Фейнман - 08. Квантовая механика I (1055673), страница 48
Текст из файла (страница 48)
1'амильтониан основного состояния водорода Через минуту вы это узнаете. Но преягде хочу вам напомнить одну вещь: всякое состояние всегда могкно представить в виде линейной комбинации базисных состояний. Для любого состояния )ф) можно написать ~ 'р> =' ~ + + > < + + ~ чр>+! + — > < + — ~ чр>+ +~ — +>< — +~ р>+( — — >< — — ~ р>. (10.21 Напомним, что полные скобки — это просто комплексные числа, так что их можно обозначить обычным образом через С;, где 1=1, 2, 3 или 4, и записать (10.2) в виде ~р) =(+ +) С,+~+ — ) С,+) — +) С,+! — — ) С,. (103) Задание четверки амплитуд С; полностью описывает спиновое состояние (~р).
Если зта четверка меняется во времени (как это и будет на самом деле), то скорость изменения во времени дается оператором Н. Задача в том, чтобы найти этот оператор Н . Не существует общего правила, как писать гамильтониан атомной системы, и отыскание правильной формулы требует болыпего искусства, чем отыскание системы базисных состояний. Мы вам смогли дать общее правило, как записывать систему базисных состояний для любой задачи, в которой есть протон и электрон, но описать общий гамильтониан такой комбинации на атом уровне слишком трудно. Вместо этого мы подведем вас к гамильтониану некоторыми эвристическими рассуждениями, и вам придется признать его правильным, потому что результаты будут согласовываться с экспериментальными наблюдениями.
Вспомните, что в предыдущей главе мы смогли описать гамичьтониан отдельной частипы со спином '/ю применив сигма- матрицы нли в точности эквивалентные им сигма-операторы. Свойства операторов сведены в табл. 10.1. Эти операторы, являющиеся просто удобнылц краткимспособом запомипанияматричных элементов типа <+~ о, )+), были полезны для описания поведения отдельной частицы со спином "(,.
Возникает вопрос, можно ли отыскать аналогичное средство для описания системы с двумя спинами. Да, и очень просто. Вот смотрите. Мы изобретем вещь, которую назовем «электрон-сигма» и которую будем представлять векторным оператором о' с тремя компонентами о„, о и о;. Дальше условимся, что когда одна из них действует У 247 У«блаза 10.1 ° свойства сигмл-опкгатогов +1+> +! †> +~+> +0 — > — д+> >= >= >= >= >= >= ва какое-то из наших четырех базисных состояний атома водо- рода, то она действует на один только спин электрона,причем гак, как если бы электрон был один, сам по себе.
Пример: чему равно о ! — +)? Поскольку о, действующее на электрон со спином вниз, дает — К умножейное на состояние с электроном, у которого спин вверх, то о ! — +>= — — 1~+ +>. (Когда о' действует на комбинированное состояние, оно пе- У реворачивает электрон, не затрагивая протон, и умножает результат яа — 1.) Действуя на другие состояния, о«даст о')+ + > =- 1) — + >, о )+' — >= »~ — — ), У о'! — — >= — ~~+ — >.
У о~(+ +) =-)+ — ), о„|+ — ) =~+ +), о»( — +>=~ — — >, о»~ Как видите, ничего трудного. В общем случае могут встретиться вещи и посложнее. Например, произведение операторов о оэ. Когда имеется такое про- 248 Напомним еще раз, что оператор о«действует только на первый спиновый символ, т. е.
на спин электрона. Теперь определим соответствующий оператор «протон-сигма» для спина протона. Три его компоненты ое, оэ, о» действуют так же, как ип', но только на иротокный спин. Например. если о„"будет действовать на ка»кдое из четырех базисных состояний, то получится (опять с помощью таба. 10Л) изведение, то сначала делается то, что хочет правый оператор, а потом — чего требует левый *. Например, а„'о»)+ — >=а„"(а» ~+ — >) =а„'( — )+ — )) = е = — а ~)- — >= — ) — — >, Заметьте, что зти операторы с числами ничего не делают; мы использовали зто, когда писали ае ( — 1) =( — 1) ое. Мы говорим, что операторы «коммутируют» с числами или что числа «можно протащить» через оператор.
Попрактикуйтесь и покажите, что произведение о' о, дает для четырех состояний следующий результат: а'ае(+ +> = +) — +>, а„'о» (+ — ) = — ( — — ), а„'а",( — +) = — +)++), о,.а, ( — — > = — — )+ — >. е Р Если перебрать все допустимые операторы, каждый по разу, то всего может быть 16 во»моя<костей. Да, шестнадцать, если включить еще «единичный оператор» 1. Во-первых, есть тройка а„, о, а,', затем тропка а„о, о„итого шесть.
