PR_SEM2 (1076822)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Семинар 2.2.1. Метод характеристических функцийХарактеристическая функция χA множества A ⊆ U , где U — универсальноемножество, есть функция, отображающая универсальное множество U в двухэлементноемножество {0, 1} :1, если x ∈ A,χA (x) =0, если x ∈/ A.Справедливы следующие равенства:(а) χA (x)2 = χA (x) ;(б) χA∩B (x) = χA (x)χB (x) ;(в) χA∪B (x) = χA (x) + χB (x) − χA (x)χB (x) ;(г) χA (x) = 1 − χA (x) .Задача 1.Вывести формулы для вычисления характеристических функций a) A \ B ; б) A4B .Ответ.χA\B = χA − χA χB ;χA4B = χA + χB − 2χA χb .Характеристические функции множеств позволяют в некоторых случаях легко доказывать теоретико-множественные тождества.

Метод характеристических функцийдоказательства теоретико-множественного тождества заключается в вычислении характеристические функции обеих его частей. Тождество верно тогда и только тогда, когдаэти функции совпадают.Пример.Используя метод характеристических функций, выяснить, справедливо ли тождество:(A4B) ∩ C = (A ∩ C)4(B ∩ C) ;Решение.С одной стороныχ(A4B)∩C = χA4B χC == (χA + χB − 2χA χB ) χC == χA χC + χB χC − 2χA χB χC .С другой стороныχ(A∩C)4(B∩C) == χA∩C + χB∩C − 2χA∩C χB∩C == χA χC + χB χC − 2χA χC χB χC == χA χC + χB χC − 2χA χB χC .Характеристические функции левой и правой части тождества совпадают.

Следовательно, тоджество верно.Задача 2.Используя метод характеристических функций, выяснить, справедливы ли тождества:(a) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∩ C) ;(б) A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C ;1СЕМИНАР 2.2(в) (A4B)4C = A4(B4C) .Дом. задание.Используя метод характеристических функций, выяснить, справедливы ли тождества:(а) (A4B)4C = A4(B4C) .(б) (A \ B) \ C = A \ (B \ C) .(в) (A4B) \ C = A \ (B \ C) .СЕМИНАР 2.32.2. Декартово произведение множествЕсли на плоскости задана прямоугольная декартова система координат, то каждойточке плоскости можно поставить в соответствие упорядоченную пару (a, b) действительных чисел — координаты этой точки.В отличие от двухэлементного множества {a, b} , в упорядоченной паре важен порядокследования элементов и в общем случае (a, b) 6= (b, a) .Определение 2.1.

Декартово (прямое) произведение множеств A и B естьмножество всех упорядоченных пар (a, b), таких, что первый элемент пары берется измножества A, а второй — из множества B :A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.Пример.Пусть A = {a, b, c} и B = {1, 2}. ТогдаA × B = {(a, 1), (a, 2),(b, 1), (b, 2),(c, 1), (c, 2)}.Задача 3.Методом двух включений доказать тождество.A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C).Решение.Покажем первое включение.x =(y, z) ∈ A × (B ∩ C) ⇒⇒ (y ∈ A ∧ z ∈ B ∩ C) ⇒⇒ (y ∈ A ∧ (z ∈ B ∧ z ∈ C) ⇒⇒ (y ∈ A ∧ z ∈ B)∧∧ (y ∈ A ∧ z ∈ C) ⇒⇒ ((y, z) ∈ A × B)∧∧ ((y, z) ∈ A × C) ⇒⇒ (y, z) ∈ (A × B) ∩ (A × C).Покажем второе включение.x =(y, z) ∈ (A × B) ∩ (A × C) ⇒⇒ ((y, z) ∈ A × B)∧∧ ((y, z) ∈ A × C) ⇒⇒ (y ∈ A ∧ z ∈ B)∧∧ (y ∈ A ∧ z ∈ C) ⇒⇒ (y ∈ A ∧ (z ∈ B ∧ z ∈ C) ⇒⇒ (y ∈ A ∧ (z ∈ B ∩ C) ⇒⇒ (y, z) ∈ (A × (B ∩ C).СЕМИНАР 2.4Тождество доказано.Задачи2.1.

Привести пример, показывающий, что A × B 6= B × A. Проиллюстрироватьграфически, приняв в качестве множеств A, B отрезки числовой прямой.2.2. Доказать, что если (A ⊆ X) и (B ⊆ Y ) , то(A × B) ⊆ (X × Y ).Проиллюстрировать графически, приняв в качестве множеств A, B, X, Y отрезкичисловой прямой.2.3. Используя метод двух включений, доказать справедливость тождества:(A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D).2.4. Показать, что(A × B) 6= A × B.Вывести требуемое тождество.

Проиллюстрировать полученное графически, приняв вкачестве множеств A и B отрезки числовой прямой.2.5. Проверить на примерах, справедливо ли тождество:(A \ B) × C = (A × C) \ (B × C).Если не удастся придумать пример, показывающий, что это не тождество, попробуйтедоказать его методом двух включений..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов семинаров