2 часть (1081353), страница 14
Текст из файла (страница 14)
.,f(P)функцияU(Po)6дифференцируемаРо(#??точки•••#п)»d2f(P0,AXl,. .,Axn)++=OKpCCTHOCTPI.Вxiслучае,Тейлорау)..ж?,—dm+1f(P,Axn),Ажь(mДжп. .,Уо)(у/(я,х0J-УоJ)~?/)двухпеременныхследующимПоследнее++•хуо)(х+-/хо)(у-вВформулойчастномМакслучае,лорсна.поформулеПримерразложитьB/Q((ж">то)^-уо)-Я+(?/Уо)аЦ-0<вьв2(остаточныйB)формулечлен)B)1.<можнокорочегдеру/(х=х0У2-(у+-уоJо).Пеанормаформулаиувидео(рт),(фуказаннойобразом:^ ((х *о)£+••гаслагаемоевUj'точкаx/(xo+l91(x-.To),2/o+l92B/-2/o)),записатьAa:w),1)!некоторая—2f%y(xo,+1^}Разаписывается2/о)(жх/(хо'ж^,—..+YJ(^(-х+2J (/^(жо,+/уУЫ,жпвиде2/о)Джо,==функциинапример,развернутомв/(ж,/L.m!A.xjгдеAsi,всякойдляТейлора1.сГ/(Р0,то1+т,формуласправедливаbxu-..,Axn)'••+—производныхU(Pq)окрестностиР(хв1,точкичастныхТейлора.некоторойвх-уv—-—,—zey.—Приложения3.х+уипеременныефункцию§разdxdxdyнезависимыеновыеновуюпеременныхуравнениеdx2принявнескольких1.прихо—уоу)/(ж,ФункциюТейлоравB)0, формула=—окрестностих3—Ъх2—точкиформу-называетсяхуу2-ЬB,+-1).10ж+by—A§/B,Имеем<Приложения1)—у)/£(*,!,)=За;2=-а:/£(*,!,)I/)2/)/£,(*,последующиеполучаемB)f{x,у)-10х-у/;B,-l,2,/"„B,/£,B,тождественно1)A,Цх-2){у+1)+Разложить2.2-гочленов/A,Имеем1){х+поУ(х=ри+1)формулеТейлораh—х2=у=+1кТейлораy)IJ2ху+(участные(уIJ+формуле+{х -2K.оточкиокрестностив1-гопроизводныеA,точкевl),l)по-0;=1;=/»уA,/;'уA,\)у*-\-2-гои1):/£A,1)+=0;1)=1;1)=0.приращение,6хокрестности+(xу+2>/(.т/(ж,еслиЗу2IJ.-/i,+у)fc)ху2.=2у———2—/(ж,у)точки+=B,yi——2у31)./(ж,функцией4 при/i,ж3полсшительнымцелымпополучаемое—жхФункциювПонулю.У) =УХ-(y-l)l +=+А;,изначениям8.179.6.получимНайти8.178.2;=функциюзначенияих+/£A,1)Разложитьстепеням=-1;=-Гу{х,у)=ху'-\fx'x(x,y)=y*\nzy,y)=y*-l(x\nyГ'у(х,У)х(хf'v{x,-8.177.2;-1)fx(l,f(x.где-1)-1)fx(x,y)=y*\ny,B)формуле2J-(х -2H/Вычислим1.==По1;=равнывключительнопорядкафункцииданнойпорядка3;=разложение/(я,<производ-=fx"xxB,6,=-до-1)-1)=производныеПримерfxB,/£B,-1)у)2 +10,+2у +5,+—1):6*-10,искомое=частныеB,точкев==/£„(*,/^последовательнозначенияих215производныхВычислимиf'x(x,Всечастных2.—функцииданнойпроизводные3.переходе1 ++3.туотзначенийу)х=/с.разложитьпоформуле=—2,Гл.8.216Дифференц./(жРазложить8.180./г, к,степеняму-4z—/,/(ж,ФункциюразложитьРазложить8.182.Разложить8.183.Разложить8.184.A,1)у/х.=A,1,0)1п(жу=Разложить(минимум)Ро,Ро(ж?,всехДляМаксимумАхп)функциифункцияэкстремуматочкепроизводныесРи(Р0,Джх,ДжьвДжп,в.
