2 часть (1081353), страница 10
Текст из файла (страница 10)
.256.-dx.x2-'dx..Vx2(ж++x1-AJА7.263.A7.265.AуЖ~---x2Kdx.2х2~1da;.IJ+С.>142Гл.7.Интегральноеf7.266.функцийисчисление2+dx.I7.267.7.268.7.269.§Смешанные3.НайтизадачиУнапеременнойодной*cte.2/ v/vv (o;2IK '-t e.интегрированиеинтегралы:7.270.ж23х++2жcte.4+7.271.7 2737.272.7/J-<*с.-5ж2х—1—dXI(х3IJ~7.274.I7ж\/бУ7 .278.7, .280.7 .282.111/х\/ж7 .281.+/9)л/16**7.286.f-^—dx.,/ l-Л.v^-^+1—7.285.7.287.smжC0SX«fa.A-sinzLУ/"—^3-4si8x4+4 siir7.289.Г.291.ж-do:7.283.j/Г.290.У7.279./VS/У/dxI41пж-1п2х+7.284.7.288.(XtjU«АУ4Kf-±-J\±VУ A+жJ/"7У//xdx-1cosx2 +cos2-^/tgxCOS2xX1-dx.§3.Смешанные/cpr»secxtgxV5Г.294.fryrp^7.293.жsm7.296.cos0x7.295...,а:Г*ПЧГУ7.302.J/^.f.304./cos6-«,«77.312.7/dx/sh27.305.dxe2x.307.4ex+1 +v7]"^2VCtж2g0XAЖVl-i2^(H-Ins)JI xe~x2dx.7.313.dx.-a*№v/i^7JУbxJIda:.dx.ex/x(lda;.г-*-dx/"arcsine1/dx.a:(In ж)/xxsin2/_„,7.311.dx.3:ж)|++.,da:..+/ж21 +^a:27.317.+f *(ax.309./"arcsinxfx\/x2v/1X/ln(|Ji/.303.7.316.ch2+x+СПIcte.a;xsisninxa;cos2:rchfearcsinida.308.dx.5+a;xxe2xdx./exТsinfth5xdx.7.300.7.314.Г/У.297.sm°.299.7.310.143интегрированиеrpsec2-наd:E/Узадачи+x2)arctgxda:.7.315.l\n^In.1vda;.—ж2da.7.319./Уarete—е1e1dx.Гл.144§интегралОпределенный1.<<•..<жп-1(рис.частейпназываетсягдехк-\Snметодыеговычислениясуммой^хк%к,хк—алгебраическаяк#А:-ь—иплощадейсуммаприизразностейнулю,причемна/(.т)ниотbНепрерывнаяобозначаетсяистремитсякнеразбиения[ж^-ь£&на/(.т)%к],этихотрезкаотинте-[а, Ь],отрезкеопределеннымназываетсяотниотрезках,называетсянану-зависитафункции/(,т)Такимобразом,самв/ f(x)A)Да;/,.[а, Ь] функцияопределенный/(ж)ОхиОж,ввходятОх,=этусо—аиж—суммузнакомнаинтегрируемасобойпредставляетграфикомограниченныххпрямымиосинижеA)интегралфигур,площадейосиdx.limmaxотрезкеГеометрическирасположенныесуммпределотрезкисимволомf(x)dx=наосьюДж/.точекотрезке.вышесупосле-ъГ/(ж),чтонаибольшаячтоспособанапределинтеграломдосуммуотрезкетакова,пределэтотфункцияинтегрируемой14/(£&).высотыиконечныйтоРис.Геометриче-п.кусловии,выбора—[а, Ь]наинтегральныхSn[а, Ь]уотрезкаf(x).
