Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Стало быть, мы попытаемся удовлетворить всем уравнениям для а„, кроме средней тройки в (И.28), с помощью следующих пробных решений: а„(для и ( 0) = ем и + ре-"" а (для п > 0) =Те'»'и. (И.32) Положение, о котором идет речь, иллюстрируется фиг. И.6. Используя формулы (И.32) для а, н а„„можно из средней тройки уравнений (И.28) найти а«и два коэффи- Рассеянная волна Прокодяарая волна > — >л Падаюи<ая волна 1 — и ° ° ° ег <1> ° ° ° ° и — ы -л1 -д -2 -1 0 1 2 д В а> и г.
Л.д. Волны о одномерной рететне е одним еиримеенылм птомом о и = О. циента р и у. Таким образом, мы начдем полное решение. Надо репп<ть три уравнения (полагая х„=пЬ): (Е Ео) (ем< ь>+Ре еь' ь')=- — Л (ао+е'ь< 'ь'+ Ре гп<-ею) (Е Ео Е) во= А (усть+ель< ь>+(>е и<-ь>) (11 33) (Š— Е ) уе"'ь = — А (уе" <'ь> + ао).
Вено>гните, что (11.30) выражает Е через 1с. Подставьте зто значение Е в уравнения и учтите, что созх= —.(е< +е "); тогда из первого уравнения получится (11.34) а,=1+р, а пз третьего (11.35) что согласуется друг с другом только тогда, когда (11.36) Это уравнение сообщает нам, что прошедшая волна (у) — зто просто исходнан пада<ощая волна (1) плюс добавочная волна ф), равная отран<енной. Зто не всегда так, но при рассеянии па одном только атоме оказывается, что это так.
Если бы у вас была целая группа атомов примеси, то величина, добавляемая к волне, бегущей вперед, не обязательно вышла бы такой же, как у отраженной волны, Амплитуду р отраженной волны мы можем получить из среднего из уравнений (11.33); окажется, что (11.37) Р— 2< А о>в >еь ' Мы получили полное решение для решетки с одним необычным атомом. 23 Вас могло удивить, отчего это проходящая волна оказалась «выше», чем падавшая, если судить по уравнению (11.34). Но вспомните.
что () и у — числа колшлексные и что число частиц в волне (или, лучше сказать, вероятность обнаружить частицу) пропорционально квадрату модуля амплитуды. В действительности «сохранение числа электронов» будет выполнено лишь при условии (11. 38) Попробуйте показать, что в наигем решении так оно и есть.
ф г. Згглетгл тле«лег(г.гяртг<>сплялы 1»ег«лепгмт« Бывает н другои интересный слу~ай. Он может возникнуть, когда Е число отрицательное. Если энергия электрона в атоме примеси (при и =- О) нп;ке, чем где-либо в другом месте, то электрон может оказаться захваченным этим атомом. Иначе говоря, если Е, -,; Е ниже самого низа полосы (меньше, чем Е, — 2А), тогда электрон может оказаться «пойманным» в состояние с Е<Е« — 2Л. Пз всего того, что мы делали до сих пор, такое решение не могло получиться.
Но зто решение можно получить, если в пробном решении (11 15) разрешить й принимать мнимые значения. Положим к = 1я. Для п«.0 н для и .-0 у нас опять будут разные решения. Для п>0 допустимое решение могло бы иметь вид а„(при и (О) =се«"" . (11.39) В экспоненте мы выбрали плюс; иначе амплитуда при больших отрицательных и стала бы бесконечно большой. Точно так лке допустимое решение для п>0 имело бы вид а„(при и > О) =- с'е-"." (11. 40) Если подставить эти пробные реитення в (11.28), то оии удовлетворят всем уравнениям, кроме средней тройки, при условии, что Е =- Ео А (е«л+е "л).
(11.41) А раз сумма этих двух экспонент всегда больше 2, то зта энергия оказывается за пределами (ниже) обычной полосы. Это-то мы и искали. Оставшейся тройке уравнений (11.28) удастся удовлетворить, если взять с = — с' и если и выбрать так, чтобы (11.42) 1 (е«л е-ял) Е Сопоставнв это уравнение с (11.41), найдем энергию захваченного электрона Е=Е«) 4А«тЕ«. (11АЗ) г!там примасу Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ф Ы л — -4-,У =о -7 О 7 Х СЬ и г. 11.7. Отногительнне веролтпоети оонаруггапгь гаавааенниа огегтуон в агпомныа уз.гаг ноягазоети от примегггого итог ~ а — л агу ига а. Захваченный электрон обладает одной-единственной эноргией (а не целой полосой); опа расположена яосколько ниже полосы проводимости.
