хформулеинтегрированияпределыфигураy(t),=повычисляетсяееплощадьу^~контурапочасовойtстрелке).=фигуры,площадипараметраbотt\доt2§Геометрические6.определенногоприложения4.ПримерНайтикривойпетлиплощадь2Найдем<хследующиеt—кривой.tпри±1;—у0)ПриПлощадькривойпри£=0 <*^0=@,точки:0; (За,t3)пересеченияточки0—ЗЬ)±2.£при£=—как(a>0,6 >£приполучаем<$ 0^ 0 (рис.j/присамопересеченияверхнейплощадьудвоенную0)(-а,-1;=точкойявляется£Имеем:Следовательно,-36)^0).осями.координатными±2.@,-2принаходим£0)(За,0;^ус0,1;=Точка2фигурыпри165интеграла20).поло-ееполовины:ЗаSI2=у dxf2=y{t)x'(t)Площадьфигуры,г{ф)иD)-<р256dt=-графикомограниченнойлучамидвумя/2=f(4a6==dtа,=^/3,=гдегиполярные—,функциинепрерывной(/9«6.—Ог=координаты,Уг2аe2asi2аcos<p2аРис.илиРис.20криволинейногоплощадьфункцииг—-r((f)i(р^/3,5.Примерокружностей<(рис.г=2acos9,Окружности21)Найтиг2asin<p,пересекаютсясимметричнаограниченнойлунки,0 ^приотносительноE)-площадь=графикаформулеповычисляетсяs=дугойогранргченногосектора,^а21<р<р^=лучатг/2,тг/4;>а0.дугамифигурарассматриваемая(р=тт/4.окружно-Следовательно,ееГл.1667.Интегральноетг/4тг/4S2=•/-sin24a2dtptp/2а2=A-cos2(p)d(p=ооl(p-2а2=-sin2(^1Найти7.453.прямыми7.454.фигуры,площадьа;же,=Найтие2,=у/0ограниченнойкривойограниченнойэллипсомl)—а2.D>/у\пх=0.=фигуры,площадь(—\2=2\ипеременнойтак:вычислятьможноплощадьоднойфункцийисчислениегг2+—а1У2(У7.455.у2=Найти4х7.456.х2=7.457.прямойНайти2рху2и7.459.фигуры,ограниченнойплощадьфигуры,ограниченной7.460.Найтис=7.462.=ех=(х{с4-?/е2х—Найтих2иж=хпрямыми—у2а2у2=а.=кривымиу0у,осьюк=фигуры,ограниченнойфигуры,ограниченнойнейвточкеспара-абсциссойкривымиупараболойу=0их20,фигуры,у=верхнейплощадь==окружностямиуограниченнойкасательнойплощадьНайтиу—Ох.осьюНайти4-3площадьх2и0).Ь)кривыми="У-иплощадь=—>рНайти1—0,>а—укривымиограниченнойпрямойограниченнойфигуры,2р(у=иосьюи5"дгплощадьаJ>3 4- 2х7.464.arcsinrr7.465.окружностями-^flrНайти—7.463.==а2фигуры,площадьу7.461.х=а2хtrпараболой2ау—параболой0).>фигуры,у24-а3а~(рплощадьж2а2,=рK-Найтиу24-площадь-(х=ограниченной2.+х=_^7.458.х2уНайти27=фигуры,площадьипараболамиограниченной4у.=Найти-\-2хфигуры,площадьх2и4-у2ограниченной7г/2.лунки,4-2ау=а2.кривойограниченнойуокружно-=§6.Геометрические7.466.Найти7.467.Найти(ж+а2—2ау2х?а2,=Найтиу2(х2^сегментаЛ-линиямии—t,х/-\-и,о—которыекруга2.—равнаhвысотойссегментаоснованиеа,оси).ограниченнойкривымиу=Ох.осьюифигуры,площадьу2кривойограниченной—асимптотами.ееуsin"*a~~—sint),кривойпетлифигуры,площадь2(tу2A—7.481.Найти7.482.7.483.НайтиНайтиплопдадьпетлиплощадьфигуры,7.484.7.485.sinНайтиНайтиплощадьодногоЬ<р.ограниченнойастроидойх—t.площадьНайтихфигуры,площадь—Найти7.480.a—х2наЗу2—эллипсафигуры,-т.Найти7.479.—а).а2у2./,7.478.циклоидыh0).>частей,двухАх2малойи~—изполуосьплощадь—(хОхосьюэллиптического(большаяНайти—cos3—высотойравнаограниченнойх'1aгиперболыфигуры,площадьутт.х1'7.477.=кругскривойгиперболойразделенНайтиа1—х2сегментакаждойпараллельно7.476.а1которыеограниченнойа8=площади2г—г,угиперболойполуосьа2K?/2-2ахНайти7.475.