.,последовательностирасположенныеэтогоопределеннаясуществуеталгебраическую<x\имеющихАх[а, Ь] функцияа<xq—прямоугольников,Еслиотa1, 2, 3,=основанияпределахЕслисуммы.bразбиениефункциипроизвольное—интегральнойтоинтегральнойx^$Jaпеременнойвида£,к ^^естьоднойпределотрезкеЬ=хп14),суммаскикакнаопределенафункцийиинтегралf(x)х2наисчислениеОпределенный4.функция<Интегральное7.6,причемплощади,сознакомплюс,этомалге-функцииарасполоплощади,минус.2Примеринтегралкак1.пределВычислить/ х2 dx,интегральныхсумм.рассматриваяопределенныйинте-§интегралРазделимспособ.1-й<]Определенный4.частейАхдлиныегометодыотрезок145вычисления[1, 2]интегрированияТочки—.—инаправныхделения:пх0В1,=ххкачестве1 +=1 +=-,xn_i-..,n£*. выберем,точекТогдаотрезка.ж2-,nж„,7глевыенапример,14-=2\2-),. .,частичногокаждогоконцы.п-Г2Лч/(Х„_х)==Следовательно,п-^=(п2(п+IJ+(П+2J++Bп+..п°формулуквадратовсуммыV^u2hn{nl)Bn+l)ё+.\А;=1к=чиселцелых==/2п-11ПрименяяIJ)~'находимBnlJnDn-1)-(n-l)nBn9n-Jбб14n21) \-бп2откуда214n2,,-9n71+о2-йточекРазобьемспособ.Xq—1,Х\—[1, 2]отрезокобразовалиделениягеометрическую^,х—qчастиначтобытак,абсциссыпрогрессию:1•••,xn_i—^,хп—q—z,2.Гл.146гдеq7,Интегральное21/71.=ТочкуДхо)Axi£*5.i-•(^i)-?3(</+-1)tf2(<7-1),=g6(q+1),~Az3Тогдаотрезка./(xn-i)=(/2(n-1),.
.,q(q~q-А:-гоконцелевом/(*2)=<Л-q2Дж2=^-1,на/(^i)=92,1,=выберемпеременнойоднойфункцийисчисление-1)Дж„.-.,+•••q3{n~1](q+9п-Ч9-=-1)=23-l22/тг2V"+22/n1+2V«+1'+Следовательно,2У?/2jжax7Inn=-7Г,22/nn^oo77T2Vn+=«•31+I>lВычислитьинтегралы,определенныепределытг/2f{l+x)dx.7.321*.cosxdx.jоо310ежЛс./7.323*.О-j.1Вычисление2.какихсумм:57.320*.рассматриваяинтегральныхсоответствующихЕслиНьютона-Лейбница.[а, Ь] функциипростейших/(х),тоизодна—первообразныхнаНьютона-формуласледующаясправедливаНью-формулынепрерывнойпомощьюсинтеграловF(x)Лейбница:бf(x)dx2.ПримерF(x)\ba=F{b)-F{a).=ВычислитьJ/Гdx—-—.х\пхе3ИмеемсЬГ=хеd^nx)_=^| Ых^~^1пAпе2)_1п(Ье)=1п2»о,69.§4.ОпределенныйИспользуяинтегралиегометодыНьютона-Лейбница,формулу147вычислениявычислить2интегралы:87.324.I7.326.f{3x27.328./*x3dx.7.325.2 +-2x+У^cto.l)dx./-^Lftyx-ld7.327.7.329.2107ГТ/лsina;cte.7.331.тг/27fa;-тг/427.332..332./ —fcos-.3exdx./*2жйж.7.333.17.334./^.7.335.Уж2/2/ -—^.7.336.[7.337.тг/32f tg4xdx.7.338.fstfxdx.7.339.7.341.7.340.-14J/Г.343.—-Jx-/4^2x6xl—-27.344.dtp.(pооГ.342.sin27.345.xdx.Гл.1487.Интегральноефункцийисчислениетг/2е/.347.