2 часть (1081353), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

.,y^)=OA)ИЛИyin)ЗадачейКошизадачаотысканияначальнымf(x,y,y',. .,y^^).=длядифференциальногорешения(я),уB)B)уравненияназываетсязаданнымудовлетворяющегоначаль-условиямуЫОбщимуравненияCi,C2,. .,Сп. .,Сп),является=называетсясC)функциятакаязначенияхпараурав-дифференциальногоC)условиямиуравнений:системыизу{оп~1}.допустимыхэтогоКошиопределяемыеB)илилюбыхприрешениемзадачиСп,. .,у{п-1}Ы..A)котораялюбойдляиCi,Ci,у'0,=уравнениярешением(^(ж,у =параметрову'(хо)уо,=найдутсяпостоянные,С„),и..УравнениеФ(а?,у,Сьобщееопределяющееинтеграломтаково,изменениячастныекакрешениеТеоремаочтофункциясвоихпроизводныефункцию,дифференциальноеЕсли/(ж,у)у',у^п~1^). .,—.ду-г—?оу'•••»тп—7Т5ду\п~~1'Dнепрерывныеимееттота-областинекоторойире-B)уравнениевнепрерывнааргументовобщимназываетсяединственностиисуществованииКоши.задачиD)0,=неявнуюуравнения.дифференциальногорешения,С„)..длялюбойточки§Дифференциальные2.высшихуравненияД(Г>порядков~(.то,2/о,<<:г2/сь^о•+этогорешение•/г,Имеем:<DGтакойсуществуетсуществуеткоторомкаПоказать,1.функцияухцуравнения<реше-C).условиямС\еС2Х,уу"—h—единственноеначальнымчтодифференциальногорешениеминтервалпритомиудовлетворяющееуравнения,Примерется)2/п•»С2С\,Е,Сквля?/~.=1Подставиввыраженияу1у)Сгес>хСледовательно,ПримеррешенияНайти2.уравнение,{C\C2ec*xJ.=С\еС2Х=естьобластьтождествополучимрешениеданногоединственностиисуществования[>у1>авнения,реше-уравнения/v<ьФункция^<]/(ж,непрерывныу,)^v¥=фу10;>частнаяdfпроизводнаячастнаяdfду1производнаяV?=—у-~-т=—2х^/у(0.>имеетуравнениеданное0.ееиу'0,ф 0,хприСледовательно,ф 0, у' >/ч2/хпринепрерывнахуданноевdClec*£-функцияу"иединственноерешениепри>Найтиобласть10.199.у11единственностиисуществованиярешенияурав-уравнений:Показать,yjx14-х=чтоданныеу1=любыхприу'.In.действительныхопределяютпараметровнихвдифференциальныхсоответствующиху"10.200.выражениявходящихзначенияху'.-со-решенияуравнений:X'-10.201.у=х10.202.у=х210.203.е*10.204.Ciydt++cos.tС\х+С2\ху"жу//;==sin.т.оsin2-Показать,решениямичтоInж(С^sin(Cia;у=10.206.у-+С2.т+уу"С2)\1 +y2+yf2у12=С3;+2СХ2;=+;ех;Ci*2С2)функциидифференциальныхданныесоответствующих10.205.+у"=+1еу.-у'2.частнымиявляютсяуравнений:=2yy".2уу".2.решения-Гл.306Путемсемействуса),+понижениеR.радиусаАгдепараллельнойосью,иaпараметры.—Оу.осипонижениедопускающиеНижепорядка.уравненийn-гоприводятсядопускаю-порядка,порядка.а) Уравнениеу^видап-кратногоуC\xn~']—f(x).—интегрированияPn-i(x)где(о:дифференциальныхвидыте\гЛ sin—Оу.осипараллельныхпостоянногоУравнения,2.некоторыенеплоскости,надифференциальныевывестилиний:следующихПрямыхОкружностейСинусоидПарабол10.207.10.208.10.209.10.210.уравненияпараметровисключенияуравнениядопускающихДифференциальные10.C'2Xn~2-fОбщее=+••./dx+Cn-\xрешение/получаетсяпу-/ f(x)dx~\-dx..C;i,-f-Pn_i(.x),или(формулепоxУПример=j-~YyНайти3.f(t)(xО"-общееdtрешение(x).Pn_,+у"уравнения=и——cos2частноеначальнымудовлетворяющеерешение,условиям(уегох/тг\In1—=2-—,»■Интегрируя<3первыйдаетгрированлеПодставивутеперьполученноевполучаемраз,In—--| cos.xjCix-fобщее'у1=4-С2.производнойхизначенияб)не/;(,r)=ip(x,6\,полученного4.НайтиТогданеуравнениеeг,р1ЧН1м*^тсодержитрешениеуравненияшгт,х",ф---dxи-fт/'.2x'ч?>~1,илиПредполорешениеполучаетсяпу-Cn-k)-.