=ж,а2.фигуры,площадьоснованиемиInасимптотой.Найти7.474.+xх-7.473.—2а.т;на—гиперболическогоплощадьееи=частей,—ограниченной(действительнаяНайтиl)-ах.—площадь2г=кривымидвуху2лунки,у2Найти7.472.изпараболойпараболойи7.471.каждойплощадьоснованиемиуразделенНайтиу*ж,ограниченнойу—0.=площади2ах^7.470.—укривойОх.осьюеифигуры,2 In=Найтиу2+х(xлиниямиограниченной=площадь2),7.469.точкевНайти7.468.Inх2нейкограниченнойфигуры,площадь167интегралаопределенногофигуры,площадькасательной=приложенияплощадьплощадьcost)i2):—уоднойихa(£2-f—х—2/.t2.1),i2,у=у~ци-/;(/,3~3£).2t2t3.—кардиоидойограниченнойкривойограниченной——аркойОх.осьюлепесткафигуры,-1C—ограниченной—кривойкривойпетлихг=г=asm2(p.кривой7*~Гл.168tgsec(p7.487.первойваatg(/?,гCOSчетверти,полярнойи=ifограниченнойлогарифмическойНайти2cos2с/лг7.490.Найтиacos3(p.осью.последова-двумяспиралигнуллиге'^,=начинаясVosinc/?игдеДлинаbиЕслижекардиоидой/?*—г—Бер-лемнискатойее1гладкаяконцовгзаданакриваяуравнениему=jхуравнениями=x(t),t2 ivWдлинапространственнойдугихуравнениямиЕсли^задано/3,—дуги.=x(t),заданнойкривой,у—y(t),zz(t),—^t\7о—кардиоиды).параметрическимизаданавыражаетсяокружностью(внеcose/?—равнадугикриваяограниченной=Есликривой.tпараметрическимикривойограниченнойфигуры,IАналогичноограниченнойфигуры,абсциссы—фигуры,площадьдлинаг2кривыми2(p.дугитоаsinограниченной1 j.^площадьaНайти2.(у1=-_площадь=7.492./(.х),фигуры,площадьНайти7.491.—~~0.=7.489.=лежащейфигуры,площадьвиткамигкривымиосью.фигуры,—переменнойограниченнойполярнойиLpгНайти7.488.=cosкривымипоследовательными—2а=площадьограниченной<рфигуры,площадьrip.НайтиоднойфункцииисчислениеНайти7.486.a=Интсгрсыьнос7.гладкойуравнениеполярноето0=I\/г2+(г'Jкривой7*—r((p),a§Геометрические6.ПримерНайтиб.начала<3приложениядлинуИмеем:48).3/2\!)•07vz/оНайти7.Пример.xjастроидыдлинуИмеем:=-cos2За:/;f siny[/,х3—от4—о<3у2параболы'9/169интегрснаполукубическойдугиD,точкидокоординатопределенногоуsin2За=cos31,a=tsin3а=^t.f,cos7Г/2-// y/da2=sin2cos41sin49a2f +f cos2^ Л=тг/2.За=IоткудаCa.—Найти8.r'/=\/a2(l-cosy?J7*кардиоидыдлинуИмеем:-/£ cossin£ a£За—-—=тг/2tЗа>Пример<3sin./sin2a2+a=a(l=(acosy?)—0).>simp,фdip=о/ у2Aa=—cosy?)aV/2a—о/откудаее—7.493.Найти7.494.Найти(х—7.496.лежащейдлинукривойдугидлину~C——опараболывнутридлинуосиух2=отхх)у/х—0до.т1.=точкамимеждудугиОх.параболыполукубическойдугилежащейНайтиуОх.осьюНайтивыше4a,=опараболыдугидлинусрJ,rfy?—t>пересечения7.495.х8a.sinкривойу2у89х~——2рх.—=у1aIn(а2—ж2)(а>1),Гл.170у2+периметр2ах=х2и7.499.Найти7.500.Найтилунки,у24-длину(a2Ьу=длинух2).—окружностями:линииукривойдугих2(а2—0).>b>цепнойдугипеременной8а'2у2кривойобразованнойзамкнутойдлинуоднойфункцийисчислениеНайтиНайти7.497.7.498*.х2Интегральное7.у=ch2x-от—Insin—=30—от2тгххдо=-2до*=-.Найти7.501.(ххрK;—аCtsinдоtдлинуsin3^)—еех>кривойа;=кривойд;кривойх=—петлидлинудугиосямиспересеченияу™0).eJ cost,t2,=ус1 s\nt—{\3t~уt6кривойу——,хa(t"~J),-fi?/отJ.i42="Gкоординат.петлидлинуНациклоидекотораяточку,1:3,хделитсчитаяотНайти7.509.