\n2x)x{1/Jcos3О1/3[./7.348.ch23xdx.7.349.J**УГ2у2-2у-82dX/J-._2О.350.переменнойодной7.351.2x2-Jf^^dx.2x+l3/4f—lLl7.352.СJ {xпомощьюопределенныхlimA—n->oo2nVlim7.355.VnВычислить+cos( J1-n->oo2n+у7.357.у=^х,7.358.у=пределыубсумм:х27.359.у=—,7.360.у=cosx,у=уу27.362.у=-,7.363.у=-,у3а;х=+а;1,=уя;=3.=8.ж=+2.0,=х0,=0,уха;==4.1,=2,х--,—ж=Zа;=+-—.т:2.=3.-n/линиями:2у/х.=уе~х,я;2х2,-2,=(nvcosJ1V+..ограниченныхх0,=х-0,=+-+..^фигур,-.т2,+2n+VПу=Jl+-уcos2—+—площади7.356.7.361.найтиинтеграловlim7.353**.7.354.l){x2+I)—).}2nJ-).§Определенный4.Свойства3.интегралиопределенногоеговычисленияЕслиf(x)методы1)интеграла.1490^наотрезкеь[а, Ь],/то}{x)dx^0.Ъ2)^ #(.т)f(x)Если[а, 6],наЬ/ f(x)dxто/ g(x)dx.^а63)|/ f(x)dx\^4)Еслинаибольшееа6J\f{x)\dx.af(x)нанепрерывнаf(x)значения[а, Ь],нага(Ьm/(ж)rfxМнаименьшее,—наиболь-—то/а) ^-[а, 6],^М(Ьа)-а(теоремаобоценкеПримеринтеграла).определенногоОценить3.интеграл1ГdxоИмеем:<.х41 +1 ^2 при^0 ^1т.е.иМm=5)61,=f(x)Если—М—т=,a—1наf(x)значенияь/ G(ж)rfxна/^1.>[а, Ь], р(ж)[а, Ь], то^0,га6/ f(x)g(x)^^—^=интегрируеманаибольшее6771д(х)аиСледовательно,1.=непрерывна,наименьшее1;^хdx^Mg(x)diа(обобщеннаяинтеграла).б) ЕслиG (а,6), чтообтеоремаf(x)нанепрерывнасправедливоосреднем[а, Ь],значении).=инте-определенногоравенствоf(x)dx(теоремаоценкеf(c)(b-a)тосуществуеттакаяточкасGГл.1507.ИнтегральноефункцийисчислениепеременнойоднойЧислоо-среднимназывается7)тоЕслиточкатакаяд(х)анепрерывна,существуетf(x)функциизначениемf(x)Jaс6),(а,Ечтоf{x)g{x)dx/2(.т)д2(х)/ д(х)/(с)=dx[а, Ь],наинтегрируемы\Jf(x)g(x)dxтоb6о(неравенство9) ИнтегрированиеIP{x)dxg2{x)dx\Коши-Буняковского).четныхфункцийнечетныхивсимметрич-аных0,среднем).отеоремаи^равенствосправедливоо/Если[а, Ъ].[а, Ъ] и д(х)отрезкенао(обобщенная8)наинтегрируемаЕслипределах.f(x)функция/ f(x)dxточетная,а—f(x)dx.%О-ааЕслиf(x)функция/ f(x)тонечетная,10)Еслифункцияf(x)верхнимпределом0.—а—переменнымdxнанепрерывнаотрезке[а, Ь],тосинтегралXФ(х)первообразнойявляетсяи/(£)11)Еслипринепрерывна<р(х)tp(x)ip(a)Iф(х)и^tf(t)dt/(ж),функциидляфункции=т.е.дифференцируемы^ф{Ъ),товточкех€(а,Ь)§Определенный4.Используя-I1(х)4.Пример<3интегрпл/ е"'=dt.егометодыШ.вычисления/'(х).Найтио11)свойствоии<р(х)чтоучитывая,0,—tp'(x)т.е.имеемОпределить7.364.знаки/ \fxdx\а)*неинтегралов,11/ х3ехб)/в)dx\-1-2Не7.365.вычисляявычисляяих:1xlnxdx.1/3интегралов,какойвыяснить,изинтеграловбольше:22./ /adxГVllГлx2+J/или9f~;xilcos2dxx/ e~xилигде7.366.