Презентация сем 8 9 (1076856), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Кольцо — это алгебра с двумя бинарными и двумянульарными операциямиR = (R, +, ·, 0, 1)такая, что:• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.6. Кольцо — это алгебра с двумя бинарными и двумянульарными операциямиR = (R, +, ·, 0, 1)такая, что:1) алгебра (R, +, 0) — коммутативная группа;• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.6. Кольцо — это алгебра с двумя бинарными и двумянульарными операциямиR = (R, +, ·, 0, 1)такая, что:1) алгебра (R, +, 0) — коммутативная группа;2) алгебра (R, ·, 1) — моноид ;• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.6. Кольцо — это алгебра с двумя бинарными и двумянульарными операциямиR = (R, +, ·, 0, 1)такая, что:1) алгебра (R, +, 0) — коммутативная группа;2) алгебра (R, ·, 1) — моноид ;3) имеет место дистрибутивность операции + (сложения кольца) относительно операции · (умножения кольца):a · (b + c) = a · b + a · c,(b + c) · a = b · a + c · a.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.6.
Кольцо — это алгебра с двумя бинарными и двумянульарными операциямиR = (R, +, ·, 0, 1)такая, что:1) алгебра (R, +, 0) — коммутативная группа;2) алгебра (R, ·, 1) — моноид ;3) имеет место дистрибутивность операции + (сложения кольца) относительно операции · (умножения кольца):a · (b + c) = a · b + a · c,(b + c) · a = b · a + c · a.Операцию + называют сложением кольца,• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.6. Кольцо — это алгебра с двумя бинарными и двумянульарными операциямиR = (R, +, ·, 0, 1)такая, что:1) алгебра (R, +, 0) — коммутативная группа;2) алгебра (R, ·, 1) — моноид ;3) имеет место дистрибутивность операции + (сложения кольца) относительно операции · (умножения кольца):a · (b + c) = a · b + a · c,(b + c) · a = b · a + c · a.Операцию + называют сложением кольца, · — умножениемкольца,• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.6. Кольцо — это алгебра с двумя бинарными и двумянульарными операциямиR = (R, +, ·, 0, 1)такая, что:1) алгебра (R, +, 0) — коммутативная группа;2) алгебра (R, ·, 1) — моноид ;3) имеет место дистрибутивность операции + (сложения кольца) относительно операции · (умножения кольца):a · (b + c) = a · b + a · c,(b + c) · a = b · a + c · a.Операцию + называют сложением кольца, · — умножениемкольца,элемент 0 — нулем кольца,• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.6.
Кольцо — это алгебра с двумя бинарными и двумянульарными операциямиR = (R, +, ·, 0, 1)такая, что:1) алгебра (R, +, 0) — коммутативная группа;2) алгебра (R, ·, 1) — моноид ;3) имеет место дистрибутивность операции + (сложения кольца) относительно операции · (умножения кольца):a · (b + c) = a · b + a · c,(b + c) · a = b · a + c · a.Операцию + называют сложением кольца, · — умножениемкольца,элемент 0 — нулем кольца, элемент 1 — единицейкольца.Определение 8.7.
Кольцо называют коммутативным, еслиоперация умножения в нем коммутативна.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПример 2.а) Алгебра (Z, +, ·, 0, 1) есть коммутативное кольцо.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПример 2.а) Алгебра (Z, +, ·, 0, 1) есть коммутативное кольцо.б) Алгебра (N, +, ·, 0, 1) кольцом не будет, поскольку (N, +) — коммутативный моноид, но не группа.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПример 2.а) Алгебра (Z, +, ·, 0, 1) есть коммутативное кольцо.б) Алгебра (N, +, ·, 0, 1) кольцом не будет, поскольку (N, +) — коммутативный моноид, но не группа.б) АлгебраZk = ({0, 1, 2, . . .
, k − 1}, ⊕k , k , 0, 1)(при k ≥ 1 ), аддитивная группа которого есть аддитивная группавычетов по модулю k ,• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПример 2.а) Алгебра (Z, +, ·, 0, 1) есть коммутативное кольцо.б) Алгебра (N, +, ·, 0, 1) кольцом не будет, поскольку (N, +) — коммутативный моноид, но не группа.б) АлгебраZk = ({0, 1, 2, .
