Презентация сем 8 9 (1076856), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Полугруппу (группу) (A, ∗) называют циклической, если существует такой элемент a , что любой элемент xполугруппы (группы) является некоторой (целой) степенью элементаa . Элемент a называют образующим элементом полугруппы(группы).Замечание. При аддитивной форме записи вместо an пишут n · a .Пример 1. а) Полугруппа (N, +, 0) — циклическая, с образующимэлементом 1 .Следуя определению 8.1, получим 0 · 1 = 0 .Далее 1 · 1 = 1 , 2 · 1 = 1 + 1 = 2 и т.д.Для произвольного n имеемn · 1 = 1| + .{z. .
+ 1} = n.n разб) Группа (Z5, 5, 1) — циклическая с образующим элементом 2.Действительно, для 2 имеем 20 = 1 , 21 = 2 ,• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.2. Полугруппу (группу) (A, ∗) называют циклической, если существует такой элемент a , что любой элемент xполугруппы (группы) является некоторой (целой) степенью элементаa . Элемент a называют образующим элементом полугруппы(группы).Замечание. При аддитивной форме записи вместо an пишут n · a .Пример 1.
а) Полугруппа (N, +, 0) — циклическая, с образующимэлементом 1 .Следуя определению 8.1, получим 0 · 1 = 0 .Далее 1 · 1 = 1 , 2 · 1 = 1 + 1 = 2 и т.д.Для произвольного n имеемn · 1 = 1| + .{z. . + 1} = n.n разб) Группа (Z5, 5, 1) — циклическая с образующим элементом 2.Действительно, для 2 имеем 20 = 1 , 21 = 2 , 22 = 2 5 2 = 4 ,• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.2. Полугруппу (группу) (A, ∗) называют циклической, если существует такой элемент a , что любой элемент xполугруппы (группы) является некоторой (целой) степенью элементаa .
Элемент a называют образующим элементом полугруппы(группы).Замечание. При аддитивной форме записи вместо an пишут n · a .Пример 1. а) Полугруппа (N, +, 0) — циклическая, с образующимэлементом 1 .Следуя определению 8.1, получим 0 · 1 = 0 .Далее 1 · 1 = 1 , 2 · 1 = 1 + 1 = 2 и т.д.Для произвольного n имеемn · 1 = 1| + .{z. . + 1} = n.n разб) Группа (Z5, 5, 1) — циклическая с образующим элементом 2.Действительно, для 2 имеем 20 = 1 , 21 = 2 , 22 = 2 5 2 = 4 ,23 = 2 5 22 = 2 5 4 = 3 ,• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.2. Полугруппу (группу) (A, ∗) называют циклической, если существует такой элемент a , что любой элемент xполугруппы (группы) является некоторой (целой) степенью элементаa .
Элемент a называют образующим элементом полугруппы(группы).Замечание. При аддитивной форме записи вместо an пишут n · a .Пример 1. а) Полугруппа (N, +, 0) — циклическая, с образующимэлементом 1 .Следуя определению 8.1, получим 0 · 1 = 0 .Далее 1 · 1 = 1 , 2 · 1 = 1 + 1 = 2 и т.д.Для произвольного n имеемn · 1 = 1| + .{z. . + 1} = n.n разб) Группа (Z5, 5, 1) — циклическая с образующим элементом 2.Действительно, для 2 имеем 20 = 1 , 21 = 2 , 22 = 2 5 2 = 4 ,23 = 2 5 22 = 2 5 4 = 3 , 24 = 2 5 3 = 1 .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПорядком конечной группы называют количество ее элементов.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПорядком конечной группы называют количество ее элементов.Аддитивная группа вычетов по модулю k имеет порядок k .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПорядком конечной группы называют количество ее элементов.Аддитивная группа вычетов по модулю k имеет порядок k .Группа подстановок Sn есть группа порядка n! .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПорядком конечной группы называют количество ее элементов.Аддитивная группа вычетов по модулю k имеет порядок k .Группа подстановок Sn есть группа порядка n! .Мультипликативная группа вычетов по модулю p ( p — простоечисло!) имеет порядок p − 1 .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПорядком конечной группы называют количество ее элементов.Аддитивная группа вычетов по модулю k имеет порядок k .Группа подстановок Sn есть группа порядка n! .Мультипликативная группа вычетов по модулю p ( p — простоечисло!) имеет порядок p − 1 .Определение 8.3.Группу H = (H, ∗, −1, 1) называют подгруппой группы G =(G, ∗, −1, 1) , еслиH есть подмножество G , замкнутое относительно операции ∗ ,• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПорядком конечной группы называют количество ее элементов.Аддитивная группа вычетов по модулю k имеет порядок k .Группа подстановок Sn есть группа порядка n! .Мультипликативная группа вычетов по модулю p ( p — простоечисло!) имеет порядок p − 1 .Определение 8.3.Группу H = (H, ∗, −1, 1) называют подгруппой группы G =(G, ∗, −1, 1) , еслиH есть подмножество G , замкнутое относительно операции ∗ ,содержащее единицу 1 группы G• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПорядком конечной группы называют количество ее элементов.Аддитивная группа вычетов по модулю k имеет порядок k .Группа подстановок Sn есть группа порядка n! .Мультипликативная группа вычетов по модулю p ( p — простоечисло!) имеет порядок p − 1 .Определение 8.3.Группу H = (H, ∗, −1, 1) называют подгруппой группы G =(G, ∗, −1, 1) , еслиH есть подмножество G , замкнутое относительно операции ∗ ,содержащее единицу 1 группы Gи вместе с каждым элементом x ∈ H содержащее элемент x−1 ,обратный к x .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПорядком конечной группы называют количество ее элементов.Аддитивная группа вычетов по модулю k имеет порядок k .Группа подстановок Sn есть группа порядка n! .Мультипликативная группа вычетов по модулю p ( p — простоечисло!) имеет порядок p − 1 .Определение 8.3.Группу H = (H, ∗, −1, 1) называют подгруппой группы G =(G, ∗, −1, 1) , еслиH есть подмножество G , замкнутое относительно операции ∗ ,содержащее единицу 1 группы Gи вместе с каждым элементом x ∈ H содержащее элемент x−1 ,обратный к x .Определение 8.4.Подгруппу группы G , заданную на множестве всех степеней фиксированного элемента a , называют циклической подгруппой группыG , порожденной элементом a .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПорядком конечной группы называют количество ее элементов.Аддитивная группа вычетов по модулю k имеет порядок k .Группа подстановок Sn есть группа порядка n! .Мультипликативная группа вычетов по модулю p ( p — простоечисло!) имеет порядок p − 1 .Определение 8.3.Группу H = (H, ∗, −1, 1) называют подгруппой группы G =(G, ∗, −1, 1) , еслиH есть подмножество G , замкнутое относительно операции ∗ ,содержащее единицу 1 группы Gи вместе с каждым элементом x ∈ H содержащее элемент x−1 ,обратный к x .Определение 8.4.Подгруппу группы G , заданную на множестве всех степеней фиксированного элемента a , называют циклической подгруппой группыG , порожденной элементом a .Задача 1.