Найтиа) х3,0 ^Тf i,0 ^Сила—dx~з;x3cos2xdx.период.хв)1;^х^функциизначениесреднее1;0 ^cosx,г) cos30 ^ж,Найти^посилызначениесреднееОценить/интеграл-12тг/dxоу8 Н-ж3отрезке:^.^жданном—;меняетсятокапеременногохна17.368.J/илиfоо7.367.dx~2x2fl/ e~xб)J/бiв)22dxeta;.законутоказаполупериод.=О,Гл.1527.Интегральноефункцииисчислениепеременнойодной1Оценить7.370./ уAинтегралх)A+ж3) dx,Н-пользуясь:оа)б)обобщеннойобтеоремойоценкеинтеграла;Коши-Буняковского.неравенством1Оценить7.371./ д/Dинтегралx3)xdx,+пользуясь:оа)б)обобщеннойоценкеинтеграла;Коши-Буняковского.неравенствомdlа)Найти:7.372.обтеоремойdlб)—,dp/если—,da=J/0С ехdx—@x<<aC).aНайти7.373.точкифункцииэкстремумахтф(х),/'/ч=tCOSdt/(ж,П0 <0,><a-}\.aНайтипроизводныефункций:следующиху/х1Ф(х)7.374.(-dt.—Ф{х)7.375.f=0Ф(х)7.378.Доказать,={t2)dt.\/xx307.376.sinА/что1,/Ф(ж)7.377.з.X"гс?жj-/=(жр">0).0.=-34.Заменапеременнойнанепрерывнадифференцируеманаотрезкеотрезкевопределенномфункция[а, 6],[^i, t2], причемJf(x)dxЕслиинтеграле.а=Jхa==<p{ti),f{<p(t))<p'(t)dt.<p(t)b—tpfa),f(x)функциядифферен-непрерывното§4.ОпределенныйинтегралВычислить5.Примери\/2/2Применим4подстановку.h=arcsin—\/2х7Г=tiи—J\/l=—arcsinx,7Г/2t£ eftcos/• cos2tsin2*JtJ7Г/4^•/-jtСледовательно,—.7Г/4v/2/2costdt,=7Г.sin2dxТогдаsint.sin2-L53вычисленияdX-X*=arcsml=егометоды«_£Sin4Z'4тг/4Можно7.379.ли/ xylинтеграл—х2dxвычислитьсоподстановкищьюхВычислитьtlsin=синтегралыпомощьюуказанных6dx!7.380.о-\/Зж4--\ ,dX7.381.2,1пЗshl/ У^7.382.ос?ж/"7.383.хtg22COS2;'~отг/4/l+2sin2:r'о17.385./i2х-x2dx,x+l=2sin«.подстановок:помо-Гл.154Интегральное7.ВычислитьсинтегралыОdx/Jху/х2/1—vx2Гdx7.387..2/4/З4/v/37.388.переменнойпеременной:заменыпомощью27.386.однойфункцийисчисление4-dx./7.389.Г-+2у/\/3%/31527.390.У//71/4In.394.In7.396.J7.391.D +ж2J2—7.392.^-^ж\/1У/7.393.5-G4.x-3f7.395.J[x2\/9-x2dx.2Показать,}чтоJdx/=-—InJх/Г ехdx.—х1eтг/21/dx=:Jxarcsin/f(dx."1/V2За-7/За*2хъ-ж3+х-—-25.ихИнтегрированиепроизводныеиЕсличастям.пои'(х)v'(x)с4 +функциинанепрерывныьь/udv—uv\a(формулаинтегрирования\a-JI vduaпоЗж2частям).иотрезке1+—cteи(х),[а, 6],0.=vто—v(x)§Определенный4.иинтеграламетоды155вычисленияегое/Вычислить6.Пример\nxdx.1ОПоложимиdi>lnx,~с/.т,=еdxduтогда=.xlnxl^-=11xУ1•хметодоминтегралы7.400.отг/3=1.Опочастям://V»7.402.=-.cos2/7ж\n2xdx.17Г/6тг/42\/3e3xsm4xdx./*7.404.2201е/xlnxdx./7.406.1отг/4тг/27.407./7.409.