Фейнман - 09. Квантовая механика II (1055675), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Оно привело бы к бесконечным амплитудам и, стало быть, к бесконечным вероятностям, которые не могут отражать действительного положения вещей. Позже мы встретимся с примером, когда и у мнимых й есть смысл. Соотношение (11.13) между энергией Е и волновым числом й изобраокено на фиг. 11.3. Как следует из этого рисунка, энергия может меняться от Е,— 2А при й = 0 до Е, + 2А при й=-+я/Ь. График начерчен для положительных А, при отрицательных А кривую пришлось бы перевернуть, но область изменения осталась бы прежней.
Существенно то, что в некоторой области, нли «полосе» энергий допустимы любые значения энергии; вне полосы энергии быть не может. Из наших предположений следует, что если электрон в кристалле находится в стационарном состоянии, энергия его не сллогкет оказаться вне этой полосы. Согласно (11.10), меньшие й отвечают более низким энергетическим состояниям ЕжЕо — 2А. Когда /с по величине растет (все равно, в положительную или отрицательнуло сторону), то энергия сперва растет, а потом при /г.= -з-я/Ь достигает максимума, как показано на фиг. 11.3.
Для /е, больших, чем я/Ь, энергия опять начала бы убывать. Но такие /с рассматривать не стоит, онп не приведут к каким-либо новым состояниям, а просто повторяют те состояния, котортяе уже появлялись при меньших /с. Вот как в этом можно убедиться. Рассмотрим состояние наияпзшей энергии, для которого й =- О. Тогда при всех ха коэффициент а (х„) будет один и тот же (см. (11.10)). Та же самая энергия получилась бы и при /г = 2я/Ь.
Тогда из (11.10) следовало бы а (х ) .— ег 1«атц х„ и Но, считая, что начало координат приходится на х,, можно положить хи =- кЬ, и тогда а (х„) превратится в а(х ) =е""" =1, и т. е. состояние, описываемое этими а (х„), физически ничем не будет отличаться от состояний при й =- О.
Оно не представляет особого решения. В качестве другого примера возьмем /г =-я/4Ь. Вещественная часть а (х„) изображена на фиг. 11.4 кривой 1. Если бы /г было в семь 1>аз больше (й= — 7я/4Ь), то вещественная часть а (ха) ллеяяешсь бы так, как показано на кривой 2. (Сама косинусоида смысла не имеет, важны только ее значения в точках хи.
Ф и г, Ы.4. Пара яначений й, пребстаеляюигия одну и ту же фияичесную ситуацию. 1 ривпя 1 — зял л=я74ь, яржая я — зля н=гн74ь. Кривые нужны просто для того, чтобы было видно, как все меняется.) Вы видите, что оба значения Й во всех х„дают одинаковые амплитуды. Вывод из всего этого состоит в том, что все возможные решения нашей задачи получатся, если взять Й только из некоторой ограниченной области. Ъ1ы выберем область от — я/Ь до +я/Ь (она показана на фиг, 11.3).
В этой области энергия стационарных состоянии с ростом абсолютной величины Й возрастает. Еяге одно побочное замечание о том, с чем было бы забавно повозиться. Представьте, что электрон может не только перепрыгивать к ближайшим соседям с амплитудой 1А/й, но имеет еп1е возможность одним махом перепрыгивать н и следуюк)ия за киши соседям с некоторой другой амплитудой 1В/Й. Вы опять обнаружите, что решение можно искать в форме а„= ем*~, етот тнп решений является универсальным. Вы такясе увидите, что стационарные состояния с волновым числом Й иззетот энергию Е,— 2А соз ЙЬ вЂ” 2В соз 2ЙЬ. Это означает, что форма кривой Е как функции Й не универсальна, а зависит от тех частных допущопий, при которых решается задача.
