Фейнман - 08. Квантовая механика I (1055673), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Хотелось бы обратить ваше внимание, в частности, на то, что происходит в очень слабых магнитных полях. Имеется одна энергия ( — Зг1), которая не изменяется при включении слабого магнитного поля. И имеется другая энергия (.с-А), которая при включении слаоого магнитного полн расщепляется на три различных уровня энергии. В слабьсх полях энергии с ростом В меняются так, как показано на фнг. 10.5. Допустим, что у пас есть каким-то образом отобранное множество атомов водорода, у которых у. всех энергия равна — ЗА.
Если пропустить их через прибор Штерна — Герлаха (с не очень сильными волями), то мы найдем, что онп просто проходят целиком насквозь. (Поскольку их энергия не зависит от В, то, согласно принципу виртуальной работы, градиент магнитного поля не создает никакои силы, которая бы ощущалась имн.) Пусть, с другой стороны, мы бы огобралп группку атомов с энергией +А и пропустили их через прибор 1Т!терна — Герлаха, скажем через прибор Я.
(Опять поля в приборе не должны быть столь сильными, чтобы разрушить внутренность атома; подразумевается, что поля малы настолько, что энергии можно считать линейно зависящими от В.) Мы бы получили три пучка. На состояния ~ 1) и ~ 11) действу«от противоположные силы, их энергии меняются по В линейно с наклоном ~р, так что силы сходны с силами, действующими на диполь, у которого рх=-+(я, а состояние ~ ХХХ) проходит насквозь. Мы опять возвращаемся и гл. 3.
Атом водорода с энергией +А — это частица ео олином 1. Это энергетическое состояние является «частицей», для которой ~' ~+б"~, спин « ~' О Я>, ~ — -Я>, (10.41) (10.42) енин О. В гл. 35 (вып. 7) мы говорили, что у всякой част«щы компоненты момента количества движения вдоль лгобой оси пог>т принимать только определенные аначення, всегда отличаюьциеся на Ь. Таь, г-компонента момента количества движения ,l, может быть равна 1)ь, (1 — 1) й, (1 — 2) 6, °, ( — !) Я где 1 — скин частицы (который мо«кет оыть целым или полу~ельпи). Обыкновенно пишут У, =- тЛ, (10.43) где т стоит вместо любого нз чисел /, 1 — 1, 1 — 2: ° ° — 1 (в свое время мы не сказали оо этом).
Вы поэтому часто встретите в книжках нумерацию четырех основных состоянии при помощи так называемых квантовых чисел ) и т (часто именуемых «квантовым числом полного момента количества движения» ()) и «магннтным квантовым числом» (ш)). Вместо наших символов состояний ~ 1), ~ 11 ) н т. д. многие часто пишут состояния в виде ~ 1, т>. Нашу табличку состояний для нулевого поля в (10.41) и (10.42) они бы изобразили в виде табл.
10,3. Здесь нет какой-либо новой физики, ото просто вопрос обозначешп1. '~ «шенин 1н Х ° состояния атом« водошед» в н>левон полк Сооеонноо ~я и е Ноше »ооон~о~ ~не ~1>= ~+ 8, ,'ХП >= ~он' > 11 >=-',— и> ~1К > 1,+1 > О> И,— 1> ~0, 0> +~ 0 — 1 0 1=-1, и может быть описано (по отношению к некоторой системе осей в просгранстве) в терминах базисных состояний ~+Я>, 1 0 3> и ' — Ь ), которымп мы пользовались в гл. 3. С другой стороны, когда атом водорода имеет энергию — ЗЛ, он является частицей со спнном нуль.
(Напоминаем, что все сказанное, г срого говоря, справедлнволишьдля бесконечно малых магнитных полей.) Итак, состояния водорода в нулевом магнитном поле можно сгруппировать следующим образом: ф б. 11»»оенцт»онная ма»»»утща для енина 1* Теперь мы хотели бы применить наши анания об атоме водорода к одной специальной задаче. В гл. 3 мы говорили о том, что частица со спином 1, находящаяся в одном из базисных состояний (+, О, — ) по отношению к прибору Штерна — Герлаха с какой-то частной ориентацией (скажем, по отношению ь прибору Я), будет иметь определенную амплитуду пребывания в одном из трех состояний по отношению к прибору Т, ориентированному в пространстве по-другому. Имеются девять таких амплитуд ()Т ~ »о ), которые вместе образуют проекционную матрицу. В гл.
3, з 7, мы без доказательства выписали элементы этой матрицы для рааличных ориентаций Т по отношению к Ю. Теперь мы хотим показать вам один из способов их вывода. В атоме водорода мы с вами отыскали систему со спииом 1. составленную нз двух частиц со спином '/«. В гл. 4 мы ул«е научились преобразовывать амплитуды для спина '/«. Этп знания можно применить к тому, чтобы получить преобразование для спина 1. Вот как зто делается: имеется система (атом водорода с энергией +Л) со свином 1.
Пусть мы пропустили ее сквозь фильтр Я Штерна — Герлаха так, что знаем теперь, что она находится в одном из базисных состояний по отношению к Я, скажем в ~ +Я). Иакова амплитуда того, что она окажется в одном из базисных состояний, скажем ( +Т), по отношению к прибору Т? Коли вы назовете систему координат прибора Я системой х, у, з, то состояние ) +Я) — это то, что недавно называлось состоянием ) + +). Но представьте, что какой-то ваш приятель провел свою ось г вдоль оси Т.