Найти циклическую подгруппу H группы Z11с образующим элементом• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПорядком конечной группы называют количество ее элементов.Аддитивная группа вычетов по модулю k имеет порядок k .Группа подстановок Sn есть группа порядка n! .Мультипликативная группа вычетов по модулю p ( p — простоечисло!) имеет порядок p − 1 .Определение 8.3.Группу H = (H, ∗, −1, 1) называют подгруппой группы G =(G, ∗, −1, 1) , еслиH есть подмножество G , замкнутое относительно операции ∗ ,содержащее единицу 1 группы Gи вместе с каждым элементом x ∈ H содержащее элемент x−1 ,обратный к x .Определение 8.4.Подгруппу группы G , заданную на множестве всех степеней фиксированного элемента a , называют циклической подгруппой группыG , порожденной элементом a .Задача 1. Найти циклическую подгруппу H группы Z11с образующим элементома) a = 4 ;• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПорядком конечной группы называют количество ее элементов.Аддитивная группа вычетов по модулю k имеет порядок k .Группа подстановок Sn есть группа порядка n! .Мультипликативная группа вычетов по модулю p ( p — простоечисло!) имеет порядок p − 1 .Определение 8.3.Группу H = (H, ∗, −1, 1) называют подгруппой группы G =(G, ∗, −1, 1) , еслиH есть подмножество G , замкнутое относительно операции ∗ ,содержащее единицу 1 группы Gи вместе с каждым элементом x ∈ H содержащее элемент x−1 ,обратный к x .Определение 8.4.Подгруппу группы G , заданную на множестве всех степеней фиксированного элемента a , называют циклической подгруппой группыG , порожденной элементом a .Задача 1.
Найти циклическую подгруппу H группы Z11с образующим элементома) a = 4 ;б) a = 2 .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПусть G = (G, ∗, 1) — группа, а H = (H, ∗, 1) — ее подгруппа.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПусть G = (G, ∗, 1) — группа, а H = (H, ∗, 1) — ее подгруппа.Определение 8.5. Левым смежным классом подгруппы Hпо элементу a ∈ G называют множествоaH = {y | y = a ∗ h, h ∈ H}.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПусть G = (G, ∗, 1) — группа, а H = (H, ∗, 1) — ее подгруппа.Определение 8.5.
Левым смежным классом подгруппы Hпо элементу a ∈ G называют множествоaH = {y | y = a ∗ h, h ∈ H}.Соответственно, правый смежный класс подгруппы H поэлементу a ∈ G — это множество Ha = {y | y = h ∗ a, h ∈ H} .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПусть G = (G, ∗, 1) — группа, а H = (H, ∗, 1) — ее подгруппа.Определение 8.5.
Левым смежным классом подгруппы Hпо элементу a ∈ G называют множествоaH = {y | y = a ∗ h, h ∈ H}.Соответственно, правый смежный класс подгруппы H поэлементу a ∈ G — это множество Ha = {y | y = h ∗ a, h ∈ H} .Задача 2. Найти левый смежный класс aH циклической подгруппы∗H с образующим элементом b = 4 мультипликативной группы Z11поэлементу a = 3 .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitТеорема 1. (Лагранж) Порядок конечной группы делится на порядоклюбой ее подгруппы.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitТеорема 1. (Лагранж) Порядок конечной группы делится на порядоклюбой ее подгруппы.Задача 3.
Может ли некоторая погруппа мультипликативной группы∗Z97содержать 23 элемента?• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitТеорема 1. (Лагранж) Порядок конечной группы делится на порядоклюбой ее подгруппы.Задача 3. Может ли некоторая погруппа мультипликативной группы∗Z97содержать 23 элемента? 24 элемента?• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitТеорема 1. (Лагранж) Порядок конечной группы делится на порядоклюбой ее подгруппы.Задача 3. Может ли некоторая погруппа мультипликативной группы∗Z97содержать 23 элемента? 24 элемента? 32 элемента?• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫКольца. Поля. Решение СЛАУ• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