.,-f-=у11Положимурав-общее'^'(l)-,порядка0.=x4yin—Опорядоку(х)С\,tp(x,xj.уравнения,р(х)найтифункцииvт.е./ "-*)). .,2/(Д)jcosдофункцияусловиямчаст-In—0,—можемискомаячастноеначальнымр',р,==у^мыинтегрированияудовлетворяющееДанноеF(x,уравнениянайдемпроизводныхзаменыединиц:системусистему,искомомууу(п))еепервойполучимэтувидипомощью1.-=Решив. .,j ciueiine.длясоответствующиеу^к\функцииС,,_/,.)...АжратногоПример<1кнадля0,-F(x,Свключительно.чтоС2.иинте-общеевыражениег/'имеетвидапонижаетсяжпм,С*2иискомойявнови~о—следовательно,Уравнения1—0—которое,содержащиеуравненияпутемС\решению,С\неизвестнымиспараметровчастному;/у~Повторноеестьи!м2соответственнои--уравненийдвухк-=ЭторешениетгСь-ftg:r=—dpdx2х3у"?у/;A)-,-\—р==-—,ах21——.и1-~dj)у/;/тогдар,1,=г4_Эю§Дифференциальные2.линейноепервогоуравнениеИспользуяначальноеу"у'A)1/2==уизаусловиячастноеестьрешениев) УравненияI4-pттПоложимиdij2у'общийр(у),=укподобныеилиу',уПоложивС)^здесьС-$Итак,1.гипербола).0,=—не>явносодержащиеу"р(г/),у'"р—,=—Сокративна=dpС\=прежнееиdpdy=у=наdp\(Р+P~r\«2/УЗу"—ар9единицу.J-ОгдаТТ-dy20.=уравне-р2 (приэтомрешениетеряеммыг»2dyzd2pz,dz-—гz—dyzуэтом—~С*2,4-zили=придем2z2к=всоставпотеря——Cip2.1_—рGiу 4-Интегрируяпоследнееdx_,С2,или—dy=рzzCiпри2dpнаходим—решениякоторогоdzполучимуравнению0.такжерешение),ln|Ci|,,dpвозможнаС\х—потерянное=у1 ууравнения..dyнаполучим(приzпонижаетсяуравненияpz^- dplnp2у^).

.,у'——получаем=(равносторонняя—2хсокративи-р0.видучлены—р—,=*т.е.—интеграл\преобразуется0,1=порядокт.д.Найти5.Приведярраз,чго'"х1=условиеещеследус-г.1Подстановкой—7,Пример—С\2dp—\dyjниех6НачальноеИнтегрируяi/2F(y,переменной.IZiX0.=Н—-.—-получаемС-2.4-——/;(])увиданезависимой<3'=1,——=р"искомоеpСзопределитьрешениерA)у1307порядковобщее=откуда-,XСз,4-2ху"A)=позволяет——Егопорядка.условиеСледовательно,высшихуравнения0,==0—dp=0,входитиInоткудауравнение,z—Гл.308Окончательно=С2,себепонижея2)?/,4-Iй)у9чA4-и,окончательно,(AхА А,——4Ci=4-x2)yf)4-4-—--,у'ПоложимСокращая=0,ty\ty,наdzилиyz—=у2 (при=0,Интенаединицуотфункции>0,=tkF(x,у\у,этомполучаетсяz1)-4z1)xy2z2хуу"г/z=C\x.Таккак0.ху!уу!—0.—принимаетвид0.=уфединицу.—уравнениеи-1нарешениеzyW),. .,уравненияy(z2чтотакое,понижаетсярешение4относи-однородноет.е.уравненияxy2{z2С2,4производных,—получаемоarctgxу^)-пере-Следовательно,решение..

