2 часть (1081353), страница 18
Текст из файла (страница 18)
.,изображениеПо-±1/2,=ломануюстроимугловыеимеютiРис.циентык.=хЛ/,М.пприближенноеРекомендуемвправо,которойзвенья0,=49).влево•.,-3х(рис.ихкоординат2хпрямыеизоклиныПостроимначалаурав-кривуюкоординат.получаем. .,т.д.иизинтегральнуюначало—±3,±2,279порядкапостроитьчерезуравненияО, ±1,Отправляясь1-гопроходящуюданного—±1,=Методом2х,=кПолагаях4.у1Уравненияу) dy=кото-из/1(^/2B/),илив0представленыПутем=вделениявиденаМ(ж,/2(j/)2/)и=наГл.280Ni(x)M2(y)Дифференциальные10.соответственно(уравненияэтихэтипопоправыеРешить5.частикнихобщемууравнения.2x=3w2dxРазделяемлевыеизкаждомуравнениеdy<3видуИнтегрируявприходим2/,дифференциальногоПримеркпеременными).ах,исходногоинтегралуприводятсяуравненияразделеннымисуравненийуравненияГ+переменные:(Зу2+l)dy2xdx.=Интегрируем:2/21) dy+/=dx2хС,+илиy3+y-x2(общийуравнения).интегралЕслив/2B/)функцияу{х)бытьможетxq2/0—Еслиполучиввходят,кромеПример<3кореньуказаннымРазделяемтопотериб.уравнениепеременные:=—Унеуказатьtgxdx.еговлиС)Еслинет.следуетпеременныхразделенияпараметрарешенийN\(x)товходят,этисоставрешения.упомянутыеи+х(у)==0.входятпроверить,интегралаРешитьметодомвышезначенияхобщегокривые=2/о—dxуравненияМ2(у)надоуравнения,этогоу(х)М\(х)М2{у)кореньуравненияубе-частейинтегральные0,—легкорешениеуравненияпотеряныfi(x)f2(y)/2B/0)чемобеихделениидействительный—числовыхответеПрипеременных)интегрированиибытьгдеXq2/о,—интегралподходящих(вуравненияразделении0 могут=действительныйПоэтому,общийрешением(приприdyу(х)и2/о>—еслит.е.потеряно.Аналогично,+N\(x)N2(y)кореньподстановкой)./2B/)науравненияу1переменнымиявляется2/о=непосредственнойубедиться=разделяющимисядействительныйимеетфункциято>суравненииC=врешения.окончательном(при0,§Уравнения1.Интегрируем:\n\y\1-гопорядка| cosх\In—281С\,+илиДляудобстваС\параметрС\этомпотенцированияформе,всепринимаетотпотенцируя,|2/cos.t|ЗаметимС2ф0.такжеиВведемрешениеуновыйкотороеycosxС2,=откудаC)уравнениевходитнеС,принимающий,решениеупараметрТогдазначение.нулевоевидевдифференциальноеО,—ТогдаC2secx.=исходноечтотеперь,еще(при/0Ci|C21интегралуочевидно,In|C21,In=-foo).до=общийполучаемоо—па-представимС\положивзначенияInи,равенстваполученногологарифмическойвC),записьв0 войдетвкактакотличиев—оче-имеет,отобщегосоставрешенияуСпомощьюи(х)подстановкиразделяющимисяCsecx.=>by(x)-fах=d-fсуравнениямкдифференциальныеиприводятсяпеременнымиуравнениявидаРешить10.22.дифференциальныеу'10.24.уу'10.26.(х10.28.у'-уравнения:-.10.23.у2у'10.25.10.27.ху1у Vl10.29.у'У+х0.=1)у'++ху0.=ех+У.-у2)х10.30.A10.31.xydx+10.32.уе2хdx-{l10.33.2extgydx+dx\/1A+у)(еж10.35.A+х2) dy10.36.dy10.37.y'=2^/ylnxdxcos{x+y).2у.=х2-1 +=^^+=cosУу0.=0.=yy/Wx1dx=1.=0.ydy+-+=Л/ex) sec2е2У dy){ldxdyх2)e2x) dy+10.34.+х2-+-A+х2+-AO.=у2) dy+dxxy-=0.10.38.y'=—-—.0.-0.0.у2.разде-С2,Гл.28210.39.у'=10.41.у'+НайтиуказаннымDх+2уу3х=частныеIJ.10.40.у'=+5.10.42.у'=A10.44.(ху210.45.yftgxу2)+dxdyху-1).-IJ.+уудовлетворяющиеуказан-0.=y)dx—yfj)уA)0;=(x2y+y)=Однородные0;==1.Дифференциальноеуравнения.однородным,если2/кж-{/Dхуравнений,-x)dy+называетсяили(уsinусловиям:10.43.4.уравнения+решенияначальнымпорядкаДифференциальные10./=I1-гоуравнениеможноегопривестикпо-виду~видуE)М(х,у)гдесуществует=N(x,y)и—ктакоеtkN(x,Су)€Z,чтовсуравненияРешить7.Примерty)w(x)=УттПоложим-хвновкиисходное=tуу)фуТогдадаетуравнение/у'и=суравнениеdU+ж—)чт0cos—dxразделяющимисяпеременные:dxcositxинтегрируем:tgобщее(U(г7Г\4)+^=Gx.решение:и=2 arctgCx--+2тгп,n€подста-перемен-it.duпослеахduПолучаемиXгтлих.=х—иD)переменными.