Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Характер изменения Е зависит от относительных знаков и величин А „, А. и А,. Если вся эта тройка положительна и если нас интересуют лип|ь маленькие к, то зависимость оказывается сравнительно простой. Разлагая косинус, как и раньше (см. (11.16)), мы теперь придем к Е = Е„„„-', А,.а«)с„'+ А Ь»)с', + А,с«)с',.
(11.26) В простой кубической решетке с расстоянием а между узлами следует ожидать, что и А„, и А, и А, будут все равны друг У' другу (скажем, равны А), так что получилось бы Е =-. Ев „„-)- А а' ()с,'. + )с' +!с,'), Е =- Е„„„+ Аа«)с» (11.27) или Щ Ю. Другие сос»поянмя в 1»еи«е«п««е Согласно (11.24), состояния алектрона, о которых мы говорили, могут обладать энергиями только в некоторой анергетической «полосе», простирающейся от наименьшей энергии Ев — 2 (А„+ А„+ А,) 18 А это как раз совпадает с(11.16). Повторяя те же рассуждения, что и тогда, мы пришли бы к заключению, что электронный пакет в трех измерениях (составленный путем суперпозиции множества состояний с почти одинаковыми энергиями) также движется на манер классической частицы, обладающей некоторой эффективной массой.
В кристалле не с кубической, а с более низкой симметрией (или даже в кубическом кристалле, но таком, в котором состояние электрона около атома несимметрично) три коэффициента А „, А и А различны. Тогда «эффективная масса» электрона, сосредоточенного в узкой области, зависит от направления его движения. Может, например, оказаться, что у него разная инерция при двия«енин в направлении х и при движении в направлении у. (Дотали такого положения вещей иногда описываются с помощью «тензора эффективной массы».) до наибольшейг Е»+й(А„+А, ) А,). Другие энергии тоже возмоя'ны, но они принадлежат к другому классу состояний электрона.
Для тех состояний, о которых говорилось раньше, мы выбирали такие базисные состояния, когда электрон в атоме кристалла находился в некотором опре. деленном состоянии, скажем в состоннии наинизшей энергии. Если у вас есть атом в пустом пространстве и вы добавляете к нему электрон, чтобы получился ион, то этот ион можно образовать многими способами. Электрон может расположиться так, чтобы образовать состояние нанппзшей энергии, или так, чтобы образовать то или кное нз многих возможных «возбужденных состояний» иона, каждое с определенной энергией, которая превосходит наинизшее значение.
То же может случиться и в кристалле. Допустим, что энергия Е„которой мы пользовалксь выше, соответствует базисным состояниям, представляющям собой ионы с наинизшей возможной энергией. Но можно также вообразить новую совокупность базисных состояний, в которых электрон по-иному располагается возле и-го атома: сн образует одно из возбужденных состояний иона, так что энергия Е» теперь уже становнтсн чуть повыше. Как н раньше, имеется некоторая амплитуда А (отличная от прежней) того, что электрон перепрыгнет из своего возбужденного состояния близ одного атома в такое же возбужденное состояние подле соседнего атома. И весь аналиа проходит, как раньше; мы обнаружим полосу возможных энергий, сосредоточенных вокруг некоторой высшей энергии. Вообще говоря, таких полос может быть много и каждан будет отвечать своему уровню возбуждения.
Мыслимы и другие возможности. Может существовать некоторая амплитуда того, что электрон перепрыгнет из возбужденного положения возле одного атома в невозбужденное положение близ следующего атома. (Это называется взаимодействием между полосами.) Математическая теория становятся все сложнее и слоя»нее по море того, как вы принимаете во внимание все больше и больше полос и добавляете все больше и больше коэффициентов просачивания между различными состояниями. Никаких новых идей пе нужно; но уравнения, как мы видели из нашего простого прпмера, сильно разрастаются. Следует еще заметить, что о различных коэффициентах, таких, как появляющаяся в теории амплитуда А, сказать можно лишь немногое.
Их, как правило, очень трудно подсчитать, и в практических случаях об этих параметрах теоретически бывает очень мало известно; в тех или иных реальных случаях приходится их значения брать иа опыта. Бывают и другие случаи, в которых вся физика и вся математика почти в точности совпадают с тем, чтб мы обнаружили для электрона, движущегося по кристаллу, но в которых движущийся «объект» совсе»«не тот. Представим, например, что нашпы исходным кристаллом (или, лучше сказать, линейной решеткой) была цепочка нейтральных атомов, у каждого из которых связь с внешним электроном очень слаба.
Теперь вообразим, что мы убрали один электрон. У какого из атомов? Пусть С„есть амплитуда того, что электрон иске» у атома, стоящего в точке з„. Вообще говоря, имеется какая-то амплитуда Л того, что электрон от соседнего атома, скажем от (л — 1)-го, перепрыгнет к и-»»у, оставив свой (и — 1)-й атом без электрона. Это все равно, что сказать, что у «нехватки электрона» имеется амплитуда Л того, что она переберется от п-го атома к (и — 1)-му. Леп;о видеть, что уравнения окажутся такими же, как к раньше, ьо, конечно, сама А не обязательно останутся прежними. Мы опять придем к тем же формулам для уровней зверю»п, для «волн» вероятности, которые бегут по кристаллу с групповой скоростью (11.18), для эффективной массы и т. д. Только теперь этн волны описывают поведение недостающего электрона или, как его называют, «дырки».
