2 часть (1081353), страница 16
Текст из файла (страница 16)
.,чисел,1500м2абсолютную8.261.Тогдаарезультатпредельнуюобоихидлиныизмерении2 м,докцифройзначащейпервойсаабсолютнуюприближенныхб) 84,5а) 23,015кг;полученчислосмысле.предельнуюследующихпредельнаяЮ-1'1)+узкомвкнеравенствахеслинеравенствуприближенноепобоихОбратно,а.удовлетворяетсоответствующеепеременныхвслучаях;цифруа^2(кимеетнесколькихf(x\,X2,функция.функции..Тоопреде-§4.Приближенныечисладействияинад233нимисоотношениемляетсяК.A)дхкAXkгдесоответствующихабсолютныепредельные—Дляаргументов.равенствоместозначенийпогрешностисоответствую-относительнойпредельнойимеетпогрешностиIELB)к—\Примерh=19,1vсмирадиусатгДг3,14,=-^1432,5,=-тгг/г3=дгA),мулуД/г0,02,=получаемПредельная0,05=Дяи599,74=0,0016,Дгдготносительнаяг15=±h15,—0,02-^235,5.=см,19,1,—-г2Д==3air3абсолютнуюdvгнайдем-тгг2=по-относительнуюесличто=-^ahиА,+=и/г,высоты"Учитывая,предельнуюд„и4498,1см3.=отгг3,14.=-irr2h—абсолютнуюпредельныеконуса0,05±Имеем<Найти1.объемапогрешностиПрименяяфор-погрешность+dvAhdh.бытьможетпогрешностьсм3.26,06=ра-изопределенаравенстваfgТакимобразом,vДоказать26,1±абсолютнаясум-слагаемых.относительнаяпогрешностьпроизведенияпогрешностейотносительныхпредельныхравнасуммыпогрешностейПредельнаясумме>погрешностьабсолютных8.270*.см3.утверждения:Предельнаяпредельныхравна4498следующие8.269*.сумме=0,006.сомножи-сомножителей.8.271*.пПредельнаябольшераз8.272*.п-йпогрешностьпогрешностиотносительнойПредельнаястепеничастногопогрешностейравнаиделимогоделителя.8.273*.произведенияuvПредельнаяудовлетворяетабсолютнаясоотношениюпогрешностьAuv—воснования.погрешностьотносительнаяотносительныхпредельныхсуммеотносительнаяпредельнойAuv+AuvAvu.произведе-дели-Гл.234Дифференц.8.Произвестинесколькихдействияуказанныепеременныхприближенныминаддесятичныевсекоторыхвчислами,функцийисчислениечисла-являютсязнакиузкомввернымисмысле:8.274.8.279.130,617,8361,3265,38.281.170:5.8.284.При8.275.8.277.+-12СSИмеемточностью0,5досмпопо-относительнуюичислаabASис5.свычислитьследуетпогрешностью4м^а0,1.=вычисленногож,абсолютнойпрямоугольникабылолога-десятичногопогрешностьпредельнойможно=у/ЕЩ.сабсолютнуюабсолютнуюприближенногоЬиточностьюПредполагаячтобы5м,м2?0,1^дослагаемыеравнымивегоформулеполучимAXl(принцип=равныхdSводные,-г—о—да=dSr5иАаРаспределяя=сторонудо8.288.м2,0.001Вычислитьотносительная2СRибылоНопределитьсдлинмассудоотноси-основа-радиусчтобы1%?г.а0,001.равнаопределитьбанки,93,40,01,равнамассыточностьюстосточ-алюминиевыйеслиимеетследуетцилиндрической>измеритьквадратаэтого11смвысотойточностьюпо-обес-Зм?<х<определениякакойвысотуследуетплощадьД&,ипогрешность.алюминия,исмнеАадляабсолютнуюпредельнуюопределить2мслагаемымидвумязначенияизмеренияпогрешность8.289.междупогрешностьюеслипроиз-0,0125.=-—^другиежету=AsдляполучимчастныечтоД,0,01,погрешностьОтносительнаяn\du/dxi\вычисляянайдем,плотностьдиаметромцилиндр4,—формулеабсолютнойчтобыквадрата,точностьюа=y~^-Поэтому,довсеС какойхвлияний).=вАХготкудаnиначе,однако,8.287.—,—-0,1числокак-нибудьапоровну,обеспечивающие,можнокругакруга.какойS•радиусаНайтисм.стороныплощадь11,8216.153,21-81,329.35,21,748.7,6:2,314.4-8.276.8.283.погрешностьюизмеритьоснования102.40,53.измененииположительного8.286.41,84+8.280.8.282.относительной<•8.278.площадилогарифма1,14-Определить8.285.1,152244-78,5.