.,можноуравнение,ах.г-Ci4-жу',у"хинтегрированиемж2)4A4Тогдаоткудапот.е.Ci4-—;*общееyz.dxкоторогоОтсюда.х4,порядокНайти—)tyW). .,'—,—у,ееи7.полнаяу^п~^)...производнаяобщееF(x,у'такиехЛ4-естьифункцииПример<ш/—ж3=д) УравнениеПодстановкой(или4ЭтоF(x,полная—Ci—~-—.относительнот.е.Оуравненияфункцииот—угдерешениеестьправаятак:писатьобщееуравненияаФ 0).уравнения.Найти6.частьС\как?/',у,порядокуравнение,0,представленаС?(ж,=последняяпри=С\гдечтоу^11^)бытьСз,4-(только.

.,функцииновоеисходногопорядкаПримеру',можетчастьС24-у,С2у4-Заметим,С\х——-G(x>леваяполучимх,ЛеваяунекоторойотхС\у2—парабол.решенияикоторыхпохсемействовидавуравненияинтегралт.е.вуравнения,A~Cf2,—УравненияпроизводнаяИнтегрируя<общийсодержитг)ДифференциальныеполучимQзапись10.0),—z—xz1находим—z—i/—,топриходимк§Дифференциальные2.у1уравнениюилиучтоприС<±ес'хХС-2=ВтонайтислучаяхЗаметим,0,=былокоторое>решениеявнойвидевудаетсяоднакоПримерилиу2.у|C21,Ь In—решение.решениеинасокращении=общееестьисодержитсях2C\\w\y\откудаэто—309порядковфунк-неявнойилирешениеполучитьпараметриче-вформе.параметрической<3С] /2)=записипринекоторыхзатруднительно,функцииC\xdx,=—С]этойвпотерянонамиили(где0—dvС\ху,=высшихуравненияу'Положимdx—Aвобщееу"р,=21np)dp,рA+dyнаходимполучаемНайти8.ахжоткуда2Inp)+—2р+-роткудауCi,2/=видахСь/У2 lnp+Сг-+C2.1.=A -\-2lnp)—In р +у1)In+21,=•Такdyкакpdx,—Общеерешениевиде:параметрическомРешитьпримет=dp,у"AуравненияУравнение—.—ж=р(-1понижениярешение21пр)++дифференциальные=p2lnpуравнения,>по-методыиспользуяпорядка:10.211.у"10.213.yIV10.215.—^-77.1 4- .т2=--.10.212.у/;10.214.ху'"10.216.10.218.у;/ху1110.220.уу"х.т2у"у'2.='10.217.у"10.219.2уу;/10.221.у/;у'tgx+у'2.1 +-2ху'2+sin2x-.=0.-ху"10.222.-х=-sinrr.2.т+2уу'у1--0.=етж2.у'2.-sinх-у'In-.ху"10.225.A10.227.у'"=2(у"10.229.у/;/-у.10.231.у"10.233.уу/;10.235.у" tgy10.237.ху'"10.239.у"-ж2)у"-=-20.=1) ctg-.т.~.у/У+у--+=ху'+у"у'22у/2.~У=^.х10.=х-110.234.х=0.ж2у;-110.224.ж3у"+10.226.A10.228.х2ут10.230.Bу10.232.у3у;/+12уу'Inууу"-0.=—/10.223.3.=у'3+у'+ех)у"+1)у;/10.236.(у10.238.уу"10.240.1?-1р-у11+0.-у.у')у"-у;+=+0.=у'2у'2.=0.=--у'22у'2.=х.==\х2.0.Гл.31010.242.х2уу"ху'(ууп10.243.хуу"Найтичастные10.241*.Дифференциальные10.(у -ху'J.=у'2)-ху'2+10.245.у"10.246.у'"10.247.у"у@)10.249.А^Ij;у'10.255.Найтиу"+=+уНайти2у')у"10.259.B+у')еУу"Найти10.261.вкоординат,<хлюбойIIу'@)=1.J,=I I1■■у'(-1)2.=Л—у'@)1.=уу'у"уравненияпрямойкоординат1)+хиукасающуюсядифференциальных+—1=0,этойву'—0.=уу"+у'уравнениякривуюМо(О,0,5.==кривуюначале0.=у'B)у@)0,=у'@)1,2,-у'2точкойточкепря-уравненийвдвоеточкевогнутаточкойвверх;(Зуб)б)ву3+-=0.