Фейнман - 08. Квантовая механика I (1055673), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Временами она распадается, а порой превращается в частицу другого сорта. Характеристическая вероятность етого аффекта по мере ее движения меняется очень странно. Ничего другого, похожего на зто, в природе нет. И это удивительнейшее предсказание было сделано только на основе рассуждений об интерференции амплитуд.
Если и существует какое-то место, где есть шанс проверить главные принципы квантовой механики самым прямым образом — бывает ли суперпозиция амплитуд или не бывает, — то оно именно здесь. Несмотря на то что этот эффект был предсказан уже несколько лет тому назад, до сих пор достаточно ясного опытного определения еще не было. Имеются некоторые грубые результаты, указывающие, что значение а не равно нулю и что эффект действительно наблюдается: они свидетельствуют, что а по порядку величины равно р. И это все, что мы знаем из эксперимента.
Было бы замечательно, если бы удалось точно проверить и посмотреть, действительно лп работает принцип суперпознции в этом таинственном мире странных частиц— с неизвестными поводами для распадов и неизвестным поводом существования странности *. Анализ, который мы только что привели,— характерный пример того, как сегодня используется квантовая механика, чтобы разгадать странные частицы. Во всех сложных теориях, о которых вы, быть может, слышали, нет ничего сверх этого элементарного фокуса, использующего принципы суперпозицин и другие принципы квантовой механики того же уровня.
Некоторые утверждают, что у них есть теории, с помощью которых можно подсчитать р и а или по крайней мере а прн данном р. Но эти теории совершенно бесполезны. Например, теория, предсказывающая значение а при данном Р, говорит, что а должно быть бесконечным. Система уравнений, из которой они исходят, включает два я-мезона и затем возвращается от двух я-мезонов обратно к Кс-мезону и т. д. Если все выкладки проделать, то действительно возникает пара уравнений, похожих на те, что у нас получались, но, поскольку у двух я-мезонов имеется бесконечно много состояний, зависящих от их импульсов, интегрирование по всем возможностям приводит к а, равному бесконечности. А природное а не бесконечно.
Значит, динамические теории неверны. На самом деле чрезвычайно поразительно, что единсгпоеяные явления, которые могут быть в мире странных частиц предсказаны, вытекают из принципов квантовой механики на том уровне, на котором вы их сейчас изучаете. в Такую интерференцию действительно наблюдали. Козффкцкект я оказался равкым — 0,960. Отсюда можко было вычислять к разкость масс К,- и Кюмозоков. Ока оказалась равной около — 0,05 10 ' ов, Это каимвкьшав равкость масс двух частиц, кавосткых физикам.— Прим, ред. ф 6. Обобщение на систнемы с Л состяоянияпи Мы покончили с системами с двумя состояниями, рассказав все, что хотелось.
В дальнейших главах мы перейдем к изучению систем с ббльшим числом состояний. Раси|прение на системы с М состояниями идей, разработанных для двух состояний, проходит довольно просто. Это делается примерно так. Если система обладает Ж различными состояниями, то всякое состояние ~ ф (г)) можно представить как линейную комбинацию произвольной совокупности базисных состояний !1), где 1=1,2,3,...,У: (9.57) Коэффициенты С;(Г) — это амплитуды (1) ф (Г)>.
Поведение амплитуд С; во времени направляется уравнениями (9.58) где энергетическая матрица Н, описывает физику задачи. О виду она такая же, как и для двух состояний. Но только теперь и 1, и ) должны пробегать по всем Х базисным состояниям, и энергетическая матрица НН (или, если вам больше нравится, гамильтониан) — зто теперь матрица Л'ХЛ', состоящая из Л' чисел. Как и прежде, Нй=-Н; (до тех пор, пока частицы сохраняются) и диагональные элементы Нп суть вещественные числа. Мы нашли общее решение для всех С в системе с двумя состояниями, когда энергетическая матрица постоянна (не зависит от г).
Точно так же нетрудно решить и уравнение (9.58) для системы с Л" состояниями, когда Н не зависит от времени. Опять мы начинаем с того, что ищем возможное решение, в котором у всех амплитуд зависимость от времени одикакова. Мы про- буем С; = а;е-о1"~ к'. (9.59) Если все эти С; подставить в (9.58), то производные дС; (1)/й превращаются просто в ( — 1/Ь) ЕС;. Сокращая повсюду на общую экспоненту, полу. чаем Еа; = ~~ь~' ,Но а,.
(9.60) Эта система Х линейных алгебраических уравнений для Х неизвестных ат, аю..., а„; решение у нее бывает только тогда, когда вам сильно повезет, когда определитель из коэффициентов при всех а равен нулю. Но не нужно чересчур умничать: можете просто начать их решать любым способом, и вы сразу увидите, что решить их удается лишь при некоторых значениях Е. (Вспомните, что единственная величина, которая в этих уравнениях подлежит подгонке, зто Е.) Если, впрочем, вы хотите, чтобы все было по форме, перепишите (9.60) так: ')~~ (11, — бОЕ) аг — — О. (9,6() / Затем примените правило (если оно вам знакомо), что эти урав- нения будут иметь решения лшпь для тех значений Е, для кото- рых ()е$ (11;~ — б;;Е) = О.
