Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление (1050322), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

.«n__—F.94).наиболее/)»'ЧхЧf)k'кrpt'i,-j•••rptn«f«1—fn__t'n^частоиспользуемыесочетанияоперацийЛиГлава422ДивергенциюДаВ•",знакV=V•0на=V.-VfcOfR1'R*Ротор<8> Vота•на-такжеполучаемобратномприсоче-R*0вектора•RjF.93),изполучаемVtVfca*Rt-.=F.96)выбраввкачествепроизведения:(Vха)хV.-VfcayR1'=RmхA.36)свойство(R*x-L^^V.-Vfcaj-R1"у/9ИспользуяRj)x=ек>те{тпЧ*ЧкцКп.=F.97)Леви-Чивиты,символоваF.95)такжеиполучаем:rotrotаДивергенция=V=Vnотdivrot(VхV'aj-R"E*5?V.-Va^R1'•(Vа)хA.37).РоторVотVхатогосилудвум0F.94)V.-VfcdjR1'=ПрисотV0хF.98)Да.нуль:•есть(R*xR')=производныхнулевойтензор:-^-€tfciVt-ЧыцИту/9=Леви-Чивиты,символовсимметричными0Rj=F.100)поV,-Vfc.получаемужененулевойтензор-вектора:а=ViVfcaj-R1"0R*xR»'О,свернутыхпроизводнымиоперацийротораVRjA.37)перестановкеградиенттакжеxRk®свойстваиндексама-ковариантныхвектораVt-V^R1'жеV0даетперестановочностиградиента=V==•y/Qсвойствасилусвойства8*8*п)ЧкЧ*а;Кп-всегдавектораV==-роторааа)хл/9вF.95)Уо/КЛV,=произведений:тензорногоV.-Vtaj-R1'векторного=иЛзнакиспользуетсявектора=роторазнакVвRj0которогодляискалярногоVF.96),•дивергенцииотзнаковЛF.93)ввектора.Градиентсочетанииеслиполучим,0:вектор,лапласианиаанализвектораVполучаемрезультатеназваниеVградиентаот"назаменимТензорный6.=-iу/z9 6fci-VtVfcaiRm.F.101)гра-§Ковариантные6.4.Двукратноев.4.3.ЛТVVкследующихR*=VЛ,операцийЛэтихпредставлениерангаобъектов:j?AVзнаковбазисноевтороготензорутензорных(кк-?-?ЛсочетаниямиразличнымиОбщее423тензоровнабла-оператораприменениеобразованиюкприводитVпорядкарангаДвукратноеТвторогодифференцированиевторогоспроизводные{0,Ех,.},F.102)V.иследующийимееттензороввид:VVVЛГрадиентотвторогоранга:тензорТТензорамиотротор-(VV*Т)хТ)х{5k5j=являющаясядивергенцияявляютсягради-оттензора:Т0V=V.-V'Tj-mR1'=VtVfcTimR''F.104)Rm,0=ек'пешхVVV0Т)тW)хVfcTimR*T=F.105)Rm.00•чтополучаем,Rm=VjV$TjmRsRm-0F.106)AT.-Т:тензоранесовместность-eijkemnlViVmTjnRk=Rm0Леви-Чивиты,символов0F.107)R/,ранга.второготензоромот(R*хиграет(VхДивергенция=механикевроль=Vтен-сноваRm.0SfSijV'VkTjmR*-Rm0Т•A.36)свойствоВажнуюнулевой(VVfcT,mR*InkтакжеVF.103)собойV.VfcT^R1'=<g> Rm.представляетлапласианом=Rjтензора:хИспользуяхТ•рангаротораVVV0называемаяATиVтензоравтороготензора^R*ЛдивергенцииVградиентаViVfcTj-mR1"=тензораротораF.99)аналогичнообразуетнуле-вектор:divrotT(VТ)=V=4=**inVnV*TimRTO•х=VtVfcTimR*•=0.(RkxRj)0Rw=F.108)Глава424ПерестановкаVотоперацийанализF.108)в(Vхотличие•отТ)R1'V.-Vfcl*=диверген-отроторуRmх-L€imjVtVfcT^RJ'.=дляопределенатензораобразующаяTdivв.4.1.V=(V•Т)•Упражнение6.4.2.операцийДоказать,6.4.3.E-.VxV<8>TУпражнениеСимволы6.5.1.вотвектораротора=0.=0,/i(T)V.-Vfc/iOTJR1"=чтоE=<8>T,Inkтензорпорядок•-Т.R*.определяемыйF.107),поТ.вортогональныхкоординатахКристоффелявторогородакоординатахортогональныебезиндекснойортогональных<g> TсимметричензаписиВмеханики.задачуравненийкдифференциальныеосновныекоординатахXхкоординатыразличныхрешенииа.чтоортогональныхКриволинейныезаписатьхаДифференцированиекриволинейных6.5.•ротораV/i(T)Показать,еслисимметричным,§V06.4.5.являетсяпри-VVчтопоказать,чтоДоказать,•F.95),и0дляV)хVx=ЕVчтоДоказать,6.4.4.6.4.F.93)=F.110)и(VУпражнениеа)т<g>существененУпражнение§формулы(V•VfcT'*.V,=кИспользуяVследованиядивергенцииоперацияскаляр:УпражненияУпражнениеF.109)л/9вектора,дивергенции,divоткприводиттензора:дивергенцииВТензорный6.НачнемчастослучаеПоэтомукомпонентной.операторы,Xх.этомсвведенныесимволовКристоффеля.применяютпереходятполезновыше,в§6.5.XхЕслиДифференцированиеF.8)г<*тоортогональны,формулы-длясимволов^а(9кр2да""<5fa/3\дх«dgQp\дх><)-дх?чтоПереходяа,/3=2д/t'эхр1,2,3,повторяющимсяпоgQQ=-L-Z^l?L=сочетаниидругомбуквамгреческимЛамепараметрамкГ^ПриQQdgQQ1__§1.7),вид:примутdgkg,(см.диагональны-Кристоффеля+4250.=Напомним,нет.координатахдх*идца^/3,Т.К.ортогональныхв=индексовif^,gQQсуммированияI/^q?=получаем:_Г±1?..F.112)получим:F.113)ПриdgQQ\Привсехиндексахнеравныхизиндексахсовпадающихполностью1)д_F.8)ааддааимеем:dHQI__-^J^^Кристоффелясимволыравны-°-Итак,выраженияследующиеполучиливторогодлянулю:FЛ15)Кристоффелясимволоврода:1_дНа_НрдНр1_дНа/иГлава426Производныев.5.2.Тензорный6.отанализортонормированноговекторовбазисаЧастовВычислим(=/Ra\дdeQдеа(га_~Уае~н:дХ?^4Слагаемыеквискобкахл.\^vнулюбазису,иa^H~aP~НаЩдХ"^дЩF.118)IQвимеем1_^^O-w^±аравныортонормированному1-l+) HQKadxaКристоффеля:символов1дХ?lнаF.116)дНЛ1Вы-Iex?щсвойстватеперьдеа/дХ^.F.1):и3RaJL I\на)на)эх?ИспользуемA.233)определенияиспользуяих,значенияиметьбазиса:ортонормированноговекторовотнеобходимомеханикизадачахразличныхпрозводныхF.116).силуВозвращаясьсноваокончательно:dHaдх?Обеэтиформулы,объединитьможноочевидно,Дифференциальныев.5.3.вВектормированномоперацииортогональныха,всодну:векторамикоординатахA.237),согласнобазисевсегдаможнопредставитьвортонор-еа:за=a'R,-=]Га=1афаеа,аа=афа/На.F.121)§Дифференцирование6.5.ГрадиентА*вортогональныхкоординатах427вектораЗапишемформулуA.235),используяF.121):F.21)градиентадляVвектора®абазисевеа,дХаВовторуюFЛ22)а,7=1F.120),формулуперестановкой:подставимсуммукруговойиндексыпредварительное"®!й7-аа,/3=1поменяв—уав7>P—*нейпредваа>7—^&•>получим:тогдаУчитываясвойствоF.123)?а-рсимволаокончательно:получаем7ДлядальнейшегоанализавведемдНаафаЖЩШ*тогдакомпонентыследующем1_aградиентау-Z^=можновектораF.124)обозначения:следующиевпредставитьследую-виде:зY1V<g>a=а,/3Б.Ротор<*а02а)ев®е0.+F.126)1вектораПриведенныйсохраняется,поэтому(аа0=длявышееслидлязнакротора®вектораградиентазаменитьвекторанаимеем:а,/3=1знаквыводвекторногополностьюпроизведениясо-х,Глава428Посколькуподстановку),толькохеатовэтойЭтоф /3.априеа0,=Тензорный6.ахеаанализе^з=чтоозначает,(а,/3,7е7образуютслагаемоевтороечетнуюслагаемыеявляютсяненулевымисумметоль-скобкахввообщеТогдапропадает.зVхаZ)=(а«РаР°)~F.128)афрф-уфа,е7>7=1гдекаждомприа,/?,7индексы7Подставляяподобныхполучаемвместоаарихобразуютчетнуюподстановку.F.125),выраженияпослепо-приведенияокончательно:Fm)В.ДивергенцияДлявдивергенции=Д.F.130)формулетоЛинейныйформулускладываяГв.)Т)=градиентлапласиананадF.33)определениеивыбратьадлядеформацийтензоракачествевформулуполучимИспользуявекторомполучаем:такжеA.231),скаляравVV>,аполучим:ЛапласианЕслиF.36),формулойвоспользуемсярезультатеГ.авектораалинейногоF.126)1 ускаляраскаляра:тензорасвоейсо(„„+«„деформацийнадтранспонированной,+26,а)е®е,а,/3=1F.132)§Дифференцирование6.5.обозначитьЕсливфизическиекоординатахкомпонентыF.125)обозначенийучетомортогональныхэтого429кактензорато?а/з,получим:зеУ=F.133)?a^ea®e0,jа,/3=1гдедафа1ф~ааЛевыеЕ.наа.Длясвойвдифференциальныхчастностилевыхскалярноевычислимэтогонрaнелинейныхп.6.1.10,вdx-iа<5п"нащдхр{нанадпредставлениеопределенныхнад+деформацийтензорыПолучимоператоров,((\нJдНд1+ех^а^нанрдхрщдНа1+дх?наоперато-деформацийтензоровпроизведениеградиентатранспонированный:(Vа)®(V®а)т(аа/з+SapaQ)eQ-=зз]Г=а,/3F.124)=<g> e^]Г•(аер+5?ра?)ер®е?®ее.=е,р=113+^а^^а»?++Яаа?аI8Q?a>lеаF.135)=1Складываяэтотстензорлинейнымдеформаций,тензоромполучаемокончательно:lef±(a)=def1±а-(V0а)•(V0а)т=37=1F.136)сГлава430Ж.ПравыеТензорный6.наддеформацийтензорыАналогичнымобразоманализавычисляемвспомогательныйвначалетен-тензор:зS<*pa<*)ep+аа0®еа]Г•(а?р8?ра?)е?+0ер®ер,=е,р=1а,/3=13(азатемe^находимправыеref±(a)=def-(V±ав(аа/з22аа/з^а++(Vа)0=+а/За2SQpaQ±7=1jea2Ja^3^J+а^аа^операцииортогональныхСогласноимеет•3Дифференциальныев.5.4.а)т®3-а,/3=1+деформаций:тензоры-=F.137)/\а=1/3,р=1с®F.138)e^.тензорамикоординатахA.237),тензорвторогорангавбазисеортогональномиме-вид:Т-А.=Т*ЪДивергенцияRjвбазисе=У)3Тфа/}еатензораВычислимдивергенцию®наиболеетензорачастоприменяемуюеа.вВоспользуемся?механикеоперациюформулой-F.49):•<6ЛМ»ди-jДифференцирование6.5.АПреобразуемэтодифференцированияЛ1сбазисадкоординатахF.120)формулыучетомрезультатеве^,дифферен-получим:\(А431tfi#itf3.=выражениевекторовортогональныхвX1А/8На1!>7е7,F.140)7=1где{ЕслиF.140')выражениевсерасписатьможно1hl=А+[на 1аудх<*слагаемыхдевятьтакжевпредставитьF.140')F.140),суммевыраже-товиде:вЛ/\дХ+ааслагаемых(двауничтожаются).J5.VнщвЛапласианF.140)вНаШскобкахкруглых(б'приа=взаимно7уни-вектораВыберемвтеперьтакогодивергенциякомпонентывкачествебазисеТтензорадаеттензораТвектораградиентлапласиан=V<g>a,Найдема.вектораегоеа:]P=c7e7.7e7.7=1Используя7+йа-уйсиформулуF.140),гдевкачествеТа1следуетвзятьполучаем{HHZ)±Р±±а-FЛ42)Глава432Тензорный6.анализУпражненияУпражнениепоказать,6.5.1.следующиеИспользуясистемысферическойсистемыдегезаписанаПоказать,цилиндрическихбазиса:—erроторадлямо-вектораопределителя:д/дх1=6.5.З.координатахF.129)формулачтосимволическоговиде1aУпражнениесле-дефвrot=Те6.5.2.бытьможетпо-тольконулядефде#Упражнениеотследующие:-дегупр.1.6.1,результаты(физического)дегдляиотличныкоординатортонормированноговекторовотпроизводные6.5.F.120)формулуцилиндрическойдлячто§кПоказать,д/дх*д/дх3Н2аф2Я3аф3F.129)формулачтодляроторавцилиндри-вид:имеетдагавсферическихследующий-Vха^-1/1дагУпражнениецилиндрическойвид:авсферическойсистемеа=,-—{гаг)гдгхкоординатч;-+1-—fгдафдфследующийдгк}дивергенцииrsintf+daz-^-,dzвид:дг2длявид:д1•дагF.130)формулачтоимеет_гд{га-в)Показать,координатVед(гат)6.5.4.системедф)(•оч+даф\вци-Дифференцирование§6.5.6.5.5.Упражнениеф в цилиндрическойПоказать,системевсферическойсистеме( дф\дкоординат6.5.в.деформаций)Показать,цилиндрическойSQpавсферическойсистемедаф1__имеют^^да2дагdrdzда$агГГ~Ггчovr1гдфrsindдагдгддгдгвид:dz_глинейногокомпонентдля)дф2дда2cLectgdагдфrsmd1отд2ф\вид:Sflfl———sin2координатследующий-)F.134)формулыдаг?ггvv\гкоординат'1ддагдфгdz2системедпф1^дгд2фдфдф\д ддчтоскаляравид:вдагд2фг213/.sinлапласианадля1следующий-дгУпражнениеF.131)433вид:имеетдф\тензоракоординатахформулачтокоординат1аортогональныхвг1дфrsmdУпражнениеформулы6.5.7.F.140)Показать,вчто0-укомпонентдляддггцилиндрическойдивергенциисистемевид:дгТ„1_1~ггдг1дгТГф_^VzrдТффдТ,фТфгдфdzт1дТфхt—пгdzг1дгТГ2__дТ1Гдф1orгдТфГгorIг7Г~1дфТффI'dTzzпdz?