•числополучилосьпогрешностиA),0,2551,0761,31.+еевместимостьОт-4.§С какой8.290.знакамиСусвободныйчленуравненияТребуется8.293.и^аизмеритьВЗЯТЬсвернымичетырьмяуравненияс четырьмяизмеритьи7Г?2x+lg2—собразующуючтобы0,знакамив1%точностьюисосколькимикорнисмысле?узкомбоковойплощадьоснованийС какойизвестенполучитьвточностьюрадиусым.бытьдолжен=вернымиконуса,«5слезначениеполучитьзнаковверныхж2смыслеширокомв0,001?дочисломобразующаярадиусыЧИСЛОзначениесчтобы2,«хточностьюусеченного1м,приближенноезнаковверныхаргументакакимповерхностиsinx235ниминадвзятьзначениечисломех=С8.292.этогонайтизначениефункциидействиясмысле?какимвзятьследуетиследуетчтобыузкомв8.291.числаточностью25°,«хуглаПриближенные«2мкоторогонужнознакамидляэтогонужноГлава9ИНТЕГРАЛЫКРАТНЫЕ§Свойства1.двойногопрямоугольныхинепрерывнааПустьЛ<72,•••&<Jk,подобластичерез—Выражениеплощадиdb.у)областиGопределенаОху,плоскостиGобластиобозначимтакжекоторыхЗафиксируемпря-/(Р)—разбиениенекоторое—декартовыхв/(.х,ограниченнойДо"п}»вычислениеегофункциязамкнутойнаэлементарныеадиаметрыинтегралиинтегралакоординатах.{A<7i,—Двойной1.Рьточкиэлемен-Да*.,черезкA<7/t,6на1,=п..
.,к=\суммойинтегральнойназываетсяЕслисуществуетdbmaxотспособаотвыбораэтомРд.Gу)Дсгд-,€тоGобластипоеслиинаДо>,подобластиэлементарныедвойнымниотинтегралом/ / /(х,черезпринизависитнепределобозначаетсяиSnсуммэтотназываетсяонG.областипоинтегральныхоо)—>•побластиразбиенияточек/(а;,функции(при0~>/(Р)функциидляпоследовательностипределy)dxdy.GТакимобразом./y)dxdy/(х,J Jlim-t/jb—>0maxkz~~laДлядвойногоаддитивности(см.интегралаВычислениедвойногоинтеграловкривымифункции(/?]=(х)(р\(х),иуу>2(#)—G<р2{х),хха,и=ip\(x)Jdx JaGобласть=ui.M6,=$CивычислениюкПустьнепрерывныJJf(x,y)dxdyлинейностисводитсяинтеграласпособом.следующимусвойствасправедливы9.1).задачу(рис.37)причем(^2(^)-f(x,y)dy,всюдуТогдааддитивно-повторныхограниченана[а, 6]A)§сначалапричемДвойной1.внутреннийвычисляетсяпараметр),полученныйа237интегралрезультатпеременнойпоинтегралпоинтегрируется(хуЗаметимх.--при.v(I0b^*_^аРис.задаетсяРис.<fi(x)кривая(илиинтеграл/d.xу) dyf{x,Аналогично,—Унепрерывныс->—<^j(х)приа^(:г)прис<d,~V'i(?/)и//=/dx/^V;2(?/)/(я,/)dxДвойной1.двойнойвычислить/dxхровьния=т/) dj/.Ф\{у)->г^\(у)/)/(x,хиМл)представленныйРасставитьA)видевилиинтегрированияпределыинтеграл/f f :/;2/ /=ограниченалиниямиB),двумяdxdy,—/ /у—=Фч{у)B)dx.VобластьеслиGG/(x,называетсяинтегралом.повторнымПримериинтегралов/+Iсинтеграл,Ь,Ь^хтоI dy^^.кривыми38),dyс,^а[с, d] функциина6'такжеj/) dyвсюду(рис.^двухограниченапричемт38промежуткенапример,хсуммы/(.т,GобластьУвидевесли^2B/)?'записываетсясправаввыражениями,[/^{х))криваяаналитическимиразнымиJ (р[то•с37есличтоэтом,х\\\.т,у——,.г=2.способамиинтегри-Гл.238Форма<3(fi(x)=ф2(х)-,(рис.G-области=ж,Кратные9.aинтегралы39)Ь1,=позволяетA)формулуприменитьпри2:=GЕслижевычислениядляданногоинтегралаприменить1/у1B),формулутоположитьследуетприс=d—,Тогда2.=GОчевидно,целесообразнее1/2способпервыйчтовычислениявУданномцелесообраз-примереОвторого.1=11/2/Toi2х-1Рис.ПримерОРис.39Изменить2.порядок40интегрированиявинте-повторноминтеграле1-у1I<ФЛу)Строимобласть=-а/1IdyФ2(у).у)Gинтегрирования-У2,/(ж,=1-2/,Уdx.по=пределам0,уинтегрирования:=1(рис.40).Сверху§GобластьДвойной1.кривойограничена^lх2-снизупрямой—уl -у/о/(.