.,вы-f{P))-этойвточкеC)п,,Джх,Джп.. .,называютсястацио-Роеслистационарнаяточка—либоточка,Ахп)неРоточке<причем0иТогда:Ро.точкеd2u(Po,Axi,знакравныхэкстремум,минимумиодновременнокактонулю,аееДжп). .,именносРи(Ро,—Дж1,—дваждывсевсевозможныхприприфункцияРоточки.,ж°)Po(xJ,.этаокрестностипостоянныйимеет.
.,имеет..тоПусть/(Р),=дифференциалАхп. .,f(P)инепрерывнывторойеслиРоРсь<дифференциру-Ро,экстремума.функциинекоторойвДж1,точкиточкиэкстремумом.образом,—если(мини-f{Po)C),Такимлиботоусловияточкастационарнаямаксимумокрестностьотносительно/(Р).=функцию0,=недифференцируема.дифференцируема—толшественно/(Р),—имееттакая1, 2,=условияииДостаточныезначений0=4жЕслик=точки—точкевz)у,окрестностиеевсехдляфункции1)/(ж,отназывается=точкиокрестности(соответственновыполняютсястационарными'точкамии0=которыхвкоторой,у)/(ж,отличныхэкстремума.экстремумадостигаетАж1,.
.,/(Р)—f(P)функцииf(P)rf/(Po,функцияточкиокрестности3yz+существует>условиеf'Xk (ро)частныепорядканеявнуюuхп). .,минимумфункцияэтой4-говz2еслиf{Po)илиТочки,ж°),•»Р(жх,НеобходимоевчленовТейлораФункция•неравенствоилидовключительнопорядка•точеквыполняетсядифференцируемаяпорядкавyz)2).-1,3-гофункциюформулефункции.точкевA,-4-xzфункциюуравнениемЭкстремум2.+членоввТейлораЗж+довключительноопределяемую1.=Маклоренаsmxshy.Тейлораформулепо2-гочленовдоу),1)2(ху-2yz—z2).+8.186.A,1)z(x,z(l,у)=порядка-\-xyz2+включительнопо2-гочленовдо3z2точкиeycosx.порядкаРазложить8.185.у2у)формулепо3-гочленовдо+положительнымцелым+Маклорена/(ж,функциювключительно2у2=формулепопо4-переменныхокрестностив/(ж,функциювключительнох2=Тейлораформулепоя2=г)у,формулепог)у,несколькихz-\-l)Л, y+A;,+/(ж,если1.+8.181.функцииисчислениевторыефункнаборахфункциямаксимум.
.,приАхп)>0;§3.2)d2u(Po,если\,.Джп,-.,3)d2u(Po,Д.Т1,вможет(висследование).ВчастномэкстремумаусловияРо(^О)Уможноо)этомфункцииточкастационарная—дифференцируемачастныевторыепроизводныеобра-требуетсяусло-достаточныеzРо-точкевфунк-этапричемРоточкиокрестностинепрерывныПустьобразом.у),/(ж,=некоторойвравныхэкстремум,вопросаследующимО,^неиметьпеременныхдвухДжп)Джп,можетвыяснениядляслучае/(Р);=дифференциалаР$точкевu. .,.
