Печать сем 8 9 (1076853)
Текст из файла
ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫЦиклические полугруппы и группы• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.1.В полугруппе (A, ∗) n -я степень элемента a есть элементn1nn−1|a ∗ a ∗{z. . . ∗ a} , обозначаемый a , причем a = a и a = a ∗ a ,n разn = 2, 3, . . .Если (A, ∗, 1) — моноид, то вводят нулевую степень a0 = 1 .Если (A, ∗, 1) — группа, то для любого элемента a вводят отрицательную степень согласно равенству: a−n = (a−1)n , n = 1, 2, . . .(Отрицательная степень элемента a группы есть положительная степень элемента, обратного к a .)Свойства степенейУтверждение 8.1.1) Для любой полугруппы am ∗ an = am+n ; (am)n = amn (m, n ∈ N) ;2) для любой группы a−n = (an)−1 (n ∈ N) , am ∗ an = am+n(m, n ∈ Z) .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.2.
Полугруппу (группу) (A, ∗) называют циклической, если существует такой элемент a , что любой элемент xполугруппы (группы) является некоторой (целой) степенью элементаa . Элемент a называют образующим элементом полугруппы(группы).Замечание. При аддитивной форме записи вместо an пишут n · a .Пример 1. а) Полугруппа (N, +, 0) — циклическая, с образующимэлементом 1 .Следуя определению 8.1, получим 0 · 1 = 0 .Далее 1 · 1 = 1 , 2 · 1 = 1 + 1 = 2 и т.д.Для произвольного n имеемn · 1 = 1| + .{z. . + 1} = n.n разб) Группа (Z5, 5, 1) — циклическая с образующим элементом 2.Действительно, для 2 имеем 20 = 1 , 21 = 2 , 22 = 2 5 2 = 4 ,23 = 2 5 22 = 2 5 4 = 3 , 24 = 2 5 3 = 1 .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПорядком конечной группы называют количество ее элементов.Аддитивная группа вычетов по модулю k имеет порядок k .Группа подстановок Sn есть группа порядка n! .Мультипликативная группа вычетов по модулю p ( p — простоечисло!) имеет порядок p − 1 .Определение 8.3.Группу H = (H, ∗, −1, 1) называют подгруппой группы G =(G, ∗, −1, 1) , еслиH есть подмножество G , замкнутое относительно операции ∗ ,содержащее единицу 1 группы Gи вместе с каждым элементом x ∈ H содержащее элемент x−1 ,обратный к x .Определение 8.4.Подгруппу группы G , заданную на множестве всех степеней фиксированного элемента a , называют циклической подгруппой группыG , порожденной элементом a .Задача 1.
Найти циклическую подгруппу H группы Z11с образующим элементома) a = 4 ;б) a = 2 .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПусть G = (G, ∗, 1) — группа, а H = (H, ∗, 1) — ее подгруппа.Определение 8.5. Левым смежным классом подгруппы Hпо элементу a ∈ G называют множествоaH = {y | y = a ∗ h, h ∈ H}.Соответственно, правый смежный класс подгруппы H поэлементу a ∈ G — это множество Ha = {y | y = h ∗ a, h ∈ H} .Задача 2. Найти левый смежный класс aH циклической подгруппы∗H с образующим элементом b = 4 мультипликативной группы Z11поэлементу a = 3 .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitТеорема 1. (Лагранж) Порядок конечной группы делится на порядоклюбой ее подгруппы.Задача 3.
Может ли некоторая погруппа мультипликативной группы∗Z97содержать 23 элемента? 24 элемента? 32 элемента?• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫКольца. Поля. Решение СЛАУ• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.6.