находящейсяпервоймежду4у;-(//-•=окружностидлинувнутри7.510*.Найтиарки(агдугиокружностиг=всейдлинууa(l=3£)—Найти7.511.длину0).>спирали(а1—кардиоиды1.г=7.512.НайтидлинуНайтидлиныдуг7.513.хл/3(а>0).=at2,Vвсей—(а*-Архимедаспирали107Г.кривойгa—пространственныху=a(t+г?'sin4са'+\находя-0).>5у>.=(а—=cosy?),—cos3a--0).2A>гкривойдугиОКРУЖНОСТИВнутринайтиотношениивонаходящейсяl)cos-~циклоидылогарифмическойдугивнутриsint),-координатдлинунаходящейсяa(t—длинуначалаНайти7.508.=V0).>7.507.*---cos3£),-х~у0).aCcost>—(аiдодугидлинуНайти7.506.0=длинуНайтиточкамиt(р2р=кривойдугиотНайти7.505.ж5параболы1.=7.504.(апрямойНайти7.503.0=iполукубическойдугиотсекаемойНайти7.502.=длинунаходя-0).>кривых:-t3Yz=•а(t--^>чJотt=0до§Геометрические6.7.514.zих>7.515.х27.516.ж7.517.точками(аt=sint,—Площадь3.^хповерхностивокруг6,^Если^заданадугае1 между—междуплоскостямиa\/tsin£,2:1cost,—zхat=z£от0=4cos-=0=а;идо4.=произ-междудвумяПлощадьвращения.образован-поверхности,функциейзаданнойкривой,у—формулеуравнениямиж/(х),ж(£),=узаданав/ rsin</?>/r22тг=гкоординатахполярных(r'J+г—(if),а^^</?/3,тоdtp.аЕслидугакривойпроизвольнойвокругвращаетсяоси,площадьтоинтеграломвыражаетсявращенияБгдеRрасстояниедуги,—концамдуги.отАПри—RndlэтомнаточкиВиf2n=дифференциалRdl,кривойдоинтегрирования,бытьпределыдолжныосивращения,dlсоответствующиечерезпеременнуювыраженыинтегрирования.ПримерастроидыНайти9.х2/3-f=jy{t)^{x'{t)f-2ir=Qxповерхности0—Oxz.параметрическими< t2,плоскостямиплоскостьюдуги171интегралатоQxЕсли=сподуга*iуОхосивычисляется*у=кривойпересеченияобразованной вращениемz16ху=0).>определенногоеьsint,—9z2a\/£cos£,0ху4у,==t >произвольногоое*cost,0).—(aa—приложенияу2/3а2/3образованнойповерхности,площадь—вокругосиОх.вращением—диф-Гл.172Интегральное7.функцийисчислениепеременнойоднойИмеем:</~2(а_3/2/з2/зи/2*"_Лj-i/зЛ2Vа/14-_(q2/3~x2/3I/2_У3.tV3а1/32/Следовательно,а|(а2/3-(а2/3312х-=5/2ПримероднойНайти10.аркиа(£=Имеем:<xjV(x'tJЫJ+sin£),—аA=\/а2(х=поверхности,площадьхциклоиды2/JОsinа=вращениемcos^)—=sin2*4-а25образованной&A=cos^),-cos*J-?/7га2.—осивокруг2Ох.£,а>/2A-cos^)2asin-.=Отсюда2тгQxI—2тха{1*)cos-•-dtsin2а—о2тг/8тга2=sin3dt-—Пример<3Найти11.гкардиоиды=2аA=-1бтга2Iплощадь4-cos^)/8тга2fcos1cos~.-~-sin-at—2л-cos3(*/2)\64ЗУ2образованнойповерхности,полярнойвокруг1-вращениемоси.Имеем:г'\/г24-{г1J=\/4а2A—4-—2аcossin(у?Jу?,4-4а2sin2<р=4аcos—,,2>§6.Геометрическиеприложенияопределенного173интеграладалее,и,Qx/2тг=/'2аAcos(p)-Ьsinc^4а•ч>cosdip—964тга=—7-/fФлcos<Рsin—J128dip~ZAотга=t>.Оо7.518.Найтиплощадьобразованной3,^вращениемНайтиплощадьНайти7.520.свокругпрямой7.524.дугикривойдугикривойа)вокруг:7.526.7.527.однойосиееточкамивращением9ау24х3,=отсекае-б)a(t2—образованнойа)вокруг:образованной-Ьоо,<х0образованной1),у—C——оt2)^t<—,a(t—sint).—вращениемвокругобразованнойповерхности,хвращением—sin3t),aCsiniповерхности,площадьциклоидыу=Оу*оси+Ох.осивокругОу.осивращениемобразованной3*),-cosвращениемб)Ох;осиу=аA—осиОх.cost)вращениемвокругеесимметрии.Найти—7.529.поверхности,площадьэвольвентыдугиокружностиаCНайти7.528.x(sint1.