координатрангавтороготензораТимеютГлава434.васферическойсистеме1дг2orг2дгкоординат(1анализследующийвид:9, дТф(.,т+\ovrsmv(dfl6.5.8.ф JПоказать,F.125)аарматрица-2Тензорный6.паичтоимеютцилиндрическойв*)/=I«12«21«22«23«32«33/SiавсферическойсистемеIдат1=a2координатa3следующий-агУпражнение0,=вид:да±чг0,=а2=гаг/г,имеютаг=[ar/r)(a#/r)ctg+упр.6.5.8результатытензорадеформацийд.иL1/ д«гдаF.136),формулу1е?±=вид:9а_1Эо0~Btfsinй3Используялевогокоординатда1а^tisinгкомпонентысистемег±гЖдг6.5.9.цилиндрическойгЖда#д\показать,'\\д=чтоа±aT/r,=дагК/з)daz~дгдат0,=координатдафдаг//«11системевид:(а)вцилиндри-по-§Дифференцирование6.5.±да2_1fдпф"авсферической22((даА2daz\координатах435(даА2\(да(даЛ2/о>ф\\ддаг/даф±Г21ортогональныхв1/даг.дагdaz\-—21+17)\"зГследующийвид:++'даЛ2,(даф\2) +Ы2I+Глава436Тензорный6.анализдаг(-4¦г—/flar1/Упражнениедф6.5.10.показать,чтоцилиндрическойи±Кггдаг(1¦дVsintfупр.6.5.9иRдеформацийAдаг) +{г1ф~Т)\ ~fc2drаф\2(а)(даЛ2\+\д1)даф\22агдафг2±(аг\\/5аг1_г*~+2\дфgo^,дагdzdz) )'\гдфат"г2дагдфГ5дг\г))\/аф\\1(дат2\дгКдафдг~+F.138),формулуref-f-=ввид:1(даЛ\1.да*)тензораимеют*~fo~±результатыправогокоординат_rИспользуякомпонентысистемеаф\даг1\rsind2r\drI)'цилинд-§ 6.5.Дифференцирование±1/во,2V1/даг_~ггавсферической-ортогональныхвкоординатахдаЛ+dz)дгdaz/3arIследующий-.даг( 2(даЛ21\sini>-дф~пф(дагдаг±(<±\\+Гдг\г))±l_daL1±/12г2д$даг2,2^Vдагда2вид:дагг437давдг|дгда.0+(даг^^ддкдд+'V\Глава438Тензорный6.Д(/1дг\г))(.sv2т-2анализдгда2+дгw^_а^1дафtf;даф.ГЛАВАГЕОМЕТРИЯ7КРИВЫХ§Кривые7.1.ПОВЕРХНОСТЕЙИвтрехмерномевклидовомпространствеСпособы7.1.1.Даннаязаданияпосвященаглаваповерхностейвпространствегл.1в7.1.Определение3МR1извШ3вназываютобразующихсилиd7.1.КкривойопределениюМ3пространствеодногомя)-Такойвойтрехмерномфункций:.гдеаргумента,параметр(неспосо6прострайствевоб-определя-обычныхРыйGвектор-функциипомощьютрех[?1^2]:точек,впространстве,(рис.7.1):Рис.ото-Ст.е.Скривуюевклидовомотевкли-множествоговоря,определяетсяповерх-непрерывноеШ3,пространствоИначеитрехмерномрадиуса-векторавпомощьюсСКривойкривыхточкиопределялось[?1^2]отрезкаописаниюоднойположениечтопространствеотображениетензорномуШ3.Напомним,евклидовомкривых?-некото-обязательновре-определениякри-называетсяпара-параметрическим.ПонятиеевклидовоммеждунепрерывностиШ3пространстветочками).Тогдаxl(?)можнотакжеСотображенияопределенаметрикаявляются(т.е.меж-расстояниефунк-числовыминепрерывнымиев-впосколькууместно,функциями.КривуюСзадатьспомощьюдвухфункцийоттрехГлава440аргументовГеометрия7.*^>ТакойспособЕслиВG.1)подальнейшемтехЗаоодинмересуществованиевговоритсясоответствующееДлинаДвесоседниеД?),(рис.7.2):находящиесятодиффе-инепрерывностьтексте.?,кривойнаправлениеизломов),безинепрерывнораз.предполагатькоторыхположительноенаправление,7.1.2*функциииликрайнейбудемпроизводных,выбираемG.2)(непрерывнымиG.2) являютсягладкимиявляютсявектор-функциидифференцируемыми,0'=неявным.называетсякривыеповерхностейих1:координат-кривыхповыбира-определению,возрастанию?.параметракривойдугиМточкиМ!икривойнасрадиусами-векторами?,соединеных(?)малымх(?иG.3)х@Устремляяdxjy(XJ'""""Д?ментарныйторый'ИзМ.точкипоэлементарногоРис.7.2.КdsdsОчевидно,определитьфункциюdsфункциейявляетсяs(?)=\dx\длинойэлементарнойназываетсячтоМ!dx/d^.|dx|векторарасстояниюблизкимина=точка-С:кривойдугипараметра(dx•кривой?,dxI/2,G.4)С.тогдаможнокак=/Скдви-длиныопределениюкривойвеличинаионкри-скоростибесконечноМквекторравнамеждучтокасательнойкривойженияС.кривойнаследует,поико-близ-касательнойпоТакжеС.численнодугиМ!иdxДлинаточкамиdx,бесконечноопределениянаправлен2эле-получимрадиус-векторнаправленкривой->.О,—>связываетблизкие-НАхвекторомG.5)ds§7.1.Кривыеевклидовомвпространстве441^длинойназываемую(расположенныедугих(?0)G.4)радиусами-векторамиПодставляяСх(?).G.5),ив?,кривойкривойнаужекотораясоединяетявноеполучаемAioточкиобразом)произвольнымспредставлениеМ.ирадиусадлиныдлядуги:Векторные7.1.3.кривойхарактеристикиЭлементарнуюдлину<ЬСпомощью?,кривойкздугидлиныдлине-з.Например,G.7)dsдифференциаламиd?,иподвижениеможносамокри-х(«),=8!^функ-какрассматриватькривойзаданиевG.1)видеобразом:Хвиде:иномдуги.следующимпредставитьвхарактеризующегокривойхарактеристикивсезаписатьмежду?,параметрапараметруТогдафункцииотможно\щ\<Ц.=соотношенияэтогоперейтиможноG.4)dsдугиможноG.8)8^82,илих*гдесправаТакжеперейтикконечно,стоят,отужескоростивектора=*'•(*),функциидругиедвиженияпо(dx/ds):векторуссравнению(dx/d?)кривойпоможноG.1).пере-%Векторtединичнымназываетсяи(dx/c^),он=векторомкасательнойпонаправленДифференцируявекторtпо?,ивсилу?.ТакжекаксоотношенияP.U)единичнуюимееткривойккМ-?-?¦'.действительноG.10)dx/dsкасательнойз,длину.получаемГлава442Этотпоtсоотношениезвоткуда,t•1,=дифференцируяделе,скалярногоотпроизведенияпорядкаполучаем:rc-tПосколькуМ,самомимеемнезависимостисилумножителей,Вt.векторуортогоналенвекторповерхностейикривых?.кривойкривизнывектор-Геометрия7.tтокасательнойпонаправленвекторкG.13),силувл,G.14)0.=Скривойпонаправленнекоторойвкнормалиточке?тойвжеточке.Определение7.2.длинуназываюткдляимеетвкВыражениеG.8),КривизнойвектораточкечерезСкривойэтойвдекартовыAdточкеобозначаютиназыва-к.какG.12)согласнокоординаты,ивид:ВеличинаД=1/*называетсяG.15)иЕдиничныйG.16)радиусомкривизныкчтоясно,иRкривойСвсегданеотрицательны.-называетсяглавнойвекторомvпомощьюиtвекторногоследуютИзопределенийимеетонединичнуютакже=G.18)txi^,Вбинормали.tортогоналениv,вA.49)свойствасилуисилуA.50)дейст-длину.(см.свойствкривой.векторвекторомпроизведения,силуG.17)кпостроитьединичнымназываемыйВАЛ.точкеRk,=нормалиможноbдействительноввекторvСG.16)упр.1.2.7)векторногопроизведения,формулы:и=-tхЬ,t=i/xb.изG.18)G.18')§ 7.1.КривыевСопровождающий7.1.4.евклидовомпространстве.443трехгранникТакимобразом,кривойМточкевзаимнокаждойвСтриортогональныхеди-вектораt,i/Hb,единичныхкоторыеобразуютвекторов,называемыхсопровождающимкото-тройкувекто-сопровожтрехгранникомпро-пространственной7.3).ПридвижениикривойвдольС сопровождающийтрехгранник7.3.Рис»СопровождающийС7.3.содержащуюиа7.1.5.ЕсливсяиМ.точкукри-tub,называютспрямляю-иЬ,инормальной.—кривойоднойв(плоскаяплоскостисоприкасающейсяскривая),топлоскостью.единичныйbбинормаливектордлину,единичнуюноит.е.постоянен,направление,поэтому0.=Длячерезвекторылежиттолькбнеdb/ds0,Скриваяплоскойменяетте-соприкасающей-называютии,векторысовпадаетДлятвердоекривойплоскостьнеtсодержащуюсодержащуюплоскость,КручениеэтапроходящуюПлоскость,векторысоприкасающейся;плоскость,спрямляющей,какдвижетсяСкривойОпределениекривойтрехгран-тело.трехгран-пространственнойСкривой(рис.трехгранникточ-имеетсянеплоскойкривойэтаототличнапроизводнаякривойотклонениехарактеризуетплоскойотdb/dsнуля:фПоэтомуформы.вектортназываютвекторомdb/ds=G.19)кручения.G.18),ДифференцируясG.12),учетомG.19)T-KXV+tX—.Таккакквекторыиипоортогоналенсвойствувекторувекторногоt.G.17)другойколлинеарны,-произведенияСG.20)—тПополучаем:стороны,=t=0,поэтомуА/.хG.21)-—.изпосколькуG.21)чтоследует,b-единичныйтортоговектор,Глава444дифференцируятоиbG.14),крирыхbсоотношениеbчтоt,иГеометрия7.dh/dsортогоналенколлинеаренследовательно,т-коэффициентВиортогоналени:G.22)&,кривизнырадиусомвыражениеУмножаяG.22)нормаликручениекривойбытьможетгОбратнаякакположитель-1/г=кручения.длякрученият.наскалярноимееми,G.21):учетомс(?-2з)"-ПодставимС,С.величинанемуккривойккручениемRTПолучимглавнойназываютмеждугпропорциональностииотрицательным.называетсят-ти,=векторомзнакомоттакитобратнымотличиеположительным,образом,нормалиКоэффициент7.4.кручениясG.13)аналогичнополучимТакимпропорциональности.Определениевекторомвзятый1,=т.векторутгдеb•=поверхностейисюдавместоегоиG.17)выражениевекторчерезкривизнык,:г-t=dlRk)хds}nRk,•,-t=R^(tXK)KR(tx=dsТакравнокак(tвекторВонулю.xк)произведенияортогоналенгс,в(см.векторовупр.1.2.6)rПодставляявекторывместок,имеемtик=ихG.24)+\ds^ds\слагаемомвторомfdR—кхтопервое„*ЛЛ-г-„•ds)RkG.24)Л.слагаемоевсвойствусогласно=G.24)рав-смешанногополучим:tf(tx«).^.dsвыраженияG.10),G.25)G.12)черезрадиусы-Кривые§7.1.Заметим,чтообъемвсмешанноеG.26)пространствепроизведениепараллелепипеда,поэтомуевклидовомпостроенногоможноG.26)внавпредставить445собойпредставляет^,векторах^f^f,ипоэ-виде:G-26;)Формулы7.1.6.ФренеФрене-СерреФормулыпозволяютG.12)G.17)ивыразитьчерезтрехгранникасопровождающеговекторовbt,векторыи^G.27)ки.=азG.19)ИзG.22)ивытекаетДифференцируяG.18')формулупервуюdv-ки=—Френе:формулавтораяполучаем:xbсG.27)учетомиG.28),G.29)rtx^.+asЕщеразформулуФрене-Серре:G.18)формулыиспользуя^G.18'),и-kt=форму-третьюполучаемтЪ.+G.30)азНанатогдаеслиизвестнысfc(s),=Такой7.1.7.доспособt[dh/ds)сопровождающегоипотрехгранника.-t,ииЬ,тог-естьполностьюФренеСкак"скорости"кри-определитьестественным.называюткривойG.31)пространстве.формултрактоватьsдуги[du/ds)СсмыслдвижениедлинувкривойзаданияРассмотримкаксмотреть5o^3^3i,можноположенияМеханическийдвиженииt(s),=Френе-СерреформулточностьюсможновекторовфункциидвепомощьюСкривуюG.30)относительноуравненияктоG.28),G.27),Френе-СерреформулыдифференциальныеИзи.Френе-Серре:формулаперваяследуетвекто-отпроизводныесамиот"время",измененияточкиs=товекторовз0.Еслидви-при(dt/ds),величинысопровожда-Глава446.Геометрия7.кривыхповерхностейиСогласнопервойG.27)изменениеtвекторанапроисходитнаправлениинормалиAt,вектортого,собойпредставляющийизмене-=вКромеАзвеличинуAtи.Френеформуле"время"малоезапредстав-разностьt(S+AS)пересекаеткасательнуюРис.7.4'механическогоКФренеформулсмыслаAtчтоследует,меха-определениют.е.говоря,t происходитвокругЬ(з),бинормалиосиАбсолютнаяG.27)аналогичночтовокругмгновенногоравнойкручениюТаккаккривойиспытываютмгновенноеэтоговращениявоси,вектораплоскости,положением\(dt/ds)\согласно"времени"малогоt(s)касательнойположенияФренеформулытечениеАзсG.28)можновращаетсяугловойскоростьют:сопутствующий?,направлениеG-33)*=осибинормаликасательнойиссугловымискоростями=у/т2которой+определяется=тЬ+гиспытыва-иi,товцеломскоростьюк2G.34)векторомкЪ.