Показать,x2cos2xdx./7.408.оexочтоинтеграладлятг/2Inтг/2/ cosna;da;,smnxdx==InформуларекуррентнаяПоказать,nGN,оо7.410.1еУ-У/ V»7.405.+f^^dx.х/П7^Jоfе—1[xexdx.7.403.еинтегрирования1Jх\е=пе-=—1ВычислитьвернаИмеемх.—е/ln.Tdx7.399.v—-,что1n=Лг-2-ВычислитьIjиинтеграладля1Inf=xne~xdx,neN,овернарекуррентнаяформула1П——е+n/n_i.ВычислитьЦ./g-Гл.1567.Интегральное§Интегралы1.непрерывна^aприНесобственные5.сбесконечнымих<Еслисуществует,тоf(x)dx=+пределJoo[A)правойвнесобственныйеслиA)интегралграфикомвA),формулычастиэтоту—топределf(x)/(ж),случаефункции(асимптотой).Охне-f(x)dx.сходящимся,называетсяограниченнойосьюиа—lim6->расходящимся.—фигуры,площадьх[интегралГеометрическиf(x)функцияЬконечныйсуществуетнесобственныйЕслипределами.определениюпотоOGJпеременнойинтегралы+оо,+однойфункцийисчислениене0>естьпрямойьАналогично/интегралопределяетсяf(x)dx.Далее,опреде-пооо—лению+ооj—гдес,<oo—частиправойв—oo+оо,<B)—считаетсяIIf(x)dx+произвольно,сходящимся,f(x)dx,B)причемеслиинтеграллевойвобасходятсяинтегралачасти.Признакисходимостиинтеграловдляf(x)dx=ooсравенства+оос1)ЕслиF(x)limпределF(x)первообразная—то+f(x)A)дляF(+oo),=интегралтолькоприведемрасходимостииA).видаиконечныйсуществуетсходитсяипре-равенООp(a;)da;F(+oo)-F(a);=аF(x)limжееслиA)интегралсуществует,.тонерасходится.+2)Пустьпри^а<х0+оо^f(x)^д{х).00/ д(х)Еслиdxсхоcxcа-f-ooся,тосходитсяи+схэ/ f(x)dx,+оо/ f(x)dx^причем/ g(x)dx.Еслиа+оо/ f(x)анения).dxрасходится,торасходится/ ^(х)йиа(признакисрав-§3)Если^априНесобственные5.f(x)+оо<х157интегралыд(х)О,>О>+ныйlimпределф———g(x)z-*+ooО,тоинтегралыиконеч-существует+ооооJ/f(x)dxиJасходятся(предельныйодновременнорасходятсяили/g(x)dxапризнаксравнения).-f-oo4)Если-f-oo/ \f(x)\dx,сходитсятосходится/ f(x)dxианазываетсяинтеграл(последнийаэтомвсходящимся).абсолютнослучае+ооПример/ е~ЪхВычислить1.dx.оИмеем:<b+ооJIe~3xdx=lim6—>--foo■Jо//е~3хdx\--e~3xlim=V\6-^-fooоо=3Напрактикевобычнониетинтеграла,интегралыкачествеиспользуютсяскоторым0,аA-е-36)lim-6-*+oo=-.3производитсясравне-вида+ооdx,—а>О,>асходятсякоторые>апри1расходятсяиапри1.^+оо/X<Прих->+оод.1/2расходится1такжеvx3+/—1dx.имеем—77-интегралУрасходится.D>(а—1/2<1),тоизаданный>Гл.1587.ИнтегральноеВычислитьфункцииисчислениенесобственные(илиинтегралыходимость):установить+dx7.411.Г.412.InххeОО-a+OOf 4^x2+7.416.0J f x2(l\+*x)2X\ -^t=I\/(Xz2Г(9i7.418.+./7.419./fI7.420.xcosxdx.о+!X-±ldX.
