Фейнман - 08. Квантовая механика I (1055673), страница 49
Текст из файла (страница 49)
(10.7) а'аь )+ + > = + ( — — >, о а' (++>= — ( — — >, а',аг(++>= +(+. +>. (10.8) Значит, (10.7) превращается в й(++>=А Ц вЂ” — > ~ — — >+~++>) =А~++>. (10.0) Пользуясь способом, описанным немного раньше (вспомните табл. 10.1, она очень облегчит дело), мы найдем, что каяьдая пара а делает с ~++). Ответ таков: Таблица 10.3 СПИНОВЫН ОПВРАТОРЫ ДЛЯ АТОМА ВОДОРОДА А раз все наши четыре базисных состояния ортогональны, то это немедленно приводит к <++1Н1+ +>=А <++1++>=А, <+ — 1н1++>=А<+ — 1++>=о, < — +1и1++>= А < — +1*+>= о, (10.10) < — — 1н1++>=А< — — 1++>=о. Вспоминая, что <у1Н11)=<а1Н1у)*, мы сразу сможем написать дифференциальное уравнение для амплитуды Ст: ЙСг=Нт Сг+Нт,С,+Н, С +НыС„(10Л1) или Н'1+ ->= А (21 +> 1+ >Ь Й1 — +>=А(21+ — > — 1 — +>), н1 — — >=А1 — — >.
(10Л2) ЙС, = АС,. Вот и все! Только один член. Чтобы теперь получить оставшиеся уравнения Гамильтона, мы должны терпеливо пройти через те же процедуры с Н, действующим на другие состояния. Во-первых, попрактикуйтесь в проверке того, что все произведения сигм в табл. 10.2 написаны правильно. Затем с их помощью получите И тогда, умножая их все по порядку слева на все прочие векторй состояний, мы получаем следующую гамнльтонову матрицу Нз: т за А о о о — А 2А 0 2А — А 0 0 0 А о Нз = о о (1ОАЗ) Зто, конечно, означает, что дифференциальные уравнения для четырех амплитуд С; имеют вид ЙС, =- АС„ ЙС, =- — АС,+2АС„ ЙСз = 2АСз АСз (10.1а~ ЙСз = АСз.
Но прежде чем перейти к их решению, трудно удержаться от того, чтобы не рассказать нам об одном умном правиле, которое вывел Дирак. Оно поможет вам ощутить, как много вы уже знаете, хотя нам в нашей работе оно и не понадобится. Из уравнений (10.9) и (10Л2) мы имеем о' ос~++>=~++> о' ос~+ — >=2~ — +> — ~+ — >, и' пс( — +>=2)+ — > — ) — +>, о' пс( — — >=( — — >. (10.15) «Взгляните,— сказал Дирак,— первое и последнее уравнения я могу записать также в виде а' оз(++>=2(++> — ~++>, о' оз~ — — >=2! — — > — ( — — ), н тогда все они станут похожими.
1еперь я придумаю новый оператор, который обозначу Р„п„, обмои и который, по опре- дсзеыию, будет обладать следующими свойствами*: Рспнн. обмен ~+ + ) = (+ + ) Рсппп. обмсн)+ ." =! +); Р об ~ — +>=-~+ — >, Рсппн. обмен ~ ) = ~ з Этот оператор сейчас изнывают оператор обмена спинами. Оператор этот, как видите, только обменивает направления спина у двух частиц.
Тогда всю систему уравнений (10.15) я могу написать как одно простое операторное уравнение: и 'и =2Рспин, осиек 1з (10.10) Это и есть формула Дирака. Оператор обмена спинами дает удобное правило для запоминания и" . аз . (Как видите, вы теперь уже все умеете делать. Для вас все двери открыты.) Еа,=Аа„, Еа = — Аа,+2Аа, Еа, = 2Ааз — Ааз, Еач = Ааю (10Л8) Это и нужно решить для отыскания а„аю аз и пю Право, очень мило со стороны первого уравнения, что оно не зависит от остальных,— а зто значит, что одно решение сраау видно. Если выбрать Е=А, то а =1, а,=аз=аз=О даст решение. (Конечно, если принять все а равными нулю, то это тоже будет решение, но состояния оно не даст1) Будем считать наше первое решение состоянием ! Х) *: !7>=!1>=(++>.
" В действительности состоянием является ~7> нивке' >е ко, как обычно, кы отождестзвы состоявкя с постоянными ввктораыи, которые при ~=0 совпадают с вастоящкыи вектораык. ф 3. Уровни энерзии Теперь мы готовы к тому, чтобы вычислить уровни энергии осяовного состояния водорода, решая гамильтоновы уравнения (10.14). Мы хотим найти энергии стационарных состояний. Это значит, что мы должны отыскать те особые состояния ) ф), для которых каждая нз принадлежащих ~ ~р) амплитуд С~= ( й ф) обладает одной и той же зависимостью от времени, а именно е ' ". Тогда состояние будет обладать энергией Е=лю. Значит, мы ищем совокупность амплитуд, для которых С; = а,е-н~">в' (10.17) где четверка коэффициентов а; не зависит от времени.
Чтобы увидеть, можем ли мы получить эти амплитуды, подставим (10.17) в (10.14) и посмотрим, что из этого выйдет. Каждое ЙйС;/Ж в (10.14) перейдет в ЕС,. И после сокращения на общий экспоненциальный множитель каждое С; превратится в ай получим Его энергия Ез =А. Все это немедленно дает ключ ко второму решению, получаемому из последнего уравнения в (10.18): а,.=а,=а,=О, а,=1, Е = А. Это решение мы назовем состоянием ~11>: Л> =-1~> = ~ — - >.