Кроме того, имеете е е » У' ся девять произведений вида а„' о"„, итого 15. И еще единичный оператор, оставляющий все состояния нетронутыми. Вот и все шестнадцать! Заметьте теперь, что для системы с четырьмя состояниями матрица Гамильтона должна представлять собой матрицу козффициентов 4м 4, в ней будет 16 чисел. Легко показать, что всякая матрица 4Х4, и в частности матрица Гамильтона, может быть записана в виде линейной комбинации шестнадцати двойных спиновых матриц, соответствующих системе операторов, которые мы только что составили. По»тому для взаимодействия между протоном и злектроном, в которое входят только их спины, мы можем ожидать, что оператор Гамильтона может быть записан в виде линейной комбинации тех же 16 операторов.
Вопрос только в том, как. Но, во-первых, мы знаем, что взаимодействие не зависит от нашего выбора осей для системы координат. Если нет внешнего возмущения — чего-то вроде магнитного поля, выделяющего какое-то направление в пространстве,— то гамнльтониан не мояеет зависеть от нашего выбора направлений осей х, р и ю Это означает, что в гамнльтоннане не может быть таких членов, как ае сам по себе. Зто выглядело бы нелепо, потому что кто-ни- е для этих операторов, правда, окааызаетск, что от их порядка ничего ке зависит.
о а =-а о,.+о о„+а;о,.~ е р е Р е э е эп (10.4) Этот оператор ннвариантен по отношению к любому повороту системы координат. Итак, единственная возможность для гамильтониана с подходящеи симметрией в пространстве — это постоянная, умноженная на единичную матрицу, плюс постоянная, умноженная на это скалярное произведение, т. е. Н=-Еэ+Аоа "'. (10.5) Это и есть наш гамильтониан. Это единственное, чему, исходя иа симметрии в пространстве, он моэкет равняться, пока пет внешнего поля. Постоянный член нам многого не сообщит; он просто зависит от уровня, который мы выбрали для отсчета энергий.
С равным успехом можно было принять Е, =-О. А второй член поведает нам обо всем, что нужно для того, чтобы найти расщепление уровней в водороде. Если угодно, можно размышлять о гамильтониане иначе. Если поблизости друг от друга находятся дза магнита с магнитными моментами м, и 1лр, то их взаимная энергия зависит, кроме всего прочего, и от и, рр. А мы, как вы помните, выяснили, что та вещь, которую мы в классической физике нааывали и„ в квантовой механике выступает под именем и,и,. Подобным же образом, то, что в классической физике выглядит как рр, в квантовой механике обычно оказывается равным р ор (где )г„— магнитный момент протона, который почти в 1000 раз мейьше и, и имеет обратный знак). Значит, (10.5) утверждает, что энергия взаимодействия подобна взаимодействию двух магнитов, но не до конца, потому что взаимодействие двух магнитов зависит от расстояния между ними.
Но (10.5) может считаться (и на самом деле является) своего рода средним взаимодействием. Электрон как-то движется внутри атома, и наш гамильтониан дает лишь среднюю энергию взаимодействия. В общем все это говорит о том, что для предписанного расположения электрона и протона в пространстве существует энергия, пропорциональная косинусу угла между двумя магнитными моментами (выражаясь классически). Такая классическая качественная картина может помочь вам понять, откуда все получается, но единственное будь в другой системе координат пришел бы к другим результатам.
Единственно воаможны только член с единичной матрицей, скажем постоянная а (умноженная на 1), и некоторая комбинация сигм, которая не зависит от координат, некоторая «инвариантная» комбинация. Единственная скалярная инвариантная комбинация иэ двух векторов — это их скалярное произведение, имеющее для наших сигм вид что важно при атом то, что (10.5) — это правильная квантовомеханнческая формула. Порядок величины классического взаимодействия меягду двумя магнитами должен был бы даваться произведением двух магнитных моментов, деленным на куб расстояния менарду ними. расстояние между электроном и протоном в атоме водорода, грубо говоря, равно половине атомного радиуса, т.
е. 0,5 А. Поэтому можно примерно прикинуть, что постоянная А должна быть равна произведению магнитных моментов р, и рю деленному на куб половины ангстрема. Такая пристрелка йриводит к числам, попадающим как раэ в нужный район. Но оказывается, что А можно подсчитать и аккуратной, стоит только разобраться в полной теории атома водорода, что нам пока ие по силам. На самом деле А было подсчитано с точностью до 30 миллионных. Как видите, в отличие от постоянной переброса А молекулы аммиака, которую по теорки невозможно хорошо подсчитать, наша постоянная А для водорода можель быть рассчитана иэ более детальной теории. Но ничего не поделаешь, нам для наших теперешних целей придется считать А числом, которое может битв определено из опыта, и аналнэнровать физику дела.
Взяв гамнльтониан (10.5), можно подставить его в уравнение (10.6) и посмотреть, что делает спиновое вэаямодействие с уровнями энергии. Для этого надо подсчитать шестнадцать матричных элементов Оу — — (1 ~ Ы ~ 7), отвечающих любой двойке из четырех базисных состояний (10.1). Начнем с того, что подсчитаем, чему равно Н ) 1') для ка;кдого из четырех базисных состояний. К прныеру, Й(++>= Аа'аь~++>=А (а„'а" +о'ао+аьа,") ~++>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