Это ке обязательно коспнусоида, н апа даже нс обязательно симметрична относительно горизонтальной осн. Но зато всегда верно, что кривая взо интервала ( — я/Ь, яф) повторяется, так что заботиться о других значонанх Й нг ну;кно. Погмотрпм еще внтнштельнее па то, чтб происходит при малых Й, когда вариации амплитуд между одним х„и соседним очень маленькие.
Вудем отсчитывать зпергшо от такого уровня, чтобы было Гз =. 2Л; тогда минимум кривой фиг. 11.3 придется па нуль зпсргии. Для достаточно малых Й можно написать 1 — тыз з и энергия (11.13) превратится в Е = АЙ'Ь'. (11А3) Получается, что энергия состояния пропорциональна квадрату волнового числа, описывающего пространственные вариации амплитуд С,.
ф о. Сосгпояння, оавттсям1не отя кремоны В этом параграфе мьз хотим подробнее обсудить поведение состояний в одномерной решетке. Если для злектрона амплитуда того, что он окажется в х„, равна С„, то вероятность найти его там будет ~С„~'. Для стационарных состояний, описанных уравнением 111.12), зта вероятность лри всех х„одна и та же и со временем не меняется. Как же отобразить такое положение вещей, которое грубо можно было бы описать, сказав, что электрон опреде- 14 йг и г. 11.».
Веиуествеггн я часть С(хн) как функция х для сунернозиции нескольких состояний с близкими знергияни. АО групп дэ ' ~11.17) все это в равной мере относится и к нашему случаю. Состояние электрона, имеющее вид «скопления», т. е. состояние, для которого С„меняется в пространстве так, как у волнового пакета на фиг. 11.5, будет двигаться вдоль нашего одномерного з Только пе старайтесь сделать пакет чересчур узким.
ленной энергии сосредоточен в олроделенной области, так что более вероятно найти его в каком-то одном месте, чем в другом? Этого можно добиться суперпоэицией несколысих решений, похожих на (11.12), но со слегка различными значенинми й и, следовательно, с различными энергиями. Тогда, по крайней мере при 1 = О, амплитуда С вследствие интерференции различных слагаемых будет зависеть от местоположения, в точности так же, как получаются биения, когда имеется смесь волн разной длины [см.
гл. 48 (вып. 4)]. Значит, можно составить такой «волновой пакет», что в нем будет преооладать волновое число йо, но будут присутствовать и другие волновые числа, близкнэ к йо В нашей сунерпозиции стационарных состояний амплитуды с разными й будут представлять состояния со слегка различными энергиями и, стало быть, со слегка )уазличными частотами; интерференционная картина суммарного С„поэтому тоже будет меняться во времени, возникнет картина «биений».
Как мы видели в гл. 48 (вып. 4), пики биений )места, где (С (х„))» наибольшие! с течением времени начнут двигаться по х; скорость их движения мы назвали «групповой». Мы нашли, что зта групповая скорость связана с зависимостью й от частоты формулой «кристалла» с быстротой в, равной оо»/Л, где о=Ей. Подстав- ляя (11.16) вместо Е, получаем 2Аь» и= й. ь (11. 18) Я = — «- и о»»», 1 (11Л6) где т.„в — постоянная. Изоыточпая «энергия движения» элект- рона в пакете зависит от скорости в точности так же, как и у классической частицы. Постоянная в».в». именуемая «эффектив- ной массой», дастся выраженном (11.26) Заметьте еще, что мо»кно написать тми ~=И. (11.21) Если мы решки назвать т,е»а «импульсом», то этот импульс будет связан с волновым числом й так жо, как и у свободной частицы.
Не забывайте, что т„„» ничего общего не имеет с реальной массой электрона. Она может быть совсем другой, хотя следует сказать, что в реальных кристаллах часто случается, что ео порядок величины оказывается примерно таким же (в 2 нли, ока»кем, в 26 раз болыпе, чем масса электрона в пустом пространстве). Мы только что с вами раскрыли поразительну»о тайпу— как это электрон в кристалле (например, пущенный в германий добавочный электрон) может пронестись через весь кристалл, может лететь по нему совершенно свободно, даже если ему приходитсн сталкиваться со всеми атомами.