целоежесткоеэтомприугловойсуммарнойо>какдвижетсятрехгранника|ы|вокругизменениеспрямляющеймгновеннымвторойизbбинормальвращениевращаетсятрехгранникАзв!§!вдольбинор-кривизне:Совершеннопоказать,ивекторы(рис.7.4).вращенияназываемойскоростьугловаяравнаследу-вектору"времени"путембинормали.всодержащейbмалогонаправля-Отсюдасоприкасающейсяортогональнойибинормалитечениевлежитплоскости,t(s)Иначекасательнойсt(s).векторомнаправляющимДарбу.G.35)и§Уравнения7.1.8.Если?,/Лои(см.евклидовомвпространствекасательной,зафиксироватьтовидКривые7.1.нормалисточкукасательнойуравнениесодержащую.447хгкоординатамикривой,кэтойвхо-мх{Здесьж0,точкиЛ4о>tl0 фиксированых%Совершенно7.5.иКвыводукнормалих-х0G.38)=бинормалихСкривойхо-точкевУпражнениеиЬПоказать,7.1.1.почтодля7.1.t,-,компонентV{t,трехгранникасопровождающегоё,*:базисаиЬ%имеютместочерезвыражениярадиуса-вектора:/газУпражнениеследуютвекторыдекартовадекартовых§кРазложимнеподвижноговекторамкомпонентыG.39)=УпражненияV7.1.2.уравнения?запи-аналогичнокаса-уравненияауравненияСкривойкдляпеременные,-параметр.записываютсяРис.G.37)=переменный-G.36)координатах4-иметь(t0,=декартовыхвточкубудетto,точкекривойэтурис.7.5):илинаж0черезхкасательной=проходящейкасательнойвекторбинормалииПоказать,длякоординатказ-чтовекторовизформулсопровождающегоasФренеas*G.28)G.27),трехгранника:иG.30)Глава448Упражнениеесли7.1.3.УпражнениеТкручение0,=имеетО,=ИспользуятоэтаФренеэтатоПоказать,чтоСкривойвдолькривая.G.9)изпараметрадлявыражениевид:d/diгделиния.есличточтодоказать,прямаясутьдоказать,плоскаясутьупр.7.1.1,изСкриваяупр.7.1.1,Скриваяповерхностейиформулыккривизна7.1.5.УпражнениекривыхИспользуяС7.1.4.кривойвдольГеометрия7.dx/d?.=XУпражнениекриваяС7.1.6.заданаИспользуяG.1),видевk:кривизны7.1.7.упр.7.1.6,G.16)изтакжеесли7.1.8.Скриваявыражениечто|х| х|_вкридляfc,дляпредставленноев(х -хJ|х|3упр.7.1.5результатыG.1),видеесливыражениеобразом:—Используязаданатакоевыражениеследующим=чтопоказать,следуетх|/|х|3.Xзаписано*Упражнение|х=G.18)иПоказать,бытьможетупр.7.1.5,результаттокУпражнение|х|,=тоG.26)из7.1.6,иможнополучитьчтопоказать,выра-следующеекручения:дляXXXX*•__"~|хУпражнение7.1.0.винтовуюЛинию,Показать,G.1)уравненияЬ>0,этовинтоваяправаялиния;=Ь?,Ь<0а>0левая),-Sдугидлина?:пропорциональнаSУпражнение7.1.10.Ткручениепостоянныи=Показать,чтовинтовойдлялинииЬаУпражнение7.1.11.2Показать,формулойнормальнуюразложениясоставляющую..=ускоренияst=а2G.9)изчто.иТЬ2'+хназываемаяккривизнаравны:=тангенциальнуювид:ж3еслисобойпредставляющейимеютasin?,=(еслиС,кривойдлячтокоторойдлях|2х++Ъ2иG.27)'формула:следуетS2—и,движущейсяточкинатангенциаль-икру-Поверхности§ 7.2.7.1.12.УпражнениеДоказать,(ортогональнойплоскостичтоэтоеслиbхс•449Ьа,вектораI/),Силежатоднойвто0.=эквивалентновыражениеследующему:V7.2.тривектору|det§пространствечтонекоторомуаПоказать,евклидовомва3>Ь3с3а2Ь2с2б1с1Поверхностив|0.=трехмерномевклидовомпространствеСпособы7.2.1.Определение7.5.Ш3пространствесспомощьюх(Х\х*X2X1,ЭтиоднойфункцииЕсли15ТензорноеподставитьисчислениеG.40)G.41)1,2,3,=по-накоординатыG.41)параметричес-выражаютоднозначными,производныевэтойдоX1',1 доЕтрех3:г,можно2:доj, fc,Z=-=буквы1,2,=G.41)ввмалыелатинскиеспособомсанеявнымнекото-индексе-помощьюх1:координатФ(ж')в1,2.латинскиетакжезадатьаргументовфункцииI/, «7, JFC, X1, 2, 3.=непрерывнымипорядкавторогозаглавныеглаве1отзначенияПоверхностьШ2Скриволинейныеилиаргументовдалееотwза-котороеX2.предполагаютсяизмененияобычнокакШ3,поверхности.непрерывныеиисобойG.40)G.41)функциинекоторой областиЗдесьпробегают«X1представляютимеющимиех{(Х\Х2),=аргументовзаданияТри{Х\Х2)про-трехмерном—>wдвумерномввфункцийСоотношенияS.поверхностипараметрическийспособидвухS:X2),числовыхтрехотSотображениевектор-функции=областьоткрытая-поверхностьюназываютпомощьюзависящихwтогдахилиПустьШ2,пространствезадаетсяповерхностейзаданияG.42)0.G.42),тополучимтождество.Глава450.Локальные7.2.2.Подобнодлякактомуповерхностейибазисагл.1вМ3,пространствакривыхвекторыповерхностинаматрицаГеометрия7.иметрическаялокальныевводилисьвведемR,базисавекторылокальныхдвабазисавекторанар/поверхности:Этидх/дХ1.=Р1векторынаправленыкасательнойлиниямкX1G.43)const=покоординатнымЕ.поверхностиКомпонентылокальныхвектороввpiбазисеё,р\\как91Введемвекто-декартовомобозначимкалини-р}е,-.=G.44)метрическуюматрицуповерхности:Рис.7.0.трехмерномПоверхностьевклидовомвтрехмер-пространстве913метрическойдполагаем,det=(ди)0ц022=2x2.размеротличендиG.45)9з,•отнуля:i-G.46)что>Для0/Jматрицы91имееткотораяОпределитель=0/jс0,О,>022обратнаясуществует0П022-012метрическая°->матрицаповерхностикомпонентами:-110_—922-220~^~"»0_—0И~^г-,-1200_—012^г-,0G.47)причем'~Т'д^^'9п1Ктт^ЗдесьJ1^-двумерныйсимвол—=«G.48)Кронекера:1фК.G.49)§ 7.2.ВекторыПоверхностивзаимногопространствебазисалокального451р1поверхностиобразом:следующимР17.2.3.ТензорыОпределениеопределенныеМоточкисодержащую?$,S,ЕвектораданнойвG.50)поверхностиповерхностикРассмотримЕ$,сле-9UPJ-=Плоскость7.6.длявведемповерхностинаплоскостьюплоскостиевклидовомва'ё,-,=опре-pj,точкекоторыйЛ^о*точкеввекторыкасательнойназываютлежитТогдаегокасательнойвможноплос-разложитьбазисупо9VаТеоремаSМножество7.1.касательнойрадиусом-векторомЭтовобразуетхпространствоpi.всехЕ$,плоскостисо.=авекторовфиксированнойлинейноеназываюта'ё,-,Мо=точкележащихвповерхности?*(х)-пространствотакжелинейнымкасательнымпро-пространством.Действительно,Е$ всегдас1 pi Е Е*,Тсумма8°-(\aI)pi,=линейногоТогда§2.5,(aibia2b2),B.112)операциисложенияи(А(х))Ct(x)Тпп=по2)согласнопространством,хточки2.25к®2.29,причемопределениедатьипростран-произведениеА(х),линейногокакS(?«(*))73—4.х',другойn-ой2.24действительно7.7со-вводится?*(х)®?*(х)определенииполуча-Определениефактор-пространствовdimкS.произведенияпространств:7пЕхпространства.тензорноговведеннойтеоремечисломножествеэтомнаповерхностикасательныеквадратаотношениюА(х)=операциядекартовавекторныхтензорноетензорныеопределениюизло-набо-себя:напосколькусогласно1°Ааппарат,касательнымназываютоднойотразличныекорректно,умножения=¦2.26.)Переходя2.=ввестинаТензорным7.7.А(х)весь?*(х)>ЕbI)pjобразуеттакжеамножествоопределениюпространстваполучаем^/(а1+СвойстваприменитьобразоватьА(х)>Еа/Определениепространствомdimможнона=•плоскости.очевидны,аналогичноетензора,касательнойвчастности,гдеЛплоскос-b+ачислаА(х)вкасательнойизвидевлежащийпространствуквbиапредставленапространстваизложенныйнабороввектороввещественногопроизведениеЛавектордвухбытьможетплоскостистепени=[(А(х)хА(х)J]эквивалентности.являетсялинейным(здесьАГлава452БазисныедиадыГеометрия7.(А(х))Тпв®PiР\p2®Pl=[Р1Р1Р2О],Pl®p2=[pl0p2pl],Р2®7.8.ОпределениеА(х)стиСогласнодля2.28а,МточкевсякийвводятначислоумноженияиТакжевкаждойитранспонированиякакидляспомощьюЕЕхP*®Pj,которых?*(х)>помощьюумно-сАипомощьюдиа-различныеопределитьповерхности?]иматриц/, /по-скалярногопространстваможнонасложения,операцииссопря-тензоровдляиР*®р\натензорпро-п.2.5.9,операцийкромеопределеныевклидовар1икасательныесогласноиндексовPi®Pj,базису:всеgjj,сточкеpjвможноповерхностиpj.совпадаюттрехмерногобазисаповерхностидиадномутогда,базисы:дныенахрангов.поднятия-опусканиялокальноговекторов0piевклидовыми,?*/.А(х)умножения9IJ.будутпространстваповерхностиАопределенностиCt(x)сопряженныеAIJпрост-точкиповысшихтензорыположительнойпространствакаждойразложением=поверхно-касательныхтензорпредставитьАсилунарангатензорныхопределенныхтеоремеданнойвторогоэлементы(А(х))>?.[plP2p2<>],=Р2~ТензораминазываютТппространствАналогичноВ[plftjPK)],=образом:явнымилиB.118):аналогичновведемpJ®pKповерхностейикривых1,2,=можновпредставитьвиде:АТензорынанеобъекты,<8> pjповерхностименяющиесяПравилоприпереходеАир1=®pJX1'.изпереходекомпонентизX1вX1'A*3pi=собойпредставляютприX1 в другуюпреобразованиякоординаттензоровAIJpi=однойpJ.объ-инвариантныекриволинейнойлокальныхвекторовтакже®системыбазисовисохраняется:G.51)§ 7.2.МетрическийПоверхностиевклидовомвтензорнапространствеЕповерхности_453поопределяютаналогиисБ:дир1=Заметим,чтоljIJднтрехмерднымихотятакG.40)вообщекакиихговоря,матрицыметрическиеR1,R,-,сpj.д%*^компонентысоответствующиеобъектытрехмер--определеныфункцийдлявида.Касательные7.2.4.р1р/,аналогииповерхностныеспециальногоpI®=базисыповведеныно,gIJpi=локальныеформальнообъектами,различны,р3плоскостиПолучимкасательнойуравнениевекторинормалиЕ*плоскостивМоточкекоор-схг0.координатамиВыберемпроизвольнуюкасательнойХ(ьР\изкомпонентир2лежатМточкуЕ*плоскостивэтихкоднойЕ$.плоскостибудетвекторов,XХг\сМоточке(рис.7.7),тогдаОпределитель,равенXж*,координатамивлежащуюх—векторатрисоставленный(см.нулю2.10):теоремуХпр\р\ААР\Р\илиG.52)0=видевекторномв(ххо)-хР1.р2G.52)Разрешаях%координатG.53)0.ко-относительноуравнениеполучим1касательнойЕ*,плоскости=вточ-х%0:х%0точкеG.54)гдеРис.7.7.касательнойКр\р\каса-уравнениявыводур\р\=ВточкуG.54)уравненииНормалью-плоскостикМповерхностих*0фиксированы,-аSповерхностииортогональнаяхг-называетсяк-р\р\-G.55)переменные.прямая,касательнойчерезпроходящаяплоскостиЕ*Глава454этойвповерхностинормаликривыхАЛ.точкеегох—-=.pi=единичныйчтоопределимpj;пповерхностейиОчевидно,векторамортогоналенпГеометрия7.векторнор-какG.56)р2.V9ИспользуяA.33)определение(см.показать8.2.1),упр.G.56)п=-откудапЕслизафиксироватьпроходящейнормали,иметьп•МоточкуэтучерезG.56а)г,единичный:действительноп1.=наS,поверхностиЛ4оточкупо-следующей:эквивалентна|pixp2|векторчтовытекает,можнопроизведения,векторногоформулачтотонор-уравнениесодержащейивекторбудетпо,вид:х-х0=?п04=?<.G.57)илих*Здесьхг0иrig--хгфиксированы,G.58)переменные,-а?переменный-пара-параметр.7.2.5.ПерваяРассмотримможноформаквадратичнаяСкривуюзаписатьвнаповерхностиЕ.