т,y)dy+/(ж,1-х/dxоодвойногоопределением/(жодоказатьинтеграла,линейность:/ (/(я,у))у)±д{х,dxdy=f(x,y)dxdy±/ / д(х,f{x,y) dxdy(AGGиIfA/(x,y) dxdy\f=Gб)ff(x,y)dxdyJJGеслиаддитивность:/f/=JJGG\—G2,Uтоf•f(x,y)dxdy+/JJGiGВычислитьповторные1интегралы:.т\/з2/ (о:2dxf(x,y)dxdy.G22/9.2.+у) dy.dx9.3.ox0039.4.сле-свойства:егоа)1/dx-1Пользуясь9.1.следующиеО,0<ж^1,\Л-.т2y)dy=ДГ~7__^химеемО/ фу^приПоэтому0.—-1при1-ха239интегралIIdy7г/2A-7г/2dX49.,21219.6.я"/25IdtpОr*dr.//"dy?9.5.02 rose/?a(l+cos</?)acosv?rdr.GR);y)dxdyГл.240Дляданныхинтегралынаписатьинтеграловповторныхобластиограничивающихкривых,Кратные9.уравненияиинтегрирования,криэтипостроитьобласти:2f{x,y)dy.dx9.7.10Для-1Idyf{x,y)dx.GобластейнижеG?/9.12.ж=(аayG2/2=9.16.ограниченная0).0,2ах,укакойограниченная0х2кривымиу2кривымих20).>уобласть,=прямымикривымиограниченная>Z?E,2),у(а>0,у2+—+х2ах,у2=аж,у>0).переменнойвзятвнешний/(ж,y)dydxинтегралвповторном32/1/-vинтегрирования?областькаковаИзменитьвинтегрированияпорядокинтегралах:б9.17./dxj-2j-3-Vl2+4x-x2ж,=2а2,—интегралеи2),4.=область,—По?/>(а0=2,область,?/—?/9.15.+0,G2az,=—>9.14.=?/G9.13.=АA,вершинамиограниченныйпараллелограмм,—3,интеграл4).G-двойнойпорядках:спрямоугольникЯA,4),^записатьразличныхвf{x,y)dy.y)dxdy,взятых—Idx0повторных,9.11.СE,I9.10.2-yуказанныхвидеV/2Z2?1/вX2\/4-2/2If{x,y)dy.dx9.8.X29.9.2-х21х+3f{x,y)dy.следующихповторных+.т2=у2=ж2+§-1j/(х,°/dy17/2/9(x+2)/22v/4?^?y)dy.^2/g(a?+2)/2Jf(x,y)dy+0Jdxf{x,y)dy.a-\-y/a2—x2afdxf0f{x,y)dy.V2ax~x22/2/2л/29.23.-v/2Уdy2/2~lI9.24.Уf(x,y)dx.937dx39/xjIy)dy+f{x,10-жdx79/xIy) dy.f{x,aaxПоказать,9.25./(ж,f{x,y)dx.10/3Jdx Jjdx13f(x,y)dx+09.22.j9.19.Уdy-2y)dx.2/2-l9.20.Vl6~x24Idy19.21.24JLинтегралl-y219.18.Двойной1.0этойпользуясьформулой,jdx0f{y)+dyjf(x,y)dx,От/Дирихлеформулуdy=0у (t-y)f(y)dy.0следующие(x2jхj9.26.=0доказатьtВычислитьy)dyf(x,dxчтоaинтегралы:у2)dxdy,GобластьгдеограниченакривымиGу—хх,+/9.27.АA,у1),ВE,2а,=yxy1),ж—СA0,=0.y2dxdy)Gгде2),Z)B,2).—трапециясвершинамии,Гл.9.гдеобласть242dxхуdy,КратныеинтегралыGограниченах+укривыми2,=Gх2+у2/ / ydxdy,9.29.1),,0).(х>--=2уGгдестреугольник—О@,вершинами0),1).В@,(x9.30.2y)dxdy,+GобластьгдеограниченакривымиGух2=иуу/я;.=/ / D9.31.9.32./ /у)——J J х2хх,—/ /9.33.у2х2-а2уа2,=.тх1+dxха,=/ / ех^у9.34.областьгдеGобластьгдеGограниченах?кривымиограниченакривымиу——(ж ^ тг/8).тг/8=ch/,-,у2+Gуdxdxdy,0,=с/у,у(у0=>GобластьгдеGобластьгде0,ограничена0).>акривымиограниченакривымиупервойчетверти,ех,—Gх0,-у2.=/9.35*.x2ydxdy,осямиограничена@6sin/=<координатxdxdy,вхэллипсаGобластьгдележитдугойитг/2).^t/ /9.36.Gобластьгдеa=Охосьюограниченаcost,у=аркойиGциклоидых=a(t-/ / ydxdy,9.37.t),sinуаA—Gобластьгде@ ^£)cos-t2тг).<осямиограниченакоординатиGдугой9.38*.в£астроидыобластиНайти6f—a£.cos{(:г.—у)\0<хаsin31@ ^</г/2.ОС:t/(:г,функциизначениесреднее-=у.v<.т/2}.^тг/2).у)—cos2жcos2?/§9.39*.ОценитьДвойной1.243интегралинтегралавеличинуdxJJНайти9.40.треугольникеЗамена2.0@,хосуществляютозначает,чтоотображениеиГотличенГсуществуету)г)(х,—отобратноеvинулях(х>—якобианпреобразования,dipВеличиныидлякоординатыvиточекЕслииdilidudvвтоГобластьнаЭтоото-областивие.(u,v)ET.Ф0,какжеD)координатыпрямоугольныекриволинейныекаквремяG.двойномвГ,дфрассматриватьГдифференцируемоеGт.dvZU,можнообластиобластиточекото-Оху.плоскостиdipduI(u,v)=2/)C)Gнепрерывнообластивфункциидифференцируемоеобластьна2у+v)непрерывноO'uvплоскости^(w,Зх=1).