=междуобразованнойповерхности,площадьхарки0 <costОх;кривойпетлихвращением12)—поверхности,е~~х12,=Найти-у/С х(ххJ—площадьосидообразованной—Оу.осивращением—1=поверхности,хCа==хб)Ох;осипараболыплощадьухповерхности,площадьНайти7.525.^ха.9ау2Найтиотполукубическойдуги=Найтикривой0 ^образованногоа)-х'^=уплощадьх7.523.петлиch2x,-образованнойОх.осьюОуосиукривойНайти7.522.=эллипсоида,4 вокруг:=поверхности,дугипересеченияотсекаемойкривойплощадьОхосивокругуповерхности,дугиНайти7.521.у2+площадьОхосивокруглинииповерхностиАх'2эллипсавращениемцепнойдугиОх.осивокруг7.519.катеноидом),(называемойповерхностиокружности0 ^ t ^tcost),Найтих7Г,площадьг=2аsimpвокругa(tsint—осивокругповерхности,образованной+Ох.образованнойполярнойоси.cos£),вращениемувращением—ахГл.1747.ИнтегральноеНайти7.530.аA=0).Bа,Доказать,7.531.7.532.кривойдуги—,ZtОбъем4.0 ^Еслитела.Ох,осиобъемтелаобразованной^(рвычисляетсяZiсечениятелаоси.плоскостью,функциейнепрерывнойформулепоравнавращениемполярнойвокруг—,S(x)площадьявляетсявра-оси,а.поверхности,sec2a=вращениемвершинеобразованнойполярнойвокруградиусаеевповерхности,a2sin2(p=площадьгперпендикулярнойтог2сферыповерхностиНайтиплощадикасательнойвокругплощадьчтолемнискатывращениемcosip)+переменнойобразованнойповерхности,площадьгкардиоидыоднойфункцийисчислениеперпенна[а, Ь],отрезкеоIS(x)dx.=Примеррадиусаа,Найти12.сечениеаобъемF)основаниетела,диаметрукруга,треугольниквысотыестьh.Выберем<JОхуплоскостьначалокруга,(рис.в22).=—Ох,=hсегокруацентром,фиксированныйПолучимчтобытак,плоскостьюдиаметруравнениеокружностивидех2ft.высотойиf \/а2теларавнобедренныйестьплоскостью,перпендикустреугольникоснованием2у=г.>Имеем:аVтреуголь-с—ради-22оси2\/а2кругдиаме-координатсовпадаласодержалаСечениелярнойсистемукоординатОхось—фиксированномуравнобедренныйперпендикулярнойплоскостью,Рис.которогоа-х2dx=2ftf\/a2-x2dx=§6.ГеометрическиеприложенияВыражение/(я),=утел^aS(x)функциидляТак,вращения.телЬ,^хпростополучаетсяограниченнаятрапеция,вращаетсяОхосивокруг175интеграладостаточнокриволинейнаяесливычисляютсявращенияопределенногосоответственноилислучаевкривойОу,осиобъемытоформулам:по7ГVx=*Jf2(x)dx,G)abVyЕслилучамикриволинейный(^а,—вращения(р[3,=.Вычислениекривойограниченныйполярнойвокругобъемовl=г3 sinгг((/?)=иобъемтооси,лутелаПоэтомуd<p.ifзначительнотелинтегралов.кратныхстейшимиспроизводитсяпрощеограничимсямыпомо-толькоздесьпри-задачами.ПримерФигура,13.2—(х-рK/2.=2у/РххточкуИскомыйобъемаограниченной2р,=пересеченияобъем\.параболойVg,удовлетворяету =2р),полукубическойзначе-2р,т.имееме.двухобъемов:криволинейнойвращениему/2рх-@ ^х<:2у=——{ху/Ртрапеции,ограни-трапеции,ограни-2р),криволинейнойвращениемпараболойИс-23.рис.—разностьполученногополученноговращения.тела4(х~~рK:=уобъемаобъемиилиBр,естьНайтиу/2рх—,тогдаиукривых:уравнениюочевидно,значениер{хОх.осивокругпересеченияточкикривымиограниченнаяврашаетсяу/РНайдем/2рх=ченной(8)o^O.равенпомощьюиx\f(x)\dx,сектор,врашаетсяv<\I2тг=-рK/2(р ^д;^2р).у—Гл.176Интегральное7.