поверхностипараметрическом*'=*'¦вкриволинейныхXхкоординатахилиповерхности,Возьмемблизкиедвеэтойнах'=кко-декартовыхdsПодставляяэлементарногокривойточкидвесвязаныблизкиеdxдляимеемG.59)вG.60)\dx\2длярадиус-Миквадрата=М1по-выражение:G.59)естьрадиуса-вектора=точкиpjdX1.=С:ds2векторомэлементарныйполучимG.43)ихих',радиусами-векторамибесконечноdxДлинасЭтипределу,двеG.40)М1и(рис.7.8).СсвязывающийСогласноповерхности.МточкикривойПереходях.—dx,векторds2,в2лежащиедугикривой(Окоординатах:АхэтойУравнениевиде:дифференциалдлиныG.60)dx-dx.дифференциаладлиныдугиполучимds2=gudXJdXJ.G.61)§ 7.2.7.8.Рис.элементарноготочкипервойЭлементарнаяМ2наПереходякG.61)элемен-называютaформы.пер-Tjjкоэффи-—поверхностиЕдвумясоединеныопределениюповерхностиповерхности,поверхностиограниченную(рис.7.9).КплощадкиформуплощадкаРассмотримплощадку,7.9.тарнойКвадратичнуюформойквадратичнойквадратичной7.2.6..455поверхности7.9.коэффициентамипространствеРис.элеменсвязываю-Определениепервойевклидовомвопределениюрадиуса-вектора,близкиедвещегоКПоверхностивпарамипределу,X1линийMidx2,М,точекпарыпло-малуюкоординатныхчтополучим,элементарнымиМточкиокрестностиблизкихdxiрадиусами-векторамииМ,ипри-причемdxQ(здесьпредельномописаннаяпереходепараллелограмм,площадьучитываяndEформулыG.56),G.62),=dxiстоящихвекторов,длинуG.62)1,2=малаяаплощадкабЕ,которогоформуле:Вычислимaнет).апосуммированияВpQdXQ,=ввычислимпоG.63)dx2.хсправатакжепревращаетсяA.51),согласноифакт,тотслевачтов|п|G.63),=учиты-1.ВитогеполучимdE~выражениедля=|piэлементарнойxP2\dX1dX2=площадкиy/7jdX1dX2поверхности.G.64)Глава456.7.2.7.УголПустьмеждунаМ.точкеиТогдаЕповерхностидвех,кривые,пересекающиесявG-65)х=радиусы-векторы,имеютPldXfI.=dxвекторамиточкивид:dx'=междухизвыпущенныеG.58)согласноdxскалярноеимеются{X\i),X\i))х=угланапараметрически:кривых,КосинусповерхностейикривымиповерхностиэлементарныеэтихкривыхдвумязаданныехвдольГеометрия7.dx'иG.66)находим,ска-используявекторов:произведениеgjjdXJdX/Jdx-dx'G.67){gKLdXKdXLI/2{gMNdXfMdXfNI'2'Есливыражениевкачестве?параметраG.67)сучетомG.11)G.65)вfl/JВтораяdX1dX'J—_.формаквадратичнаяG.68)близкихдвухповерхностиМиЛ!',какположениепредельноевекторагдевектораобозначеныопредераз-—п.элементарногодляимеем:нормали=элементарного,п;=G.59)ПодобноопределениюинормаливекторЛпКвекторы7.10)нормалей:разности7.10.радиусом-(рис.элементарныйопределимповерхнос-рассмотримпип'нормалиdnточексвязанныхДх,векторомРис.выра-тодуги,поверхностиДляАПдлинуупростить:_7*2.8.выбратьможноUjdX1,G.69)элемен-нормалипроизводныевекторанормали:дпG.70)§СоставимтеперьG.69)иПоверхности7.2.пространствескалярноепроизведениеdnЗдесьdn•обозначениевведенодля7.10.ОпределениеформойквадратичнойквадратичнойсG.59)учетомпоG.71)G.72)касательнымнормалип,X1отпроизводнуюG.73)дифференцируясn•квадратичнойвполучим-piG.75)6/j,=nj•G.75)6/jr.поверхностивместопего=G.56),определениевыраже-тогдавид:приметЬикоэффициен-симметричностьследуетЬиG'76)•п>дШх*формыкоэффициентовдли=очевидно,выражения,второйПодставимкакрадиуса-вектораXJ,=blJэтогоG.73)G.74):учетомкоэффициентовортогональныт.е.точки,дЧпоpjj-i=Pij•хР\G.77)р2-V97*2.9.ПсевдотензорынаРассмотримтеперькриволинейныеповерхности мыкромекоординатыимеемна-совпадающим0.=ЬР1_Тогдап•будутр/жевиде.М,точкеЕ,Тогдатойизвыпущенномуиномнекоторойповерхностиconst.—второйнескольковвнаР1вторуюЬидлякривымклиниямиОбозначимкоэффициентами-определенныеpi,квад-второйназываютbjjaвекторыкоординатнымивекторуG.72)-pi-nj.=Выражениевыражениенаправленыпроизведения:формы.чтовыражениеdx,G.71)скалярногоповерхности,ПредставимВспомним,ИзиbjjdXJdXJ.=buили457имеем:-dxсевклидовомвдвалокальныхповерхностиX1координатХп.базисаТогдавр/инар'Т,ЕповерхностикаждойточкесвязанныхМ.соотношениемещеповерхнос-одниГлава458G.51),двеимеетсяГеометрия7.матрицыметрическиеследующая32ххpi'~дХ'ЭХ1G.44):/Здесь#_учтено,соотношениепереходехрак__13eAСогласнод2х|А|1,2).=дХ3кдХ!дх>ПодставляяполученноепреобразованияформулыполучаемопределенийучетомсдХКдХьдХ'1dX'JР1хр2'dXKdXL\Р1хР2\G.79)dXIJвведеннойп.1.9.6вклассификации,весатензоромиобразуютформынаходим:=""относительнымквадратичнойbjj,р',координат:\b\dX'1является(а0=раире0*-системеД,77fUG<78)р'2 преобразуемхдлявыражениеновойР'2хдх{Ч4-к_ey*Piftчтовприр[произведениеPi*P2-р2детерминантыгдеA.33)которымихР2\'|р!формуламэтимпоимеждуформы:PiВекторноер*3,•квадратичной_13Вычисляяр\=дХьвторойкоэффициентовнаборадва*д'ииgjjсвязь:дХкиповерхностейикривых=скаляр—1,асимметричныйкоэффициентыпсевдотензорyfgявляет-второйвторогоранга:В=Ъир1®р3=Ь13pi<g> pj.G.80)§7.2.ПоверхностиДеривационные7.2.10.Вкаждойpi,изменениенапример,тройкавекторовпо-трехгранникомГаусса-Вейнгартенасопровождающегоэтиописываюттрехгранника.векторы:можнопоразложитьсопровождающемупо459определенаформулывекторовРассмотримвсегдабыласопровождающимДеривационныеповерхности.ИхЕповерхностиназываетсякотораяп,пространствеформулыточкеP2,евклидовомвкакого-либовекторамбазиса,напри-трехграннику:G.81)Ьиъ,n/гдес/Ь/j,Fjj,коэффициентов.djи-G.81)Умножаяcjpj=коэффициентыG.82)dm,+Установимразложения.наскалярновп,ортогональностисилуэтихвидpjis.nпо-получаем:пG.83)СравниваяквадратичнойG.75),сформы:ЬиG.81)УмножаяскалярнонаРиПродифференцируемМеняявG.86)теперьG.45):PiL-pj+Jиндексыf*поменятьвG.86)+Pi-PJL/PJ+иG.73)получаем:=Тт.G.85)=^i.G.86)^f.G.87)получим:индексыPL/G.45)учетомPi-pjLX,второйкоэффициентыG.84)T?j9kl=PLPu-PLЕслисэто-Ьи.=рь,¦bjjчтонаходим,G.83)Ьи.=.PL*=i,<->•PJIто=&gjL-Qxf-/7G*88)одчГлаваУчитывая{ддть[dX?2ЕслиTijk,тотрехмерныхG.89)феляпервогоP/J=PL'получим:=F.13)выражениемсТакимдвумерные.точностьюзаменыдообразом,двумерныекакопределитьКристоф-символовдляформулэтихкоэффициентыКристоф-символырода.Символывторогометрическуюполучаютсяроданаумножениемобратнуюмет-матрицу:TuУмножаяTIJLg=таккак(_--gG.82)формулутеперьНоG.85)иГ/л,.наестественноG.88)-ддц\сходствоувидимповерхностейи«FJ"1ХГсиндексовTjj jdgJL+G.89)сравнитьфеляG.86)коэффициентовдлявыражениекривыхизрн,симметрию1-Геометрия7.п•п=1,+_-_).G.90)наскалярнополучаем:п,nj-n^d/.G.91)nj-n^O,G.92)топоэтомуdiНаконец,G.82)умножаянаполучаем:рк,niPKИспользуясс/6/где-следующую=иG.94)выражаем-Ь/,второйG.93)изG.95)квадратичнойG.95)вформы.G.81),G.88),получаемтеорему.Теорематрехгранникаб/я-,-pJirbK/=G.84),теперьG.94)коэффициентовкоэффициентысмешанныеПодставляяcJjgJK.=G.72)определение/:G.93)0.=7.2.описываетсяИзменениесопровождающеговекторовследующимисоотношениямиЪ„п,n/=-bjpj.длятрехгран-производных:Поверхности§7.2.G.96)СоотношенияизбылакоторыхЗаметим,T!-jГ*усметрическойДляслучаявdRi/dXiполокальномудвумернойG.90),F.8),соотношенияЭтоследствием.сбылоОпределение7.11.отповерхностиопределепринятьсоот-будутихследст-наповерх-можнокомпонентопре-вектораконтррангавторого|?=+Vrajи~=G.97)ejf,вто-тензораа1Рт-=компонентывектораа7Р/,Т=Тир1и®ковариантныеопределяютсяTJKLTIL,+pJG.98)натензора=TIJPlповерхности:®G.99)pj.напроизводныеповерхностикомпонент.другихЕсливбажныетрехмерномTIJиАналогичноместог*~T^T*1+а-компонентковариантныхdTIJaj|*=следующие:-Здесьпо-величины:fjKa\авариантныхнакомпонентковариантныхиследующиеV/»'отпроизводнойКовариантнойконтравариантныхназываютвекторавзатрехмерногоКристоффеляотприводитестественноG.96)символовдву-pjЕ.поверхностиотПоэтомуболееаналогомпроизводнуюG.96),базисап.7.2.10.вF.1)разложениер/,п.точностисвязиследствия.видеформулформулыпроделанодвумерныхпомощьюввекторовдеривационныетогдаF.8)формулааустановленаГ^вковариантнуюопределитьR,,базисуявляющуюсяиДалеебазисуКристоффелясимволовКрисразложениядеривационныхтрехмерномупоповерхностианалогичноеизперваясимволыкоэффициентыповерхностиследуетформулами,Вейнгартеном.-каклокальныхдвумерныхформулубылаgijдифференцированиеопределениевтораяпространстваF.1)матрицейразложениюктрехмерногослучаекакдвумерноеанасогласносуществует;неаГауссом,вводилисьпроизводной461дифференцированиечтотоффеляпространстведеривационныминазываютустановленаКовариантное7.2.11.евклидовомвТкачествеформулы,случае.метрическийвзятьявляющиесяЕ,тензораналогомформулытобудутРиччииметьF.54)Глава4627.3.ТеоремаГеометрия7.этойДифференцированиеотО,=ДоказательствоотличаетсянатензораVKgIJтеоремыоставимиВ__частнаяbIKn)отпроизводнаяУсловиянаотносительновекторовкакуравненийвекторака7Ь/л:п,+поверхностинааG.101)неужесопровождающеготрехгранникаотносительнотрехсуществуетнепроизводныхотносительноравенствовторыхвекторныхПосколькувсегда.п,смешанныхтоееусловиемеепервыйимеетпорядокG.102)дЧG.103)~Подставляемдхкдх1'дG.96),Дифференцируяпроизводные.сюдапро-будетинтегрируемости*»-92°=этауравнерешениепроизводных:dxJdxKэтипосмот-чтовекторныхзначитсистемар/,иОчевидно,пятьсодержитнеизвестных,*>¦Вычислимявляетсяотноситель-п.р/,онапереопределена:G.96)формуламуравненийдеривационнымдифференциальныхсистемунабудетсистемавновьтеперьних{VKaJ)pi=интегрируемостиВернемсяпосмотримнапример:поверхности".на7.2.12.отлича-поверхности_да1"векторомG.100)упр.7.2.3.наделе,нулю:0,=качествевсамомdXKiт.е.VKgтензоровотповерхностиравнада1д{атР1)да0,=векторовнаповерхностиVkQijслучая.трехмерногоповерхностейипроизводнаяКовариантнаяметрическогокомпоненткривых+~EPlвыражение^hPLKдля(дТм(#+рьк+Ггй^Fnипк+изЪЬ%\получаем:G.104)bijn.K,G.96),\тогдаимеемрм+G.105)§ 7.2.Поверхностиевклидовомвпространстве463L-bJjbjKn.ПодставляяG.105),теперьJиндексовif,<->•ввыполнятьсякоэффициентыG.102)вG.102),любыхприприпиркG.105)формулытакжеинтегрируемостиусловиедолжнокотороеасзаменойиндек-получаемуравнение,Тогдап.ирмполучаемнулю,G.106)приравниваяинтегрируемостиусловиевиде:IJ.U1pMpLIKpMpL__G.107)G.108)0.G.106)Подставляяпинулю,вG.103)ивторуюполучаемусловийdbK"дХ^~коэффициентыприравниваягруппу-jмJмкпри~j""м^м//l""G.110)0.Введемобозначение:5—^к^jj-jмЛ^-j/ранганакривизны=ПолностьювычисляемпутемучетомG.111),компонентами®рмG.112),четвертензоромРимана-Кристоффеля:RkjimPK=®PJ®PT®наPRkjilкривизнытензораG.111)=4RтензораназываемогокомпонентыковариантныеумноженияRkjilСlkтензором®р*®pJ\MLи1(см.