Заметьте, что амплитуды (11,39) и (!'!.40) нг утверждшот, что пойманный электрон сидит прямо в атоме примеси. Вероятность обнаружить его у одного пз соседних атомов дается квадратом этих амплитуд. Изменение ее показано столблками на фнг. 11.7 (при каком-то наборе параметров). С наибольшей вероятностью электрон можяо встретить близ атома примеси. Для соседних атомов вероятность спадает зкспонэнциально по мере удаления от атома примеси. Это новый пример «проникновения через барьер». С точки зрения классической физики электрону не хватило бы энергии, чтобы удалиться от энергетической «дырки» близ центра захвата.
Но квантовомохаиичэскн он может куда-то недалеко просочиться. ф гг. л1лгг«мы«нудь«!»пссеяитгя ««свинг«ни»лс сссшьсяимя Наш последний пример монет быть использован, чтобы проиллюстрировать одну вещь, которая в наши дни очень полезна для физики частиц высокой энерги~. Речь идет о связи между амплитудами рассеяния и связанными состояниями. Положим, мы открыли (при по»го~ци опытов и теоретического аналиаа), как пионы рассеиваются па протонах. Затем открывается новая частица и кому-то хочется узнать, не является ли она просто комбинацией из пиона н протона, обьедкненных в одно связанное состояние (по аналогии с тем, как электрон, будучи связан с протоном, образует атом водорода)? Под связанным состоянием мы подразумеваем комбинацию, энергия которой ниже, чем у пары свободных частиц.
Существует общая теория, согласно которой, если амплитуду рассеяния проэкстраполировать (или, на математическом языке, «аналитически продоля«нтго>) на энергии вне разрешенной зоны, то при такой энергии, при которой амплитуда становится бесконечной, возникнет связанноо состояние. Физическая причина этого такова.
Связанное состояние — это когда имеются только волны, стоящие близ некоторой точки; это состояние яе порок«дается никакой начальной волной, оно просто существует само по себе. Относительная пропорция между так называемыми «рассеяннымн», или созданными, волнами и волнами, «посылаемыми внутрь», равна бесконечности. Эту идею мы можем проверить на нашем примере. Выразггы нашу рассеянную амплитуду (11.37) прямо через энергию Ь' рассеяв«пойся частицы (а не через Ь).
Уравнение (11.30) можно переписать в ваде 2А з(п йй =).~4А» — (Š— Е )», поэтому рассеянная амплитуда равна (11.44) Р— ~ ф' 4А« — (и — Ь' )З Из вывода формулы следует, что применять ее можно только для реальных состояний — для тех, энергия которых попадает в энергетическую полосу, Е .= Е, ' 2А. Но представьте, что мы об этом забыли и расширили нашу формулу на «нефизические» области энергии, где (Š— Ее( >2А. Для этих нефизических областей можно написать * М4А' — (Ь вЂ” Ее)'=()'(Š— Ь' )' — 4А-". Тогда «амплитуда рассеяния» (что бы это выражение ни значило) равна Р+ У (Ь вЂ” Ьо)' 4А« (11. 45) Теперь задаем вопрос: существует лн такая энергия Е, прн которой (4 становится бесконечным (т. е. при которой выражение для р имеет «полгос»)7 Да, существует, если только Е отрицательно; тогда знаменатель (11.45) обратится в нуль при (Š— Е,) ' — 4 А' = Р», т.
е. при Е = Ео «=. )' 4А'+Ив * Знак корня, который здесь следовало поставить, вто технический вопрос, связанный с допустимыми знаками я в (11.39) и (11.40). Ыы не будем здесь вдаваться в подробности. 26 При знаке минус получается как раз то, что мы получили в (11.43) для энергии захваченного электрона. А как быть со знаком плюс? Он приводит к энергии выше разрешенной полосы энергий. И действительно, существует другое связанное состояние, которое мы пропустили, решая (11.28).
Найти энергию и амплитуды а„для этого свяаанного состояния вам предоставляется самим. Одним из ключей (причем самых надежных) к разгадке экспериментальных наблюдений над новыми странными частицами служит это соотношение между законом рассеяния и свяаанными состояниями. у'.е гв е и ПОЛУПРОВОДНИКИ 5 1. Электроны и дырки в пол лупроводииках 8 2. Примесиые полупроводники В т. Элемтгв1зозвье и дьяки в полтупроводптгипэс 3. Эффект Холла 4. Переходы между полупроводни- ками 5. Выпрямление на полупроводниковом переходе 6. Транзистор Литература; Ч.
В в т т е л ь, Введение в фиввву твердого тена, М.— Л., 1988, гл. 13, 14, 18. 28 Одним из самых замечательных и волную-5 щпх открытий последних лет явилось применение физики твердого тела и технической э разработке ряда электрических устройств, таких, как транзисторы. Изучение полупроводников привело к открытинз их полезных свойств и ко мно;кеству практических приме- и пений. В этой области все меняется так быстро, что рассказанное вам сегодня может через год оказаться уже неверным пли, во всяком случае, неполным. И совершенно ясно, что, подроонео изучив такие вещества, мы со временем сумеем 5 осуществить куда более удивительные вещи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