(9.62) Каждый член в детерминанте — это просто Н; и только из диагональных отнято Е. Иначе говоря, (9.62) означает просто ׄ— Е 11„ 11~з 11м й аз Е 11зз 1131 1132 Нзз Е =О. (9.63) Е,Е,Е, ...,Е„, ...,Е, (9.64) (пусть и обозначает л-е порядковое числительное, так что и принимает значения 1, 11, ..., г(). Некоторые из этих энергий могут быть между собой равны, скажем Е, =Егя ио мы решили все же обозначать их разными именами. Уравнения (9.60) или (9.61) имеют по одному решению для каждого значения Е (из (9.64)). Если вы подставите любое из Е, скажем Е„в (9.60) и найдете все а,, то получится ряд чисел а;, относящихся к энергии Е„.
Этот ряд мы обозначим а; (и). Если подставить эти а; (и) в (9.59), то получатся амплитуды С; (и) того, что состояния с определенной энергией находятся з базисном состоянии ! ~). Пусть | и) обозначает вектор состояния для состояния с определенной энергией при ~=0. Тогда можно написать С. (и) =-(( (и) еш"~лп' Зто, конечно, всего-навсего особый способ записывать алгебраические уравнения для Е, складывая вереницы членов, перемножаемых в определенном порядке.
Эти произведения дадут все степени Е вплоть до Ел. Значит, у нас есть многочлен Х-й степени, который равняется нулю. У него, вообще говоря, есть Лг корней. (Нужно помнить, однако, что некоторые из них могут быть кратными корнями; зго значит, что два или более корней могут быть равны друг другу.) Обозначим эти )у корней так: где (9.65) (г ( и» = а; (п). Полное состояние с определенной энергией !»р„(~)) можно тогда записать так: ( «р„(е)) = ~я~ ~(»у а, (и) е-Ф"» в»", или /»~„(1) ) =- / и) е- к'"> в»' . (9.66) Векторы состояний ( и) описывают конфигурацию состояний с определенной энергией, но с вынесенной зависимостью от времени.
Это постоянные векторы, которые, если мы захотим, можно использовать в качестве новой базисной совокупности. Каждое из состояний ~ и) обладает тем свойством (в чем легко убедиться), что при действии на него оператором Гамильтона Н получится просто Е„, умноженное на то же состояние: Й)п) = Е»)пу. (9.67) Значит, энергия Е„ — это характеристическое число оператора Гамильтона Й. Как мы видели, у гамильтониана в общем случае бывает несколько характеристических энергий. Физики обычно называют кх «собстьеннымн значениями» матрицы Н.
Для каждого собственного значения Н, иными словами, для каждой энергии, существует состояние с определенной энергией, которое мы называли «стационарным». Состояния ! и) обычно именуются «собственными состояниями Н». Каждое собственное состояние отвечает определенному собственному значению Е„. Далее, состояния ! и) (их Н штук) могут, вообще говоря, тоже быть выбраны в качестве базиса.
Для этого все состояния должны быть ортоговальны в том смысле, что для любой пары нх, скажем ( и) и ~ тп), Сп (»пу =- О. (9.68) Это выполпится автоматически, если все энергии различны. Кроме того, можно умножить все а; (и) на подходящие множители, чтобы все состояния были о»нормированы: чтобы для всех и было (п|и> = 1. (9.69) Когда оказывается, что (9.63) случайно имеет два (или больше) одинаковых корня с одной и той же энергией, то появляются небольшие усложнения.
По-прежнему имеются две различные совокупности а;, отвечагощие двум одинаковым энергиям, но состояния, которые они дают, не обязательно ортогональны. Пусть вы проделали нормальную процедуру и нашли два стационарных состояния с равнымн энергиями. Обозначим их ( р) и ( «). 'Гогда они не обязательно окангутся ортогональными: если вам не повезло, то обнаружите, что <Р! «>ФО.
Но зато всегда верно, что можно изготовить два новых состояния (обозначим их ! р') и ( «')) с теми же энергиями, но ортогональных друг другу: <р'!«'>=О. Этого мокно добиться, составив ((г') и («") из подходящих линейных комбинаций ( р ) и ~ «) с так подобранными коэффициентами, что (9.70) будет выполнено. Это всегда полезно делать, н мы будем вообще предполагать, что это уя<е проделано, так что мок но будет считать на~пи собствекноэиергетические состояния ( и) все ортогональными. Для интереса докажем, что когда два стационарных состояния обладают разнымн энергиями, то они действительно ортогональны. Для состояния ( и) с энергией Е„ 1Х~п>=-Е„~ и>. (9.7Ц Это операторное уравнение на самом деле означает, что имеется соотношение между числами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