упр.7.2.16),ЕилиMp^%JXявляютсяповерхностиповерхности4R+~клКомпонентычетвертогоpjинтегрируемости:матрицу:метрическуюRkjiM9ml.G.112)G.107)формулыможнопредставитьввиде:=Rkjil-G.113)Глава464G.108)УравненияпроизводнойискривыхучетомG.98)ковариантнойTjfcjКристоффеляпроиз-Г^к=можнопред-виде:ЧкЪиЗаметим,G.113)чтоVjbIK-всегосодержитGД14)0.=нетождественноодноравноеуравнение:нулюЬ\2G.114)аповерхностейиопределениясимволовсимметриивпредставитьГеометрия7.такихдва-G.115)Vjbn-называется0,=G.116)/=1,2.Гаусса,уравнениемG.116)аПетерсона-Кодацци.уравнениямиРассмотримG.110).икомбинацияхлюбыхоставшиесядветеперьG.109)интегрируемостикчемвG.109)уравненияхслагаемыевсегда,убедитьсяЪкмЬл)-перейдемтакже=кдифференцированиеобразом:произведемследующимпоG.117)0.компонентамковариантнымчастямислага-сгруппируем9LMG.118)=0.УчитываяG.100)свойствавовторомиметрическойтретьемматрицы,G.118)будетобразом:следующимвыполненыG.120),G.115),собразом,икимыдоказаличтозаключаем,G.109),условиеудовлетворяются,G.109)условиядополнительноG.116),G.108),G.108).условияТакимвид:значитауравненийG.119)иметьG.120)Сравниваяинтегрируемостискоб-ввыраженияпреобразуемслагаемых|^тогдапринепосредствен-дЬшскобкахуравне-интегрируе-выполняютсяможно-компонентам:ковариантным9JM(biMbjKЬ/j,условийгруппыG.110)Уравненияиндексов,непосредственно,перейдяВG.115)^1212,=уравнения:Vi&/2УравнениеЬцЬ22~иуравнениямследующуюG.110)интегрируееслинеГауссавносятитеорему.вы-тольконикакихПетерсона-КодацциновыхПоверхности§ 7.2.ТеоремавНеобходимыми7.4.сопровождающегопространстве465достаточнымиидеривационныхинтегрируемостиевклидовомтрехгранникаотносительноnpi,интег-условиямиG,96)формулвекторовявляютсяG.115)уравненияG.116).иОсновная7.2.13.ЗададимсяНаформ.теоремаТеоремаи7.5.отвечаетосновнаядифференцируе-непрерывно9и=9и{Х1,Х2)разG.121)дифференцируемыенепрерывнофункции:\Х2),длявыполненыкоторыхG.116)дацциопределенности:условиявсякогоаПетерсона-Ко-также?22?H+тогда?/,положительнойусловиеtfвектораненулевого3G.122)интегрируемостиG.115),Гауссаи0,дляпо-квадратичныхследующаядваждызаданыПустьфункцииодинвторойиповерхностей.теориидифференцируемыеположительновопроссамойопределенияпервойфункциямизвестнымэтотвозможностиовопросомтеперьпоповерхностиповерхностейтеориитеоремаG.123)поверхностьсуществуетG.124)триждыЭтаТтеоремыG.115)иG.116),bjjявля-форм.вперемещениядовоспользуемсячтоследует,тоеслипро-п,интегрируемостиусловияG.96)уравненияир/п.7.2.12,результатамивыполненыдеривационныефункцийотносительноточностьюсиgjjцелого.доказательствакоторыхкоторойквадратичнойвторойиопределенажесткогокакДляизпервойповерхностьпространстведлядифференцируемая,непрерывнокоэффициентамиявляютсяпричемобладаетр/имеютрешениесимметричнойпро-производной:dpiЕслисистемунатеперьпервогох(Х1,-Х),тоЕеусловиевдействительновыполнено,существуетвектор-функциятрехмерномGaGЛнаопятьевклидовомбылоG.124),функцииG.125).условиюпространстве.сис-еслисуществует,какотноси-переопределеннуюполучимрешениеуравненийсистемуудовлетворяютизвестными,образом,какпосмотретьпорядка.считающиесяповерхностьG.43)функцийотносительноdpj=отмеченоопределяющая^р/,Новыше,этотакимповерх-ГлаваГеометрия7.УпражненияУпражнение7.2.1.G.56а).соотношениеУпражнениелиниина7.2.2.Упражнение9ДоказатьG.98)определенияУпражнение7.2.4.X=\V//9~~^^G.100)G.89).Обозначимдоказатькоординатныечтопоказать,РиччиформулыиA.50),и)(:sin?/G.45)G.67),угломпод=7.2.3.используябазисехG.46),формулупересекаютсяcos7.2.формулыИспользуя2поверхности§кИспользуяповерхностейикривыхобъектакомпонентывслучае,двумерномpjjвба-декартовомкакПоказать,чтоG.77)изP*IJP/je»>=PiJформуласледует=коэффициентовдляквадратичнойвторойформы:b-pztiV9Упражнение7.2.5.представитьтакжеПоказать,вформулу,чторЬр\р\рпр\р\Упражнениевприведеннуюупр.7.2.4можновиде:Явным7.2.6.рЬр\р\заданияспособомназываетсяповерхностислучай,когдаX2=х3Показать,чтоприэтомвекторых2,х3(х\х2).=базисалокальногометрическаяматрица,{дх3\2вычисляетсядх3дх3вид:образом:следующим„имеютдх3__аpj„,Гдх3\2(дхг\§ 7.2._____7.2.7.УпражнениезаданнойнеявнойвПоказать,формах1длях2вид:чтоУпражнениеsin-X—asin-X(дляp*ja7.2.9.Показать,Упражнениеформы\Показать,имеетвращения.следующимf(x)-чтовX2+\X2)-1)с2sin2второй•квадратичнойвид:вращения(*3J+=поверхность,называется/V),функция,неотрицательнаянекотораяПоказать,Xвид:(Z2Jгдес2 sin2+коэффициентычтоимеютПоверхностью7.2.11.которойзаданиеX2cos2(a2вращенияУпражнениеявноефор-квадратичнойпервой00эллипсоида'вид:/(a'sm2^)-17.2.10.дляимеетматрицаметрическая~)Оa2 cos2О>0вид:a2sin2Jf2„вид:X2sinкоэффициентычтоимеютвращения^(см.упр.7.2.7)вращенияследующийимеютX1cosccosX2.=-csinX2эллипсоидаобратнаяx3X2,sinэллипсоидабазисовлокальных=X1sina=Показать,коэффициентов(Л)авращения,эллипсоидаповерхностиследующийимеет7.2.8.Упражнениедля467пространствеевклидовомчтоacosX1sinX2,=матрицывформепараметрическаяформыПоверхностипараметрическойформеобразом:x2=x3=f{X1)cosX2,f{X1)smX2.осьповерхностьОхявляетсявращенияосьюможновращезадатьГлава4687.2.12.УпражнениебазисачтовращенияимеютвращенияПоказать,)_(iимеют=\дляимеют-fcosX2)'\-fsmX2)квадратичнойвторой7.2.127.2.5,упражненийформырезультатыкоэффициентыb=7.2.16.-поверхностидляВекторыкомпонентами7.3.наимеетсянекотораядлиныxИспользуемдифференцируяраз,ещеполучим=—=asучлиG.43)иG.74).па-заданнаяG.126)ри—§повекторкривизны—as7.1G.126)dXJdXJЛкЕ,поверхностивС:кривойнаx(X1{s),X2{s)).=Дифференцируявкривизныдуги:разработанныйаппарат,ранга.поверхностиСкриваяфункциякаккомпонентычточетвертогогеодезическойи0=показать,тензораКривыенормальнойпараметрическиG.113),формулуявляются§6=Используядействительномы-/'sinX2\вид:Упражнениеккоэффици-вращенияfcosX2Используячтопоказать,пространстве.касательной\оповерхности_{f"cosX2(fsinX2_7.2.15.hЗдесь/'2)/2-+Г2)PlJ-\-fsmX2PlJ~\fcosX2УпражнениеПусть+что(i2з7.3.1.поверхностидлявид:y1R(i/(iПоказать,0вращенияматрицыметрическиео\/'2+7.2.14.Упражнение7.2.14,fcosX2)'чтоflpjjлокальноговид:-коэффициентыPjf'smX2\fcosX2-fsinX27.2.13.Упражнениекоэффициентовматрицавид:имеетM_flповерхностейикривыхПоказать,поверхностидляГеометрия7.as+длякривойd2XJas2кривыхкаса-векторполучимз,Л-тт-.описанияС:/fy100.G.128§ 7.3.7.6.ТеоремаВектороднозначномоленона.469кривойквидевнакривизныортогональныхкривизныG.129)4"К,Пвек-икп(рис.7.11):кдК,всегдаповерхностидвухсуммынормальнойвекторомгеодезическойповерхностикривизныпредставитьназываемыхвекторов,векторомКривыегде=КпкпаkgиG.130)t,Xкоэффициенты.некоторые-kgll=KgДляТдоказательстваутвержденияG.129)показать,чтопnxtвсеtхпиплоскости,тогдазависимыми,пКНоортогональныt:векторопределениюпо-любомувекторуt;каквекторtортогоналенtхпсвойствсилуЕ*,плоскостичислетомdt/dsG.14);7.6теоремевы-другие.двакасательнойвизможнонормалиортогоналенизли-одинивекторыкасательнойвекторуплос-являютсяоничерезэтивсегс,однойвдействительновыразить7.11.пока-векторатрилежатлинейнонихРис.утверждостаточно=согласноtортогоналенвпро-векторногопроизведения.Темдействительно,самым,плоскости,азначит7.12.нормальногосеченияЗаметим,нормальногопосколькучерезтопровестисколько7.3.2.итакихизразличныеНормальнаякривойВыражаяинаклежатоднойв^пнормаливекторплоскостьюназываютчерезСнор-МточкуможноповерхностиСледовательно,кривых.впроходитвекторыкасательнойоднойиплоскостеймножествокоторыхвыбранабылаповерхностинабесконечноекаждаяпt)xместо.содержащуюС,кривойкриваясуществуетсечения,нормаликфиксированнуюугодноМ.точкеПлоскость,имеетповерхности.чтопроизвольно,жеtкасательнойвектор(nикп,G.129)разложениеОпределениеitвекторыиодинчерезтойнормальтотжевекторt.геодезическаякривизнаповерхностивекторнормалииккривойвиде:kv=knn+kgiixt.?,запишемG.129)G.130)вГлава470G.130)УмножаяккривизныГеометрия7.наскалярнокпсcos0вгдеточкеплоскостьюкпиТакимСкпнормальнойплоскостькривизной,kgaG.131).поверхностиРадиусомнормальнойобратныеназывают»•«сеченияИзG.131)формулиметь=зависимостивсегдазнакаcosв <вкривойгеодезическойкривизныСнаrgsinиG-134)Т-кпв.икд)такжеаигпгд)взначения,отрицательныеиНапомним,чтоккривизнакривойнеотрицательна.ЕслипроекцияТеоремакИзэтойкасательнойплоскостьюнормальногоскпсодержаниеследующейtтопровестик'кри-даннуючерезсечения,кривизнаравнав.проходящуюуголнекоторыйсечения,ко-,поверхности,углаеслисоставляющуюотрицателен.теоремы.сечениянаклонногоикпкосинусчтоследует,плоскостьотри-поверхностинормальногонатакжеСкгпкривизнаплоскостинаклонногочерезcosв'плос-сбудетсеченияформулой:fcnПолучимкривизныНормальнаянапнормальнормальнойумноженнойтеоремыкривойнаирадиусСкривой,векторсвязана(Менье).криваяэтойМточкуисоставляет7.7имееткривизне0G.131)Формулаторуюкривойнормалитоотрицательна,Подставляякривизнойчтотакcosна-нормаль-Кдследует,положительные,от=Г9Г".G.132)икакигпиливеличины:КпмогутG.130)представлениивкдипро-соприкасаю-иМ.кривизныкпккоэффици-сечениянормальногогеодезической-даннойвявляющихсякривых,Коэффициенты-кривизнойСсмыслпроясняетсянормальноготочке7.13.ОпределениеназываютG.132)иданнойвплоскостьсоприкасающуюсяG.133)t),кривойкривизнунаxсечения.характеризуюткривойпроекциями(ni/«=плоскостьюG.131)изониG.131)G.132)sin0нормальногокд:связьполучимsine,соприкасающейсяобразом,коэффициентовк=(i/-n),=междууголиt),x9kg-(nилипвекторкд:иповерхностейикривыхещеформулуоднуG.133)иикпG.128)=fc'cos0'.=нормальнойдлякривизныdXIdXJdt•nПод-кп.G.131):вkv1G.135)=•—dsn=pu•n—ds.—,dsG.136)10ft.§ 7.3.затемавыражаяkТакимобразом,7.8.близкуюэтойкпнапостроенныхвторойdX1),G.137)формулувкпМожнотакже{ЬиГлавныекривизныТакимобразом,многодвекоэффициентами6/jr.значенияк\точкевторойи&2иМfcn,ДлябазисможнодвумерномдействительныхдваизихВG.80)скоэффивторогопространстве),собственныхдвухсу-установлениятензоромвнихсредисимметричным(т.е.беско-существуетоказываетсяноформыявляетсяимеетсяВт.е.р/,G.140)0.поверхностиповерхностисобственныйовекторов=квадратичнойВкакнегоуобразом:кривизны.на1.6G.139)следующимпреимущественныеТак§согласновиде:кривизнопределеникаждойвтензорG.138)поверхностинормальныхсуществуютрассмотримточкезначениякакkngIJ)dXIdXJ-даннойd2ip/ds2.