Это получается оттого, что его амплитуды, перетекая с одного атома на другой, прокладыватот ему путь через кристалл. Вот отчего твердое тело может проводить электричество. 16 Иными словами, электроны движутся по кристаллу с быстротой, пропорциональной самому характерному й. Тогда, согласно (11.16), энергия такого электрона пропорцпокалька квадрату его скорости, он «еде п сеол подаоко хллссичесяой чосл»вйе. Пока иы рассматриваем все в столь крупном масштаое, что никаких тонкостей строения разглядеть пс ножом, наша квантовомехапическая картнна приводит к тем жэ результатам, ыо и классическая физика.
В самом деле, если пз (11.18) найти й и подставить его в (11.16), то получится ф А Элеипгрон в гггрессмерно1г реигетеьке Еще немного о том, как можно применить те же идеи, чтобы понять, чтб происходит с электроном в трех измерениях. резуль- таты оказываются очень похе>кими. Пусть имеется прямоуголь- ная решетка атомов с расстояниями а, Ь, с в трех направлениях. (Если вам болыпе по душе кубическая решетка, прнмите все расстояния равнымп друг другу.) Предположнм такжо, что ам- плптУда пРыжка к соседУ в напРавленни х есть 1Ае11г; ампли- туда прыжка в направлении у есть (Ат1йэ а амплптула прыжка в направлшшп г есть Ь1,111. Как жс описать базисные состоя- ния? Как н и одномерном случае, одяо базисное состояяпо— это когда электрон находится близ атома с коордпнатамя х, у, г, где (х, у, г) — одна из точек решетки.
Если выбрать начало координат в одном нз атомов, то нсе зти точки придутся на х:-=п а, у=в Ь н г=яс, где п„, и, и, — трп полых числа. Вместо того чтобы ставить прп х, у и г нх номера, будем просто писать х, у, г, имоя в виду, что они принимают лишь такио значения, которые бывают у то- чек решетки. Итак, базисное состояние изображается символом ) электрон в х, у, г), а амплитуда того, что электрон в неко- тором состоянии ! ф) окажется в этом базисном состоянии, есть С (х, у, г) =-( электрон в х, у, г ф). Как и прежде, амплитуды С (х, у, г) могут меняться во вре- мени. При наших предположениях гамильтоковы ураенсния обязаны выглядеть следующим образом: Й ' ' =.Е,С(х,у,г) — А„С(х+и, у,г) — ЛеС(х — а, у,г)— с*С (х, Ю г) щ — А С (х, у+ Ь, г) — А С (х, у — Ь, г)— — А,С (х, у, г+с) — А,С(х, у, г — с). (11.
22) Хоть это и вьпляднт громоздко, но вы сразу, конечно, поймете, откуда взялось каждое слагаемое. Опять попробуем найти станионарпое состоннио, в котором все С меняются со временем одинаково. И снова решение есть вкспонента С (х, у, г) == е 'вн" е' о х+"ее~-ем), (11.23) 1'.ели вы подставите это в (11.22), то увидите, что оно вполне подойдет, если только энергия Е будет связана с й„, й и й, следующим образом: Е=-Е,— 2А,соей,а — 2А соей Ь вЂ” 2А„соей,с. (11.24) Теперь энергия зависит от трех волновых чисел й„, й, 1с„ которые, кстати, есть компоненты трехмерного вектора И действительно, (11.23) можяо переписать в векторных обозначениях: С (х, у, г) = е 'кнье-м'. (11.25) Амплитуда меняется как комплексная плоская волна, которая дви»кется в трехмерном пространстве в направлении )г с волновым числом )с= (й,' + й', + )с') ' Энергия, связываемая с этими стационарными состояниями, зависит от трех компонент й сложным образом, подчиняясь уравнению (11.24).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