Пусть=уоднозначноевзаимнообластииу)/(./;,В@,0),ЛA,y)4-интеграле.v)<p(u,=0),двойномв(reфунышивершинамипеременныхотображение+xзначеньесреднеесsin29 4-dysin2коорди-интеграле//(ж,y)dxdyпоформулам'6произвестипеременныхинтегралазаменуполученногоинтегрированиявыборенадлежащем/у?(г/,функцийG,областипроще/(ж,будетимеетиy)dxdy=Дляп./v)ф(и,формуламестоf{ip(u,можетинтегри-котораянадле-приоказатьсязначительноv))\I(u,ф(и,v),областьютоГ,E)v)\dudv.ГGвv)иC),областьужевычислениядвойногосведенияПримеринтегралаизложенныеприменяютсяповторным.к/ / y/xydxdy,Вычислить3.Гобластипоинтеграла1 методыGобластьеслиограниченаGкривымиу2=ах,у2=Ьж,ху=р,ху—q@<а<Ь,0 <р<q).Гл.244<\ТогдаПерейдемКратныеинтегралыипеременнымновымк9.иу2формулампог)—их,ху?;.—=ди3^1-2/3_9«~31/3вУ.'!u~i/V/3v){щУравнениялинийlОО)lGwОхуплоскости6,=vвРис.(рис.41).=q.bи41Следовательно,E),формулуприменяяполучаем//JJsfxydxdy=-311 y/v=J J-3иУ/—Jип1"3Наиболееполярныеупотребительными/y/vdv=гcos=Vb2\пи~'3пизкриволинейныху?,I/гЗ/2координаткоординаты.тГобластьпрямоугольнуюО'хO'w?;fр,=преобразуетсяОплоскости0->видa,=^ПРИ^принимаютиОбласть3Iu-2/3vl/3('3-j3-Ам1/3„-2/3-до—тsinv9'являютсяпо-§245интегралкоторыхдля_,/(г.E)формулаиДвойной1.cos(z>чш)4—Sll O?записывается//ПримерУ)dxdyПерейдя4./ / f(r—к09ГCOSipcosif,видевfix,sin—r.'rip)rsindrдвойнойвычислитькоординатам,полярнымF)dip.интегралIJ(x2+y2)dxdy,'gGобластьгде<Положимх24-у2у—г2,=х2окружностьюограниченаrcos(p,хгsirupу2)dx—+dyТакГу2Л-являетсякосинусоидойг2а=тг/22аcosdip.преобразуетсяcosпричемip,кограниченнаякрv?G[—тг/2,гвидуснизуО/Перейтиcos4ipdtp—I8аА13COS'437Г=2'2кполярнымпоновымкоординатампеременнымвирасставитьследующихпределыинтегралах:За/4///"ctdxe0aV/3/2-v/3a2/4-x2a-faО,тг/2].42™'Оинтегрированияip.=-тг/2-7Г/2Icosгтг/2тг/29.1.41.41.2а=осьюacosv?У-тг/24а42ах=область,Следовательно,9.42.какгх2окружностиобластью=(б).формулуr3 dr=асверху2ах.—то/ / (х2УравнениеПоэтомуу24-применими\/a2—TIdxy/ax\/171f(x,y)dy.9.43.Idyff(x,y)dx.инте->Гл.246/ / f(x29.44.Кратные9.у2) dxdy,+интегралыGобластьгдеограниченалиниямиaх2у2+л/бя,=Перейдя{х29(.т2=у2),-у(у ^ О,0=вычислитькоординатам,полярнымк.х^л/6).интегралы:\/П^—7*2/7fdx9.45.у2J+bОIex4y2dy./y/a2Оа/dy9.46.~x2-y2dx.yjay-y2/ / уж29.47.у2 —9dxdy,+Gобластьгдекольцо—между'gх2окружностямидвумя/9.48.арадиусауа2сх2—центрому2)+9=х2иу2 dxdy,—dxdy,у2+0),GлежащаявGобластьгде25.=областьгде0@,точкев(х29.49.у2+часть—первойкругачетверти.ограниченакривыми'Gх2у2+.т2аж,=/ /9.50.у2+d.Tdy,2а.т,=уGобластьгде(у0=0).>ограниченах2кривыми=ay,'a.т2у2+2а2,-у/ / хух29.51.(х0=0,>у2 cfedy,+>а0).GобластьгделепесткомограниченаG(х2лемнискатыПерейтикинтегрированиях^0,у0,-переменным+уу2)(х > 0).иииvрасставитьпределыинтегралах:dxу)ха2(ж2следующих/ / /(.т,'6^—новымв9.52.у2J+^Ay,а.гдеПоложитьGобластьи—определенах+неравенствамиу,ау=ш;.ин-§f(x,у)Двойной1.dxdy,247интегралG ограниченаобластьгдех2кривыми=Gх2ay,=х2у2by,—у2гху,=Idx/р,у) dy.уху,—Вычислить0 <q).<р+х—уПоложитьvу,х—у.—удвойныеdx/I/9\/сG,/(.т/аJ-х2эллипсом—-duкоординатамгсре^т+2/^/<кривыми<р0q,<Ь).а<Gогра-формулампоdxdy,=cosarGобластьобластьгдеобобщенным,кхгде1),>(перейти1—Ь1(с/L\9/(у/ЬJ-у2Н—-интегралы:'\9/аи@Ьх=ограниченаvx./' /*^^Gобластьах,——следующие9.57.игдеq,—иниченаb,<aПоложитьf(x,y)dxdy,хуПоложить9.56.<1-х9.55.—}{х,Iоху@qx=3-х39.54.у2рх,—vx.=полярнымуср,—задананеравенствамиGх^=иA0,у-уЬх3,=V),у/ /9.58.0,^у2жdxху=3.приложения.