Фейнман - 08. Квантовая механика I (1055673), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Если заполнить недостающие части, то оно означает то же самое, что и (9.72) Проделав здесь комплексное сопряжение, получим (9.73) ~ч",<п(у><у ( Й( с>=Е„<п( ~>. (0.74) Поскольку это уравнение справедливо для всякого ~, то его можно «сократить» до <и ) Й= Е„<п (. (0.75) Это уравнение называется солря:всенвмл с (9.7Ц. 1а эа ззз Теперь вспомним, что комплексно сопряженная амплитуда— это амплитуда обратного процесса, так что (9.73) можно пе- реписать в виде Теперь легко доказать, что Е„- — число вещественное.
Умножим (9.71) на <п ~. Получится <п( У~и>=Ее (9.76) (с учетом, что <п)п>=1). Умноясим теперь (9.75) справа на )п>: <п/,г7/п>=Е„. (9.77) Сравнивая (9.76) с (9.77), видим, что Еа =-Еп (9.78) а это означает, что Е„вещественно. Звездочку при Е„в (9.75) можно убрать. Теперь наконец-то мы в силах доказать, что состояния с различными энергиями ортогональны. Пусть ! п) и ~ пт)— пара базисных состояний с определенными энергиями.
Написав (9.75) для состояния ~ т) и умножив его на ~ п), получим <гп(Й(п)=Е <т(п). Но если (9.71) умножить на <т~, то будет <пт ~ Й(п> = Е„<гп(п>. Раз левые части этих уравнений равны, то равны и правые: Еы <гп ( п) = Ее <тп ( и). (9.79) Если Е =Е„, то это равенство ни очем не говорит. Но если энергии двух состояний ~ ж) и ) п) рааеичяы (Е ~Е„), то уравнение (9.79) говорит, что <гп ~ и) должно быть нулем, что мы и хотели докааать. Два состояния обязательно ортогональны, если только Е„и Е отличаются друг от друга.
Гл <» в (4 .ХО СВЕРХТОНКОЕ РАПЦЕПЛЕНПЕ В ВОДОРОДЕ 1. 1<нзн< ньн <нн"гнНННн ннн «н«т«н Д<О «Нн««НН <'Н <'ННННН В этой главе мы займемся «сверхтонким расщеплением» водорода — интересным примером того, чтб мы уже в состоянии делать с помощью квантовой механики. Здесь у яас уже будут не два состояния, а больше. Поучителы<ость этого примера э том, что он познакомит иас с методами квантовой механики, применяемыми в более сложных задачах.
Сам по себе этот пример достаточно сложен, и как только вы поймете, как с пим справляться, вам сразу же станет ясно, как обобщить его на другие возможные задачи. Как известно, атом водорода состоит из электрона и протона", электрон сидит неподалеку от протона и может существовать в одном из многих дискретных энергетических состояний, в каждом из которых его картина движения другая. Так, первое возбужденное состояние лежит на '(4 ридберга, или на 10»в, выше основного состояния. По даже так называемое основное состояние водорода на самом деле не является отдельным состоянием с определенной энергией, ибо у электрона и у протона есть спины.
Эти спины и ответственны за «сверхтонкую структуру» в уровнях энергии, которая расщепляет все уровни энергии на несколько почти одинаковых уровней. Спин электрона может быть направлен либо вверх, либо вниз; у протона тоже его собслгвенный спин может смотреть вверх или вниз. Поэтому на всякое динамическое состояние атома приходятся четыре возможных спиновых состояння. Иначе говоря, когда физик говорит об «основном состоянии» водорода, он на самом деле имеет в виду «четыре основных состояния», ;1,\ р ННН .нн(11< н й 6.,'1« ннн н< н<н 1Н Н ' Н (1' Н.
Н' 1 ° Н 1' й<.1,Н< ГНН Н Н Н Н <Н< НН 13Н'1' Н<3, (3.11ро< (НН< нп< < н Н;111НН<:1 .1<Н Ннн < 1 164 ф 1. Бпог«с»гыс сост»гоя»гг»л для с«<с»»г(».иы й 2.Г<<нн<1,1: нн.<н двух нас«и м«1 со гм ми»ож г/ < 3 <' Н Н Н Н < <'11'311'11 1 н<' (<'11'3 а не просто самое низкое иа них. У четырех спиновых состояний энергия не совсем одинакова; имеются неболыпне сдвиги по отношению к тому, что наблюдалось бы в отсутствие спиноз. Эти сдвиги, однако, во много-много раз меньше, чем те 10 зв, которые лежат между основным состоянием и следующим более высоким состоянием.
В итоге энергия каждого динамического состояния расщеплена на ряд очень тесных уровней — это так называемое сверстанное расщепление. Разности энергий четырех спиновых состояний — это и есть то, что мы хотим рассчитать в атой главе. Сверхтонкое расщепление вызывается взаимодействием магнитных моментов электрона и протона; оно приводит для каждого спинового состояния к слегка отличающимся магнитным энергиям. Эти сдвиги энергии составляют только около десятимиллионной части электрон- вольта, что действительно много меньше Ю зв! Именно из-за столь большого промежутка основное состояние водорода мы вправе считать «четырехуровневой системой», не заботясь о том, что на самом-то деле при более высоких энергиях состояний куда больше.