переменнымиРазделяемty)JV(£x,=0.уравненияразделяющимисят.е.порядка,иуравнениеилии,tkM(x,иоднородныеX<одного=х,2//хподстановкипреобразуютсяфункцииотносительнотождественнопомощьюоднородныеM(tx,Z.E)§1.ВозвращаясьфункциикуПриkZ.GНоcosfcдляСледовательно,уhuмогли(Сх2 arctg1—они^—замены^+Z.решениявходят7гBп+уобщеев(—Ьтг/с),х—С(прирешение1))-и?/(^ж=+2тггЛ0).—>видаприводятся7~Z.Gn;2,однороднымксуравнениямпомощьюпеременных.х7Пгдепи+771,?/ПосколькуdxздесьD)видуdvdu,функции—относительно(сциfh\v++dy_A(ai.T+F)уравнениив&i?y),то+dv,=слО,—(G)уравнениетопреобразуетсяк+n/ai x+bjiA\ a2^+&2^-г1=—,__/Л=biaiприметоно71,Ъ\п62Если+v(u):+ai7nv=уравненийсистемыизнаходятсягг=bin=G7i,потеряныуравнения2случае+получаем:Дифференциальныев283порядка^ 2тт)-быть2?i=Схarctgокончательно.х=х1-гонаходим:у,=наделенииУравненияи,/«1+bi(?;/7i)\\ a2+b~2 (v/u)следовательно,/v\__J\U/Л-а^хвидс-2Подстановкойуравнениюгг(х)сРешить10.46.aix=+Ь\у{х)этодифференциальныеу'преобразуетсяуравнениеурав-кпеременными.разделяющимися=+-журавнения:-.у10.47.г/=+-ххsin-.10.48.^-——.х-+у284Гл.10.49.(ж210.50.(х10.52.х(г/у)-110.57.10.59.10.60.10.61.dyНайти+2)dx-+у+уtg-dx2хуdx1)1)10.53.xdy-ycte+уу-2х+dy.0.=.X/у-Jx2=-у2-ух1) dy-0.=0.0.=2J+=dx.2+уху=ln-dxcosxyf4) dy2y-l)dy-2(у-x2 dy+0.-Bx+dxхуравнений,решенияданнымудовлетворяющиеусловиям:(у10.66.хД2+У2)+Линейные5.имеетс?жж-dyуA)0;=-Дифференциальноеуравнения.линейным,называетсяеслионосодержиту1иу0.1-гоуравнениевпервойпорядкастепени,е.т.видy'Q(x)ПриG)0 уравнение=P(x)y=линейнымназываетсяразделяющимисягдепервообразныхиС—функциипостоянная,произвольнаяР(х).егоG)видР(х)у=Онооднородным.переменными,Q(x).+принимаетУ'иу2dx.Bу+IJ dy-10.51.=у6)-у2.+хуXBх+частныеначальным-.D.x6++105510.55.--=у-у'10.62.у2) dy0.=у.tgжу2—dyх=+у+B.x(у(,х(х10.58.+еу/х)=уравненияx\Jx2=dx+(х2Зх4у210.56.ху)у'+ху110.54.Дифференциальные10.общееявляетсяа/ Р(х)суравнениемимеетрешениеdx—видоднаизпервообраз-разде-§Интегрированиеа) МетодG)уравненияУравнениянеоднородногоЕгообщееС(8),С(х)(9)Выберемфункциюнанеиз-дляпеременными:решениеA1)ef=формулувf Р(х)у(х)dxu(x)v(x).=Тогдаурав-видуи(х)функциюобратиласьС(х)изодна—дляГ Q(x)e-dx(c+Положимкf p^dxdx/ Q(x)e~G):уравненияР(х)C,выражениеподстановки.чтобытак,вскобкаперваяДлянуль.этоголевойвчастиуравнесуравнениеинтегрируемразде-переменнымикакое-либовыбираемР(х)и-ui(ж)частноевместовиеголевуюобщеефункциии\(х)иищ=уравненияС),v(x,y=получаемui(x)v(x,(х).A1),уравненияv=общееС).v(x,Подставляяфункуравнениеполучаемv(x):функцииотносительноэтогорешениеО=решениечастьпеременнымиразделяющимисяНаходимG),+полученноеахнайденныеурав-получимразделяющимисяаРсСуравнениеf Q{x)e~fp{x)dxdx=приводитсяразделяющимисяирешениепостояннуювсПодставляяобщееб) МетодG)функциюискать(9)заменитьпостоянная,ууравненияеслиуравнениепроизвольная—находимуравнениепро-решение:первообразных.(9),можноС{х)е*рЫ"х,=выражениеС(х)гдеБудемпостоянной.изПодставляяфункциинеизвестнойG)уравнениявидевполучаетсяС(х).285порядкаметодов.следующихвариацииукоторый1-голинейногоизоднимпровести1.С).решениеПеремножаяуравнениянай-G):Гл.286ПримерПрименим<10.Решить8.однородноеобщеерешениеуищемуравнения+ С(х)cosrrС"(ж)уравненияиС(х)(х=я;общееctg==хsinа;.>в(я)С•sinНайдемхисходногоу'С'(х)=uv=sinxрешение3+видеdx2x3dyуу2dxхикуравнениеприведем2u\(dv3\d2/^//\Ф2/2/решаяnРешим—-.dyегометодомвиду/duщ(у),функциюя,\,уравнениеda2udyу__ивыбираяизобщегоегои\(у)например,=у2.Перемножаяэтогоi/iB/)у2—щ(у)Подставляяв+СчастноеодноA2),уравнение3оd2/решениеирешенияdvОбщее4-.2д;2/относительноиsin+xобщее=подстановки.Положимсоответ-решениеиуСледовательно,?