ИспользуяG),формулу2р0p2p2p7Г2p•J/dxx7Г—2р/ (x-•PipK—dx(О ^вращения.<tтг/2)Очевидно,0тг/2,=Ох,^4тгр3tприобъемискомый^0=Vy^|/ао,х==т/Найтиобъемчтотакже,у0—a=D>sin2^тела£приО=криволинейнойтг/2=(8).Зтгр3.—acos£,является£приа,-кр3хСледовательно,0.=Имеем:Оx(t)y(t)dx2тт^формулойвыражается4~Оу.фигураа=0иохосивокруграссматриваемаяДалее,трапецией.кривойвращаетсяiт.е.2рp)A-pограниченнаяосьюичто£прииФигура,14.^(x4тг—=Примерпеременнойоднойполучаем:2р=функцииисчисление—/2ттacos£osin2t(-asint)•d£=dt=тг/2Я-/2тг/2sin2dt2t/ A{J2At)cos-Jтг/2а3ПримерНайтиоси.<VКардиоида15.объем/-7Г=гтелаa(Ia(l=cos(p)—вращается7Г(Г93полярнойвокругвращения.у?Kcos-sinу?dy?=-тгаЛ5-тга-\=О^оиНайти7.533.Ожу,плоскостисечениепод7.535.фигуры,хперпендикулярнойобъемаугломНайтиобъемограниченнойкуОх,отсеченногоотплос-asin3^,—естьаквадрат.прямогопроходящейплоскостью,область—-acos3£,—осиклина,арадиусаоснованиякоторогоастроидойограниченнаяНайтицилиндраоснованиетела,плоскостью,7.534.Охобъемкруговогочерезосно-диаметроснования.плоскостиобразованноготела,линиями2у=х2вращениемиосивокруг2х+2у-1-3=0.§7.536.Охх7.Найти^СНайтифигуры,^ 7Г).XОуобъемНайти7.538.объемсегментаНайти7.540.координат,Найти7.541.фигуры,Найтиcos3at,7.543.—объемуобъемг22<pcosНайтр!7.545*.фигуры,иуравнениемустатическиемоментыОхОуикривойвращениемузадачах,1.—-массцентрыаXинтеграламеханикиплоских^этойх^дугиМх6,Ох.осьюиииикривых.Еслиимеетплотность1)Муотносительнодугафизикикривойркоординатныхзаданар(х),~~равныfp(x)f(x)yjl+{f'(x)Jdx,гдеплотностьнеосивокругх—задачсоответственновир=глемнис-Му1) ВсюдуосьюиастроидывращениемопределенногоМх=однороднаосивокруг2isinвращениемкривой/(ж),—а=оси.некоторыхМоменты1.коорди-а.~образованноготела,Приложения7.фигуры,осямиивращениемхполярнойограниченной§уобразованноготела,вокругобъемрешениюкпараболи-0)cost,a=sinОх2.—оси.объемa2=тела,?/вращениемхпрямойобразованногополярнойНайтилемнискатыt вокругосивысоты.вокругвращением>образованноготела,sin3(aобразованноготела,и^Оу.осикривойа=вокруг{p7.544.осейобъемНайтиsin2aб)ha\nt=у2+вращениемвысотойи@xвокругЬ 2х—1.!исяsin2+х—вращениемобразованныхat2,=Ох\осиа).<х7.542.—хограниченной@ <Охха)вокруг:Ох2ател,кривойу~'гс™вокругуобразованноготела,объемыограниченнойуоснованиемсх,—х2линиямиНайти7.539.уобразованноготела,1,—вращениемлиниямиограниченнойпараболическогоуосивокруге~2х=образованноготела,объемфигуры,вращениемлиниямиограниченной177интегра/гаобразованноготела,ограниченной0.7.537.Оуопределенногообъемфигуры,-Приложенияуказана,предполагается,чтотоГл.178Интегральное7.моменты1Хинерциивычисляются1УиформулампофункцийисчислениеотносительнооднойтехОхосейжеОуивычисля-ьокоординатыапеременноймассцентрахуиформулампо—ьЬгде/масса—Iс.т.дуги,/=р(х)у(f'(x))~1 +dx.aПример<3Оху'Имеем:/•=Найти1.осейотносительноChУ2статическиеОуиу^h21 +v~моментыилинии^Д^Ту')^shx,—моментыцепнойдугиж/•1х=chxdxI—xx)tZ(shx|0shj;=/—sh=1Ish:1ch.t|q=-sh-2J/ch-о011111sh=loshV-/'xd(chrr)=sh1-2f(\xch1.^жСледовательно,|sh2хЛxdX=-J(l+dl2T)dx=;ОО0 ^приd\x.