.,второгоf(P)=функциисформулироватьслучаедваждыееиДж1,Джх,значенийотрицательныефункцииd2u(P0iилизначениекоторыхегоиметьнеидополнительноефункциядляфункциятонуль,иэкстремума0^наборытакиенулю,обращаетсяAxn). .,такположительные,точкойявляетсяфункциейзнакопеременнойявляетсякакнесуществуютпричемодновременноноЛэ217производныхАхп). .,принимаетточкаесличастныхАх\,е.т.тозначения,ПриложенияиВведемвсеобозна-обозначения:Аf'Jx{x0,=j/o),В/^(хо,=DСг/о),/^(жо,='Уо)AC-B2.=Тогда:1)Dеслиаэкстремум,А0>2)3)0,>(Офункциятоименноzу)АприD<еслиD=3.0,0,тоэкстремумтотребуетсяИсследоватьначастныеж3и-Ро(жо>отсутствует;составимипорядкасистемуИЛИя2Решаясистему,найдем-частныеЗатемсоставимдискриминантх-0.=точки:@,0)Р2A,и2-гопроизводныебх,точки.у20,=стационарныедвеЛНайдемУ1).порядка:=охоуD—Уо)приминимумЗал/.-1-гопроизводныеC):точкефункциюу3+в0)исследование.экстремум=<Уо)дополнительноеzвида(СРо(^о?точкевимеетО<0);еслиПример<Найдемуравнений/(ж,—максимум—АС-3, 3,—оуВ2у1длякаждойстационарнойурав-Гл.218Дифференц.8.ДляфункцийисчислениеPiточкиАдх2Следовательно,экстремума=дхду0,Следовательно,Эх2d2zР-гточке=дхдуD6,==вфункциячтобыизложенныйDзнаковА.ивыделениянеобходимо-нетточки,связанныйпризнак,сисследоватьdxформыТак,квадрата.полного-1.непосредственноквадратичнойкак1-3=1 +вышеДостаточнодифференциаларавныйминимум,стационарнойтипустановитьA>0.имеет=использоватьР-236-9>0,=х=1тогонет.82zВ6,==СДля-9<0.Р-2точкиАнеобходимостиЛ=Piточкев82zВ0,===Дляпеременныхнесколькихнапример,знакг/у,иопределениемвторогометодиспользуястационарнойдляточкиимеем:d2z(P2\откудаdx,dy)>0 и,сразуd2zнулю,6dx2=чтовидно,НайтиF2=х28.188.z=ху2{18.189.z=Зх28.190.z==8.192.z=8.193.z=8.194.г=+ху-х-у)Зу2++——а;у2Зжу2++-in-2-4у.(х>0,у18Inу+15ж5ж2-+>у+ж-не+равныходновременно>минимума.6у.0,>у-dyj-переменных:-{хж3-xy+а;2х32ж3За;-dy,идвуху2+(dx6=точка—функцийэкстремумыzzdxлюбыхприследовательно,8.187.8.191.2-3dxdy0).0).>(х0,>у12у.у2.8.195.z=2->0).~^вы-Р^§3.НайтиПриложениячастныхфункций£2экстремумы8.196.и=х28.197.гх-xy2z*(l8.198.гл+х-+-Найти+Условныйусловныйz2+••обычный/(^ь—Pq5••Ро(х®,точкевсехдля^/г)•,Рточекимеет.г^г),.
.,есликоторойсвязи(fc1, 2,=/(^)>..,?i),<r/i?/г;/(Ро)(соответственносводитсяэкстремумафункцииэкстремумf{P)—в=0/(Ро)условногонахо?кдениянаЯп)»О.=0.-уравнениямнеравенствоЗадачаи,точки•7-8+zминимум)удовлетворяющих^а-(жьО).>^неявно:Az--окрестность=исследованию8yz+[условныйтакаявыполняется2у-Функциямаксимумф РоMАх+z2+О,>jyзаданныхz,экстремум.существует(Ру22у2+0,>zфункцийх22я28.199*.(ж-.уэкстремумы8.200.3.+2z.-Зг)-2-ж6?у+2?у-z?/+ж=у2+переменных:трех4ж--219производных/(Р))-<исследова-кЛагранэюаmL(xi...Аьжп,,..Am),/(xi,=..,xn)+^A/c(^A.(.Ti,..,xrt);A;=l(fcAfcn+1, 2,=m).
.,Необходимыеmуравненийназываются^гдекоторойбытьмогут.х?,. .,х°{кO="»•1,2,=найденынеизвестныет°,-°,4,,ш),..Л°Л°точки,координаты—«-'.»°системойвыражаютсяэкстремума=tpk{P)изЛаграижа.множителямиусловногоусловиявкоторойусловныйвозможенэкс-экстремум.Достаточные2-гознака. .,x°,длякаждойприусловии,чтоdxi,dx-2,A^.dx!,. .,A?,. .,х?,значенийсистемы.•.,сизучениемЛагранжафункции<PL{x\,связаныэкстремумаусловногоусловиядифференциала<ixn. .,х°,удовлетворяютА?,dxn). .,А"п,уравнениямполученнойизD)220Гл.приdx\условныймаксимумdxi,Дифференц.8.dx\++cfon,dx2n ФРо{х\,+..точкев. .,условныйх°п, А°,. .,еслисРЦх^случае.D)zсостоит2/о)?АДЕсли=0,<А)у,Пример<Составимуравнений:=0,gфункциято0<dxn)0.>у)связиуравнении0—0,>этойрешений^(Ро)ЦЯ(РО,Ао)Li'v(P0,Ао)/(ж,=условныйто—у).ж,0,условный?/)системыи<p'v{P0)Ао)L£y(P0,Ао)Ь;'у(Ро,имеетвРо(хо,точкео)ууслов-минимум.функцииэкстремумz=2у+хприЛагранжа:функцию1 +=СистемаА)у,^2Аж,А2=--•2Так+у2\{х2+принимает5).-вид1 +2Хх=2 +2Ау=решения:два12у+2 +=D)имеетж=at/уравненийСистема2,dxn).