51о»кпо убедиться, что заряд этой частицы будет казаться положительным. В следующеп главе мы немного подробнее рассказ«ем об этих дырках. Другой пример. Представим себе цепочку нейшральимх атомов, один иэ которых был приведен в возбужденное состояние, т. е, с более высокой, чем у нормального основного состояния, энергией. Пусть ф— амплитуда того, что и-й атом возбужден. Он может взаимодействовать с соседним атомом, передавая ему свой избыток энергии и возвращаясь в основное состояние. Обозначим амплитуду этого процесса (А/Ь. Вы видите, что опять повторяется та же математика.
Но теперь то, что движется, называется элситоном. Оно ведет себя как нейтральная «частица», которан дви»кется через кристалл и несет с собой энергию возбуждения. Существование такого движения можно предполагать в некоторых биологических процессах, таких, как зрение или фотосинтез. Была высказана догадка, что поглощение света в сетчатке создает «экситон», который движется через некоторую периодическую структуру (такую, как слои палочек, описанные в гл. 36 (вып. 3); см. там фиг.
36.5] и аккумулируется на некоторых специальных станциях, где эта энергия используется для возбуждения химической реакции. ф 6..Рассея»гме ны не1эегмяя1»нее»»»яш 1»ем»е«»»мн Теперь мы хотим рассмотреть одиночный электрон в неидеальном кристалле. Паш первоначальный анализ привел к выводу, что у идеальных кристаллов и проводимость идеальна, что электроны могут скользить по кристаллу, как по вакууму, без трения. Одной иэ самых важных причин, способных прекра- тить вечное движение электрона, является несовершенство кристалла, какая-то нерегулярность в нем.
Допустим, что где-то в кристалле не хватает одного атома, или предположим, что кто-то поставил на место, предназначенное для какого-то атома, совсем не тот атом, какой положено, так что в этом месте все совсем не так, как в прочих местах. Окажем, другая энергия Е, или другая амплитуда А. Как тогда мох'но оудет описать все происходящее? Для определенности вернемся к одномерному случаю и допустим, что атом номер «нуль» — это атом «загрязнения», «примеси» и у него совсем не такая энергия Е„как у других атомов.
Обозначим эту энергию Е, + Г. Что же происходит? Для электрона, которын достиг атома «нуль», есть какаято вероятность того, что он рассеется назад. Если волновой пакет, мчась по кристаллу, достигает места, где все немного иначе, то часть его будет продолжать лететь вперед, а другая отскочит назад.
Анализировать такой случай, пользуясь волновым пакетом, очень трудно, потому что все меняется во времени. С решениями в виде установившихся состояний работать много легче. Мы обратимся поэтому к стационарным состояниям; мы увиднм, что их можно составтпь из непрерывных волн, состонщих из двух частей — пробегающей и отраженной.
В случае трех измерений мы бы назвали отраженную часть рассеянной волной, потому что она разбегалась бы во все стороны. Исходим из системы уравнений, похожей на (11.6), за одним исключением: уравнение при я=О не похоже на остальные. Пятерка уравнений прил=-- — 2, — 1, О, +1и — ', 2 выглядят так: Еа г= Еа, =- Еа, =- Еат =- Ел, = Еоа — Аа — Аа Еоа л — Аао 4а-г (Е +Р) а — Аа,— Аа „ Еоа, — Аа, — Аао, Еоаг .4 аз — 4 а«, (11. 28) Конечно, будут и другие уравнения при ~п~ 2. Они будут выглядеть так же, как (11.6). Нам полагалось бы на самом деле для общности писать разные А, в зависимости от того, прыгает ли электрон к атому «нуль» или же от атома «нуль», но главные черты того, что происходит, вы увидите уже иэ упрощенного при»гера, когда все А равны. Уравнение (11.10) ло-прея нему будет служить решением для всех уравнений, кроме уравнения для атома «нуль» (для него оно не годится).
Нам нужно другое решение; соорудим его так. Уравнение (ИАО) представляет волну, бегущую в положительном направлении х. Волна, бегущая в отрицательном направлении х, тоже недопив бы в качестве решения. Мы бы написали а(х ) =е-'»~л. Самое общее решение уравнения (И.б) представляло бы собой сочетание волны вперед и волны назад: (И .29) а = ие'»" (. ()е и»„ и Это решение представляет комплексную волну с амплитудой и, бегущую в направлении +х, и волну с амплитудой р, бегущую в направлении — х. Теперь бросим взгляд на систему уравнений нашей новой задачи: на (1'1.28) плюс такие же уравнения для остальных атомов.
Уравнения, куда входят а„с и( — 1, решаются формулой (И.29) яри условии, что й оказывается связанным с Ь' и постоянной решетки Ь соотношением (И.30) Е=-Я« — 2А созйЬ. гризический смысл этого таков: «падающая» волна с амплитудой а приближается к атому «нуль» (или «рассеивателю») слева, а «рассеянная» или «отраженная» волна с амплитудой р бежит обратно, т. е. налево. Не теряя оощности, можно положить амплитуду а падающей волны равной единице.
Тогда амплитуда () будет, вообще говоря, комплексным числом. То же самое можно сказать и о решениях а„при п)1. Коэффициенты могут стать иными, так что следовало бы писать а„=-уе»»'~+бе '" для п 1. (11.31) Здесь у — амплитуда волны, бегущей направо, а б — амплптуда волны, пркходящей справа. Мы хотим рассмотреть такой физический случай, когда вначале волна бежит только слева, и за рассеивателем (илп атомом загрязнения) имеется только «прошедшая» волна. Ьудем поэтому искать решение, в котором б = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