=отно-инерцииchx=лx-J/fch.т\=/0shldx=3shl-2chl.1 +1,§cost,a<3Имеем:/=0 ^t^х[—,-asin£,=хокружностидуги=четверти.у[=a2cos2acost,_wyj{x[JОтсюдапервойв_wмассцентрарасположенной—,179интегралакоординатыasint,=уопределенногоНайти2.Пример=Приложения7.(y[J+sin2a2v=t +£a.=получаем:тг/2MxIa2=costdta2=sint|^a2,=о7Г/2My/a2=sintdi—a2costly=a2,=оa2My___Вдугитга/2кривойописываемойокружности,ееПример=л/a2<ВследствиеосиОхух0.=сфера,Притг)^7.547.относительнооси7.548.относительно=a(l—7.549.полуокружности7.550.всейдугимассдлинунаиокруж-полуокружности—,—т.е.у=осиОхстатическийкривойу—окружности@=х——*)1.>@ ^sinxиее2acostp,1).момент—моментa(tинерции-отно-sint),уинерции=полу-диаметра.осейотносительнолежащейотноси-инерции^хмоментыстатические^имоментотносительног0,VумоментиехциклоидыаркистатическийНайти(Ссинусоидымоментоднойрадиусааимеемкоординатымомента4тга2,равна2тгу.имеетстатическийНайтивокругкоторойОх.осидуги•Гульденамоментотносительноcost).СстатическийНайтиОхНайтитга=массполуокружностиповерхноститеоремеПотга.центртгвращенииплощадьравнаНайти7.546.хдугицентракоординаты4тга2^длинывра-дугиплоскостимасс.центромсимметрииполучаетсяполуокружностиОтсюдавх2.—длинаобразованнойлежащейоси,произведениюНайти3.следующаяповерхности,вокругравнатгполезнойПлощадьпересекающей,не_тга/2оказываетсяплоской2a__'тгГульдена.вращениемa2___частоприложенияхТеоремаее2a__/вышеполярнойОхиоси.ОуГл,180Найти7.552.asin3t,гкардиоидыa(l—7.554.массцентрмассcos3Физические4-7.начала^asin3у(м/с).х=Xach@ ^—аacos3£,массцентраГульдена,найтиудуги=масспервойвинтенижевтеладвиженияпройденныйпуть,дугичетверти.определенногопримененияиллюстрируютсяНайтикардио-центрt, лежащейпрямолинейного3t2+=7г).задачСкоростьIt=уОх.Некоторыефизических4.v(р=задачи.Примерформулой@ ^£,решенииприастроидыдугиоситеоремойa=линиикоординатыф)cosПользуясьастроиды2.всейпеременнойоднойцепнойдугивышедекартовы+хинтегралапримерахцентррасположеннойНайти7.553.функцийисчислениеНайти7.551.=Интегральное7.приме-выражаетсятелом5сзаотдвижения.Так<3какпройденныйпуть,[^b-^Jjтеломсоv(t)скоростьюзавремениотрезокинтеграломвыражаетсяt2=тоимеем:f(S=Пример/г?юЧему[а, 6],AСогласнот,МгдезаконуравнаЗемли,г—/?,имеемF=т.д.=/Л,которойОхосивдольчтобытого,длябесконечность?f{x)навысотунаотрезкеdx.томожемF,силамассырасстояниеТакпостоянная.гравитационная—вдействующейтяготениявсемирногомасса—м.интеграломвыражаетсямассыудаляется/(х),150затратитьрадиусЗемли,телоеслисилыt3)\=+необходимоповерхностиработа,переменной(t2=работусподнятьравнаРабота<3t2)dtКакую5.массытелогJv{t)dt,какзаписатьнадействующаяmотнацентраповерхноститд—к.Земли,ОтсюдателоА:Земли,т.е.находим—при§кМ#Я=а,Приложения7.определенногопотомуR2FСледовательно,R+hmg—.=работаискомаяравнаR+hR+h,drA4Fdr=!г2*Яftпри+00—>AlimПримерскоростьюрадиусВычислить6.конуса,mgR.—своейвокругоснованияRзаданыНвысотавращающегосяскоростьюш,инерциителаоси-/о;2,равнаWJ/гдепологоосивысотыцилиндрарадиусомигdm=толщинойвращающенинер-вращения.примемft с внутренниммассу@ ^R).