(произвести1^уdy,рж,переменныхзамену.т=у2ПриложенияПлощадь@qx—двойныхS плоскойрассматриваемойGобластьгделиниямиограничена<а<6,0<у<рд)=аж3,(выбратьпеременных).заменунадлежащую+uv).—системыинтегралов.областиGГеометрическиевыражается,следующимикоординат,приловзависимостиотинтегралами:JJdxdyG)[ \I\dudv(8)=Gвдекартовыхкоординатах,прямоугольныхS=гГл.248криволинейныхвКратные9.интегралыЗдеськоординатах.чтопредполагается,У1COS(p)тдхдхдиdv?iдуди0dvВ частности,хвcosг—Г.областив</?,Sкоординатахполярныху11=sinг—drrимеем<p(9)dip.гРис.42ограниченнойВ<Охуплоскости(9)гкривымифигураверхнейплощадь[rdrd<p2=Гинаг=42.рис.acostpВычислимa(l+cosy?)>0).формулепоa(l+cosv?)/0фигуры,площадь(аудвоим:иdtp2=Найти5.cos</?)4-показаначасти7г/2SПримераA=rdr2+/d<p=Отг/2acosiprdrтг/2■Л-Отг/2/ Aа2=2+cos</?)d(/?+а2(I+2ц? +coscos2<p) dip=тг/2a2((/?=Если2 si-fгладкаяэтойчастиуравнениеzпроектирующейсяповерхности,==областьв/(я,Gу),-7TGT.D>4тг/2имеетповерхность-si2sin(^+у+топлощадьОху,плоскостиравнаQ+z2(а>Пример=0).6.2ах,заключеннойA0)=Найтиплощадьмеждучастицилиндрому2у2параболоидаповерхности=ахиплоскостьюх+—а§Верхняя<zполовина\j2ax—249интегралпараболоидазаданногоу2.—Двойной1.описываетсяdzdzaдхд/2аху2'-удудх)ТаккакплоскостиOxz,частиэтойуравнениемИмеем:2axрассматриваемаяповерхностьтолежащейповерхности.,2axсимметричнавкак) dx/ \/2ах4=zцилиндра,у), снизуV/(ж,=поверхностью,выражаетсяинтегралом^C^3у/х,=zплоскостью=i/xхтелох+иzуНайти2i/x,=Данное<у7.уJJ==г=2>/хснизу(рис.тела,z=плоскостью43а).сбоковt>поверхноцилиндри-прямойОхуплоскостиG,областьвыра-A1)поверхностямиограниченногоу0.гОбластьи1).-f(x,y)dxdy.цилиндроидом,является4,4,0=наобъем4-=43вырезающейПримернепрерывнойсверхуограниченногоплоскостью=dx-ОРис.ческойа2+=Объемплос-площадьучетвереннаяоктанте:первомуДахповерхностьюу2—относительноивычисляетсяплощадьискомая'у2—=0исинтегрированияограниченнымбоковплоско-сверхупрямымицилиндрамипоказананарис.436.=Гл.250Имеем:z4=Кратные9.х,-2^/х4V/7D=интегралы-x)dxdy=0GI4/dxDх) dy-И4=х)Bх/х-х/х)-dx=О^4/Найти9.59.4а#—и+хуи=9.61.у=у2аAНайти9.64*.ига(вне=у2у2—площадьфигуры,уqx,Найти=Найтивырезаемойвырезаемой—ахпервойпу2ж3,уплощадьНайтичасти@а(ар<2ря6,<0<x+y+z<а——п).<ту2кривыми0 <q,=Ь).вырезаемойа,а.—x2цилиндра+z2—a2,х).—поверхности=аограниченной<у2кривыми<поверхностичастиу2кривойограниченнойж3@кривой0).>Xхплощадьцилиндром\плоскостьюу2цилиндром—2ах.=петлей(аплоскости=у2+четверти=Ъх—х2ограниченнойчастии-fгкривымиограниченнойфигуры,ах,х2Ь).<акривымиифигуры,площадь@<ограниченнойуплощадьу29.71.ту2——уфигуры,вНайтицилиндром9.70.4=укривыми0=-у2)площадьЪх,—9.68*.9.69.хукривымиограниченной2а2{х2площадьНайти9.67*.рж,=кардиоиды).лежащейНайтиж,X=у2кривымиограниченной=фигуры,у2J+ах2у,9.66*.уплощадьНайтиуLах,Уограниченнойфигуры,=Найти=2Ьж,=площадьcosy?)—9.65*.—128кривымиограниченнойфигуры,у2+Найти(х2(х\50).фигуры,площадьж22аж,9.63.+3ограниченной>фигуры,площадь^2х^'20@)9.62*.=(а2а—площадь8а3+фигуры,+жНайти5.Найти9.60.Vплощадь4а2+^1х^'(рконуса>0).х2Л-z2=у2,§Найти9.72.х2цилиндрамивырезаемой2а.т,заключенной внутриу2,х2конусаНайти+9.77.женнойНайтинееНайти>zкоторогослужитплощадьчастиz2z9.88.re2х2Z-2oz=2—zи—x2-x2,—-+zу2у22z2У~+y2=х2+уx2++у(z ^ 0,1,=располо-х20).^уу2+осиy2+z2у2).—аA=Oz,coscp).+а2,=z2,=вырезаемой1=a2,у2+0).>*a>/2-а2,—2{x2y2(а(a0).>2.=-(внутри0=z2цилиндра;a2=(a0).