Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Но болыпинство их (в непроводящем кристалле почти все) занимает в общей картине движения свое место, каждый вертится вокруг своего атома, и все оказывается совершенно установившимся. А мы хотим рассуждать о том, чтб будет, если внутрь поместить лшикий электрон. Мы не будем думать о том, что делают прочие электроны, потому что будем считать, что на то, чтобы изменить их энергию, потребуется очень много энергии возбуждения. Мы собираемся добавить электрон и создать как бы новый слабо связанный отрицательный ион. Следя за том, что поделывает этот лишний электрон, мы делаем приближение, пренебрегая при этом внутренним механизмом аз омов. Испо, что этот электрон сможет перейти к другому атому, перенося э новое место отрицательнып пон.
Мы предположим, что (в точности, как и в случае олектрона, чпрыгавшего» от протона к протону) элокхрон может с какой-то амплитудой »прыгать» от атома к его соседям с любой стороны. Как же описывать такую систему» Что считать разумнымн базиснызш состозппямп? Если вы вспомните, что мы делали, когда у электрона бьщо только две возможные позиции, вы сможето догадаться.
Пусть в кашен цепочке все расстояния ме кду атомами одинаковы, и пусть мы их пронумзруем по порядку, как на фиг. 11.1,а. О но базисное состояние — когда электрон находится возле атома № 6; другое базисное состояние — когда электрон находится возле № 7, или возле № 8, и т. д.; и-е базисное состояние можно описать, сказав, что электрон находится возле атома № п. Обозначим это базисное состояние,'и). Из фиг. 11.1 ясно, чтб подразумевается под тремя базисными состояниями: )п — 1), (и) н ~в+1).
С помощью этих наших базисных состояний можно описать любое состояние ф) нашего одноморного кристалла, задав все амплитуды (пф) того, что состоянпо Зу) находится в одном из базисных состояний, т. е. амплитуду того, что электрон расположен близ данного частного атома. Тогда состояние (~р) можно записать в виде суперпозпцпи базисных состоянии: (11.1) Кроме того, мы хотим еще предположить, что когда электрон находится близ одного из атомов, то имеется некоторая амплитуда того, что он просочится к тому атому, что слева, или к тому, что справа. Возьмем простейший случай, когда считается, что он может просочиться только к ближайшим соседям, а к следующему соседу он сможет дойти в два приема. Примем, что амплитуды того, что электрон перепрыгнет от одного атома к соседнему, рйвны»А/Ь (за единицу времени).
Изменим на время обозначения, и амплитуду (и~~у), связанную с п-и атомом, обозначим через Сгк Тогда (11.1) будет иметь вид ) гэ) =- ~ ~ л) Сгк (11.2) Если оы вы знали каждую из амплитуд С„в данный момент, то, взяв квадраты их модулей, можно было бы получить вероятность того, что вы увидите электрон, взглянув в этот момент на атом и. Но что сталось бы чуть позже? По аналогии с изученными нами скстемахпг с двумя состояннчмн мы предлагаем составить гампльтоковы уравнения для этой системы в виде уравнений такого типа: 1(," (') ... Е,С (1) АС„.,(Г) АС„,(1). (11.2) 11орвып справа козффпциент Е, физически означает энергию, которую имел бы электрон, если бы он не мог просачиваться от одного атома к другим.
(Совершенно неважно, что мы назовем Е„; мы неоднократно видели, что реально зто не означает ничого, кроме выоора нуля энергии.) Следующий член представляет амплитуду в единицу времени того, что электрон из (и + 1)-й ямки просочится в л-го ямку, а последний член означает амплитуду просачивания из (и — 1)-й ямки.
Как обычно, А считается постоянным (не зависящим от Г). Для полного описания поведения любого состояния ) <р) надо для каждой из амплитуд С„иметь по одному уравнению типа (11.3). Поскольку мы намерены рассмотреть кристалл с очень большим количеством атомов, то допустим, что состояний имеется бескоггечно много, атомы тннутсн без конца в обе стороны. (При конечном числе атомов придется специально обращать внимание па то, чтб случается на концах.) А если колглчество АГ наших базисных состояний бесконечно велико, то и вся система наших гамильтоновых уравнений бесконечна1 Ъ)ы напишем только часть ее: ш й! М.
Соетпояння определенной энергни Об электроне в решетке мы теперь уже можем узнать очень многое. Для начала попробуем отыскать состояния определенной энергии. Как мы видели в предыдущих главах, это означает, что надо отыскать такой случай, когда все амплитуды меняются с одной частотой, если только они вообще меняются. Мы ищем решение в виде С =а е-шп". и л (11.5) Комплексное число а„говорит нам о том, какова не зависящая от времени часть амплитуды того, что электроны будут обнаружены возле и-го атома.