у/2=пара-которых0.абсциссоситочкевравнакривизнырадиусзаключенногомеждувниз.радиусу которыхдлиныотрезкаабсцисс,есливниз.кривизнызаключенногонормали,известно,вcosxкривая:кривых,вогнута-нормали,вогнутаосью2у'у"2у')у"-касающейсялюбойкривизнаеслиуравнениябольшеи10.260.отрезкаабсцисс,вверх;Найтиукривых,длинеосью10.258.кривой,ееуравненияравенвогнутаэтой1.=<тг/2).'илюбой1.=еслиточкеа)О=уравнениеНайти10.262.между=y(-l)0,I'■■-у@)решения+10.263*.4.форме:(ха)'уB)-1.10.257.этой111у2,точкуобщиеначалев2.1.==интегральнуюпараметрической(-тг/2=у@)у'@)интегральную—=у2=у2+черезху'B)0,=0,=0/1у'22.ту'2,-Найтипроходящуюпрямой1y'2smy-y'+касающуюся,у"A)1,=0,=+у@)в10.256.у'2+i +10.254.10.253.у'A)0,уB)У__________уу"уу"2уу/;0.=/_—_.10.252.удо-2иIуравнений,у'@)1,='—,+=10.250.4у2.=условиям:=уA)/У-=Зу'2-дифференциальных^,=2уу"10.244.начальнымхех,=х4у3.=2уг/.решенияA + х2)у"е2*',у"y"cosy10.248.Iуу12-=заданнымудовлетворяющиеуравнениячтокривая:§2.ДифференциальныеНайти10.264.ссилыРасположитьнитьсилы10.265.положениичтобытак,H/qg.=Гибкаялинейнаясилынитигоризонтальную10.266.равнаформунити,проекцияРасположитьнитькоординатчтобытак,имелаи0),поло-в(горизонтальнаяqconst).—началочерезпроходиланейвгоризон-касательную.ТеломассысилыF.постояннойимНнитипропорциональномуНайтисечения.поперечногоплотностьнатяжениякриваянатяжению,ее(а,нитьнерастяжимаяподвергаетсяРаспо-точкойс(го-qconst).—совпадалаоднороднаядей-равна/нитикривойнитиподнитинатяжениятяжелаяплощадиеслиплотностьвершинаравновесияпеременнойнерастялшмойравновесиивлинейнаяпроекцияаоднороднойесли311порядковнаходящуюсятяжести,(горизонтальнаягдегибкойформуконцами,закрепленнымидействиемвыешихуравненияфункциикакпутьравныеслисредысопротивлениепройденныйиначальныйвдействиемподтеладвиженияскоростьвремени,анулю,прямолинейнодвижетсятНайтимоментобаонипропорциональноквадратускорости.10.267*.Мячмячаскорости10.268.>массыскоростьюпропорциональнымкмячаскоростьТелоиквадрату0),вернется10.269*.МячВычислитьсопротивлениемяча(коэффициентН0,0048точкимассыприкдействиемподтПринятьgпрямолинейногозаконкубуточкикпокоеккубу>массы0).>т0).отНайтисостоянияпокоя,когдаОпределитьвремя,позаконточкаистеченииВрасстояниехо-прямолинейнособратносилой,еслиоткоторогомомент(коэффициентдвижения,отстоитначальныйдвижетсяцентрацентраточкапро-центранаеепритягивающемурасстоянияобратнонеподвижногодоцентраотточкацентру,пропорциональностиотстоитиМатериальнаянеподвижномуматериальнойсилы,отравно10м/с2.=отталкивающейрасстояниявскоростионопричемдвиженияпропорциональностинаходитсяпропорциональнойсквадрату0),>м/с.20подъема,высотук1м/с.