PP_s3 (1076828)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ОТНОШЕНИЯ И СООТВЕТСТВИЯ• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit1. Основные определенияОпределение 3.1. n -арным (или n -местным ) отношениемна множествах A1, . . . , An называется произвольное подмножество ρдекартова произведения A1 × . . . × An :ρ ⊆ A 1 × . . . × An .В частности, при ρ = ∅ получаем пустое отношение, а приρ , совпадающем со всем указанным декартовым произведением —универсальное отношение.Важный частный случай получаем при n = 2 : тогда говорят осоответствии из множества A1 в множество A2 .Если A1 = A2 = .

. . = An = A , то ρ называют n -арнымотношением на множестве A ; при n = 2 получаем бинарноеотношение на множестве A .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitРассмотрим более подробно соответствия и бинарные отношения.Любое соответствие — это множество упорядоченных пар. Например,если A = R1 (множество действительных чисел), то бинарное отношение на R1 — это некоторое множество точек плоскости R2 .Определение 3.2.

Область определения соответствия измножества A1 в множество A2 ρ ⊆ A1 × A2 — есть множествоD(ρ) = {x |(∃y ∈ A2)(x, y) ∈ ρ}.Область значения соответствия ρ — это множествоR(ρ) = {y |(∃x ∈ A1)(x, y) ∈ ρ}.Из определения вытекает, что D(ρ) ⊆ A1 , R(rho) ⊆ A2 .Соответствие называют всюду определенным, если D(ρ) = A1 .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 3.3. Сечением соответствия ρ для фиксированногоx ∈ A1 называют множествоρ(x) = {y | (x, y) ∈ ρ}.Пример 1.Пусть ρ = {(x, y) | x > y + 1} ⊆ {1, 2, 3, 4}2 .Имеем ρ = {(3, 1), (4, 1), (4, 2)} .Область определения отношения D(ρ) = {3, 4} ,область значений — R(ρ) = {1, 2} .Задание.

Построить график и граф отношения ρ.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit3.1. Построить графики и графы следующих бинарных отношений,заданных на множестве X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} :(а) x1 ϕ x2, если x1 < x2 ;(б) x1 τ x2, если x1 ≤ x2 ;(в) x1 ρ x2, если (x1 − x2) ≥ 2 ;(г) {(a, b)| a + b — четное} ;3.2. Определить, по какому принципу построено отношение, заданноеграфиком Φ на M × M , где M = {л, о, с, т} ,а Φ = {(о, л), (с, л), (т, л), (с, о), (т, о), (с, т)} .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit2.

Операции над соответствиямиПоскольку соответствия являются множествами, то все операции надмножествами (пересечение, объединение, разность, дополнение и т.д.)применимы и к соответствиям. Однако для соответствий можно определить специальные операции: композицию соответствий и получениеобратного соответствия.1) Композиция соответствий.Если ρ ⊆ A1 × A2 , σ ⊆ A2 × A3 , то композиция (произведение)соответствий ρ и σ есть соответствие ρ ◦ σ , определяемое какρ ◦ σ = {(x, z) | (∃y)((x, y) ∈ ρ) ∧ ((y, z) ∈ σ)}.Пример 2.

Соответствие ρ берем из предыдущего примера, асоответствие σ ⊆ {1, 2, 3, 4}2 зададим непосредственно как множествопар σ = {(1, 2), (1, 3), (3, 4)} .Задание. Построить граф композиции ρ ◦ σ.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitКомпозицию отношения с самим собой называют квадратом отношения.Определение 3.4.