Он свои состояния будет относить к некоторой системе х", у", г'. Его состояния «вверх»и«вниз» для электрона и протона отлнчались бы от ваших. Его состояние «плюс — плюс», которое можно записать ! + '+ ' ), отмечая «штрихованность» системы, есть состояние ~ +Т) частицы со олином 1. А вас интересует (+Т ~ +и"), что есть просто иной способ записи амплитуды <+'+' ( + +>. Амплитуду (+' +' ~ + + > можно найти следующим образом. В вашей системе спин алеко»рона из состояния ~+ +) направлен вверх.
Это означает, что у него есть некоторая амплитуда (+' ~ +), оказаться в системе вашего приятеля спином вверх и некоторая амплитуда ( — ' ! + ), оказаться в этой системе спином вниз. Равным образом, протея в состоянии + + ) имеет спин вверх в вашей системе и амплитуды (+ ' ~ + )р и ( — ~ + )р оказаться спином вверх или вниз в «штрихованной» системе. Поскольку мы говорим о двух разных частицах, то амплитуда того, что.обе частицы вместе в его «Тем, кто перескочил через гл. 4, придется пропустить и этот параграф.
системе окажутся спинами вверх, равна произведению амплитуд Тпбяиза 10гх Е АМПЛИТУДЫ Для С!1ИНА '.' Обоэначення, прпнятые нго 4 Оеоэначенпя, прпммтые и этол г:ыее < ' Т;+У> < — 7",+о > <+т) — у ' < — т~ — у> л =.= < 4 ' +> Ь=-< — '1+> 4=< — †> В пап4пх новых обозначениях (10.44) просто превращается в (+ '+ ' !-,'- + > = а'. Это как раз амп:тктуда (+ Т ~ +Я ) для спина 1. Теперь давайте, например, предположим, что у вашего приятеля система координат, т. е.
<штрихованныйэ прибор Т, повернута вокруг вашей оси г на угол 4(э; тогда из табл. 4.2 получается а .=- ( + ',' + > = еэч". Значит, нз (10.44) амплитуда для спина 1 окажется равной < +. Т ~ + ~> = <+ '+ ' ~+ + > = (ее~э)з=-е4т. (1045) Теперь вам понятно, как мы будем действовать дальше. Но хорошо бы провести выкладки в общем случае для всех состояний. Если протон и злектрон в кашей системе (системе Я) оба смотрят вверх, то амплитуды того, что в другой системе (системе Т) они будут в одном из четырех возможных состояний, <+ + )++>=<+')+>,<+'(+>и. (10.44) Мы поставили значки е и р под амплитудами (+ ~ +), чтоб было ясно, что мы делаеы.
Но обе опи — зто просто амплитуды преобразозанпй для частицы со спином '~„так что на самом деле — зто одна и те же числа, Фактически — зто те же амплитуды, которые мы з гл. 4 называли (+ Т ( +Я) и которые мы привели в табл. 4.1 и 4.2, Но теперь, однако, нам угрожает путаница в обозначениях. Надо уметь различать амплитуду (-1- Т,' +Я) для частицы со спинол т~т от того, что мы также назвати <+Т ~ +Я), но для спика 1 -между ними нет ничего общего( Надеюсь, вас не очень собьет с толку, если мы ка время введем якые обозначения аллплптУД ДДЯ сштна т!т Они пРивпДены в табл. 10.4. ДДЯ состоЯ44ий частиц спина 1 мы по-ярежкему будем пробегать к обозначениям ~ +8), , '0 бт) и , '— о).
равны <+'+' ~+ + ) = <+ ' 1+),<+'~+)з —— а', <+ — '~++>=<+ !+>,< '~+>,= Ь, < — '+'(+ +>=< — '!-(->,<+'!+> =Ьа, < 1++>.=< '~+>,< ~+>,=Ь. (10.46) Затем мы можем записать состояние (+ + ) в виде следующей линейной комбинации: ~++>=-а','-(- '-~-'>+ аЬ ( (+' — '>+,' — -'+'>)+Ьз ~ — ' — '>. (10.47) Но теперь мы замечаем, что ~+'+') — зто состояние ~+Т), что (!+' — '>+~ — '+'>с) — зто как раз )'2, рзсиозссеннзсй на состоянке ~~ОТ) (см. (10.41)), и что ) — ' — '>=-! — Т).
Иными словами, (10.47) переписывается в виде ~+ Я> =.—. а' (+ Т>+ ~' 2 аЬ !0 Т>+ Ьс ( — Т>. (10.48) Точно так же лепсо показать, что ~ — 5> =-с' )+ Т>+ 7 2 Ы)ОТ>+Р) — Т>. (10,49) С ~0 Я> дело обстоит чуть послонснее, потому что ~0 5>=-=(~+->+~ — +>). 1 Но кансдое из состояний (+ — ) и ~ — +) можно выразить чорез «штрнхованные» состояния и подставить в сумму: 1+ )-- == ас /+ '+ ')+И )+ ' — '> +Ьс ~ — '+'>+Ы/ — ' — '> и ! — +>= =- ас (+ '+ '>+ Ьс ~+ ' — '>+ асс ( — '+ '>+ Ы ! — ' — '>. (10. 50) (10.51) Умножая сумму (10.50) и (10.51) на 1Д~2, получаем р' г у'г ~0 Я>= — 'ас)+ + >+ — "'((+ — '>+! — +'>)+ 2 т- —..Ы~ — ' — '> $' 2 Отсюда следует (О Я>=)Глас)+Т>+(ад+Ьс)~ОТ>+7 2Ы~ — Т>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