Кольцо — это алгебра с двумя бинарными и двумянульарными операциямиR = (R, +, ·, 0, 1)такая, что:1) алгебра (R, +, 0) — коммутативная группа;2) алгебра (R, ·, 1) — моноид ;3) имеет место дистрибутивность операции + (сложения кольца) относительно операции · (умножения кольца):a · (b + c) = a · b + a · c,(b + c) · a = b · a + c · a.Операцию + называют сложением кольца, · — умножениемкольца,элемент 0 — нулем кольца, элемент 1 — единицейкольца.Определение 8.7. Кольцо называют коммутативным, еслиоперация умножения в нем коммутативна.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПример 2.а) Алгебра (Z, +, ·, 0, 1) есть коммутативное кольцо.б) Алгебра (N, +, ·, 0, 1) кольцом не будет, поскольку (N, +) — коммутативный моноид, но не группа.б) АлгебраZk = ({0, 1, 2, . .
. , k − 1}, ⊕k , k , 0, 1)(при k ≥ 1 ), аддитивная группа которого есть аддитивная группавычетов по модулю k ,а операция умножения по модулю k определенааналогично сложению по модулю k , т.е. m n равно остатку отделения на k числа m · n ,есть коммутативное кольцо. Его называюткольцом вычетов по модулю k .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.8. Ненулевые элементы a и b кольца R называютделителями нуля, если a · b = 0 .Задача 4. Существуют ли делители нуля в кольце вычетов по модулю4 Z4.
В кольце Z5? При каких n Zn не содержит делителей нуля?• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.9. Кольцо, в котором множество всех ненулевыхэлементов по умножению образует группу, называют телом.Коммутативное тело называют полем.Группу ненулевых элементов поля по умножению называют мультипликативной группой этого поля.Пример 3.а) Алгебра (Q, +, ·, 0, 1) есть поле, называемое полем рациональных чисел.б) Алгебра (R, +, ·, 0, 1) есть поле, называемое полем вещественных чисел.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitЗадача 5.
Какие из числовых множеств образуют кольцо относительнообычных операций умножения и сложения:(а) множество неотрицательных√ целых чисел;(б) множество чисел вида x + 2y , x, y ∈ Q ?Какие из указанных колец являются полями?Задача 6. Какие из множеств матриц образуют кольцо относительноматричных операций умножения и сложения? Какие из колец являютсяполями?a b, a, b, c ∈ R ?(а) множество матриц вида0 ca b(б) множество матриц вида, a, b ∈ R ?−b aЗадача 7.
Составить таблицу Кэли для операций сложения иумножения в кольцах вычетов Z3 и Z5 . Показать, что Z3 и Z5являются полями.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitТеорема 2. В любом кольце выполняются следующие тождества1) a · 0 = 0 · a = 0 .2) (a − b) · c = a · c − b · c ,c · (a − b) = x · a − c · b , где разность a − b есть по определениюa − b = a + (−b) .Следствие 8.1. В любом кольце справедливы тождества:a · (−b) = (−a) · b = −a · b(в частности, (−1) · x = x · (−1) = −x ).Таким образом, производя вычисления в любом кольце (поле), можнораскрывать скобки и менять знаки так же, как в обычной школьнойалгебре.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitЗадача 8.Решитьв поле Z3 и в поле Z5 систему уравнений: x + 2y = 1,y + 2z = 2, 2x + z = 1.Задача 9.Решить в поле Z5 и в поле Z7 систему уравнений:2x + 3y = 1,3x − 4y = 2.Задача 10.Разрешима ли в кольце Z21 система уравнений:5x + 2y = 1,y − 11x = 13?• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitДополнительные задачи8.1.
Кольцо R называется булевым, если ∀x ∈ R x2 = x . Доказать:(а) в любом булевом кольце ∀x ∈ R x + x = 0 ;(б) любое булево кольцо коммутативно;(в) в любом булевом кольце мощности больше 2 есть делители нуля.8.2. Доказать, что (2M , 4, ∩, ∅, M ) — булево кольцо. Доказать, чтооно изоморфно Z2 при |M | = 1 .8.3. Будет ли любое кольцо Z2n , n ≥ 1 , булевым?8.4. Доказать:(а) если элемент кольца обратим (слева, справа), то он не являетсяделителем нуля (левым, правым);(б) в конечном кольце любой односторонне обратимый элемент обратим;(в) элемент кольца вычетов по mod k обратим тогда и только тогда,когда он взаимно прост с k .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