/линейнооноxС.-fуравнениеуравнениечтосначалаПодставляемх.(я)С)+Решить9.заметим,sincosСтогдаиуПерепишемx.yctgx.=Следовательно,x.С(х)=-fя;1,=Пример<sinестьsin+хРассмотримуравнение:С' (х)откудауданноевctgу=уравнениеС sin—видеву1постоянной.вариациилинейноеу1ЕгоуравненияуравнениеметодсоответствующееДифференциальныеУdu3d2/2/4решение,получим:уравнения:иг;(у,С),общееполучаемуравнения:х=С?/2.Ж/>решениеданногоурав-ч§Решить1-гоУравнения1.дифференциальные10.67.у'у10.68.у'10.71.+х2)у'+2уу'10.73.10.80.у2жу=у2)+у1ех(ж+cosжуу2-IJ.+=у'+1ytgx=.сcosж.10.77.жу.10.79.у10.81.(ж—L.-ж+у; In2++у3(ж+ху.у=2у3)у'+1.+жJLех=2 In--у'ж) dy.жу'-жу'.++10.74*.(arctgy=х2+ж2+-dxу=10.72.+1+у'ж2J.A4-+е3х.-ж10.78.10.76.10.69.ж.-^--Aху1жу'10.75.+—хAу'10.70.уравнения:у3?/=287порядкаг/)у;.2 Inу.-cosyНайтиначальнымзаданнымy'+10.84.у1=10.85.у'-—ytg.Tcos+ех2уInужБернулли.уф 0,т1—Такпроинтегрироватьсжесфт1(притсуравнением—Пример+=—<у—uv,A3)A3) являетсяпеременными).линейным,Бернуллиuvачтоучесть,припроинтегриро-линейномукСледует0.можносвестиилиyl~m-уравнениюприт>1можетуравнение^+Полагаядиффе-называетсяQ(x)ym,0 уравнение=уРешить10.Бернуллиразделяющимисяzрешениепотеряно1.=видауравнениеу =подстановкибытьуA);Р(х)у=подстановкипомощью-.Уравнениемлинейное,икакпомощью=порядкау'гах—1-гоуравнение=0.у@)ж;-^+i/@);=2уУравнениедифференциальноегдезадан-удовлетворяющиеусловиям:10.83.6.уравнений,решениячастные(duукуравнениеприводимv(- \drхм\xj+(dv\dxвидух2—н---uv)\.-0.A4)tчГл.288Изобщегоирешениявыбираемчастноеv±>/2ж=илиduиdxхнапример,щI=-г-Ьго-.dxобщийполучаем,и,иформулойПримеруРешить11.=±ху/2хБернулликz/.x,находимz2х=С,+откудауравнения2у2а;cmСх.—хС(х)у—-^-±.==Поэтому1.—Решаялинейным.zисходного>полагаемzу2=Отсюдапостоянной,вариацииобщееполучаемzлинейногорешениех\п=уу1+10.88.у1=у1ху110.92.Найти4хууравненияв—,=+10.94.частныеЫуу/у.tg.T).+—;cosу=у2ж2у.+2уsinInу-A+•у'.10.87.dy10.89.у;у110.91.3yd)ysinxdx;(у2еж=[—2у{хг)=жsibin=sindx.-Ж'Жу,+оУ+2уК~1)—=жу'.задан-удовлетворяющиеуу)-yctga;+=у'х310.93.уравнений,решенияусловиям:=>X2хе~х2—хгС—.уравнения:=y(y3cosxначальнымзаданным,х\п—дифференциальные10.86.10.90*.21.—т.е.Xокончательно,Решитьиz'уравнениеоднородноеметодомвидеили,-dxвидуявляетсяуравнениеполагая—хуравнениеуравнениеЭто9vрешенияС.+•уравнениевсечто=УЭтоуравнениеинтегралvщопределяются<новоеполучаемС.+Перемножаяприводимх.=dvA4),dv0,=xvуравненияуравненияуравнениевщх2—Сх=решение,Подставляя—Дифференциальные10.§ydx10.95.7.(х+Уравнения1-гоУравнения^х3у\-dyP(x,y)dxДляQ(x,y)dyчтобытогоA5)уравнениенеобходимоA5)уравнениебытьможетестьзаписановэтогоинтегралгдеСпроизвольнаяФункциягрируячтоу)диффеусловиеdQдифференциалах,полныхву)то0.=у)бытьможетdU=CJjLР(х,С,=найденау)постояннаяхэтомв=поJфиксированномприP(x,y)dxотзависетьзамечая,иуможетслучаеИнте-образом.следующиму,имеемA7)ip(y).+равенстваip(y),функциюОчевидно,чтоподставивкоторуюуравненияU(x,функцияискомаяпостоянной.аддитивнойпроизвольнойсемейства.частьт.е.полныхввыполнялосьA7),ву).U(x,исходногоуравнениемуравнениеU(x,y)находиму),уравнения:——произвольнаяизлеваяпостоянная.Е/(.т,равенствоЗатемегоU(x,видеU(x,—A5)есличтобыdU{x,Общийурав-функциибылодостаточно,и-Если1.O=некоторойдРоно=дифференциалах,полныхдифференциаломполнымдифференциалах,QjуДифференциальное+вуравнениемявляется0;=видапорядканазывается289порядкадифференциалах.полныхв1-гоуравнение1.достаточновыбратьу)ДляоднуопределенасобщегозаписиизфункциюполучимфункцийдоточностьюинтегралаполучаемогоГл.290ДругойметодДифференциальные10.2-гоинтегралаU(ж,функцииотысканиякриволинейногоуравненияу)состоитвычислениивкри-рода:(х,у)U(x,V)=(а?