Отношение idA = {(x, x) | ∈ A} называютдиагональю множества A .Свойства композиции:(1) ρ ◦ (σ ◦ τ ) = (ρ ◦ σ) ◦ τ ;(2) ρ ◦ ∅ = ∅ ◦ ρ = ∅;(3) ρ ◦ (σ ∪ τ ) = ρ ◦ σ ∪ ρ ◦ τ ;(4) ρ ◦ (σ ∩ τ ) ⊆ ρ ◦ σ ∩ ρ ◦ τ ;(равенство в общем случае не имеет места!).(5) ρ ◦ idA = idA ◦ρ = ρ , где ρ ⊆ A2 — бинарное отношение на A .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitРассмотрим доказательство свойства (1).включений.Используем метод двухПервое включение.(x, z) ∈ρ ◦ (σ ◦ τ ) ⇒ (∃y)(((x, y) ∈ ρ) ∧ ((y, z) ∈ σ ◦ τ )) ⇒⇒ (∃y)(∃t)(((x, y) ∈ ρ) ∧ (((y, t) ∈ σ) ∧ ((t, z) ∈ τ ))) ⇒⇒ (∃y)(∃t)((((x, y) ∈ ρ) ∧ ((y, t) ∈ σ)) ∧ ((t, z) ∈ τ )) ⇒⇒ (∃t)(((x, t) ∈ ρ ◦ σ) ∧ ((t, z) ∈ τ )) ⇒⇒ (x, z) ∈ (ρ ◦ σ) ◦ τ.Второе включение.(x, z) ∈(ρ ◦ σ) ◦ τ ⇒ (∃t)(((x, t) ∈ ρ ◦ σ) ∧ ((t, z) ∈ τ )) ⇒⇒ (∃y)(∃t)((((x, y) ∈ ρ) ∧ ((y, t) ∈ σ)) ∧ ((t, z) ∈ τ )) ⇒⇒ (∃y)(∃t)(((x, y) ∈ ρ) ∧ (((y, t) ∈ σ) ∧ ((t, z) ∈ τ ))) ⇒⇒ (∃y)(((x, y) ∈ ρ) ∧ ((y, z) ∈ σ ◦ τ )) ⇒⇒ (x, z) ∈ ρ ◦ (σ ◦ τ ).• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit2) Обратное соответствие.Соответствие, обратное соответствию ρ ⊆ A1 × A2 , есть соответствиеиз A2 в A1 , обозначаемое ρ−1 и равное по определениюρ−1 = {(y, x) | (x, y) ∈ ρ}.Для соответствия ρ = {(3, 1), (4, 1), (4, 2)}ρ−1 = {(1, 3), (1, 4), (2, 4)}.Обратное соответствие обладает следующими свойствами:(6) (ρ−1)−1 = ρ(7) (ρ ◦ σ)−1 = σ −1 ◦ ρ−1Для фиксированного y ∈ A2 положим ρ−1(y) = {x | y ∈ ρ(x)} .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitЗадачи3.1.

Найти D(ρ) , R(ρ) , ρ−1 , ρ ◦ ρ , ρ−1 ◦ ρ , ρ ◦ ρ−1 для отношения:ρ = {(x, y) | x, y ∈ [0, 1], 2x ≥ 3y}.3.2. Доказать, что для любых бинарных отношений ρ1 , ρ2 , ρ3 ∈ A×A :(а) ρ1 ∩ ρ1 = ρ1 ∪ ρ1 = ρ1 ;(б) ρ1 ◦ (ρ2 ◦ ρ3) = (ρ1 ◦ ρ2) ◦ ρ3 ;(в) ρ1 ◦ idA = idA ◦ ρ1 = ρ1 .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitДомашнее задание3.1. Найти D(ρ) , R(ρ) , ρ−1 , ρ ◦ ρ , ρ−1 ◦ ρ , ρ ◦ ρ−1 для отношений:(а) ρ = {(x, y) | x, y ∈ N, x = 0 (mod y)};(б) ρ = {(x, y) | x, y ∈ [0, 1], x + y ≤ 1}.3.2.

Доказать, что для любого бинарного отношения ρ ⊆ A × A :(а) D(ρ−1) = R(ρ) ;(б) R(ρ−1) = D(ρ) ;(в) D(ρ1 ◦ ρ2) = ρ−11 (R(ρ1 ) ∩ D (ρ2 )) ;(г) R(ρ1 ◦ ρ2) = ρ2(R(ρ1) ∩ D(ρ2))(д) (ρ)−1 = (ρ−1) .3.3. Доказать, что для любых бинарных отношений ρ1 , ρ2 ∈ A × A :−1(а) (ρ1 ∩ ρ2)−1 = ρ−11 ∩ ρ2 ;−1(б) (ρ1 ∪ ρ2)−1 = ρ−11 ∪ ρ2 ;−1(в) (ρ1 ◦ ρ2)−1 = ρ−12 ◦ ρ1 .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов семинаров