.,у)изzДНайти4.-^=одновременно5.-ажУ2равныхdxu.. ,при=любое—-L(z,ИмеемнеиdxltА^,/(ж,=трехАоеслимаксимум;2условзначенийусловияху)0+имеетвидизРо(^о,ПустьЛ°„,. .,/(ж,=имеет§£х2f(P)всевозможныхдляE)этихх°п, А?,L(z,условныйесли. .,при,функцииЛагранжафункцияСистемапеременныхфункцияименно,ж^),. .,условиямминимум,Внесколькихнеравенствоx?,иА0.удовлетворяющихвыполняетсянулю,функцийисчислениех\92Lкак=~—^~охоу=0,0,——0,2\{dx2+dy2).1,yi92L=—■оу2—2,=2А,тоAi=-;Ж2—1,§ЛПри=d2L--Pi(-1,точкеПриложения3.условныйимеетИлиzm\nимаксимумЛПри=cPL—Р-2A,точкевусловныйимеет2)0.<гтахивминимумПоэтомуфункция5.=иначе:<р(ж,^=2ж,•функция-5.=221производныхПоэтому0.>-2)частных^у)^(-1,-2)2i/,=ж2=у2+5,-=-2,10=01^,(-1,-2)-4,=следовательно,0Д=-2-4-2--4т.дляе.функцияусловныйимеетРгA»точкиминимум=2--102)точка—условного8.201.z8.202.х2—=у2++-ж8.203.z=у-z=ху2=2ж+у8.206.г/2х+уи=ж28.208.и=xy2z38.209.и—8.210*.4при2z-у2+жпри+у33ж^0,у+у+23z=z2+^-++гу2+|-при2у^0,0.+z30.=1.=х2+3у +1.=2^-+4,жуx+y2(ж12=36.=+yz+zнеравенствох3еслиу2у2ж+ж1.=+А при-2.+приz2+приДоказать2уж2у=.т2+жприxyzуприz+х+х-8.204.8.207.+хуприу8.205.=функций:—-ж0,<>максимума.экстремумыусловные-20--10НайтиАналогично—2).20РгA,Р\(—1,точкев0,>2)Дт.е.201.=0,>+гж0,>у=5.г>0).Гл.8.222Дифференц.Наибольшее4.инаименьшеевограниченнойдифференцируемаилиграничнойвПримерzх3=—Данная5.НайтиЗ.тувЗначенияобласть1)Значениянаибольшееа) Прих2=z1у2при+ 2\/2-б\/2в) При-8?/=^L=V2у8=3)^наиб=224^'13в=г|я=0Сравнивая=B,Приб.=—ж3+8;z\x=28—Зх1 до^^баг,zrЗж2=г\у=уд—Зж2+б;z'30.>Функция13.=—0 при=функции,вж\/2;=чтозаключаем,A,точкахоткрытаяразмерахнаименьшуюимеет=б;—4.=zrиу/2;=2>у2=б.-1=уг|у=-213;1 +=zH^MкакихVпризначения-1);вместимости—функцииz'Имеемна8.=этой2].области,х31)-иz\y-21,—значения[—1,-найденныевсеточке=z\x=oимеемz\y=-iотрезкаJ2r|1#=_12от=-Примерданной1)@,и-1).>ваннапрямоугольнаяповерхности.площадьНайтиплощадь.Ваннаформуимеетренияравны=ванныу)S(x,ЗадачасводитсясмыслузадачиРешая=ТакПустьпараллелепипеда.Vобъемкак=zтозадан,xyz=2{xz+yz)+xy2(z=нахождениюк>0,+>=5(ж,функцииуравненийS'x(x,y)S'()2V=2Vху0.х* j-2V+Z/=изме-Площадьхуy)—+xyминимумауегоV—.равнахсистемупрямоугольногоz.у,ж,поверхности54л/2;РгA?ивозрастает=Найдемданнойв@, 0)Pi1.—монотонно6у.—концахимеем=функцияу38 +=на8-1—z2значения:или,возрастаетг) При<2,=3):примеробласти.Этапринимаети(см.границаху3.=z=монотонноэту2]точке0—наимеемстационарнойв2;i=0,точках:z[—1,б) Прифункциизначения-1<:у^2.