скорости(коэффициент10.271.наибольшуювертела.спускаскоростьюпропорциональновоздухаоноисовверхипропорциональностипропорциональнойточкаброшенкоторойсподъемавремямячаначаль-пропорциональностискорость,итакжегподъемаНайти10.270.400массывремяеслиаспропорциональ-(коэффициентположение,исходноев10м/с2.—вверхвоздухателаско-времяgвертикальноподъеманачальнойВычислитьПринятьпадения.телавысотум/с.1сопротивлениескоростинайтибезмквадратускоростиподнимаетсяПолагая16,7высотыспропорциональноконцевтvq.падаетгвоздухаН при0,0048равноипаденияначальной400массыСопротивлениескорости.ононадостигнетпропропор-начинаетсярасстояниеxq.центра.Гл.312Ракета10.272.отдачиототзависимостигазов.законупотоплива).постояннаравнаиравнаНайтинулю.еслитсопротивлениечастныйнаслучая,щпри2000м/с—тaОпределить,10.273.тело,ЗемлейпропорциональнымеслиначальныйврасстояниемоментотегоУскорениепостоянно10.274*.равнод.находящееся60,27R3=Землюнападаетускорением,центраопределить,обратноЗемли.R3106Определить6,377=онеслипринимаетсяЗемли.центрасвободноготочки0Ох10.277*.АточканаЗемле6377—со-изускорениерасстоянияегоR3Зем-оударяетсяквадратуприотускорениекм,Нав0Найтиv)>так,траекто-моментакоординат,концамилежащаяраспределеннойизогнутойравномерноуравнениевыбрав(ииА.времениМточкана—началокоординатнаопорах,двухин-нагрузкибалкиосивееисерединемак-ненагру-балки.женной10.278*.Балкасилой/,длиныF,приложеннойпо-движетсяцели.от/,длиныскоростьюточкуначальныйвначалесОхуплоскостипостояннойесли>движетсянаправлении(цель).впрогиб,максимальныйопре-ПринятьрасстояниякЗемлипогони),действиемНайтиq.интенсивностиметеорнаправленнаходиласьБалкаподнаходитсякоторойдвижениисaрасстоянияЗемлю.наупадетбольшогоАвсегдарасстоянииегом/с2.точка(кривуютяжестисилыатмосферы,положительномвvскоростиМвекторизгибаетсяОуосисЗемлиЗемли),додействиемподоно9,8—(преследователь)МосиgЛуным/с2.9,8=расстояниинаотсопротивлениемскорость,снеограниченноеслиегоприпропорциональнымПринятьрадиусскоростьюточка—обратноПопостояннойтраекториюtиgатмосферыЗемлицентрарасстояниюрасстоя-поверхностиквадратувремениними),анулю,напокояПренебрегаяускорением,Сопротивлениемпропорциональнымпадения10.276.чтопадаетпокоясостояниясостояниям,•10.275.Землю,отсколькочерезравнасЗемлюмеждупадениясоответствуетизсот(что(с50инаНьютонаН.см/с2.упадеттела30с,9,8=расстояниясвободногоТело,ихлЗемлицентрапренебречь.10череззаконуквадратускоростьравноэтогодлявременипотакжевычислитьидскольковремени,Рассмотретьerf),Положитьчерезпритягиваемоеобратнос.Землифункциюракета0,01=посто-у поверхностиучитывается.