. . , k − 1}, ⊕k , k , 0, 1)(при k ≥ 1 ), аддитивная группа которого есть аддитивная группавычетов по модулю k ,а операция умножения по модулю k определенааналогично сложению по модулю k , т.е. m n равно остатку отделения на k числа m · n ,• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitПример 2.а) Алгебра (Z, +, ·, 0, 1) есть коммутативное кольцо.б) Алгебра (N, +, ·, 0, 1) кольцом не будет, поскольку (N, +) — коммутативный моноид, но не группа.б) АлгебраZk = ({0, 1, 2, . . . , k − 1}, ⊕k , k , 0, 1)(при k ≥ 1 ), аддитивная группа которого есть аддитивная группавычетов по модулю k ,а операция умножения по модулю k определенааналогично сложению по модулю k , т.е. m n равно остатку отделения на k числа m · n ,есть коммутативное кольцо.
Его называюткольцом вычетов по модулю k .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.8. Ненулевые элементы a и b кольца R называютделителями нуля, если a · b = 0 .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.8.
Ненулевые элементы a и b кольца R называютделителями нуля, если a · b = 0 .Задача 4. Существуют ли делители нуля в кольце вычетов по модулю4 Z4 .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.8. Ненулевые элементы a и b кольца R называютделителями нуля, если a · b = 0 .Задача 4. Существуют ли делители нуля в кольце вычетов по модулю4 Z4. В кольце Z5?• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.8. Ненулевые элементы a и b кольца R называютделителями нуля, если a · b = 0 .Задача 4.
Существуют ли делители нуля в кольце вычетов по модулю4 Z4. В кольце Z5? При каких n Zn не содержит делителей нуля?• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.9. Кольцо, в котором множество всех ненулевыхэлементов по умножению образует группу, называют телом.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.9. Кольцо, в котором множество всех ненулевыхэлементов по умножению образует группу, называют телом.Коммутативное тело называют полем.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.9.
Кольцо, в котором множество всех ненулевыхэлементов по умножению образует группу, называют телом.Коммутативное тело называют полем.Группу ненулевых элементов поля по умножению называют мультипликативной группой этого поля.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.9. Кольцо, в котором множество всех ненулевыхэлементов по умножению образует группу, называют телом.Коммутативное тело называют полем.Группу ненулевых элементов поля по умножению называют мультипликативной группой этого поля.Пример 3.а) Алгебра (Q, +, ·, 0, 1) есть поле, называемое полем рациональных чисел.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitОпределение 8.9.
Кольцо, в котором множество всех ненулевыхэлементов по умножению образует группу, называют телом.Коммутативное тело называют полем.Группу ненулевых элементов поля по умножению называют мультипликативной группой этого поля.Пример 3.а) Алгебра (Q, +, ·, 0, 1) есть поле, называемое полем рациональных чисел.б) Алгебра (R, +, ·, 0, 1) есть поле, называемое полем вещественных чисел.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitЗадача 5. Какие из числовых множеств образуют кольцо относительнообычных операций умножения и сложения:• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitЗадача 5.
Какие из числовых множеств образуют кольцо относительнообычных операций умножения и сложения:(а) множество неотрицательных целых чисел;• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitЗадача 5. Какие из числовых множеств образуют кольцо относительнообычных операций умножения и сложения:(а) множество неотрицательных√ целых чисел;(б) множество чисел вида x + 2y , x, y ∈ Q ?• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitЗадача 5.
Какие из числовых множеств образуют кольцо относительнообычных операций умножения и сложения:(а) множество неотрицательных√ целых чисел;(б) множество чисел вида x + 2y , x, y ∈ Q ?Какие из указанных колец являются полями?• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitЗадача 5. Какие из числовых множеств образуют кольцо относительнообычных операций умножения и сложения:(а) множество неотрицательных√ целых чисел;(б) множество чисел вида x + 2y , x, y ∈ Q ?Какие из указанных колец являются полями?Задача 6.
Какие из множеств матриц образуют кольцо относительноматричных операций умножения и сложения? Какие из колец являютсяполями?• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitЗадача 5. Какие из числовых множеств образуют кольцо относительнообычных операций умножения и сложения:(а) множество неотрицательных√ целых чисел;(б) множество чисел вида x + 2y , x, y ∈ Q ?Какие из указанных колец являются полями?Задача 6. Какие из множеств матриц образуют кольцо относительноматричных операций умножения и сложения? Какие из колец являютсяполями?a b(а) множество матриц вида, a, b, c ∈ R ?0 c• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitЗадача 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