=G.137)представить+по-bIJdXIdXJ,=записатьможноdX^^X2различныеформуd2<p+форм,вполучаемквадратичнуювторую(X1касательнойнаправлениезначениеменяябесконечночерезdX1.координатменяя(т.е.иЕповерхностипроходиткоординатамипервойквадратичнойсприращенияхОбозначаярангаG.61)согласносечениянормальногоповерхностичто2бесконечноds2GЛ37)которогоотношениюравна7.3.3.aутверждению.плоскостьточкуОчевидно,6/j,черезследующемуКривизна(Х1^2),точкеdX2),471budX'dX'_кпришлиТеоремавповерхностиG.75)согласно-npjjнаполучим:ди,черезКривыетозначе-взаимно-ортонормированныхпредставитьвдиагональномвиде:2В=bjjp<8> р—/^kQpQ®pQ,а=1причем1°\pi\Iл=1.G.141)Глава472Геометрия7.7.14.ОпределениеНаправления,0ляютсяЕсливекторыpj,коэффициентыр7,базисекаком-либояв-которымкbjjформквадратичныхсобственныетохарактеристическогоизкасательнымиглавными.называютизвестныповерхностейикривыхkQзначенияIjuиВтензоравка-находимуравнения:(ВdetkQE)-G.142)0,=или(Ъиdetиливматричнойкади)-0,==1,2;азаписиЬ12-кад12ВыберемвтеперьМточкеновуюX1'базислокальныйвсилусистемулокальнуюG.143)совпадаетсВр7.этом„,метрическаяpjматрица~19ибазиср7такжесовпадаетG.141)согласноPi'=9=Pjс=ар7,®Piи°Pi'PiG.137),черезв(X1'вторая6'12dXv,X2f).чтоМикривизнаA4i,нормальноеX2'+образом,со-доказанатеорема.ико-сG.145)впроходящегоформуле:_проходящеечерезсовершенноаналогично=MiточкуG.142)сечения,поdX2'),Мкнормальногоfci2'ТакимЛЛ\G.145)подставляявычисляетсясечение,(X1',координатамиb'jформа0.=близкойТогда)Выбирая1G.144Jквадратичнаябесконечнокачестве+получаем,точки(ПX^/J?—диагональной:являетсятакжекоординатамиPj->°b'j ^k^Выберемоказываетсяд13единичной:ьбазиселокальномоортонормированностикоординатXIf(XJ),=р\которойG142,}=0k2.точкиМполучим,иМгсчтоG.147)ко-§ 7.3.7.9.Теоремаквадратичнойсечений,близкиеточкитензораВсовпадающие.473kiзначенияплоскости(или,поверхностипредставляютВМ.\насобственныхДваформынормальныхКривыесобойпроходяткоторыхМ.2,ииначележащиедвухвторойнор-бесконечночерезсобственныхначерезговоря,тензоракривизнынаправленияхрТt,касательнойвекторысовпа-сОпределениеСобственные7.15.главныминазываютkjзначениякривизнамиПлоскостисечений,глав-соответствующиеfc/,кривизнампроходящимЛЛ\Л^2?нормаль-Е/.ВыберемтеперьЕ',сечениенормальноепроходящеебесконечносечения.М,исеченияминормальнымиНормальныепрохо-главныминазываютточкут.е.точкичерезМ.,7.12.исече-нормальныхглавнымРис.fciВтензораповерхности.черезблизкуюМ!сточ-координатамиdX+поверх-М.к,X+),dXповерхноститогдакривизнаиметьвид:к*пэтогосечениянормальногоG.137)согласнобудет11Таккакметрическаяглавнымможнозаписатьвкптоединична,-SiсечениемнормальнымG.148)д'г1матрицавводя?'сечениемиугол(рис.7.12),амеждуформулувиде:=fci cos2a+к2 sin2а=G.149)а,гдеdX1cosо:dX2fsin=.Г1'JТакимобразом,мыпришликследующейтеореме.+{dX2'JG.150)fc2Глава474Теорема7.10.G.149),формуле(максимальноеЎВсеченияВсамомделе,функциюкакдляМ«)fc2Vaидоказывает7.3.4.ГауссоваивторойсимметричныйинвариантаG.151)ВажнуюВ,формы*1,=преобразованийдвапорождаемойвыбраныглавныетензораинвариантадругихЛв..Ё,lf(B)=detЗаписываяэтииз(B)«Ср«образом,=(b/).detбазисетензорар7В,G.144):G.141),®к)a=lТакимG.152)собственномвинвариантысим-инвари-координат,бытьмогутиграютдвумерныйнезависимыхдваинвариантоврольвсякийкакимеетранга,этихfc/.МО)кривизныгруппыВ:получимкпАвторогокачествекривизныРассмотримк2.+^ М"КквадратичнойотносительноВ&2-^следует:k2)cos2a-(J)*n=средняятензорG.143).(fci=утверждение.ТензорfciЭйлераформулы&2-itчтоследует,этоfciравныеизнор-(мак-экстремальныеопределенноститогдаа,форму-кривизнакривизнпринимаетзначения,пустьуглаОтсюдаглавныхминимальное)поЭйлера»направленияхкпсечениянормальногоповерхностиформулойповерхностииповерхностейипроизвольногокривизнамиглавныминазывают7.11.ТеоремакпскоторуюнормальногокривыхКривизнасвязанаповерхностиГеометрия7.••Е (К®/3=1доказаноследующееутверждение.h)=fci+*2,GЛ53)по-Кривые7.3.7.12.ТеоремаВформысреднейповерхности,главныхакривизн,475иназываетсяпоэтому(В)Кинвариантполнойназываетсяиквадратичнойвторойтензоракривизн,главныхкривизнойзведениеповерхностиНИнвариантполусуммаестьнаесть-про-гауссовойиликривизной.ЗаписываяинвариантыэтипроизвольнойсистемекоординатКвтензоровпроиз-получаем:*(bIKgKJ)det=компонентычерезX1,(bIK)det=*,=G.154)гдеЬВспомнимвыражаетсячтотеперь,записатьвG.156)Теоремапроизводных.вторыхДействительно,такTjjчерезутверждениеИзихи?}нтеоремы.основной^в7.3.5.ГауссакоторогоМ',С.кривойнекоторойпоfcn,значенияхнаправлениях.если(-ХформулекривуюповерхносбезповерхностинаAХг,Х2с координатамибесконечнокG.137).СвыпускатьблизкуюdX2),+поверхностиНасизплоскостьМточкеиточкувопросинтересоватьточкиМсfcn,вбудетнейксоединеннуюсечениянормальногонормальчерезпроходитвычисляетсявозможныхпроизвольную+КривизнаКкривизнаМточкувозьмемкоординатамисутвержде-поверхностикакую-либотеперьЕ иочередь,своювытекаетизмерениямпер-IR3.точекповерхностиМ!попространствоЗафиксируемточкучтоследует,ко-ихтольковG.156)изивыражаетсяКристоффеля,толькоокружающееTjjG.111)тоEgrоттолькозависитповерхностисогласносимволыпроизводные,КлассификациянаоихтеоремыопределенабытьвыходаформыаиКЛ1212как(TheoremaГауссатеоремапроизводные,черезповерхности можетможноG.156)поверхностиквадратичнойпервойтолькоЬ выража-G.154)тогдатеорема.кривизнакоэффициентовТДтг»-Д1212/0.=(основная7.13иG.115)ГауссауравнениюследуетГауссовапервыхG.155)виде:формулыegium)).Ъ\2.-кривизнытензораКИзbnb22=согласнокомпонентучерез(bIK)det=М.вовсехвоз-Глава476ПосколькуонтоG.137)dVсобойпредставляетЕслиbО,>X1О,тоdX1переменныхпред-(тензор-порядкаdX2).(dX1,(bu)b=этойЬцЬ22=формыВидэтойповерх-G.158)любыхкпТакаязнак.жеЪ\2.-прикривизнатотивторогопространствевзнакиформа:детерминанта:тоодинзнакомG.157)поверхностьследовательно,имееткри-дугиопределяетсяквадратичнаязначенияхdetодинаков,кпbIJ(X1,X2)dXIdX\=Коши)отзависитповерхностидлиныквадратзнаквтораяалгебраическуюповерхность(тензорнуюстоитфиксированныхприкотораястоитижечислителеповерхностейиположителен,всегдаВчислителя.кривыхзнаменателевds2,кривойГеометрия7.dX1значенияхлюбогоМточкавсегдасечениянормальногоназываетсяповерхностиэллиптической.b <ЕслизначенияхdX1',сечениясМ.следовательно,b0,=кппроизвольныхнормальногоЬивкгМвкп/ЛdX1всехдляв которойсечений,омбилическойравнанулю,поверхТакаяиfcnомбилическойточкиточкаплоскость.кривизнынормальныеназываетсянор-Такаянуль.собойпредставляетуплощения.произ-приположениеоднообращаетсяквадратт.е.одинаковы(илиглавныеточкойсовпадаюткривизнык2.7jвэллиптическойв¦вгиперболическойпараболической7.3.6.>0,тоG.154)согласноif,кривизныточке:ККпроизвольнуюэтойвМточки0.=CdкривойплоскостьМоту/±гп,которогогдепроходитгп-ка-построимиЕ*плоскостивспомогательнуюрасстояниеравноЕповерхностикасательнойВточке.построимобразом:следующимсечения,0;<точкуЕ*окрестностинаопределяетДюпенаплоскость(рис.7.13)полностью0;>Кточке:Рассмотрим6знакследовательно:точке:ИндикатрисаМ!имеетсяпараболической.точкойДлядлякпточкигауссовойкасательнуюмалойточкаполныйdX1',всехОднакокривизнанормальных¦нормальноготоназывается¦точки0,=Посколькузнаккп.собойзнакакоторомповерхности,всех=приокрестностиТочказакругления).нормальныеТакаяимеютсякривизныпредставляетменяетназываетсяповерхностиЕслиточканесечениях.нормальныхсечения,поверхностьG.157)форматоследовательно,дляМточкезначениямизна-произвольныхпригиперболической.ЕслиМ.меняетсяданнойвпротивоположныминазываетсяи,G.157)формызнакточкирадиусМдолюбойточкуточ-нормаль-кривизнычерезМв?ркривуюиточку§М!.(±)ЗнакКривые7.3.выбираемнаповерхностичтобытак,.477подбыларадикаломположитель-положительная величина.?р,ПолучимКриваяДюпена.образом,такимпостроеннаяееиндикатрисойназываетсяуравнение.ОбозначимПкоординатыМ.точкина(Л*,Л*),какаМ!точкикоординатыповерхностикоордина-как(X1+dX1,X2Расстояниекак7.13.Куравнениюточ-связывающегоМДюпе-индикатрисывычисляемрадиуса-векто-длинуdx,радиуса-вектораРис.этимимеждуdsточкамиточкиdX2).+М!\иdxpjdX1,=G.159)тогдаd2sСогласноds =определению=Дюпенабратьнормальнойкпереходя0 следует>г„приискомоеестьиПоскольку"знактогокромеформувосяхглавныха".—G.162)Дюпена.МточкиG.140),тоG.162)изДюпена:(Хп,Х'2)"знак-±1.окрестностиуравнение0<гпприполучаем=bIJdXIdXJВ",+индикатрисымалойиндикатрисызаписиравнорасстояниеG.161)fcn,кривизнеуравнениевсегдавыполненоэто±гп.=kngIJdXIdXJЭтоG.160)имеем:JПричемИли,IXJ.gиндикатрисыТогда<y/±rn.dx-dx=ВоднуещеG.163)±1.=тензоравы-поверхностиполучаембудетуравнениеэтоиметьвид:JОтсюдаиндикатрисаопределенныйзнакследует,чтоДюпенаесть(" +"Мточкаеслииэллипс,илиk2(dX'2J+""—взависимостивэллиптической,являетсяправойG.164)±1.=частиотзнакаин-тобратьследуетJti).ЕслиопреточкаГлава478/Акривыхгиперболической,являетсясобойдветоМточканее-быхотяДюпенапредставляетбылокакто,главныхизоднаповерхностейииндикатрисагиперболы.параболическая,сопряженныеЕслидляГеометрия7.кривизнравна±i-,0 фпоказановнулю,изтогдап.7.3.5,G.164)получаем:{dX1»JЗнакправойв±к1/Z2,—G.165)части"выбираетсяи",-fвэтомкреслиестьВодвухуравнениевсехтрехменяется",—всейдлякресликривойОбозначим0.<получим:dX'PЭтоМ."илиG.165)а.неслучае0,>G.165)изтогда=±1.=G.166)параллельныхМ.точкаслучаяхвпрямыхявляетсяцентромокрестноститочкисимметриикривойназываюттакиеДюпена.7.3.7.ЛиниикривизныОпределениеЛиниями7.16.кривизныкривыеX!наЕ,поверхностисовпадаютточкеG.167)ВXJ,Xj(?)параметра?направленияглавнойpjповерхности,наПолучимСогласноВ,тензораdx/d?,векторомзадаваемомулиний,Разложим-собственныхкоэффициентсемействадвасемействавзаимноуравнениелинийкасательнойнаправлениепропорциональнолиниикривиз-ортогональны.главномуСоглас-кривизны.кним,опре-направлению,овектором7иметьэтидифференциальноеэтихпара-направ-wбудемтопричемнекоторогоПосколькукривизны.направлениям_определениюопределяемоегделиниикаждойкоординатыотзависимостисоответствуюткривизнывкривизны.криволинейныев/-ойсоответствующиеиовекторовобозначаюткривойвдолькоторымкглавнойнаправленийизG.167)1,2=касательныходнимфункции7,направлениясизменяющиесякривизны(X}(S),X}(S))х=р/,т.е.пропорциональности.векторыjpjпобазисулокальномуIPi=A/pj,G.169)§ 7.3.