>2+-гу2)+2^z2,=6^ce-^/^+v2/*),=х'поверхностями:-a2,-—,9-у2+z2у2га2(х*2=x22az,—-гу,=У=aarctgпараллельнымисферыz2a2,-вырезаемойнаправляю-конусакардиоида+az=поверхности9Х-1,=а2,Oz,asin3(/?.z+zи—z~yограниченныхтел,+х-2х?——а2.=у2J+9-2az9.87.гобразующими,с(х20).9.86.у2поверхности—частиплощадьобъемыx'2—заключен-+=осиоНайти9.85.у2+z—x2+y2+z2сферыплоскостями9aу2+частиплощадьцилиндрому2а2,—параболоидаЪх2zвинтовойх2Найти9.84.х2z2+розачастиплощадьНайти9.83*.x2+y2трехлепестковаяцилиндром9.82.у2,=х).—параллельнымислужитНайти2аBаz2+0.=цилиндра=сферыобразующими,вырезаемойнаправляющей9.81.х2уповерхностичастиплощадьсмежду9.80.2а,параболоидамицилиндром9.79.у—4.-вырезаемойизчасти0).>конусасферыz2.—междуу2цилиндромнаправляющей которого9.78.у2+площадьзаключеннойЧх2=z2частиплощадьцилинд-(а2а=поверхностицилиндромНайти9.76.поверхностих+0,=частиплощадьвырезаемой9.75.—хНайти9.74.=участиплощадьплоскостямиограниченноготела,плоскостьюиау—Найти9.73.251интегрсЫповерхностьполнуюz2ay,=Двойной1.1z21=7^=-a2(a(a60,>>0).>0,c>0).Гл.2529X9.89.У+—Z+—Кратные9X1,=—интегралы9У+—99Z=—(внутри"ТО,>aконуса;c>0).6>0,9.90*.г9.91*.(х-МеханическиеGобласть^(ж,=Myжуж2=1,—у2,+0).>ужу,=г0,>j99..тухуу'22,=1,—.туу),томассаММ<y(s,=ее//=массцентра/ 7(х,Моментыиy)dxdy,Ж7(Я,A2)y)dxdy.пластинкихнуопределяютсяследующимf yy(z,y)dxdyУ'y)dxdyМGсоответственноМхинтеграламиyy{x,f x'y(x,y)dxdyМоб-моментыMx=0—GМУКоординаты2плотностьдвойнымиGобразом:2ж,=занимаетстатическиевыражаютсяy)dxdy,уповерхностнуюиОуиж,=пластинкапеременнуюпластинкиОхосейотносительноЗж.=уЕслиимеети2,—приложения.Охуплоскостиу2х,=GпластинкиинерцииОхосейотносительноОуисоответ-равны(.т,y)dxdy,A4)x27(x,ау—л*2моментаинерциикоординатначалаинерции)-2ahпластинкиотносительно(полярныймоментинер-равенОРис.y)dxdy,GI {x2=-fy2h{x,еенеy)dxdy=Ix+/y.44A5)Еслисчитать7(я,Примерограниченнойпластинкау)иоднороднаплотностьуказана,1-—8.кривымиНайтикоординатыаух2,х+уоднородноймассцентра==2а(а>0).условимсясчи-пластинки,§<]ЛиниипересекаютсяможноПоэтому4а),Mi(~2a,точкахв253интегралА'ГДа,2dxdyа44).(рис.По-х—/dx=2ас/?// Bа=х-2ааdxdy/='6-2=-2ах2/а/dyу=/-922а-2а'( BаxJ—Jа'х=-2а.т'2/аа'?Xх1—rix2X-{2аХ-~2~1а—УdxJ—-,Л/га)записать:аS=Двойной1./1_~Bах5х)я-22ааMyxdx—dy/—а/dxxх—dy/—х'2/а-2аa:(2ax-i'M"х'найденные'"-ТзначенияНайти9.92.ееA3),равна5Найтиограниченнойстатическиеитг,9.94.9.96.прямойОЛ,9.97.ограниченнойНайтикривымиаA~иОхи+coscp),а—формуО АиточкирасстояшшЬ,—ОуплотностьОхосейсинусоидойначалоеекоординатиувершинушлх—хуу2—8ах1,фигуры,однородноймассцентраа2,х—2а(аОуиипря-А(тг/2,0).=вО А.относительномоментыкоординатыогра-прямоугольногоесликатетаотограниченнойчерезфигуры,однороднойимеющейОВпроходящей^гмассустатические(.тплот-центрах.=пластинки,фигуры,синусоидыах,—катетамиравнаНайтиосейотносительнокардиоидойцентрамассусоднороднойеслиотточкиосью.у2точкеЯ,радиусаограниченнойкоординатыНайти9.95.имеемрасстояниямоментыфигуры,полярнойкривымитреугольникалюбой9пластинки.Найти9.93.однороднойО ^ ip ^пластинкиквадратуV-=8МскруглоймассупропорциональнанакраюSUL.-формулыв1плотность—-2а=Подставляя1 dx—>0).1)огра-Гл.254Найти9.98.Ожограниченной9.100.ограниченнойукоординатыкривойНайтимоментыкардиоидойггтреугольника,2,—инерции+уогра-0,=относительнофигуры,однородноймассsina=аA=Найтимоменты2ченной2</?,лежащейогра-первойвчетверти.фигуры,однороднойcose/?),ограни-ОуОж,осейотносительноэллипсом+—гначаласительноио1ограниченноймоментыаж,—относительноуНайтипрямымиотно-ихмоменты+хуотносительно—а.