о,2/о)У)р(х>JdxQ(x,+=уух/=У) dyР(х,dx2/о)/+Q(z,хQ(.x0,y)dy=у) dyР(.х,+у) dx,Х0гдег/о)Мо{хо,точкиМо(хо,причемРешить<д—A6)/у\Iду \х)—дув11———х'дифференциалах.областипроизводных,0,=этоестьвуравнениедиффе-полных9dQ—(у=——дх(У+Эх,зт),In-4-заданное1х——>~х-естьуравнениеурав-у).U(x,функциюПервыйвчастныхихточка.следовательно,выполнено,полныхНайдемиA6):дРуравнениечтоусловиеУсловиеу)(y3 +\nx)dy+убедившись,ПроверимQ(x,уравнение-dxпредварительнодифференциалах.лежатинтегрированияпутьификсированнаянекоторая—12.иу)Р(х,Уо)Примеру)А/(#,ифункцийнепрерывностиИнтегрируяспособ.хпопостоянномприуравенствополучимU(x,y)=Заметим,1п|ж|,смыслтаклишьПодставляяJприкакисходноепервообразнойхприA8)0.>вуравнениеравенство^~Г^Q(x,У)здесьмы1п:гсодержит=г/и,A8)ip{y).+xвычислениичтоОТ"имеем[-dx+ip{y)=y\nxпишемследовательно,lux,аимеетне§1-гоУравнения1.порядка291Ci-(Щоткуда4>(у)Положив,С\например,0,—общийВторойA8)изу)иA9)-?/.ylnx-f=заданногоинтегралимеетуравнениявидспособ:U(x,y)=Положим,+находимU(x,Следовательно,72/4=^(Jхонапример,1,—уоТогда0.=(у3 +1пж)Р(х,dy?/о)и+y\nx.-t/=0=>оРешитьдифференциальныечтоубедившись,убе-предварительноуравнения,уравнениямиявляютсяонивдифферен-полныхдифференциалах:10.96.Bх10.97.(Южу10.98.(Зг210.99.U+'10.100.у)+-dx+8у+бху+-j(х1)Jdx2^/2)-2у)+dyEх2+dx8х-(Зх2+0.=2,з3a?2+V-Аху-(x-—jdyda;+=+хуЧ-2уЗе~жdy3) dy+-=Зу2)O.10.101.10.102.Bж10.103.Bх-+dxуе~х)ех/у)dx++[V 1-=-У/0.) еж/^dy=0.0.dy=0.Гл.292cos22х10.104.уV8.Теоремао/(#>^хЛ+ре-/(х,=?/)удо-уравнения,у(хо)=?/о-у1уравненииDобластинекоторойограниченнуюо)усуществуетиDGпро-некоторомвединственноепритомудовлетворяющее=плос-частную(.то,точки0.—'Особыеу'дифференциальномобласти) dy—-У/этогорешениялюбойхохрешения.уравнениявуравнения,cosусловиюначальному?/о-=ГеометрическиDединственностинепрерывнадля^этого?у +cosусловиюэтойто0.=\о?/)вh—у(х)решениеэтооднапроходит/(*,=/(.т,xqинтервале(.т+начальномуу),dyчастногоЕслиимеетfy(x,производнуюх)отысканииКоши.2/) функцияиОхуплоскостиI с/х-—изаданномуТеорема2y)дифференциальногодляобудовлетворяющегох2 sin--I-x'задачаУЫу sin—КошиназываетсяBу+уравнениясуществованииЗадачейрешения.~у dxI sin10.105.Дифференциальные10.чтоозначает,толькоичерезкаждуюМточкуинтегральнаяоднаобластиу'уравнениякривая?/)•ТочкиD,областиКоши,задачинарушаетсякоторыхвособыминазываютсярешенияединственностьдифференциальноготочками=урав-уравнения.Решениеточкекоторого(интегральнаякривая)нарушаетсяединственностьособымназываетсяОсобоеуравнения.ОгибающаярешениемособойсемействаС)интегральнойвозможно,НайденнуюиНайтиединственноеимеет<Jчастнаяирешениеу)—xy/l^<авлюбом—/?'Д.г\производная\у\0,—являетсяеслионакоторойввявляетсядиффе-данноеегорешением.уравнениеху/l-у2решение./(х,Здесьподставитьчто=общимС)Щх,у,С)=0,следуету'какихпри\Ф>с(х,у,С)=0.функциюубедиться,область,ниурав-исключения,путемИЛИпутемобщегоопределяемыху,на-этогоуравненийдвухfуравнение13.находитсясистемы<р'с(х,С)такимПримеризФ(х,интеграломОнаСф,С),=дифференциальноекривых,общимкривой.изкаждойвКоши,кривой)полученоинтегральныхилипараметра=быть±оо).=у),задачиинтегральнойможетСи(/?(х,=уэтонерешение(включаяСзначениях/(х,—решения(особойрешениему1уравнения1.Следовательно,прямоугольникеу2у)функция,—-непрерывная/ч=данноеDограниченаприимеетуравнение=\у\ ^|х| ^приXV{(.г\у) \ \х\^1;МединственноеЛ/,\у\^а<l}.D>§ПримерНайтиЫ.1-гоУравнения1.особыерешенияу1<]общееегознаярешениеСоставимyОС,Исключаяпринайдемкакихsiu(xcos(х+, r|^w +уСледовательно,у1-х210.108.у'=1 +Найтиособыеуравнений,tgy.10.110.у'-10.111.у'-10.112.жу/210.107.