Pp_S2 (1076824)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Семинар 1.1.1. Метод характеристических функцийХарактеристическая функция χA множества A ⊆ U ,где U — универсальное множество, есть функция, отображающаяуниверсальное множество U в двухэлементное множество {0, 1} :1, если x ∈ A,χA(x) =0, если x ∈/ A.Справедливы следующие равенства:(а) χA(x)2 = χA(x) ;(б) χA∩B (x) = χA(x)χB (x) ;(в) χA∪B (x) = χA(x) + χB (x) − χA(x)χB (x) ;(г) χA(x) = 1 − χA(x) .1СЕМИНАР 1.Задача 1.Вывести формулы для вычисления характеристических функцийa) A \ B ;б) A4B .2СЕМИНАР 1.3Ответ.χA\B = χA − χAχB ;χA4B = χA + χB − 2χAχb.СЕМИНАР 1.4Характеристические функции множеств позволяют в некоторыхслучаях легко доказывать теоретико-множественные тождества.Метод характеристических функций доказательства теоретико-множественного тождества заключается в вычислении характеристические функции обеих его частей.

Тождество верно тогда и толькотогда, когда эти функции совпадают.СЕМИНАР 1.5Пример.Используя метод характеристических функций, выяснить, справедливо ли тождество: (A4B) ∩ C = (A ∩ C)4(B ∩ C) ;Решение.С одной стороныχ(A4B)∩C = χA4B χC == (χA + χB − 2χAχB ) χC == χAχC + χB χC − 2χAχB χC .С другой стороныχ(A∩C)4(B∩C) == χA∩C + χB∩C − 2χA∩C χB∩C == χAχC + χB χC − 2χAχC χB χC == χAχC + χB χC − 2χAχB χC .Характеристические функции левой и правой части тождествасовпадают. Следовательно, тоджество верно.СЕМИНАР 1.6Задача 2.Используя метод характеристических функций, выяснить, справедливы ли тождества:(a) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∩ C) ;(б) A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C ;(в) (A4B)4C = A4(B4C) .Дом.

задание.Используя метод характеристических функций, выяснить, справедливы ли тождества:(а) (A4B)4C = A4(B4C) .(б) (A \ B) \ C = A \ (B \ C) .(в) (A4B) \ C = A \ (B \ C) .СЕМИНАР 1.71.2. Декартово произведение множествЕсли на плоскости задана прямоугольная декартова система координат, то каждой точке плоскости можно поставить в соответствиеупорядоченную пару (a, b) действительных чисел — координаты этой точки.В отличие от двухэлементного множества {a, b} , в упорядоченнойпаре важен порядок следования элементов и в общем случае (a, b) 6=(b, a) .Определение 1.1. Декартово (прямое) произведениемножеств A и B есть множество всех упорядоченных пар (a, b),таких, что первый элемент пары берется из множества A, авторой — из множества B :A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.СЕМИНАР 1.8Пример.Пусть A = {a, b, c} и B = {1, 2}. ТогдаA × B = {(a, 1), (a, 2),(b, 1), (b, 2),(c, 1), (c, 2)}.СЕМИНАР 1.9Задача 3.Методом двух включений доказать тождествоA × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C).Решение.Покажем первое включение.x =(y, z) ∈ A × (B ∩ C) ⇒⇒ (y ∈ A ∧ z ∈ B ∩ C) ⇒⇒ (y ∈ A ∧ (z ∈ B ∧ z ∈ C) ⇒⇒ (y ∈ A ∧ z ∈ B)∧∧ (y ∈ A ∧ z ∈ C) ⇒⇒ ((y, z) ∈ A × B)∧∧ ((y, z) ∈ A × C) ⇒⇒ (y, z) ∈ (A × B) ∩ (A × C).СЕМИНАР 1.10Покажем второе включение.x =(y, z) ∈ (A × B) ∩ (A × C) ⇒⇒ ((y, z) ∈ A × B)∧∧ ((y, z) ∈ A × C) ⇒⇒ (y ∈ A ∧ z ∈ B)∧∧ (y ∈ A ∧ z ∈ C) ⇒⇒ (y ∈ A ∧ (z ∈ B ∧ z ∈ C) ⇒⇒ (y ∈ A ∧ (z ∈ B ∩ C) ⇒⇒ (y, z) ∈ (A × (B ∩ C).Тождество доказано.СЕМИНАР 1.11Задачи1.1.

Привести пример, показывающий, что A × B 6= B × A.Проиллюстрировать графически, приняв в качестве множеств A,B отрезки числовой прямой.1.2. Доказать, что если (A ⊆ X) и (B ⊆ Y ) , то(A × B) ⊆ (X × Y ).Проиллюстрировать графически, приняв в качестве множеств A,B, X, Y отрезки числовой прямой.1.3. Используя метод двух включений, доказать справедливостьтождества:(A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D).СЕМИНАР 1.121.4. Показать, что(A × B) 6= A × B.Вывести требуемое тождество.

Проиллюстрировать полученноеграфически, приняв в качестве множеств A и B отрезки числовойпрямой.1.5. Проверить на примерах, справедливо ли тождество:(A \ B) × C = (A × C) \ (B × C).Если не удастся придумать пример, показывающий, что это нетождество, попробуйте доказать его методом двух включений..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов семинаров