—инерциижа,=началаограни-0:=координат,прямойотносительножа,—начала9.103.Оуфигуры,однороднойинерцииу2кривымиа)б)*Ож,осейотносительноограни-координат.Найти9.102.1,=—7фигуры,однороднойинерции2ога,=треугольника,уесликоординат,ограниченногоОж,осейотносительноа,—плотностьОуипропорциональнаточки.ординате9.104.НайтимоментНайти9.105.радиусаскоординат)моментыугломаиоднойТонкаяизR\иа9.106*.радиусамипоменяетсяОхзаконуотс|жу|,=t\распределен2х+=Найтиу.электрическийполныйТройнойинтегралегоеслиповерхностнойнулюэтотпределзависит/i3,—а=интегралвдекартовыхнепрерывнойпрямоугольныхобластифункцииинтегральныхизнена-пластинки.пространственнойнаибольшего7ееприплотностьюсоответствующихкДг>&5параболойиотпоследовательностиравнаипараболическогоах2+ h2yформувычислениеинтеграломзамкнутойограниченнойра-t^-температурыимеющейТройной2.иТройнымкоординатах.полученнойзарядспластинкипостояннаЕпервойкольцакруговоготеплоемкостьпластинкойсвОх.плотностьзаряд§1.формуОхосьюограниченногосегмента,допластинке,коорди-расположеносинаУдельнаяQ?тонкойсекторимеетR-2)-температурыНаеслисектораначаломслежитпластинкатеплоты9.107*.Оу)сторон<кругового(совпадающейисвоих(-Rii?2количествонагреванииоднородногоинерцииограничен-полюса.относительновершинеприосейотносительночетвертиНайтиa2cos2(/?,=фигуры,однороднойинерцииг2ограниченной лемнискатойобластейоднородного+ 2уполюса.9.101.пределстремлениихцентрапетлейотносительнопо1,—Оу.иНайти9.99.+хпрямымиосейинтегралыинерциимоментыограниченногоКратные9.dkдиаметровниотспособаТ/(х,присуммобла-элементарныхразбиенияz)у,называетсяобластиТ§255интсгра,пДг^,подобластиэлементарныенаТройной2.выбораотнипромежуточныхточек:71/(ж,z)dxdydz2/,Nlim=/(•'£*?max-^)Дг>д-,?/ьA)Тгде(жд.,такит/А;?еедвойныхВычислениеобъем.%k)€Д^А--тройногоилиинтегралау),боковсверхуобласть,элементарнаясвойстваманалогичнысечениемОху,интегралов.снизу(<Pi{x,у)которогодвойногоодногоЕсли,у)поверхностью^парал-тройнойтоJjdxdyf{x.y,z)dxdydz=т'GЗаписываядвойнойинтегралVi(-T.y)GобластипоjинтегрализодинA)B)f(x,y,z)dz.черезу))</?2(ж,плоскостью,G,областьявляетсяи^2(ж,—сводитсякоординатахформулепоJJjдекартовыходнократногооднократныхТ ограниченаzцилиндром,плоскостивычисляетсятрехинтегрированияповерхностьюпрямымпараллельнойводноговычислениюкобластьip\{x,сикакинтеграловвычислениюпоследовательномуинтеграловнапример,=обозначаетсяинтегралов.кzД?^тройныхЧерезСвойстваповторных,получаем//Дя,У,z)dxdydzdx=/dyJ1/Пример2)dz?/,Jdx/ / / zdxdydz,Вычислить1./(ж,f(x,y,z)dz.областьеслиjjтплоскостями<жИмеем:-f+у0z1,—020,=0у—0.ж—0=0.0оо4C)ТограниченаГл.256РасставитьпределыхIIКратные9.интегралыинтегралеТ:областейуказанныхдля/тройномвинтегрированиятОбласть9.108.Зу+4z+Т12,=zограниченныйтетраэдр,=у—0,=0,а;2хплоскостями9Т*я;=9.109.Область9.110.2.Область9.111.ОбластьТТограниченаТВычислитьэллипсоидавнутренность—+а2у2^+ттЬ21-—с24т,=z2,=9~^"2z2+ж2+у2поверхностями97/—^поверхностямиограничена+0.==1.zинтегралы:f9.112.Idx0Idy0zdz.0/ydy0a-x(x9.115.fdy2(a~x)(dx0Idx0y/ax9.114.I9.113.00azdz.+z)dxdy+уdz,Т—областьгдеогра-тетраэдр,тничейныйплоскостямиу ++х/ / / xyzdxdydz,9.116.zа,=хТобластьгде0,=у0,=z0.=ограниченаповерхно-тстямиуге2,=rz;{х9.117.у2,=гу2)+zжу,=dy dz,rfa;0.=областьгдеТповерх-ограниченатностямиz—Замена2.у2—х2,г0,=впеременныху1.=тройноминтеграле.