Фейнман - 08. Квантовая механика I (1055673), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Согласно классической физике, энергия их обоих вместе была бы суммой их энерюш; по квантовой механике это тоже правильно. Возникающая из-за наличия магнитного поля энергия взаимодействия равна просто сумме энергий " В«помяк»с, что классически 77= — р В, тэк что энергия нэимеяьюая, когда момент вэяравлея по полю. Для пояожятельяо заряженных частиц магнитный момент пэраллеяек саину, для отрицательных — наоборот. Значит, в (Е0.27) р — число положительное, а ив оя»ричателькос.
!7 хь ьзз взаимодействия электрона с магнитным полем и протона с тем же полем, выраженных через операторы сигма. В квантовой механике эти члены в действительности не являются энергиями, но обращение к классическим формулам для энергии помогает запоминать правила написания гамильтоииана. Как бы то ни было, (10.27) — это правильный гамильтониан. Теперь нужно вернуться к началу и решать всю задачу сызнова. Но большая часть работы уже сделана, надо только добавить аффекты, вызываемые новыми членами. Примем, что магнитное поле В постоянно я направлено по г. Тогда к нашему старому гамильтонову оператору В надо добавить два новых куска; обозначим их Й': Л' = — (!з,о, "+ !грпР) В. Пользуясь табл. 10.1, мы сразу получаем й'!++>=- — (р,+!,)в,++>, й'!+ — >=- -(!,--р,)в!+ — >, В'~ ! >= ( !з ! !р )В! ! >, (10.28) гг'( — — >=(ц,+р„) в! — — >. Смотрите.
как удобно! Оператор Й', действуя на каждое состояние, дает просто число, умноженное на зто же состояние. В матрице <~ ! У' ( !> есть поэтому только диагональные элементы, н можно просто добавить коэффициенты из (10.28) к соответствующим диагональным членам в (10ЛЗ), так что гамильтоновы уравнения (10.14) обращаются в !Ь вЂ” „,'=(.4 — (р,+$зр)В) С1, Й вЂ” ' = — (А + (!з,' — р ) В) Ср+ 2АС„ й'Сз=2АС,— (А — (ы.— !,)В) С„ Й вЂ”,'=(А+(р,+!тр)в) Сю (10.29) Форма уравнений не изменялась, изменились только коэффициенты. И пока В не меняется со временем, можно все делать так же, как и раньше. Подставляя Ср — — аге-<~'З!к', мы получаем Еа, = (А — (р, + (рр) В) ам Еар = — (А+ (р,— рр) В) ар+2Ааю Еаг = 2Аар — (А — ((з, — (тр) В) ар, (10.30) Еаг = (А+ (р,+(гр) В) аю К счастью, первое и четвертое уравнения по-прежнему не зависят от остальных, так что снова пойдет в ход та же техника.
Одно решение — это состояние ~ 7>, для которого а,=1, аз=-ар — — а,=-0, или ~/> — ~7>=1++> Е, =- .4 — ((р„+ рр) В. (10.31) Другое решение ~~П>= ~ 4>=~ — — > (10. 32) Ем=А+()р,+)р )В. Для остальных двух уравнений потребуется больше работы, потому что коэффициенты при а, и ар уже не равны друг другу, Но аато они очень похожи на ту пару уравнений, которую мы писали для молекулы аммиака. Оглядываясь на уравнения (7.20) и (7.21), можно провести следующую аналогию (помните, что тамоптние индексы 1 н 2 соответствуют здесь индексам 2 и 3): ̈́— А — ((р, — рр) В, Н„2А, * (10.33) Н„2А, ̈́— Л+(р,— пр) В Раньше энергии давались формулой (7.25), которая имела вид Е=~п+~" т„/ (Н" ~"1+Н Н .
(10.34) Подставляя сюда (10.33), получаем для энергии Е=- — А -~-) '(р, — ( )РВз+4АР. В гл. 7 мы привыклп называть эти энергип Е, н Еп, теперь мы их обозначим Еп, и Е,р: Š—.4 ( 1+23I 1-(-(и р )зВ'/4А') Еп = — А (1+2)~ 1+(и рр)рВр/4Лр~, (10.35) Итак, мы нашли энергии четырех стационарных состояний атома водорода в постоянном магнитном поле. Проверим наши выкладки, для чего устремим В к нулю и посмотрим, получатся ли те же энергии, что и в предыдущем параграфе. Вы видите, что все в порядке. При В= 0 энергии Е, Е„ и Е,п обращаются в +А, а Егт — в — ЗА. Даже наша нумерация состояний согласуется с прежней.