у'-10.109.у'=у=у-(х-2у'2ху'-+уу;е.т.соответственнокоторые/(}/,-d£поИзB0)этихилиилипараметрическомвявномвидеу').B1)р=I I _д£\/(?у,dypобщеевиде.=■у1.УравнениядифференцируяуравненийсистемыполучимсоответственнонаходитсясистемB1)dpdxотноси-B0)параметрауравнения,у,илиdpлиборазрешимоввведенияилиПустьпроизводной.0—(xOxС2.+записываетсяf(*,p),d]_С.х+у'),алгебраическиехпоАСх.-2у')f(x,=путемв1.+видт.е.интегрируетсяпереходятХ-т/,имеет•г-B1)СJСJ-=F(x,аргумента,оноурав-указано).относительноразрешенныеуравнениефункции,относительноиу/х-у2.+это+(у0;=УB0)х2где-у2ху'+неискомойТогдадлядифференциальных(там,4ж>/у"=гТ;Уравнения,либорешенияхдифференциальноеотносительно>у-х210.113.особые--нирешениярешения.—У—.следующихрешениярешенияобщиезнаяу2.-±1—общегоединственностииуравнений:10.106.9.изуявляютсяочевидно,которые,получаютсясуществованиядифференциальных°1^2-±1,=С'\ ^ тг/2.+1:ГнеиС.областиC),С),+(л\хС),+функциидвезначенияхНайти==уравненияданногорешениями=sin=ууравненияуравненийсистему293порядкако-р).dfdpрешениеdpdy%уравненияГл.294Решить15.ПримерДифференциальные10.уравнениеу<3Введемпараметрру'.—этоу'2=ху'+-х.ТогдауДифференцируяуравненияР2+х(р-1).=равенствопоB2)ж,получимdp2р_+р_1+х_dpЛр=илиdp1dxЗапишемпоследнее2pформевуравнениеdxТ=х+общеерешение:dpЭтолинейноеегоуравнение,хПодставляя=B3)выражениевx'-fСер2р.-2{р+1).B2),формулуполучим1)-р*СистемапараметрическойвхПолагаяСер=р—иу1,B4)+общееопределяет-2(р+1),уСер{р-1)-р2+2.=уравнениеимеемрДифференцируемэторавенствопорили2.B4)решениеисходногоформе:Решить16.Пример<B3)соотношенийуравненияB3)dyу:pр2 dyО§Уравнения1.1-го295порядкиОтсюдаPlПодставляяобапоочередноС=ир2врезультатавыражениерешениеудляобщеенайдемя,С3Сх-=\1^у.=решениеикоторое,какубедиться,легкоРешитьдифференциальныеу=у'210.116.у=(у'10.118.х=у'310.120.х=2у'10.114.особым.являетсяЧастнымуравнения:+--4у'3.10.115.у=l)ey'.10.117.у=10.119.х=10.121.ж=у'+Inу'.-2.уравненийслучаемЛагранжауравнениеt>у'^,/2+х2.у'cosy'.+—У'B0)вида2ху'+——т.у'2называемоетакявляетсяB5)котороеприпараметравр=у'f(y')называютслучаеЛагранжауравненияЛагранжагдеролюбойУравнениеособыеособоекорнейизКлеро¥>(#)),f(p)уравненияобщееимеет=р.решение-Сх+B6)v(C)решениехявляющеесявидурешенияя/0?о)+=уикпара-+.тр=имеетУ—иВведениемвидуКлеро.уравненияУравнениекприводитсяувКлеро.уравнениемB5)уравнениеобщегослучает/'=огибающей=-^'(р),семействау-V(P)Pинтегральных+¥>(P),кривыхB6).Гл.296Такимобразом,системыдифференцирования),B6).решение(общегоуравненийдвухособоеполучаему1ПолагаяаС,егоСпоичесмыкоесразуСисключаяидифференци-результатаиткЛагранжаху'~=+у'.+р.найдемр,—рсимволомB7).уравнениеу<пу'символрешениярешениеРешить17.I римерследующееКлероДифференцируяуравнениивобщееполучаемизуравнениясформулироватьможноЗаменивправило.Дифференциальные10.уДифференцируяэтохр2-равенствопополучимх,-dpdp+-,ИЛИdx2pлинейноеподставляякотороеуравнениявобщееимеетуравнениевформулу\п\р\-р+Примерр\Решить18.0=ДанноеуравнениемКлеро.уравнениеИсключая,далее,имеетСледуя^2=ху'B5)практическомупараметррешениеисходного1п|р|-р)р2AJрешения1 уравнения—у0иу=р2—р.х=+\>-у'4.f(y')приправилу,Ссистемыиз0особоеивидуполучимрешениеуравнениеу<+особыеимееткорнямсоответствующиеобщееполучаем_(СУ"'уравнениетого,удляAJКромерешениеформе:параметрическойСр-р2'р-р2dpЭто1==Сх-С\х-4С\—у\получаемуравненийт.е.являетсяобщееураврешение1,§Решитьдифференциальные1у=10.124.у=ж/210.126.у=жу'10.128.у=1-го1I/'3-+—.-У'ху'е^.-Смешанные297порядкауравнения:/2,х-^Г-10.122.10.Уравнения1.у=Ю.125.у=-(ху110.127.у=ху'10.129.у=ху'+-#.+у' Ыу').4-у'4-+cosy'.у/у7.