Есливтройноминте-интеграле//заменапроизводится=z(u,у(г/,пространстваг;,v,w)гу),осуществляютг(«,попеременных=г(п,v,w),причемнаобластьформуламфункции7\хx(u,отображениеоднозначноевзаимноOxyzz)dxdydz2/,пространства=v,x(w,w),it,y(u,w),областиO\uvwиуv,якобиан-w),Тпреобразованиято257интегралобращаетсянев7\:областивнульdxdxdxdudvdwdydydydudvdwdzdzdzdudvdwформуласправедлива//Тройной2.§/(я,z)dxdydzУ,=т//=f{x(u,y(u,w),v,w),v,z(u,w))\I\dudvdw.v,D)TXНаиболееупотребительнымицилиндрическиеzякобианг,=Рис.у?zвrsin#,якобиансоответственно/=иг,45):z(р,х=уsimp,г—радиус-вектора),(длинагявляютсякоординатrcostp,z)<р,Рис.45(долгота),—(рис.сферическиег,которыхг,криволинейныхизкоординаты(широта)46):(рис.которых/=хРис.46г—r2cos0.coscos(pв,D)Формулауг=47sirup6,cosсоот-принимаетвид///f{x,у,z)dxdydz=/ / / /(гcos</?,гsin</?,z)rdrdipdzE)Гл.2589.Кратныеинтегралыили///(ж,z)dxdydzу,='т\\~f(rПримеру2-frs*n^cos^'Перейдя2./ / / z\Jx2cos^cos^'dxкs*n^f2rцилиндрическимdy dz,гдеобластьO^z^а(рис.cos^^rвычислитькоординатам,Гзадана№^^'0 ^неравенствамих<2,т\/2х~^х2,О^у^Так<какуравнениепринимаетувидг/ / / y/xP+y^z2=у/2х=cos47).х2—@ ^ipу?вцилиндрической^/2),^r2zdrdxdydz—Tdipсистеметопоdz=координатE)формулеT\tтг//22cosv?Г=dip00тг/2аajr2dr0I2cos0(^0тг/2J30Пример//(я2+О ^Дляip^у2)^dy dzТ^2есть0 ^сферических=[иИмеем^ Л.гr2 cos20•позаданныйнера-координатсуть:r2cosdipF):формуле0 dr7г/22тг=полушар,0.изменениятг/2,dxi?2,пределы0^0^2тг,+z2+Т\вычислитькоординатам,областьеслиу2+областисферическимку2) dxdydz,х2неравенствами<ПерейдяЗ.dOcfy?=Яcos3в d6/r^dr=—тгЛ5.>§ВычислитьТройной2.259интегралперейдяинтегралы,кцилиндрическимкоорди-координатам://9.118.\у\ dxdydz,Тобластьгдеограниченаповерхно-тх2стямиу2+a2,—zdz,zdxdy9.119.9.120./dxh.—Тобластьгдеограниченаповерхностями\dy\A2-?/2a/y/29.121.(x2-y2)/aIdyо/dx\/a2—x2/-аIdy\/4-х2Idx-д/^2-2Вычислитьdz.\Jx2y2+dz.2IIdy{x'2+y2)dz.(х2+у2)/2перейдяинтегралы,/ / / ух29.124.y2+h{x2+y2)/a2_>/а2-х22x2hIdx\Jоуa9.123.zоо9.122.О,=у2+кz2 dx+сферическимdy dz,координатам:Тобластьгдевнутрен-—тностьссекторашаровогоприугломпринятьизаOz.ось/ / / xyz29.125.dxначалевцентром@2авершине<dy dz,<атг),координат,Тобластьгдеосьеслиарадиусомсекторасимметриисфе-частьюограниченат'рых29.126.между+у2+z2f f f/ / /777поверхностями=—.>Д21dxdydz+=,(хплоскостямикоординатнымииу2+z2х2+у2+Тобластьгдеz2=а2,х20,сферический—+>у2+z2у>слой=4а2.0,Гл.260J9.127.fdxо//da;zdz.I0IIdy0-jR2_r2ПриложенияТdydx-R3.dz.yV0fобластиIdy yи,—Xу09.129.интегралыо(I9.128.Кратные9.тройныхОбъеминтегралов.VпространственнойравенV=TМассаМтелапеременнойсТ:область^(х,плотностьюz),у,занимающего/././.М/ / / 7(ж)=z) dxdydz.У?тСтатическиемоментытелаотносительноплоско-координатныхплоскостей:Myz-37(s,У,z)dxdydz,УУ{х>У,z)dxdydz,*l{x,У,z)dxdydz.тMzx=тМху=т„КоординатыМоментыАMyz-телаинерцииhтела:массцентра=yyyх__—МММ,осейотносительноу=координат:(?/2+22h(z,2/,г)dxdy dz,/ / / (^2+^2O(^,У,*)dxdy d*,гIy=тIz=(x2 +y2)-y(x,y,z)dxdydz.Mzx_,z=Мху-.§В2,^Примеротрасстоянию=z)У,к\[х2—каждойЛ-у2Л-zy/x2+y2z2+z2dx^х~симметрии,j/—=координатах:dzdyIк=r4вsinв drcosdBdip=T\тг/2Ik=IIy/x'2+y2вsin/r4dr0d0cos0z2dxdydz+RIdip0кz2-fрасстоя-вследствиеи,2тг=у2-fпропорциональнаTMх2полушараточкесферическихвпроведем-kilМхумассцентравцентра.до7(^,261интегра.пкоординатыплотностьеслиточкиИмеем0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