Но когда мы включим магнитное поле, то каясдая энергия начнет меняться по-своему. Посмотрим, как это происходит. в вг ст Ср и в, 10,3. Урон и оасргии основного состонниа водорода в ловнитнот поле В. Кр м КПС и Кгр прислал ортов п попвтирнми ггрвгсми лти' з, Во-первых, напомним, что у электрона )рв отрицательно и почти в 1000 раз больное рр, которое положительно. Энагпп, и ~с„+рр, и р, — рр оба отрицательны и почти равны друг другу. Овбозйачим пх — р и — )с'.
)л -м (р, +рр) р = — (пс — р„). (1О.Зб) (И р, и р' полов.ительиы и по величине почти совпадают с р,. которое приморно равно одному магветону Бора.) Наша четверка энергий тогда обратится в Е,= А+ ИВ, Еос= А ссВ Е„,=А(-. 1+2)'1+р'зВ 1йА ~, Ед, -— -- — А (1+ 2)л 1+ р'Вв~'4Ав~. Энергия Е, вначале равна А и линейно растет с ростом В со скоростью р. Энергия Еп тоже вначале равна А, но с ростом В линейно убывает, наклей ее кривой равен — р. Изменение этих уровней с В показано на фиг.10.3. На рисунке показаны также графики энергий Еп, и Етр.
Их зависимость от В иная. При малых В они зависят от В квадратично; вначале наклон 260 их равен нулю, а затем они начинают искривляться и при больших В приближаются к прямым с наклоном ~)г', близким к наклону Е, и Еп. Сдвиг уровней энергии атома, вызываемый действием магнитного поля, называется эффектом Зеемана. Мы говорим, что кривые на фиг.
10.3 показывают эеемановское расщепление основного состояния водорода. Когда магнитного полн нет, то просто получается одна спектральная линия от сверхтонкой структуры водорода. Переходы меяяду состоянием ) Л~) и любым из остальных трех происходят с поглощением нлп испусканием фотона, частота которого равна 1420 Игц: 1~6, умноженной на разность энергий 4А.
Но когда атом находится в магнитном поло В, то линий получается гораздо больше. 31огут происходить переходы между любыьгн двумя яз четырех состояний. Значит, если мы имеем атомы во всех чезырех состояниях, то энергия может поглощаться 1или нзлучазься) в любом вз шести пореходов, показанных на фиг. 10.4 вертикальными стрелками. 31ногне из этих переходов можно наблюдать с помощью техники молекулярных пучков Раби, которую мы описывали в гл. 35, з 3 (вып.7). г1то же является прн жной переходов! Онв возникают, соли наряду с сильным щ с оьнным и ии и Е прклсзн ть малое воз- Ог и г.
10.4. Переходы между уровнями гнергии основного сотиояния водорода в некотором магнитном иоле В. 261 мущающее магнитное поле, которое меняется во времени. То же самое мы наблюдали н при действии переменного электрического поля на молекулу аммиака. Только здесь виновник переходов— это магнитное поле, действующее иа магнитные моменты. Но теоретические выкладки те же самые, что и в случае аммиака. Проще всего они получаются, если взять возмущающее магнитное поле, вращающееся в плоскости зу, хотя то лсе будет от любого осциллпрующего горизонтального поля. Если вы вставгые зто возмущающее поле в качестве добавочного члена в гамнльтониан, то получите решения, в которых амплитуды меняются во времени, как это оыло и с молекулой аммиака. Значит, вы сможете легко н аккуратно рассчитать вероятность перехода из одного состояния в другое.
И обнаружите, что все это согласуется с опытом. ф д. Сосгиоггиггя в могиггмьио.в поле Теперь займемся формой кривых на фнг. 10.3. Во-первых, если говорить о больших полях, то зависимость энергии от поля довольно интересна и легко объяснггма. При достаточно больших В (а именно при рВ(А))1) в формулах (10.37) можно пренебречь единицей. Четверка энергий принимает вид Ег=А+рВ, Ьп-— -А — рВ, (10.38) Это уравнения четырех прямых на фпг. 10.3. Зти формулы можно физически понять следующим образом. Природа стационарных состояняй в нулевом поле полностью определяется взаимодействием двух магнитных моментов.