дифференциальныеназадачи2ху'Ю-123.1-гоуравненияпорядка.Определитьобщемдифференциальныхтипывидеsin./;3уe=и,2' -X10.130.уравнений1 +10.133.2у;A10.134.ydx10.135.(-10.136.ydx10.137.(х210.138.у'10.139.хA+ж2ху2-у2) dy-2х3у20.-2у/ху)(x-+у2+dy1) dy-x).4-sin<y+0.=dxхуarccos0.=10.143.10.144.у710.146.2ydx10.147.10.149.(яуе*/*(ху2Bх310.150.ху'4-у10.151.Зх10.148.+cos2y+tgху=4-х)=4-у-x1l)dx-у2—cosу2)dydxdx4-04-dx4-Bу3dyх2у)-у'(х-1)1=0.dy-=2х—У20.=у) dy=dy.y2lnx.2 4-у'0.=х2у)--0.=10.145.x2exly=(у2y dysinх.6х)-ху2)-x2(х10.142.(у24-4-l4^2x=v-.—1уравнения:х3.=хуJJy10.140..дифференциальныеу'(х10.141.0.=уРешитьху'+°-=+Зх-+-x-e2V)-жу-Bх+=х2)(ех+х2)-в2х210.131..у10.132.указатьрешения:ихметоды0.у dx=0.Гл.298у'10.152.10.155.(10.160*.A\пу'.—У\y'+dx(v/l1da;da:найти■-физическиеплощадикасательной)трапециисобщиеп,формулыподкасательнойt—сподвижнойstп^-.+кприводящиезадачахрешениюгеометрии,всвойствузаданномуеекаса-используютсятрапеции,ординатой),длинотрезковsnкоэффициент(площадьпределом=2rry'+0.=(угловойпеременнымопределенияиподнормалиу'250ограничивающейдляуеу.=dy.-Впроизводнойистолкованиеинтегралаиу3) dyпо2x.0.=порядка.Рис.геометрическоеdyуА)у1+жу)-укривойкриволинейнойsin—хузадачи,1-гоуравнениеилинормалиу-Зу2Bж+уравненийкасательной,cosх-Bхе^xидифференциальныхтребуетсяу2+у sin—0.10.163.2y3)-dy=10.159.-—Геометрические11.=sir(ж10.164*.sin^2.+-10.162.+У—х0.=у'а;х2е"^10.161.которыхdxcosdy)10.156.х/у2)+у\У-=sin+-у sin—.ту'хlny)dx+ху'=10.158*.у—+[\ху'10.153.ху10.157.уравнения=Bх10.154.Дифференциальные10.(рис.каса-криволинейнойатакжеследующиеt, нормаликасательной50):У.У'Sn=\УУ'\ко-§Примерменьше<3вподнормалиПустьу1-гоУравненияНайтикаждой19.есликоординат,1.кривой,уравнениееепроходящейу)М(.т,точке299порядканачалочерезподкасательнаявstкраз0,по-sn,f(x)=подкасательнойиstИспользуякривой.искомойуравнениеподнормали—мыsn,сразувыражениядифференциаль-получаемдифференциальное уравнение\УУ'\к=У1или(у1?Интегрируяэтоуравнениеуравненияискомыеполучимпрямые).1),уравнениелюбогодляограниченной<Найти20.если=х•произведенияСогласноусловиюплощадьэтойдугойкривой,М(х,точкикоординатпроходящейкриволинейнойкривой,[1, х]отрезкасоответствующейудвоенного±vfc=у@)условиеD>ПримерA,начальноеучитываяиу(двек.=точкучерезтрапеции,2 большенау) кривой(худвоен-0,>>у0).имеемзадачиXJy(t)dtfДифференцируя(нениеэтоу2(у=+Интегрируя^этодемдифференциальноеполучаемх,урав-илииуравнениеискомойуравнениепоравенствоху1),2ху(х).=начальноеучитываяуA)условиекривой:=1,най-1Найти10.165.(\/2,0),еслипроизведению10.166.A,2),еепроходящейкасательнойеедлинчерезточкуподкасательнойиравнакасания.точкиНайтиесликривой,уравнениесуммакоординатпроходящейкривой,уравнениеподкасательнаявдвоебольшечерезабсциссыточкука-точкикасания.Найти10.167.A/2,—1),есликасательной,равнаНайти10.168.нормалипостояннаотрезкаполуосиабсциссыквадратууравненияипроходящейабсцисс,кривой,уравнениедлинаа.точкуеекасания.точкикривых,равначерезотсекаемогоукоторыхдлинаотрезкака-Гл.300Найти10.169.постояннуюуравненияНайти10.170.2),дугойэтойA,1/2),есликриволинейнойкривой,точки(ограничиться0),НайтиабсциссыточкиНайти10Л74.есликоординат,кубуравнаНайтиполярнымикасательнойA,1),Найтиесли1),осиординат,10.178.0),@,1),Найтиесликасательной10.181.A,точкирасстояния2),точкиначалаточкунапроходящейОхабсцисс,удвоенномукасания.ика-на1.равначерезкасанияравноточкиточкучерезосьюточки3/2.равнапостояннакривой,доточкуосямиипроходящейкасания,осьюко-кривойчерезпостояннаабсциссысначалоточкикасательной,образуемогоуравнениекоординатлюбойпроходящейкасания,точкинормалиотка-х.