точкиэтихимеемотрезкаконцах^2,яфункцию0=точке,прямоугольник.вхдостигаетонастационарнойвнаименьшееистационарныефункции2) Исследуемтоилиf(P)функцияобласти,области—НайдемЕслифункции.замкнутой(К<переменныхобласти.точкеу3+несколькихзначения(наименьшего)наибольшегосвоегофункцийисчислениеO,0(-+\уу),-)+х)причемху.по§3.Приложениястационарнуюнаходимточкуминимума:условийдостаточныхчастных4VУ),х0=у=S';y(x,—,3;223производных\/%V.=оу)S'y'y(x,1,=ПроверимвыполнениеAVу)=—.уСледовательно,Dyy2,Итак,у)S(x,функция\/2VVимеетAC-B2=4-l>0,=минимумAхпри*8.211.Найтинаибольшееу—тогда3/4V2.=функциизначение\/2V;-0.>z=Оzх=2у—5+вобластях:а)я>0,б) х ^ 0,2х2у2+8.213.zz.ту2=х—Найтих2иху2-Ьх2ПредставитьИзвсеху3.^значенияфункцииинаименьшеезначения^функциичислоапроизведесуммавидевчтобытак,ихнаименьшей.12а,реберимеющихпараллелепипедов,параллелепипедпрямоугольныхдлинсумму+хнаименьшеесомножителейбыла0,^уиположительноевеличин8.216.0,1.положительныхобратных^1.^у2+функциизначениянаименьшееобластиву—наибольшеечетырехданную1.<наибольшееобластив8.215.произведенияху—Найти8.214.уа;-наибольшееобластивху=j/sU;+z0,у >Найти8.212.=y>0,найтинаиболь-собъемом.наибольшимНайти8.217.диагонали8.218.d,прямоугольныйВнутрирасстоянийВ8.219.отВ8.220.НвысотойбылавершинRрадиусаобъема.полушарнаибольшегопараллелепипеднайтичетырехугольникакоторойкруговойпрямоугильиыйпрямойвписатьдлинойспараллелепипеддиаго-объем.наибольшийимеющийбыточку,квадратовсумманаименьшей.прямоугольныйвписатьпаралле-В,основаниясрадиусомпараллелепипедконусинаибольшегообъема.8.221.вершинеИзнайтистреугольниковнсехтреугольникснаибольшейоснованиемаплощадью.иугломаприГл.8.224Дифференц.8.222*.Нанаименеечтобых2эллипсеНазаданнойбыло0,5)С.точкуплощадь.ящиказакрытого(внутренней)Vнаименьшеезатраченонаи-А(-\/3,третьютакуюемкостьюииточкидверазмерыSстенокизготовлениеданынаибольшуюимелнаиболееточки,найтинаружныетолщинойегоА—переменных16.=эллипсеABCОпределить9у+Ау2+жетомтреугольник8.224.нах2Нанескольких9 найти=4.xэллипсеу/З/2).ВA,9у2+прямойотудаленные8.223*.ифункцииисчислениеза-счтобытак,количествомате-материала.8.225.НаР2(я;2?плоскости2/2)??Д25••••Приinn-•?системыданы-PnC^nj•?Уп)каком8.226*.АТочкисредах,РВрасположеныиПользуясьV2-—световойлучпрохождениякоторойпреломлениясветового8.228*.Iсопротивленияэлектрическойназаконтепла,I2R./i,i?i,токикоторых5.Геометрические/2,i?2,имеющейприследуеткакпомощиRni••-,вОпределить,In.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
