Печать_семинар 6 (1076847)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫПолугруппы и группы• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПусть на множестве A определена бинарная операция, обозначаемая ∗ .Определение 6.1. Бинарная операция ∗ называется:1) ассоциативной, если для любых x , y , z(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z);2) коммутативной, если для любых x , yx ∗ y = y ∗ x;3) идемпотентной, если для любого xx ∗ x = x.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quitа) Теоретико-множественные операции ∪ , ∩ являются ассоциативными, так как(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C);(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);коммутативными, так какA ∪ B = B ∪ A;A ∩ B = B ∩ A;и идемпотентными, так какA ∪ A = A;A ∩ A = A;б) Операция \ разности не является ассоциативной, так какA \ (B \ C) 6= (A \ B) \ C.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitЗадача 1Ассоциативна ли операция на множестве M , если:(а) M = N,x y = 2xy ;(б) M = Z,x y = x2 + y 2 ;(в) M = R,x y = sin(x) · sin(y) ;(г) M = R,xy =x−y.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 6.2.

Элемент 0 множества A называется левым(правым) нулем относительно данной операции, если для любогоx ∈ A 0 ∗ x = 0 ( x ∗ 0 = 0 ). Нуль, который является одновременнолевым и правым, называется просто нулем.Определение 6.3. Элемент 1 множества A называется левым(правым) нейтральным элементом относительно данной операции, если для любого x ∈ A1 ∗ x = x ( x ∗ 1 = x ). Нейтральныйэлемент, который является одновременно левым и правым, называется просто нейтральным элементом. Нейтральный элемент частоназывают единицей.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПример 1. Пустое множество ∅ является нулем относительнопересечения, так как для любого множества AA∩∅=∅и единицей относительно объединения, так какA ∪ ∅ = A.Универсальное множество U есть нуль относительно объединения таккакA ∪ U = U,и единица относительно пересечения, так какA ∩ U = A.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 6.4.

Группоидом называется любое множество содной бинарной операцией.Группоид, операция которого ассоциативна, называется полугруппой.Пример 2.а) Множество натуральных чисел с операцией сложения будет полугруппой, поскольку (a + b) + c = a + (b + c) .б) Множество 2A всех подмножеств множества A с операциейтеоретико-множественной разности \ только группоид, но не полугруппа, поскольку операция \ не ассоциативна.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitЗадача 2.

На множестве M определена операция ◦ по правилуx ◦ y = x . Доказать, что (M, ◦ ) — полугруппа. Что можно сказать онейтральных элементах этой полугруппы?Задача 3. На множестве M 2 , где M — некоторое множество,определена операция ◦ по правилу (x, y) ◦ (z, t) = (x, t) . Являетсяли (M 2, ◦ ) полугруппой? Существует ли в ней нейтральный элемент?x yЗадача 4.

Пусть S — полугруппа матриц вида, x,y ∈ R0 0с операцией умножения. Существуют ли в этой полугруппе левый илиправый нейтральные элементы.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 6.5. Полугруппа называется моноидом, если в нейсуществует нейтральный элемент относительно операции (единица).Пример 3. а) Алгебра (2A, ∪) является моноидом, поскольку операция∪ ассоциативна и ∅ — нейтральный элемент относительно операцииобъединения множеств.б) Множество всех бинарных отношений на множестве A с операциейкомпозиции будет моноидом, поскольку операция композиции бинарныхотношений ассоциативна ( (ρ ◦ τ ) ◦ σ = ρ ◦ (τ ◦ σ) ), а единицей служитдиагональ idA ( idA ◦ρ = ρ ◦ idA = ρ ).Задача 5.

Пусть A = {x, y, z} — множество букв, а A∗ — множество всех слов, которые можно составить из этих букв с повторениями.Конкатенацией двух слов называется слово, полученное их склеивани”ем“, например: xxy + yzxx = xxyyzxx . Пустое слово обозначаютλ.∗Показать, что (A , +) — моноид.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 6.6.

Элемент y множества A называется левым(правым) обратным к элементу x относительно данной операции,если y ∗ x = 1 ( x ∗ y = 1 ). Элемент y , который является одновременно левым и правым обратным, называется просто обратным к xотносительно данной операции.Определение 6.7. Моноид называется группой, если в нем длякаждого элемента существует обратный.Чтобы проверить, что алгебра (A, ∗) является группой, нужно1) проверить ассоциативность операции ∗ на множестве A ;2) найти элемент множества A – единицу относительно операции ∗ ;3) убедиться, что для каждого элемента из A существует обратный.Полугруппа (в частности, группа) называется коммутативной (абелевой), если ее операция коммутативна.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПример 4. Рассмотрим алгебру (2A, 4, ∅) .Операция симметрической разности1) ассоциативна ( (A 4 B) 4 C = A 4(B 4 C)) ;2) для любого X ⊆ A X 4 ∅ = X , т.е.

∅ — единица относительноданной операции;3) X 4 Y = ∅ тогда и только тогда, когда X = Y , т.е. каждыйэлемент X является обратным сам к себе.Следовательно, данная алгебра является группой.Поскольку операция 4 коммутативна ( A 4 B = B 4 A ), то даннаяалгебра является абелевой группой.Задача 6. Какие из указанных множеств с операциями являютсягруппами:(а) (N, + ) ;(б) (Q, + ) ;(в) (R \ {0}, · ) .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitЗадача 7. Какие из указанных множеств квадратных вещественныхматриц образуют группу:(а) множество невырожденных матриц относительно умножения?(б) множество невырожденных матриц относительно сложения?(в) множество диагональных матриц одного порядка (включая нулевую)относительно сложения?(г) множество диагональных матриц одного порядка, исключая нулевую,относительно умножения?Задача 8. Пусть M — некоторое множество.

Является ли группойалгебра(а) (2M , ∩ ) ;(б) (2M , ∪ ) ?• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit1. Решение уравнений в группахТеорема 1. В любой группе G любое уравнение вида a · x = b илиx · a = b имеет единственное решение.Решение имеет вид:x = a−1 · b или x = b · a−1.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПример 5.В группе S3 решим следующее уравнение 1 2 31 2 31 2 3◦X ◦=.3 1 22 3 13 2 1Умножим уравнение слева на−1 1 2 31 2 3=,3 1 22 3 1получим:X◦1 2 32 3 1=1 2 32 1 3.Далее, умножая полученное уравнение справа на−1 1 2 31 2 3=2 3 13 1 2окончательно получимX=1 2 31 3 2= (2 3).• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitЗадача 9.

Решить уравнение в группе S4 : 1 2 3 41 2 3 4X= (1 2) ;(а)4 2 1 33 2 1 41 2 3 4.(б) (1 2)(3 4)X(1 3) =4 2 1 3Задача 10.ВыписатьтаблицуКэлидлямножестваподстановок{ε, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} с операцией композиции подстановок.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов семинаров