А/гденекоторая-лежатpjнаповерхностиВкплоскостиимеетG.168)479коэффициентов.матрицакасательнойвдействительноТогдаКривыесилучтотого,поверхности,иир/,G.169)разложениеместо.G.169)учетомсG.43)и^-PJможновпредставитьA/pj,=виде:G.170)ИЛИдХ}/д?Этои1,2.ИхдифференциальноеестьтакжезаписатьАаможнооторовВтензорарадвухА1выразитьВформ.вкомпонентах,уравнениеГлавныеиkQкривизныизопределяются(ЬцВыражаяквадратноерешаяформkQ+находимкоторое,Tjjиbjj.kQg22)-AaчерездляHl2bll)\a-kQg12)-G.175)0.=собственнымиявляются-уравнение(<711&12например:значениямиВтензораG.142):G.175)изодно,(&i2+G.174)0.=толькоfca</u)Aaкадц)(Ь22-kQgjj)XJQ-G.174)в-G.173)0.=G.169):(Ъи(biiвек-уравнение:используяНезависимое=второйисобственныхнахождения(B-fcQE).paИлипервойкоэффициентыдляделе,имеем/кривизны:-ччерезсамомлинийвиде:вЛХ1ФункцииG.171)уравнениеможноквадратичных\{.=и—дваkQg12J-подставляяихG.176)0.=вG.176),получимАа:нахождения(<722#UF12Pll^Maзначения+Ai^22^12и-Х2через^12^22=коэффициенты0,G.177)Глава480Геодезические7.3.8.Геометрия7.Геодезическими7.17.называюткаждойвкоторыхповерхностейлинииОпределениегеодезическими)икривыхточке(илилиниямитакиенакривыенормалькпросто?,поверхностикривойсовпадаетзадатьвско-укнормальюповерхности.УравнениегеодезическойG.126).ПолучимИзудобнодифференциальноегеодезическойопределениявыполняетсяпараметрическомвидегеодезическойуравнениечтоследует,длялинии.внеекаждойточкесоотношение:иликпВоспользуемсякривойтеперьпоG.178)тогда&п=ПосколькувекторG.129)разложениемповерхности,кпп+квекторадляможноортогоналенкдG.178)к.=кривизныпредставитьвG.179)к,д.топ,квиде:изG.179)уравненияследует,чтот.е.ГеодезическаяПодставимвоспользуемсяУчитывая,dX1dXJasasт-G.137),которойds2=#ХК-^дифференциальноеLЬdX1нормальнойдляравнакегоуравнениеdXJdsz+d2XTкп~KdX*dX'г"^-^7--°геодезическойтогда/,(kимеетместоформулаокончательно:получаем+GЛ81)G.81),кривизныgudX1dXJ,,плолл,fc"n'=Pi-ГГкри-G.128):выражениеd2XT+равеннормальнойнулю.формулами+чтовтакжелиниисвоейсовместодеривационными~KdXTdXJ^-кдG.180)0,=геодезическойвдольG.179)вPu-jиkgсовпадаеткривизнатеперьfcn,=кривизныгеодезическойкривизнааkО,=геодезическойвекторнулю,кривизной.kgu=кдGЛ83)_линии.§ 7.3.КривыеАсимптотические7.3.9.7.18.накаждойравналиниейнормальнаяНаправлениякасательныхкасимптотическимопределениявтораячтоОтсюда,вформачастности,ИздифференциальноеэллиптическихопределениячтоG.185),нихвимеются+ЬиточкезнакдваразличныхGЛ85)0-=(п.7.3.5,поверхностидействительныхлиниигиперболическойменяется, поэтомурешений0)мнимые.только-Ь >уравненияквадратичнойG.185)формыдействительныхменяет-асимптотичес-направления.ВпараболическойточкеединственноеимеетсяпараболическойссовпадаетсихмыглавномуксвойствахоРассмотримнормальномуповерхностейстеперьКинвариантов-вкото-направление,касательнойикривизну.говорилиточки.характеристик0=Следовательно,поверхностейпорлокальнойкпкоторомG.185).асимптотическоеоднонулевуюПримерывнаправление,уравнениянаправлениемимеющему7.3.10.однорешениеестьточкесечению,Доасимп-уравнениеточекбытьможетнеасимптотическиет.е.котороеG.184)0.=получаемсоглас-нулю:линии:следует,асимптотическихлинииравнаdX1Вкаж-называютсяасимптотическойвдольквадратичнаяbIJdXIdXJасимптотическойвповерхности.следует,G.137)кплиниямнаправлениямиИзназываюткоторойкривизнанулю.асимптотическимисогласно481АсимптотическойЕ,поверхноститочкеповерхностилинииОпределениекривуюнаНи-харак-введенныхповерхностейописанияпримерыокрестностивпомощьювцелом.ЕсликаждойвповерхностькривизнызамкнутаябесконечнымчисломкоторойбудетплощадьюПоверхность,16=Тензорноекриваядляconst,называетсяисчислениевбылпостроитьбыобладатькоторойповерхностьюДляСвоенонаимень-поверхность.минимальнаяКбеско-односвязнойвидекривой,даннойне-имеетсяМожновповерхностьпостояннойпо-Пусть(контур).инварианткри-минимальнаяназваниеограниченпо-такаятоглавныеочевидно,нее,прострайствеименно0,=свойства.следующегоспособовкрайобласти,знак.из-заНинвариантразныйимеютполучиланекотораяКповерхностиминимальной.иравныповерхностьнаименьшейточкеназываетсявоодинаковкривизны.всехточкахГлава482Геометрия7.кривыхУпражнения7.3.1.УпражнениеглавныеkQкривизныG.142)7.3.2.7.3.Показать,К+уравнения:0.=Ajкоэффициентовматрицачтоглав-чтопоказать,квадратного2Нка-G.155),G.154),иследующегокорнямик2аУпражнение§кИспользуяявляютсяповерхностейиортонорми-особственныхрованныхpjвекторовAi/A?гдеЛавычисленаследующейпомощьюсточкойлибо7.3.4.Упражнениечто7.3.6.Доказать,толькоилиниикоординатныетолькоидлянееX=всеточкиconstявля-когдатогда,0,=7.3.7.являются0=012Доказать,чтоасимптотическимиУпражнение7.3.8.являютсялиниямиПоказать,ка7.3.0.главные=координатныеачтоcos2const(см.вращенияупр.7.2.7-формулам:поау/а*—формуле:по1,2.=эллипсоидадлявычисляютсяXлиниивычисляютсяЪаа/даа,толькои0.кривизныПоказать,кривизныеслиглавныетогданихвдоль=012чтотокривизны,Упражнениекогда0,=линиикоординатныелиниями,&127.2.10)сферылиний.этихУпражнениетогдатолькоисетку.длячтотогдакривизны&12вдольповерхностиортогональнуюПоказать,поверхноститочкой.омбилическими.являютсялиниямиминимальнойминимальнойдлячтообразуют7.3.5.Упражнение1,2,=гиперболическойПоказать,линииповерхностиaточкакаждаячтолибоасимптотическиенееявляютсяПоказать,уплощения,Упражнениеl,=G.177).уравнения7.3.3.являетсяgIJ\IQ\JaAQ)=изопределяетсяУпражнениедлябытьможетуравнений:системыс2 sin2X2+X2асУпражнение7.2.10)являютсямеридиану7.3.10.Показать,X(кривыемеридианылиниямипараллели,гауссоваК=иcos2совпадаютвычисляетсяX2+Xсследующимс2(см.упр.7.2.7const)вращения(кривыепараллелинаправлениякривизнас2/(а2эллипсоидадляconst)главныекривизны,ичто=sinX2J,"=¦явккасательнымиобразом:§точкивсеиГеометрия7.4.поверхностиповерхности483эллиптические.-7.3.11.Упражнениеупр.7.2.11-7.2.14)окрестностивПоказать,главныечтодляповерхностивычисляютсякривизны/"кривизнагауссоваак7.3.12.Упражнениевращенияповерхности•если•если•если(ж)/=(конусэллиптическаягиперболическаятоэтопараболическаялиний:Упражнение7»3.14.(Xточки,)Xповерхнос-точка;точка;точка.Показать,каждойчтоеслитоточке,Xасимптотических—усемействоединственноеимеется=0/вращенияповерхностидлянееconst.Доказать,чтоуасимптоти-нетвращенияэллипсоидалиний.асимптотических§7.4.1.7.4.ГеометриявОпределениеВомногодвухоболочками,акакиранеепараграфеэтомудругих.математическинекоторойпараметрическитребуетсяобъекта,меньшеокрестностьповерхностимеханикизадачахтрехмерногоразмеровр-Е,поверхностиВтрехмерныйX1компонентнойодинТакиетрехмерныеудобнозаписикакS,нор(Х\Х2),р{М,принадлежащейнаимеет=дляокрестпарамет-которойбудемG.186)координатыG.186)задаваемойобозначение:точкикриволинейныеназываютсярассматриватьспециальное=разме-характерныхтелавектор-функцией,радиус-вектор-изповерхностииспользоватьфизическихописаниекоторогоихфиксированнойнекоторойргдеповерхностиокрестностиокрестностимногихсвойстввэтоэтовкаждойдляутверждения:тоцилиндр)иличтото7.3.13.Упражнение—Показать,0,0,0,<>=следующиесправедливыf"(x)f"(x)1формуле:по-(см.вращенияобразом:следующимр'{Х\Х2).поверх-поверхности.вид:G.186')Глава484.ОпределениеG.186)пространствекривыхМ!точкапообластьтрехмернуюкаждаяповерхностейиОкрестностью7.19.называютШ3,Геометрия7.которойвЕерхностипространст-радиус-векторимеет1Х2)вевклидовомввида:Х3п(Х1,Х2).+G.187)Здеськпвектор-нормалипроходящейМ!,черезр-Мточки(рис.7.14),Sповерхностикоторойнормаль,точкурадиус-векторнаповерхности,выпущенаX3акоордината,точизэтанор-третья-коор-отсчитываемаянормалипоповерхностикизменяющаясяинекоторойвобласти:±.Значениеh7.Ц.Копределению(hтогдаокрестностиговоряттолщины;говорят,что"окрестность"Терминhмало(оболочка)окрестностьпосравнениюимеетподразумевает,характернымсh <?гдеподлюбымиЕdimEпонимается,поверхноститочкамиТакимобразом,зависиттолько1,2,3,еслиопределяемыйобразом.специальным7.4.2.ВекторыПрименимДифференцируяиG.70):впо(гужеиповерхностиотх(Х'),трехгметрическиеG.187)1,2,3),получаемдхдХ1=аппаратсpi+Х3щ.учетомгл.1.определения=нокоординат,поверхностисоотношению=точекмеждурадиус-векторзависитбазисовкX1тоокрестноститеперьG.187)расстояниер(Х11Х2)локальныхматрицыS:поверхностиG.189)наибольшеекоординат,G.187),потогдаE,радиус-вектордвухперемен-значениеSS.от-толщину.dimdimнапример,hмаксимальноеразмеромmaxокрестноспостояннойh(X1^X2))=переменнуючтообеслиhпеременная:const),=(оболочке)окрестностиповерхностибытьможетконстантойРис.G.188)Дифферен-G.43)G.190)§ 7.4.^^___ИспользуяГеометриявокрестностиповерхностиG.96),формулыдеривационные485G.190)преобразуемквиду:R7Pl=X3bJlPj-G.187)Дифференцируя-X,поG.191),ФормулыбазисавG.192)R/Кзи=R/=диR/=+R3•G.193)ФормулыпервойкоэффициентыR3=Такотбрасываются.П•что1.=окрестностивЕ.поверхностиявляетсяповерхности(-ХJприматрицалинейномвос-приближениялинейногодалееслагаемыекоторомкоэффи-черезформипо-G.73).выражаютсяд^окрестностиметрическая0,=формулойздесьприn•матрицы"малости"-X,П=квадратичнойиспользованиякоординатеR3показывают,G.189)для•X3bj)PJ-=G.193)воспользовалисьмывторойиСвойствооснованием{5j=X3bLj)gKL-метрическойЗдесьgij.X4f){6Lj(X3LfbKJ,-2Х3Ь„-трехмернойкомпонентыполучаем:{6?=033поверхностилокально-основноговекторыскалярно,Kj•дп-G.192)поверхности.ПеремножаядиG.191)n.=определяютокрестностиX4j)pj.-имеемR3локальногоFj=поотбрасы-вышеиприближенииимеетвид:=диОпределитель2ХЧи,~д13метрическойдV?(Ri=Учитывая,матрицычтор\хр2=хR2)рах•n0,=pQ\/рп>(8{=д33=G.194)1.используявычислим,д^Х3Ь[)F}-атакжесогласноX3bJ2)(Pl-xG.56)определениеPJ)вектора•п.нор-получим:<Переходя0,=A.55):свойствонормалидиG.154)к+(ХЭJ(Ь\Ъ1-Нинвариантам3H+{X3JK).иif,ВД).имеемокончательно:G.195)ГлаваГеометрия7.обратнойКомпонентыgIJ=fJкоторыев-Xпоокрестностислагаемых=(9IJ=6?опре-1,G.196)8?.G.196')=вычислением:2X4u)(gJK2X3(gubJK~+базисавзаимноголинейное</330,=непосредственным9U9JKВекторы/32X3bIJ,+проверяютсяиспользуяд%*матрицылинейныхтолькоформулам:поопределяютсяметрическойсохраненииприповерхностиповерхностейикривыхR*приближение2X4JK)gJKbu)+-в==окрестностиX3,поис-поверхности,вычисляемобра-следующимобразом:R'g"Rj=(д»№==Трехмерныйлинейномили,R1'<g>=[Sj=Pi®P*используяполучимп.7.2.3,=-в</,j,приближении=Rt-2ХЧ")F«Х%)р'.