^г-\\подобия\VЯ-hOCDтреугольников,_u(_г\Следовательно,dmиэлементарныймоментdlТакимобразом,Rdmмоментг2•-инерции)Rl\dlинерции=(I2-K^U—гdr,равен2тг7#(lвсегоконуса--^)г3 dr.естья/г\r(RAR4\7/о24имеемг/СРис.24).ИзВ-*-За(рис.drстенок2-nrh^drскоро-момент—dmмассуhугловойсотносительноэлементарнуюТогдаОАВтела,энергиянекоторойвокруг>Аи7-Кинетическая<]круго-ско-еслиЛ,однородногоэнергиюугловойоси,конусаплотностьh'+\>кинетическуюсвращающегосясиRимеемh—>+оокруговогоmgR—RОтсюда181интегралаI=_7иГл.1827.ИнтегральноекинетическаяиК=С какой7.Примервертикальную7—силойплотностижидкостьпогруженнуюоснованиеверти-погружен-вершинойжидкостьвчто/г,высотойианадавит7основаниемспластинутреугольнуюпеременнойравнаконусаэнергияоднойфункцийисчислениевнизнанаходитсятак,ееповерх-поверхности?Согласно<наПаскалязаконукоторойжидкостьSплощадкуН,погруженияравнаРВводярисглубиненанаходящуюсяподобияхЬCDEиэле-площадку,Ьdx.высотуиИзимеемh-xab=-(h-x),т.е.-пока-координат,рассмотрим25,основаниеимеющуюиCABтреугольниковjgHS.=системурис.прямоугольнуюнапоказаннуюэлементарную25с7 давитпогруже-глубинеприР,силаплотностиследовательно,dSТакимbdx=^(hh=образом,x) dx,dPдавлениясилаh>ygxdS=жидкости=-hнавсюпластинуdx.x)равнаhD>.Скорость7.555.начальной—скоростью^0НаТочка7.556.г>0,ip=ОхСКОРОСТЬЮ4(^ +Два(м/с).подвижутся—Если3t2—в=vqAtначальный(м/с),vколебания(cotиВТОроемоментоколоtгдеточкизаскоростиодной<p),+периодтойжеСОони=свободноготело?колебанияcosначаль-равнаподнимаетсязаконвеличиныV\3)скоростьюНайтителавоздухаускорение—гармоническиеvсвверхвысотусовершаетпостоянные.абсолютной7.557.gмаксимальнуюосисо—вертикальносопротивлениявремя,учетапротекшее—какуюкоординатw,значениеСО^Г#епадения.началабезг>о,3^—брошенноготела,—ивремя,среднееколебаний.прямой:СКОРОСТЬЮбылипервоеV2вместе,—то§какойвмоментСкорость7.559*.двшкенияКакую7.560.насыпать7.561.постройкепирамиды7.562.конуса,работу,работу,7.565*.2pz.Электрическийкоординат,отталкиваетОпределитьработуудаленииприVqобъемапроцесс)Асисвоегоприработу,V]объемакинетическую7,энергиюадиабатическом~однородногоугловойсвращающегосяработу(изотермичепри2м3.=объ-паромVoобъем(Ь, 0).работаКакуюпроизведеннуюначальныедоЧемутемпературе2 раза?вначалевточкуравнав330Н/м2.10постояннойвы-поверх-заполненпоршнем—уменьшитьимеющегочтобы0)(а,бесконечность?параОпределитьплотноститочкиF.р$вы-0).сосредоточенныйизподвижнымЛ,затратить,>во,упругостьюобъемНайти7.568.R(ррвы-формуограниченнойотталкиваниявеЮОООН/м2=надо—чтобыоснованияцистерны,ссилысвоздуха,роz/У,затратить,Радиусзарядчтобызатратить,(изотермическийс?катии±а,=построй-припирамидыимеющегокоторуюзарядЦилиндр0,2 м3=надо7.567*.хзаряда7.566*.надоизоснованиявысотарезервуара,извверх.7вы-7-которуюработу,=ипарабо-формузатратитьесли7плотностиу2поверхностями:надовершинойжидкостьРадиусматериалаплотностиВычислитьвыкачатькоторуюплотностьчтобывверх.основанием,обращенногоН.7.564.высотана-Rзатратить,имеющегокотла,вершинойквадратным?кидкостьчтобыоснованиярадиусомнадоизобращенногоа,пру-затратить,скоторую7Вычислить7.563.8м3идавлениешараскоростьюиорадиусавокругдиаметра.7.569.