Презентация сем 8 9 (1076856), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Какие из числовых множеств образуют кольцо относительнообычных операций умножения и сложения:(а) множество неотрицательных√ целых чисел;(б) множество чисел вида x + 2y , x, y ∈ Q ?Какие из указанных колец являются полями?Задача 6. Какие из множеств матриц образуют кольцо относительноматричных операций умножения и сложения? Какие из колец являютсяполями?a b(а) множество матриц вида, a, b, c ∈ R ?0 ca b(б) множество матриц вида, a, b ∈ R ?−b a• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitЗадача 5.
Какие из числовых множеств образуют кольцо относительнообычных операций умножения и сложения:(а) множество неотрицательных√ целых чисел;(б) множество чисел вида x + 2y , x, y ∈ Q ?Какие из указанных колец являются полями?Задача 6. Какие из множеств матриц образуют кольцо относительноматричных операций умножения и сложения? Какие из колец являютсяполями?a b(а) множество матриц вида, a, b, c ∈ R ?0 ca b(б) множество матриц вида, a, b ∈ R ?−b aЗадача 7. Составить таблицу Кэли для операций сложения иумножения в кольцах вычетов Z3 и Z5 . Показать, что Z3 и Z5являются полями.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitТеорема 2. В любом кольце выполняются следующие тождества• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitТеорема 2.
В любом кольце выполняются следующие тождества1) a · 0 = 0 · a = 0 .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitТеорема 2. В любом кольце выполняются следующие тождества1) a · 0 = 0 · a = 0 .2) (a − b) · c = a · c − b · c ,• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitТеорема 2. В любом кольце выполняются следующие тождества1) a · 0 = 0 · a = 0 .2) (a − b) · c = a · c − b · c ,c · (a − b) = x · a − c · b , где разность a − b есть по определениюa − b = a + (−b) .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitТеорема 2.
В любом кольце выполняются следующие тождества1) a · 0 = 0 · a = 0 .2) (a − b) · c = a · c − b · c ,c · (a − b) = x · a − c · b , где разность a − b есть по определениюa − b = a + (−b) .Следствие 8.1. В любом кольце справедливы тождества:a · (−b) = (−a) · b = −a · b(в частности, (−1) · x = x · (−1) = −x ).• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitТеорема 2. В любом кольце выполняются следующие тождества1) a · 0 = 0 · a = 0 .2) (a − b) · c = a · c − b · c ,c · (a − b) = x · a − c · b , где разность a − b есть по определениюa − b = a + (−b) .Следствие 8.1.
В любом кольце справедливы тождества:a · (−b) = (−a) · b = −a · b(в частности, (−1) · x = x · (−1) = −x ).Таким образом, производя вычисления в любом кольце (поле), можнораскрывать скобки и менять знаки так же, как в обычной школьнойалгебре.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitЗадача 8.Решитьв поле Z3 и в поле Z5 систему уравнений: x + 2y = 1,y + 2z = 2, 2x + z = 1.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitЗадача 8.Решитьв поле Z3 и в поле Z5 систему уравнений: x + 2y = 1,y + 2z = 2, 2x + z = 1.Задача 9.Решить в поле Z5 и в поле Z7 систему уравнений:2x + 3y = 1,3x − 4y = 2.• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitЗадача 8.Решитьв поле Z3 и в поле Z5 систему уравнений: x + 2y = 1,y + 2z = 2, 2x + z = 1.Задача 9.Решить в поле Z5 и в поле Z7 систему уравнений:2x + 3y = 1,3x − 4y = 2.Задача 10.Разрешима ли в кольце Z21 система уравнений:5x + 2y = 1,y − 11x = 13?• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • QuitДополнительные задачи8.1.
Кольцо R называется булевым, если ∀x ∈ R x2 = x . Доказать:(а) в любом булевом кольце ∀x ∈ R x + x = 0 ;(б) любое булево кольцо коммутативно;(в) в любом булевом кольце мощности больше 2 есть делители нуля.8.2. Доказать, что (2M , 4, ∩, ∅, M ) — булево кольцо. Доказать, чтооно изоморфно Z2 при |M | = 1 .8.3. Будет ли любое кольцо Z2n , n ≥ 1 , булевым?8.4. Доказать:(а) если элемент кольца обратим (слева, справа), то он не являетсяделителем нуля (левым, правым);(б) в конечном кольце любой односторонне обратимый элемент обратим;(в) элемент кольца вычетов по mod k обратим тогда и только тогда,когда он взаимно прост с k .• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