Если это пробное решение подставить для проверки в уравнения (11А), то получим (11.6) Перед нами бесконечное число уравнений для бесконечного количества неизвестных а„! Ситуация тяжелая! 11о мы знаем, что надо только ваять детерминант... пег, погодите! Детерминанты хороши, когда уравнений два, три или четыре. Но здесь их очень много, даже бесконечно много, и вряд ли от детермипантов будет толк. Нет, лучше попробовать решать эти уравнения прямо. Во-первых, пронумеруем изложения атомов; будем считать, что и-й атом находится в х„, а (и+1)-й — в х„,. Если расстояние между атомами равно Ь (как на фиг. 11.1), то х„„, =- х„+Ь. Взяв начало координат в атоме номер нуль, можно даже получить х„=- иЬ.
Уравнение (11.5) можно тогда переписать в виде С„.= а (х„) е-'в»" (11.7) а уравнение (11.6) превратится в Еа (х„) = Е,а (х„) — Аа (х„,) — Аа (х„,). (11.8) Пользуясь тем, что х„, =-х„+Ь, это выражение можно также записать в виде Еа (х„) == Е а (х„) — Аа (х„-(- Ь) — Аа (х„— Ь).
(11.9) Это уравнение немного походит на дифференциальное. Оно говорит, что величина а('х) в точке х„связана с той же физической величиной в соседних точках х„~- Ь. (Дифференциальное уравнение связывает значения функции в точке с ее значениями в бесконечно близких точках.) Может быть, здесь подойдут методы, которыми мы обычно пользуемся для решения дифференциальных уравнений? Попробуем. Решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами всегда могут быть выражены через экспоненты.
Попробуем и здесь то же самое; в качестве пробного решения выберем а(х„) =е'" о. (11.10) Тогда (11.9) обратится в Ее'ь» =Е е о»о — Ае ь <»о+й — Аем ~» -ь1 (11 11) о ' Сократим на общий множитель е'о»а, получим Е = Ео Аеыь Ае оь (11.12) Два последних члена равняются 2А соз)гЬ, так что Е = Е, — 2А )оЬ. (11. 13) Мы обнаружили, что прн любом выборе постоянной й имеется решение, энергия которого дается этим уравнением. В зависимости от й получаются различные возможные энергии, и каждая й соответствует отдельному решению. Решений бесконечно много; но это и не удивительно, ведь мы исходим из бесконечного числа базисных состояний.
Посмотрим, каков смысл этих решений. Для каждой й уравнение (11.10) дает свои а. Тогда амплитуды обращаются в С„= е'о'»е- «би к', (11.14) причем нужно помнить, что энергия Е также зависит от Й в согласии с уравнением (11.13). Множитель еео с дает проспоракепьвенную вавиеилосгпь амплитуд. Амплитуды при переходе от атома к атому колеблются.
При этом имейте в виду, что колебания амплитуды в пространстве комп.оекекьь, модуль ее вблизи любого атома один и тот ясе, а фаза (в данный момент) от атом а к атому сдвигается на йЬ. Чтобы можно было видеть, что происходит, поставим у каждого атома вертикальную че рточку, равную вещественной части амплитуды (фиг. 11.2). Огибающая этоох вертикалей (показанная штрихованной линией) является, конечно, косинусоидой. Мнимая часть ф— это тоже колеблющаяся функция, но Ф и г . 11.2.
Иоиенение ееогесоагенной части С„с»„, $1 Ео-2А Ш и о. 11,8. Зноргол оооовнонарнь1л ооотолнив как фкнквил лартотнра и она сдвинута по фазо на 90', так что квадрат модуля (сумма квадратов вещественной и мнимой частей) у всех С один и тот оке. Итак, выбирая А., мы получаем стационарное состояние с определенпой энергией Е. И в каждом таком состоянии электрону одцнаково вероятно оказаться около любого из атомов, пкьакпх преимуществ у одного атома перед другим нет. От атома к атому покается только фаза. Фазы меняются еще и со временем. Из (11 14) следует, что вещественная п мнимая части распространяются по кристаллу, как волны, как вещественная и мнимая части выражения ео Рло-(е/Ь) П (11.15) Волна может двигаться либо к положительным, либо к отрицательным х, смотря по тому, какой знак выбран для й. Заыетьте, что мы предположили, что поставленное в нашем пробном решении (11.10) число й есть число вещественное.
Тспорь видно„почему в бесконечной цепочке атомов так и должно быть. Пусть й было бы мнимым числом — й'. Тогда амплитуды л „менялись бы, как ен'.", что означало бы, что амплитуда растет все выше н выше, когда х возрастает, или при Й' отрицательном, когда х становится болшпим отрицательным числом. Такой вид решения был бы вполне хорош, если бы цепочка атомов на чем-то кончалась, но в бесконечной цепи атомов зто не может быть физическим решением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