Перемешивание базисных состояний ~ + — ) и ) — + ) в стационарных состояниях ) 111) н ' 1У) вызвано этим взаимодействием. Однако вряд ли молгно ожидать, что каждая из нагаих частиц (и протон, и электрон) в силькмл внешних полях будет испытывать влияние поля другой частицы; каждая будет действовать так, как если бы зо внешнем поле находилась она одна. Тогда (как мы уже много раз видели) спин электрона окажется направленным вдоль внешнего магнитного поля (по нему или против него). Пусть спин электрона направлен вверх, т.
е. вдоль поля; энергия его будст — р„,В. Протон при этом может стоять поразному. Если у него спин тоже направлен вверх, то его энергия — р Ь'. Их сумма равна — (гг„+рр) В=рВ. А это как раз и есть Вн и это очень приятно, потому что мы описываем состояние ~ + +)=-!1). Есть еще небольшой дополнительный член А (теперь рВ).А), представляющий энергию взаимодействия протона и элентрона, когда их спины параллельны.
(Мы о самого начала считали А положительным, потому что так должно было быть по теории, о которой шла речь; то нге получается и на опыте.) Но спин протона может быть направлен и вниз. Тогда его энергия во внешнем поле обратится в +ррВ, а вместе с алек- троном их энергия будет — ((»„— рр) В=.(»В. А энергия взаимодействия обращается в — А. Их сумма даст энергию Еп, в (10.38). Так что состояние ( 111 ) в сильных полях становится состоянием ! + — ). Пусть теперь спин электрона направлен вниз. Его энергия во внешнем поле равна р,В. Если и протон смотрит вниз, то их общая энергия равна (р„+р„) В= — ВВ плюс энергия взаимодействия А (спины-то теперь параллельны).
Это приводит как раэ к энергии Еы в (»0.38) и соответствует состоянию ~ — — )=~ 11), что очень мило. И наконец, если у электрона спин направлен вниз, а у протона — вверх, то мы получим энергию ((»„— (»р)  — А (минус А потому, что спины противоположны), т. е. Егр. А состояние отвечает ~ — + ). «Погодите минутку,— вероятно, скажете вы.— «Состояния , 'Ш) и ~ 1У) — это не, состояния ~ + — ) и ~ — +); они являются их смесями». Верно, но перемешивание здесь едва заметно.
Действительно, при В=-0 они являются смесями, но мы пока не выясняли, что бывает при больших В. Когда мы для получения энергии стационарных состояний пользовались аналогией мея«ду (10.33) и формулами гл. 7, то заодно можно было оттуда взять и амплитуды.
Они получатся из (7.23): а, Я вЂ” Н,» "» ып Отношение а»(໠— это, конечно, на сей раз С»(С». Вставляя аналогичные величины из (10.33), получаем С» Е-~-А — (в,,— Вр) Л С, 2А или С» Е+ А+в'Ь' С» 2А (10. 39) где вместо Е надо ваять подходящую энергию (либо Еп„либо Ед). Например, для состояния ~ Ш) имеем ((0.40) Значит, при болыпих В у состояния ) 1Л) С,))С,; состояние почти полностью становится состоянием ( й)=~ + — ). Точно так же если в (»0.39) подставить Егр, то получится, что (С»/С»)гг((1; в сильных полях состояние ! Л') обращается попросту в состояние ) о')=! — +).
Вы видите, что коэффициенты в линейных комбинациях наших бависных состояний, составляющих стационарные состояния, сами зависят от В. Ф и г. ло.б, Состояния атома воЭоаода в слабых магнитных новях. 0 Состояние, которое мы именусм ~ 1П ), в очень слабых полях представляет собой смесь | — ' — ) и ~ — + ) в пропорции 1: 1, но в сильных — ЗА л о о полях целиком смещается к -- ). Точпо так же и состояние ~ХР ), которое в слабых полях также является смесью ! + — ) и ! — +) в пропорции 1: 1 (с обратным знаком), переходит в состояние ~ — -'Г ), когда спины из-за сильного внешнего поля больше друг с другом не связаны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