—сго-газовкакподнимаетсяи(законconst=ракетышоA=высотукакуюmoракетынекогдазависимо-вистеченияскоростьвоздухаслучай,гдеподъемасилыизменяетсяскоростьвысотудействиемподвверхракетытоу>(£),=ОтносительнаяНачальнаящ.уравнениявертикальноМассадвижетсяистечениявременисгоранияДифференциальные10.заделаннаяконцомправымклевомуконцу,виравномерностену,§2.Дифференциальныенагрузкойраспределеннойизогнутой10.279*.действиемподинтенсивностиБалкаКаковаq.бытьЛинейныеaiWy^"^++однороднымлинейнымназываетсяЕслипорядка.E),уравнениятолинейномуПоэтому,пНайти9.Примеробщее(х2убедившисьТак<у'{{х)у[{х)>х=у[{х)какв1,—действительноу'найдем0,убеждаемсяего=уравнение.xz'+л/"z,Получим(<rxz"=1 ^(ту-j—2z;-j—9у=гг;,водноу\{х),'y^у\{х)функцияПоложимвыра?кения-j—частныхвыражениячтотом,подставимОт/туегоизрешением.иiестьподставивто,частным+одно-и(х).0,=x==являетсяявнолинейноеполучим2у+yi(x)уравнение,ксодержащемунефункции2ху'-у"{х)аu(x),=урав-уравнениеуравненияфункцияданноеz(x),относительноl)i/"у\(х)этоприводитрешение+чтотом,врешений.1—E)0уравнениемy\(x)z(x)z'(x)полагая-решениефункциипорядкауравнениеконцеan(x)y+частное=балкибалкиконцудифференциальнымотносительнофункцию.этуу(х)подстановкаинтенсивно-видаan^(x)yf+какое-либоизвестноуравнениюоднородноеУравнение..изгибаетсяконцомкуравнения.однородныеуравнениенагрузкиправомувправомпрогибнулю?yWn-голевымприложеннаячтобыF,силавверхравен3.заделаннымсраспределеннойдолжнадействующаябыл/длиныравномерноНайтиq.прогиб.максимальныйееи313порядковинтенсивностибалкиосивысшихуравнения-j—уу,Оту—?/'иоилиТеперь,z1полагаяотносительногг,=^/;уравнениюкпервогопорядкаи:х(х2Этоуравнениеимеетвидсоткуда,относительноприходимучитывая+1)?/=2и0.=Егопеременными.разделяющимисяи+z;,получаемпервогоуравнениеz:dz=Ci(l+-^^dx.общеепорядка==решениеотноси-жг,2/;/вГл.314ИнтегрируяДифференциальные10.последнеекакунаходимуравнение,тоxz,—уравненияокончательноzобщееполучаем[XT*/С\=I -fхC2,аисходногорешениетакурав-уравненияИзложенныйпутемДоказать10.280.еслитеорему:однородногоУ2{х)функцияэтогоестьУ\{х)=аобщееегоехфункцияНайтичастноеНайтиобщеееслифункциях10.285.Найтиобщее2у0,1/х.=егорешениежехотяу\(ж),бые~•*6у'+р^х'dx)■9—5у=0,если—Зу=0,еслиху"2г/++ху0,—A—х2)у"—2ху'+2у—решение.x3yftlуравненияегодвачастных+5х2у"решения{вронскианом)+у\2ху'—иу\(х),функцийсистемы—хопределительтоееводнойу2(ж),у" ~2у'уравнениярешение2/2(^*)?yi(x),равенвронскианточке•..,(х)2/2функцийЬ),уравнениячастноеегоестьназываетсясистема(а,торешением\G<i+0,—решение.Vi(x)Еслиq{x)yявляетсяуравненияВронскогоуп(х)интервалетоже(х)?/'частноеизвестныеслиОпределителем.

Характеристики

Список файлов книги