Найтикинетическуюпараболическогоформусработу,основаниясторонарастянуть1 см?нанадоНайтиостановкиj.плотностисчтобыее(м/с).полнойдоформыпескаН.Вычислитьвыкачатьонидвижения0,Нс~°'02/=растягиваеткоторуюработу,вращения,vзатратить,1 НконическойжидкостьпараболоиданачаладвижениянадовПлотностьВычислитьН.высотойточкисилаеслипескакучувыкачатьотначалаотработу5 см,Вычислитьнапружину183интеграларасстоянииточкойпройденныйвысотакакомнаи7.558.путь,i?,?определенноговместе?будутопятьМ*2)=0).Приложения7.постоянной/а,угловойтолщина7.570.Найти(Lи.высота/?,столщинасегментаматериалаугловой/,плотностьфор-параболыа,7-треугольнойэнергиюоснованияосивокругОснованиеплотностькинетическуювокруга,вращающейсяскоростьюпластинкиврашающейсяпластинкииимеющейпластинки,энергиюсегментапластинки,и.скоростьюj.ОснованиевысотаГл.1847.ИнтегральноеНайти7.571.кинетическуюплотностицилиндравращающегосяугловойсСпогруженнуюоснованиенеееслиеетрубы,i?,7.575.Найтимассу7.578*.Зазаконувытечет7.579**.Приvвнаходящейсяточке,формулойv—-(а2=iтрубы,концахОпределитькакойQ,трубысилойЗа7.581.высотунижнегорадиус7.582.сечения.\i.=50грасходВысота=изМмассыивпри-центре?егоконическойворонки,Rоснования—5 см,см?жидкостиводосливаRверхнего0,2Опре-протекающейвремени.единицувытечетрадиуссм,натрубы.жидкости,находящуюсят,даетсяжидкостидлина—радиусаводавремяНоснованияОпределитьпрямоугольноговточкукакое/объемт.е.полукольцоматериальнуюимеющейдавленийразность—тече-трубы,осиотсм,течениискоростьаг20—(струйном)жидкости,сечениеСрНсм2?1=радиусарасстояниивязкость—жидкости7.580*.притягиваетг2),—LJLb\iрасходпоперечноечерезнато-сопроти-свысотойиSoсечениякруглогогдецилиндрическийсм2ламинарномтрубу(кг/м),переменнымплощадьюустановившемсячерез0,1.т3проводникев100=днелинейнаяеслинаполняющаяSна5 м,1 +выделяемое2тг/ивода,времяотверстиежидкостирадиусстержня.периодаоснованиячерезесли==7концовтепла,какоеплощадьюссосуджидкостиизтечениев/R.сопротивлениемтеченияпоколичествоutcosзаполняю-7,цилиндра,длиныстержняодногоот/ополуосьплотностистенкименяетсяНайти—наосьН.стержнятокомБольшаяжидкостибоковыенавысотарасстояние7.577*./7 давитбольшаяполуэллипса,жидкости.давлениясилу7?,,—заслонку,Н.плотностиформуза-7,наглубинежидкостьповерхностицилиндр,7.576.аплотностидавлениянакоторойснаНайтиплотностьЛ.,поверхности,Ь.заполняющей круговойоснованияверти-высотойинасилуимеющуюмалаяа,ажидкостьвнаходитсяцентрсилу,находитсяэллипсанадавитjнаходитсяОпределитьстенку,котороговраща-оси.основаниемпогруженнойаНайтивертикальнуюци-Н:поверхности?радиус7.574.круговогоплотностивершиназаслонкой.круглойпеременнойвысотойисвоейвокругсчтотак,КонецзакрытВ,жидкостьпараллельно7.573.однородногооснованияпластинкуводнойэнергиюисилойкакойтреугольнуювертикальнуюхрадиусомскоростьюс77.572.функцийисчислениечерез/г,ширинаводослива,прямоувязкостьжид-Глава8НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХ§Понятия1.(#1,изхп)..арифметическогоР'(х'иР{х\,х'п)—.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