—кривой,произведениепересеченияточкуеечерезчерезоткривой,образованнойтреугольника,радиус-векторомНайтиесливе-касательнойеепроходящейнормали2у2уравнениеплощадьимеждучерезлюбойотсекаемогопроходящейеепараболеординатойиеепостояннаяпроходящейкривой,уравнениетрапеции,площадь10.180.уголлюбойотрезканаНайтикоординатсточкуаестькривой,уравнениеле?китесли0,касанияотсекаемогосередина10.179.черезеслиподнормали.НайтиОхосирав-касательной.этойотрезка,еслиу>абсцисс,уравнениедлинаравнакоординат,криволинейнойкривой,проходящей=кривой,осидлинеНайтиесликривой,2,точкиотрезкаравна10.177.C,=уравнениедлинакасательной,A,гэтойдугойко-началочерезплощадьa.=10.176.точкунормалью,дуги,уравнениеtgc*[а, х]точкикоординатамиирадиус-векторомвеличина:черезеепроходящейотрезкаконцевой10.175.отсекаемогосоответствующейординатыкасанияточкикасания.ограниченнойтрапеции,проходящейабсцисс,кривой,уравнениелюбогодляточкуабсциссы0).Укривой,оси2насуммедо>—точкучерезравнакоординатслучаяуравнениеотрезкадлинаесли2 большенаначаларассмотрением10.173.A,отточкедудуги.ординате.кпроходящейкривой,расстоянияиточкилюбойвточкучерезограниченнойсоответствующейпроходящейчерезплощадькриволинейнойэтойдугойкривой,концевойхуравнениекасания[1, х]соответствующейподкасательнаяеслидлиныкривой,абсциссыНайти3),большеотрезкаограниченнойотношения@,трапеции,разауравнениелюбогодля10.172.додвавНайтитрапеции,большепроходящейкривой,уравнениееслиимеетподнормальу которыхкривых,площадь10.171.уравненияа.длину@,Дифференциальные10.точкуабсциссуквадрату§Найти10.182.Уравнения1.гкривой,этойполярнымрадиусом,ОртогональнымиS\семействаупересекаюткоторые<НайдемизсистемыНайти21.у'общийНайтисемействауравнениесемейства10.183.ау210.185.х2ортого------.—(эллипсов).траекторийортогональныхсемействданныхтраекториих:К=2у2-а2.=частоприближенныепроизводнойрастворенного>кривыхскоростипротеканиямомент<времени0 приАхx(t)tAt>0—0времени(т.е.соответствуетрастворкметодомсоставлениядиф-физическогокаждуюсмыслаАраствораперемешивания.посленачалапутемминутвAtt +началу«обедняется»).(Мвещества,по-резервуар^TV),причеммассуНайтипроцесса.резервуаре(времякгвминутулитроввеществамассумоментвзазаменаотбрасываниюсводитсясодержитсяЗатемNТвеличинпроцесса.вытекаетчерез—делокоторомуТакаяиспользованиедостигаетсярастворарезервуаречерезпоприращениямикакфизи-впорядкадифференциалами.Другимводы.иводылитров+малымипервоначальнорезервуарелитрахВ1-годифференциалов,порядков.являетсяВвхае2х.ихуравнений22.ПримерОбозначим=таквысшихкакчерезууравненийрезультатах,дифференциальныхв10.186.междунавеществаах2.междумалыхМ=методсоотношенияотражаетсяпоступаетоднородностьуприменяетсясоотношениямибесконечно10.184.дифференциальныхсоставлениизадачахзаменяютсяАх3а.т2.=ДифференциальноеортогональныеПри<апараметр):—физическихиисключаяестьуравнениемнесемейства,интегралявляется(акубиче-ах3,-УЕгокото-семействаданногоуравнениеЗу/х.=S-2 линий,углом.прямымтраекторииу'траекторийиодортогональныеуортогональныхсемей-семействодругоедифференциальноеуравненийПолучимрадиуса.ах3.=•упеременнымоднопараметрическогосемействапо-сектора,поляр-полярногодляназываетсяпервоголинииПримерпараболкубическиха)Ф(:г,—сточкуплощадьикубатраекториямилинийеслиосьюменьшеразчерезтг/2,=полярнойшестьвпроходящей</?7Т,—301порядкакривой,уравнениекоординатамиполярнымиограниченного1-говмоментпроцесса).tвремениизмеряетсявЗаметим,минутах,чтоГл.302V(t)Пусть10,Дифференциальныеобъем—Забесконечноизменяетсяприближенное=BвмалыйотрезокмалуюMt-Nt.+моментвеществабесконечнонаt:моментвсмесиV(t)Концентрацияуравнениявремени[£,временивеличинуДа:,t равняется,t -f At]x/V.