Мы намерены ограничиться здесь изучением сверхтонкой структуры только основного состояния атома водорода. Для наших целей нам неважны различные детали расположения электрона и протона, потому что все они, так сказать, уже выработаны атомом, все онп получились сами собой, когда атом попал в основное состояние. Достаточно знать только, что ален- трон и протон находятся невдалеке друг от друга, в каком-то определенном пространственном соотношении.
Кроме того, у них могут быть всевозможные взаимные ориентации спиноз. И мы хотим рассмотреть только спиновые аффекты. Первый вопрос, на который нужно ответить: каковы базисные состояния для этой системы? Но вопрос этот поставлен неправильно. Такой вещи, как единственныйбазис, не существует, а всякая спстема базисных состояний, которую вы выберете, не будет единственной. Всегда можно составить новые системы из линейных комбинаций старой.
Для базисных состояний всегда есть множество выборов и все они одинаково законны. Значит, надо спрашивать: не «каков базис3», а «каким его можно выбратьу». И выбрать вы вправе какой угодно, лишь бы вам было удобно. Обычно лучше всего начинать с базиса, который физически наиболее очевиден. Он не обязательно должен решать какую-то задачу нли быть непосредственно вак«ным в каком-то отношении, нет, он в общем должен только облегчать понимание того, что происходит, у«4 Мы выбираем следующие базисные состояния: Состояние 1. И у электрона, и у протона спины смотрят вверх. Состояние 2. У электрона спин смотрит вверх, а у протона— вниз.
Состояние 3. У электрона спин смотрит вниз, а у протона— вверх. Состояние 4. И у электрона, и у протона спины смотрят вниз. Для краткой записи этих четырех состояний введем следующие обозначения: Состояние зе !+ +); у электрона спин вверх, у протона спин евер~. Состояние Рл ! + — ); Свсенояние. 8: ! — +); у электрона спин вв~рх, у протона спин вниз, (10.1) у электрола спин вниз, у протона спин вверх. Состояние 4: ! — — ); у электрона спин вниз, у протона спин вниз. Помните, что первый знак плюс нли минус относится к электрону, второй — к протону. Чтобы эти обозначения были у вас под рукой, они сведены на фиг.
10.1. Временами будет удобнее обоаначать ати состояния ! 1), ! й), ! 3 ) и ! 4). Вы можете скааат«к «Но частицы взаимодействуют, и, может быть, зти состояния вовсе не являются правильными бааисными состояниямя. Получается, будто вы рассматриваете обе частицы неаависимо». Да, действительно! Взаимодействие ставит перед нами вопрос: каков гал»ил»тонная системы? Но вопрос о том, как описать систему, не касается взаимодействия. Что бы мы ни выбрали н качестве базиса, ато никак не связано с тем, что случится после.
Может оказаться, что атом не способен оставаться в одном иа этих базисных состояний, даже если с него все и началось. Но это другой вопрос. Это вопрос о том, как со временем меняются амплитуды в выбранном (фиксированном) базисе. Выбирая базисные состояния, мы просто выбираем «единичные векторы> для нашего описания. Раа уже мы коснулись этого, бросим вагляд на общую проблему отыскания совокупности базисных состояний, когда имеется не одна частица, а болыпе. Вы знаете базисные состояния для одной частицы. Электрон, например, полностью описывается в реальной жизни (не в наших упрощенных случаях, а в реальной жизни) заданием амплитуд пребывания в одном иа следую- Элдклгрон Ф и г.
10.1. Совокупность багиснмя состоянии двя основного состояния атолса водорода. д п~ состояния яи обввнавася ~ Ь в) ~ в — ) ! — +), йрдгпон ( — -> 4Ф щих состояпнп: ~ Электрон спинам вверх с импульсом р) ИЛИ ~ Электрон спинам вниз с импульсом р). В действительности существуют две бесконечные соввжупности состояний, по одному на каждое значение р. Значит, сказать, что электронное состояние ~ вр) описано полностью, можно лишь тогда, когда вы знаете все амплитуды где + и — представляют компоненты момента количества движения вдоль какой-то оси, обычно оси х, а р — вектор импульса.
Стало быть, для каждого мыслимого импульса должны быть две ампли- туды (дважды бесконечная совокупность базисных состояний). Вот н все, что нужно для описания' отдельной частицы. Таким же образом могут быть написаны базисные состояния, когда частиц не одна, а больше. Например, если надо было бы рассмотреть электрон и протон в более сложном, чем у нас, случае, то базисные состояния могли бы быть следующими: ~ Электрон с импульсом рд движется свином вверх, а протон с юшульсом р, движется спинок вниз). И так далее для других спиновых комбинаций. Если частиц больше двух, идея остается та же. Так что вы видите, что расписать эоэмоисные базисные состояния на самом деле очень легко. Вопрос только в том, каков гамильтониан.
Нам для изучения основного состояния водорода нет нужды применять полные совокупности базисных состояний для различных импульсов. Мы оговариваем и фиксируем определенные импульсные состояния протона и электрона, когда произносим слова «осиовное состояние». Детали конфигурации — амплитуды для всех импульсных базисных состояний — можно рассчитать, но это уже другая аадача. А мы сейчас касаемся только влияния спина, так что ограничимся только четырьмя базис- ными состояниями (10Л). Очередной вопрос таков: каков га- мильтониан для этой совокупности состояний7 ф М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