(10. 20) Ем=А. Дальше пойдет чуть труднее; оставшиеся два уравнения (10.18) переплетены одно с другим. Но мы все это уже делали. Сложив нх, получим Е(а,+аз) = А (а,+аз). (10.21) Вычитая, будем иметь Е (аз — а ) = — ЗА (а, — аз). (10.22) Окидывая зто взглядом и припоминая знакомый нам уже аммиак, мы видим, что здесь есть два решения: Е=А а,=а (10.23) а,= — аз, Е= — ЗА.. Это смеси состояний (2> и )8>. Обозначая их )111> и )1'»'> и вставляя для правильной нормировки множитель 1ф 2, имеем (111>==(~2>+!2>)= —. ((+ — >+~ — +>) (10.24) ! 1Р>= =,(~2> — 12>) ==(!+ — > — ! — +>) 1 1 у '- 1/г Ег» = — ЗА. (10.25) Мы нашли четверку стационарных состояний и их энергии.
Заметьте, кстати, что наши четыре состояния ортогональны друг другу, так что их тоже можно прн желании считать базис- ными состояниями. Задача наша полностью решена. У трех состояний энергия равна А, а у последнего — ЗА. Среднее равно нулю, а это означает, что когда в (10.5) мы выбрали Ее=О, то тем самым мы решили отсчитывать все энергии от их среднего значения. Диаграмма уровней энергии основного состояния водорода будет выглядеть так, как на фиг. 10.2. 255 г,п,т Ео+ 4 йг и е. 10.2. Диаграмма уроеней енергии осноеного состоанин атом арногс еодорода. Ео Ео-3л Различие в энергиях между состоянием ! Л') и любым из остальных равно 4А.
Атом, который случайно окажется в состоянии ~ 1), может оттуда упасть в состояние ~ Лг) и испустить свет: не оптический свет, потому что энергия очень мала, а микроволновой квант. Илн, если осветить водородный газ микроволнами, мы заметим поглощение энергии, оттого что атомы в состоянии ( Л') будут ее перехватывать и переходить в одно из высших состояний, но все это только на частоте ю=-4А)Ь.
Эта частота была измерена экспериментально; наилучший результат, полученный сравнительно недавно *, таков: У = —. = (1 420405 751,800-+ 0,028) гц. (10.26) Ошибка составляет только три стомиллиардных! Вероятно, ни одна из фундаментальных физических величин не измерена лучше, чемэта; таково одно из наиболее выдающихся по точности измерений в физике.
Теоретики были очень счастливы, когда им удалось вычислить энергию с точностью до 3 10 о; но к атому времени она была измерена с точностью до 2 10 из т.е. в миллион раз точнее, чем в теории. Так что экспериментаторы идут далеко впереди теоретиков. В теории основного состояния атома водорода и вы, и мы находимся в одинаковом положении. Вы ведь тоясе можете взять значение А нз опыта — и всякому, в конце концов, приходится делать то же самое. Вы, вероятно, уже слышали ракыпе о «21-см линии» водорода.
Это и есть длина волны спектральной линии в 1420 Мгц между сверхтопкнми состояниями. Излучение с такой длиной волны испускается или поглощается атомарным водородным газом в галактиках. Значит, с помощью радиотелескопов, настроенных на волны 21 см (или примерно на 1420 Мзц), можно наблюдать скорости и расположение сгущений атомарного водорода. Измеряя интенсивность, можно оценить его количество. Измеряя сдвиг в частоте, вызываемый эффектом Допплера, *Сгагир1оа, К!орриег, ггагизеу, р1гутса1 Нео1ок 1.еиогн, И, 338 (1963), Хзз можно выяснить движение газа в галактике.
Это одна из вели- ких программ радиоастрономии. Так что мы с вами сейчас ведем речь о чем-то очень реальном, это вовсе не какая-то искусствен- ная задача. ф 4. Зве.нановсков ЕРпвн(е»»с»вн»св Хотя с задачей отыскания уровней энергии основного состояния водорода мы и справились, мы все же продолжнм изучение этой интересной системы. Чтобы сказать о ней еще что-то, например чтобы поде пгпггь скоростгп с какой атом водорода поглощает или испускаот радиоволны длиной 21 сж, надо знать, чтб с иим происходит, когда оя возмущен. ЕЕужно проделать то, что гяы сделали с молекулой аммиака,— после того как мы нашли уровни энергии, мы огправплпсь дальше и выяснили, чтб происходит, когда молекула находится в электрическом поле. И после этого нетрудно оказалось представкть себе влияние электрического поля радиоволны.
В случае атома водорода электрическое поле ничего с уровнями не делает, разве что сдвигает их все на некоторую постоянную величину, пропорциональную квадрату поля, а вам это неиктеросно, потому что это не меняет разнос»пей энергий. На сей раз важно уже магнитное поле. Значит, следующим шагом будет написать гамильтониан для более сложного случая, когда атом сидит во внешнем магнитном поле. Е(аков же этот гамильтоннаи?:»Еы просто сообщим вам ответ, потому что никакого «доказательстза» дать ие мо»кем, разве что сказать, что именно так устроен атом. Е'амильтониан имев« впд ЕЕ= А (и' пэ) — р«п'  — р,п""В.
(10.27) Теперь он состоит из трех частей. Первый члон А(а' пэ) представляет магнитное взаимодействие мея'ду электроном и протоном; оно такое же, как если бы магнитного поля не было. Влияние внешнего магнитного поля проявляется в остальных двух членах. Второй член ( — )»сас -В) — это та энергия, которой электрон обладал бы в магнитном поле, если бы он там был один *. Точно так же последнии член ( — р,пэ ° В) был бы эиер- Р гней протона-одиночки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