очевидно,веществамассакоторойдляиз-справедливоравенствоNxЗаменяяАхприращениядифференциальноеAtиNxdИнтегрируяМуравнениетоЛГ,>dxдифференциаламиdt,идиф-получаемуравнение:разделяющимисясобщеенайдемdtпеременнымисчитаяирешение:Пx(t)Используя=начальноеПолагаяtМ=NтребуетизависимостьТоиаравнаи10.189*.жидкости,заот10.195).задачуНьютона).(закон£,времени>разностипропорциональнасредыеслиНайтидонагретоетело,температурапомещение,скольковременидо10минпервыеЗамедляющее25°С,посто-котороготелотренияугловойскоростискоростиотнагретогопомещенияохладилосьдействиеугловойтела,температуратемператураеслипропорциональноэтойрешение:градусам.понизится20°Счастное(см.телаТвЧерез100°С,зависимостьокружающейвнесено10.188.0, найдем=рассмотренияеготемпературыградусов,постояннавотдельногоохлаждениятелатемпературtприА=Скорость10.187.А=ответ:получимх^СлучайхусловиеТ,=-времени,до60°С?надиск,вращающийсявращения.еслидоравнаизвестно,Найтичто§начавшийдиск,будет0,44Черезрадия?Скоростьмг.количества10.191*.водым/с2).10За2Rдиаметром10.192*.света2найти,какаясопротивленияНачальнаяКогдаскоростьтолщинойПолагаясилуВизбактойснегожеНекотороеЕсли9,7погначалеб)1%лишь10.197*.воздух,В0,12%часов,вуглекислотычерез10минработывпроцесса800м3со-воздухсвежийвоз-15ООм/мин.скоростьюпонайтиивеществавещества?10сочасаначалаисходногораспределяетсяначаламассудоставляютуглекислоты,послевеществовеще-послевместимостьювремени,час?черездругоеодногоа)Вентиляторымоментбакеистечениимассыкгвытекаетнепреобразованноговременицехастену.10достигаетсявопределить:первоначальнойкаждыйл/мин,впоПоско-смесьирастворагсколькоуглекислотачторавномернотом/с.черезпулимассе0,04%содержащийпробивает100содержащегоостанется31,4лодкаквадрату5солиестьпомещении400м/с,—раствора,л1м/с.пройдетскоростьпреобразуетсячерезНачаль-секундыпутьvqскоростьюуглекислоты.Предполагая,КакойОднородностьтрехпроцесса;останетсясодержитсопервогоистечении4прохождениявеществомассасопротилодки.имеяпропорциональнойскоростью,вещества.действиемпропорциональнойСколько10.196.см/с?потока,м.черезскоростьюскоростью.перемешивания.путем12ее100водыслоясветовогоподвремяводаче-падающегопрохождениивылетает,инаходитсявливаетсявпрохождениискоростинайтибакеотверстиечерезмприглубиныстеныпули,В10.195.соли.смсопротивлениядвиженияскорости1,5движениесо20=(принятьцилиндрическогопервоначальногоскорость1додвигаясь/из—придом/с,1,5Пуля,стену1/3уменьшитсяостановки?10.194*.водапропорциональнолодкиуровняколичествусвоекотороескоростьНчтозамедляетводы,высотойдойдетегочастьЛодка10.193.сопоглощаетсямвсяотвер-высота—паденияпоглощаемогоЗная,слоя.толщинойвытечетмалоечерезhгдепропорциональноводы,толщинесосудасвободногосвета,слойиираспадаимеющегосям?0,05—Количествотонкийчерезвремя1м—2тизO,6\/2g7i,ускорение—какоедиаметромднедоgрадияполовинаводы=онналичномуграммараспадетсяистеченияотверстием,двухвременипропорциональналетvистечениисколькокаждогоизформулойнад=годасколькоопределяетсяотверстиеgбакатечениепоЧерезрадияраспадаВоб/с,5Зоб/с.об/с?1скоростьколичеству.303порядкаскоростьюскоростьюугловуюСкорость10.190.распадаетсясосоиметьего1-говращатьсявращаетсяминутУравнения1.объемнуювентиляторов.помещениюравдолюугле-Гл.304Сила10.198.LтокацепивгинапряжениемиДифференциальные10.с£при§(L,£7,Л,Основныеu.=£,времении;постоянные).—еслииБоши.ТеоремаимеетEsinut=гивысшихуравненияпонятия.порядкаRi+моментвиндуктивностьюуравнениюДифференциальные2.1.n-гогтокасилу0=Л,сопротивлениемудовлетворяетL-}-atНайтиуравнения0=порядковДифференциальноеуравнениевидF(x,y,y',y",.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