=G.197)Евокрестностиповерхности,R1базиселокальном<8> RJзаписывает-образом:следующимR/ ® R7 +ptiRf" <g> Rj® {5!к + X3bTK)pKX3bj)pj+ bJKpj+ X3(-bJKpj®pK=определениеХЧ«)РК-тензоркомпонентыЕ+метрическийимеющийзаписывается в+двумерного®nn=+n0n=<8>pK)+метрического<g> n,nЕтензораG.198).7.4.3.ДеривационныеформулыизокрестностивповерхностиРассмотримокрестностиПодставляяидеривационныхвторыепроизводныеотрадиуса-векторахточекизповерхности:вместохформулегоG.187),выражениеG.81)на=получимсучетомG.191)поверхности:P/J-G.200)§ 7.4.Геометрияокрестностивповерхности487_такжеакомбинацияхдругихприх/зиндексов:-^(pi=Х3Ъ?рк)-=-bfpK,х33G.200)ФормулыформулывследуютдеривационныеG.201)исобойпредставляютИзповерхности.окрестностиних-Xприформу-деривационные0,=очевидно,G.96),Гаусса-ВейнгартенаформулыG.201)0.=следуеслиучесть,чтоLЛинии7.4.4.вкривизныG>202)криволинейныхкачествекоординатЧастовмеханикеX1координатсовпадаютбыломатрицыявляютсясобственныеgu,0,=направлениялиний.координатныхГлавныекривизнывкотороелиниитакжеgIJивзаимноG.204)ортогональ-будутортогональными.формаквадратичнаявтораяд12Втензораимеет=G.203)0,совпадаютkQповерхностислучаеданномЬ120,=сизнаходимнаправлениямиG.142),уравнениявид:оИзосновныеслучая.кривизныX1const=диагональными:д12иэтогодлялинииметрическиеbjjп.7.3.7,вкоординатныеортогональны, поэтомуЗапишемповерхности.поверхностиотмеченоко-X1линиикоординатныеэтойокрестностикриволинейныхслучайкоторыхкривизнывТогдаулиниямиссоотношенияКакчастныйиспользуютповерхности,G204)Ополучаем:9ааВведенныекривизныG.205)поRQвеличинырадиусамиглавныминазываютповерхности.Гауссоваисредняякривизнывданномслучаеимеютвид:Глава488ВведемГеометрия7.кривыхЛамепараметрыНаиповерхностейокрестностивАаиповерхностинаповерхности:G.207)/-^)ТогдаможноквадратичнойвторойкоэффициентыпредставитьЬааСогласноG.194)вНалинейномИспользуяAl/Ra.=G.208)Наприближениибудутиметьвид:G.209)G.208),получаем:Наненулевыхповерхности=G.207),Используяформывиде:вG.210)=G.203),свойствоG.90)изКристоффеля:символовdgQQ1pa=получаемОАддХ°'1_"OX*AQдА2Г?!=не-длявыражениеG.211)~А\2^2'дХ2Г?2=г^ЗапишемПетерсона-Кодацци,уравнениеiB~Ш+^формуиспользуя"^Ьп=0)а=lf 2G.108):G*212)Геометрия§ 7.4.Гауссауравнениеидтм~Ш~G.203)УчитываяG.211),~9М2~зК-=G'213)G.208),согласноЬааПетерсона-КодаццизаменяяиГпГь2"уравнениеполучаем489\~~TuTli+~5х*поверхностиG.107):формевокрестностивaвTfjсогласновиде:дIdдХ1\ it2Уравнение//ЛО ЛО ЛG.213)ГауссапринимаетЛ*У'1?-TtiпослеIdv2\ iti(ддАЛ1+U19X1)G.214)УравненияУпражнениеи,_д_(±дАЛ_с/Аv2'преобразованийU2 дХ*)дХ*G.215)находят7.4.1.аУпражнениеG.213)изпри-Убедиться7.4.2.Показать,имеютчтолинииизG.212)следуетненулевыевращенияповерхности?11-х/2'i _|_Г12Используявращениявинтовые7.4.чтодлямеханике.вид:ь"--Т+7*'7.4.3.§внепосредственно,?1поверхностьприменениеширокоек11Упражнение-G.215).следуетКристоффелясимволыявляютсяяdit2аналогичныхУпражненияесли/вид:ЗХ1G.214),/-(см.упр.7.1.9):(/7'упр.7.4.2результатцилиндр==const),итогеодезическимиG.183),чтопоказать,линиямиГлава490§ДляможнокоторыхповерхностиЕпрямолинейнымповообщеХ;/,неотрезкам,выходяко-помощьюсточкамимеждурасстояниеввес-нельзяговоря,координатыизмеритьШ3вМ3,вдекартовыбы_____поверхностиповерхностипрямоугольныебылоповерхностейикривыхУплощенные7.5.произвольнойединыеввестиГеометрия7.поверхсэтомприповерхностиЕ.ВчастномплоскостиНавсякойтензорплоскостинейнаХ;/,координатыT^jтолькоповерхностей,4Rобраболеедляинообычнокоторыево-утверждение,жеплоскостей,дляну-декартовыОбратноеРимана-Кристоффелятензорненульвравенпрямоугольные0.=кактакверно,классаширокогоэто-тождественноввестиможнокоторыхтождественно4Rкривизнывсегдавнеговоря,обращаетсясуществуют_посколькувообщеSповерхностиМ3.внулю,такиеоднако,случае,называютуплощен-уплощенными.оОпределениеуплощенной,7.20.есливметрическаякаждойокрестностидекартовапрямоугольнаяматрицаединичная:Кромеtfj dX'tdX11=плоскостейицилиндравкаждойточкеметричес-dsрасстояниемеждубеско-{dX11J{dX'2J.+например,dX'a=ds\цилиндри-дугдлиныsQдействительнотонаправлении,G.216)вдольосиполучим:ds\+цилиндра.Теоремаравенпрямо-которойвформой:за=уплощенсуществуетявляются,взятьds2вауплощеннымиокружномназываютX1X'1',=еслиповерхности:Швточки=точкамиds2цилиндрическиееекоординат6jj,g'uопределяетсясистемаблизкимибесконечноЕПоверхность7.14.нанулю4RРимана-КристоффеляТензоруплощенныхSповерхностях4Rтолькоинаних:VIJGE.0=тождественнооG.217)оТПустьсистемуравныX1',координатлокальнойи,ЕповерхностьвG.90)понулю:TjjKтогдауплощенная,каждойточкеX'1.системойдекартовойследовательно,-=0.всеТогдасимволыизG.111)можноввестиповерхностиВэтойX1:системеКристоффеляполучаем,единуюссовпадающую'g'jтождественночтодействительно—J/j,§ 7.5.УплощенныеповерхностиR3в491о0=каждойвточкеВЕ.поверхностиоднусторонутеоремадоказана.оВобратнуюRjcij*местоимеет=являетсянулевойfciA:2=вф0, к2Выберем=0,=нулюравнаточкесистемеКчтоследует,поверхностьюjK"чтокаждойвтеперьSповерхностиX1.координатТогдаоG.156)соотношения*iПусть0 в некоторойсторону.0=гауссовойбыхотят.е.каждойточкекривизны.главныхкривизнповерхности;Е,точкеИзизоднакаждойвЕт.е.G.153)явля-получаем,бытьдолжнадляпустьизоопределенности:0.качествевтеперьX1координатлиниикривизныповерх-0Е,ноститогдаG.203),каждойвG.205),точке&126ц0,=того,ф 0,имеютAiВоспользуемсяк2А2=функцияуравнение^(-Х^2)только~функцияко-отX1.Т\гобразом:следующимG.220)0,Г2Хисучетом"однимещеимеющимсядеривационнымурав-распоряжениинашемвG.96)уравнениемпреобразоватьможноpi/Aiпроинтегрировать:ещепроинтегрируемрадиуса-вектораПетерсо-=Кристоффелясимволовдля^y(*iAi)=кIпри=J1,=котороевиду1иG.214)вид:принимаетЭто-записываем11-чтоА^Х1)=G.211)результатовуравнениемG.219)0.уравненияк3^±получаем,aВыраженияэтихQ12X10,=которые,X2,=G.218)ф 0,к2д22=ф 0,д22координат^координатысоотношениявид:^интегрируяЬ220,=данныхдляна-Кодаццикгдц=9пКромеместоимеютповерхностит.е.раз,=врезультатеa(X2).=оУчитывая,чтовыражениеполучимpidx/dX1,=дляради-поверхности:х1AxdX\G.222)Главаа/(-Х)гдеЭтипоявившиесявекторынаходиминтегрировании.припокажемограничениям,определеннымбазиса:удовлетворяютG.222)Изповерхностейикривыхфункции,некоторые-функцииих.Геометрия7.G.223)a22,здесьТогда,откудавекторполучаем:имеетaiимеютвектораai2•А2,=</пчтоследует,такогодляaiчтовспоминая,дЕц/дХ2.=а/2единичнуюместодлину:G.13),соотношения0.=Воспользуемся912=Pi'G.219)соотношениямитеперьAi*i=Р2(фвц2•а22)+G.14),=¦1.Но0,по-поэтомуG.218):иAai=|ai|=а22•0,иPi2=ИспользуяГIОтсюдаai2aiai2б)а12^0,в)ai2паре/i==ив)следуетортогональныха22ai2^а22ф 0;а22=неравныа22•1а22••(ai=хахг)0.=(aiаха22)x==0,0.ситуации:G.225)нулютого,а22))+0;иколлинеарны,т.е.функция.ненулеваяизГтривекторовтогда|a22|.0,возможны0,(фа12xортогональности:0,=(Aiai•произведения=некоторая-случай,a22)xчтоа)в(Х2)этотгде•(aiследует,Случайортогональны•-Aiai2соотношенийсистемуai2=векторногоитогевp2)xсвойствополучаемгде(pi•чтоиai2aiиодновременноа22(aixа22).ортогональ-Рассмотримвначале§ 7.5.__СоставимповерхностиX'1gnidX1J=сcos-JГ*'ccUT2,h sinчтопроверить,G.226)бытьможетc(X2)спомощьюприведенаточке=JG.226)/0/idX2.G.227)G.227)координатG.216),видуа),случайтеперь/i2(X2),=2этопричемформавозможновЕ.поверхностиРассмотримof**заменыкокаждойg22(dX2J+hcoscdX2,Несложно493координаты:ф^=gIJdXIdXJ=новыевведемR3вформу:квадратичнуюds2иУплощенныетогдаaiconst,==p2иа22#22следовательно:ds1Делаязаменуh2(dX2J.+координат:X'1сноваAUdX1J=приводимф,=X12/=х2hdX2,ds2формуквадратичнуюквидуоG.216)вкаждойЕ.точкеВв)случаеимеем:где/2=|ai2|2,тогдаds2Осуществляязамену=A2(dX1Jформа+ф2f2(dX2J.координат:с=квадратичная-Ф2!2,5/22фа12,=р2ds2также/Д2может/dX2,G.228)бытьприведенаквидуG.216).=Глава494Геометрия7.кривыхповерхностейиоСледовательно,уплощенной.типаТривоуплощенныхслучаеповерхности, тензорВ=пространств,далеепредставляютвболееобщих,главе8.7.5.1.Упражнениеai,а22)а2~-а/2Доказать,чтовсякаяУпражнениеа)описываетописываетДоказать,поверхностьпростран-|ai|1=и(Xai,&12двц/дХ2.=являетсясвектор-функциячтоснаправляющейлинейчатой.G.222)вектор-функциячтоповерхность7.5.3.коническуюЭтигдеповерхностьДоказать,цилиндрическуюУпражнениеб)уплощенная7.5.2.нуль,двумерныхвидчтотакие,линейчатой,называютвпример7.5.имеющуювектор-функции,произвольныенезависимы,§G.40),поверхнос-евклидовы.кплос-возможныетождественночембудеттакжеавсеуплощеннойнеобращаетсясобойПоверхностьв),исобойговоря,IR3вЕповерхностьа), б)условиямиУпражнениягдев)ипредставляютнеЕрассмотрим0)=вообщепроизвольной,Римана-Кристоффеляримановыхс&i0, &2поверхностей.поверхностипространстваб)а),случаяхG.222)поверхностейкоторыхвидыпоэтомутрех^(дляплоскостивсехсG.222)Q.i(X).с).G.225,условием&о(ХнаправляющейусловиемG.225,+ГЛАВАТЕНЗОРЫПРОСТРАНСТВАХ§механикеобщими,апространстварелятивистскойвn-мерныхфизикеримановыхчемзатемСВЯЗНОСТИРимановы8.1.особенноивприменяютболееИАФФИННОЙПРОСТРАНСТВАХВ8РИМАНОВЫХВДадимевклидовы.какпокажем,основополагающегоримановыхширокобо-являющихсяэтихопределениетензорыконструируютсяпонятиятензорыпространствах,пространств,Начнемних.впространствсос-элементарного-многообразия.Элементарное8.1.1.многообразиеОпределениеЭлементарным8.1.такоеназываютмногообразиемвзаимнооднозначнонаборпоставленчиселзаданобиективное(X1...Хп)КоординатамикоординатыЕсли<р':VV—>VсвязаныЕтовимеетсяпредполагаютВведемдостаточноекак&ичастныхтогокромеитакже_i,jdetобозначеният.е.абиективноеМт.е.называютVобластиСотображениесистемахвкоординатсоотношениями:невырожденными,преобразования,VвточкиШп,СШп.Скоординатдругоекоординатына-VизменяющиесяХЫ=Х"{Х*),которыеV—>системе^(Л1),образаМпМп,СМпкоторогообластиМп<р:МеемножествадляМпиотображениеШпЕточкеупорядоченныйсвязнойнекоторойточкиXхкаждойсоответствиевизмногооб-п-мернымМп,множестворанеедляихVX'еиV.якобиевыхдля._этойдифференцируемымиразф О,матрицпреобразо-производных:(дх'>\вчисло(dX/%'/dXj)(8.1)l.

Характеристики

Список файлов книги