Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление (1050322), страница 41
Текст из файла (страница 41)
.р«^5*1.. *»(9.45)R*координат:якобиевы=Q%kматрицыиQ'^e,.Р\зависятнеотх*.координат(9.45)ФормулаповерхностногопозволяетинтегралалюбойсистемеG.63)формулу(9.43)пП(хг(Х1))тензоркриволинейныхэтих[Ejv(9.46)(9.46)двойногозаменывпеременныхповерх-интеграле.Поверхностные9.2.2.ЕслидляинтегралыэлементарныйаналогичныхвпредставитьnВ-векторнормалибазиседекартовомродаndS,которыйтодляанало-векторприменяетсяG.62)согласномож-виде:ndSздесьвторогоG.63):ис-родаdx,кривойинтеграловплощадкивторогоинтеграловрадиус-векторповерхностныхориентированнойродавторогокриволинейныхопределенияиспользовался=кэтотpixp2dX1dX2,S.поверхностивектор(9.47)наG.44)основанииимеетвид:а=13=^Tdxadx%)а=118винтег-поверхностногоинтеграла.дляформулойназываетсяЕповерхностислучаевидекриобластьдвумернуюсоответствующуювфункциякаксобойэтомобозначениеФормулаповерхностныйзаписатьрассматриваетсяX1',пространстве.поверхностномможнопредставляетВиспользуетсяинтегралаповерх-nU(XI)^7jdXldX2,пП(Хт)aкоординаттрехмерномdEдляJJzx=координат,значенийnSтензоракоординат.виде:вnS=гдекомпонентыполучитьвИспбльзуяинтегралможноможнозакону:=здесь(9.44)п.9.1.1,всистемудругуючто(Х*)<1Е.тензорному5н..
.ппереходе&*•••**проделанопреобразуютсяпри[=ТензорноеисчислениеафРфчфа,а,/3,7=1,2,3,(9.48)Глава546рхгдебиеваякобиева-jматрицаматрицадХ1(птензор1)-го—n-iTот-обратнаяяко-/Лповерхностныминтегра-nft(mi•••"**)тензора.ЛЧследующийназываютранга:fi*. .ineh=Р*кадх{{СкалярнымродавторогоG.44),поверхности9.7.Определениетензоровповерхности:нагинтеграломИнтегрирование9»®ё,-п®../=n.nn(mi-m-)(x)dE.(9.50)Здесь3ГГ/^двойной-определяемыйинтеграл,Областьюфункций.областьЕа:поверхностиЕ.изменения9.8.родаопределяемыйпТ,п-горангапТТензорf=ПТкак"жа,Векторным{1"Лп®..ё,-п^b19.9.родаинтеграломназываюттензорп-горан-nn(mi-mn)(x)dE.в(9.52)базисе:декартовомi^^PТензорные(9.53)поверхностнымпПтензораотповерх-поверхностнымЛоб-двумернаясоответствующаякомпонентыследующиеОпределение1,2,(nx=Q=lвторого=классическихявляетсяформуле:поимеетапП(т1'"тп)тензораотобычныхдляздесьинтегрированиякоординатОпределениевторого(9.51)называютинтегралом(птензор-f\)-горанга(9.54)КомпонентыэтоготензорабазиседекартовомвIUii ^имеютвид:(9.55)Поверхностные§9.2.оттензора547СтоксаФормула9.2.3.интегралыЭтиформулыкриволинейным.Предполагаемклассической,скалярной функциипозволяютотповерхностныхинтеграловпереходитькf(x%),незамкнутой поверхностизаданнойS,[39])напримервместесосвоимикусочно-гладкой€jkl=Формулакомпонентызаписанавекторадекартовойвссогласованновыбираетсяточкиконечной:кформулыконцанаnk^jdZ.вектораСЕ,координат,направлениегдеп*Спроведенногоej,Стокса:компонен--выби-которогоначальнойотлюбойвосуществляемымбазисавектор(9.56)контурап,виденконту-°xобходаконтура(9.56)Умножаязаписиповерхностинаправлениемизобходповерхности,стрелки.fсистемекпнормалинезамкну-замкнутымJzJcдляскаляр-кусочно-гладкимI f{xi)dxjСтоксаформулупроизводныминекоторойнаограниченнойС:контуром(см.известнойнепрерывнойточкечасовойпротивполучимформуинвариантнуюилиIf{x)dxJcЗдесьиспользованыОбообщениемявляетсяранга{ВпП(х)®=Jzкомпонентахдекартовых*Wi=СправедливостьформулаЭтаДля(9.59)вточностиимеетJz(9.56)тензоровимеетfdx•nfl(x)вид:формулойформулатензорнойтакжескалярная/(nxV)изследуетиндексов(9.56).с=(9.59)°xнабореназываетсяместо(9.58)непосредственносовпадаетформулапроизволь-nH(x)dE.®формулафиксированномкаждомVхп(9.59)формулыпритензораf njb^7nl'a-i"»+l(»l")dE.6ii*iJcпоскольку/эта/ Q«V..«-n+1/случайнаиформула:следующаяdxJc(9.57)Стоксаформулып-гоA.33)произведениявекторногоF.15').скаляра(9.57)V/dE.xnJzопределенияградиентапроизвольного[=•nft(x)dE.%2..in+i(9.56),фор-Стокса.Стокса:(9.60)Глава548ВбазиседекартовомИнтегрирование9.формулаэтатензоровимеетвид:t^7n{j"-<"(*<)dS.ПерепишемUJ2Фиксируязначений<ЬаП\*"л*{х{)/рольвскобкахперестановкаформулыi\.
.индексовимеетместоНаконец,место[(псутиdx/=системе(пкоординатпоэ-(9.60):.яп(го1~те»><Е.(9.62)Стокса:V)хследуетлюбаячтодоказательства,формулаппх(9.56)иззна-(9.56),обобщающаяV)хСтоксаОчевидно,Стокса,векторнаядекартовойвизменит=Iкоторая(9.60).формулаdx.nn(Wl-m*>имеетТакимизкаждогоформулуобразом,Стокса0.=длягп,..получимнегпскалярная/%2сноваfij*"**n.скалярнойпоэтомуиндексовмыфункцияиграетистинностьeaklI пк^П\*"л*<П}\-набор1,2,3=образом:следующимкакой-либоагде(9.61)формулу(9.61)(9.63)ПШЕ,хвыглядитобра-следующимобразом:б,*иf<ЬкП"*"Л*{х*)Преобразуемэто(очевидно,Стокса(9.56)наборевытекает(9.62).к-с(9.65),чтои/вnfe^ft^-'-dE^скобкахубеждаемся,гп,доказывает(9.64)виду:б^'ывыражениемi\.индексовJ nfc^ni'^'"S*lVs.Ъг^*1выражениех>п"*"л*{х*)Сравниваяфиксированном-том,что(9.65)0.фиксирован-каждомпривистинность=извекторной(9.56),очевид-формулы§Поверхностные9.2.отинтегралыУпражненияУпражнение9.2.1.(9.63)F.29),Используя.5499.2.F.31),чтопоказать,аdxестьесливхпП9.2.2.выбратьвекторУпражнениеакачествеа/=71при1=изФdxа•ФаJc•фJcУпражнение9.2.4.Ф•ФПdxхх=dx®Jzdxxft=/ (na/=JzПт/•(nxиз(9.60)dx•(9.60)иadEadS.и(9.65)/ (ппа)„хмалую9.J8.Купр.9.2.5.•сх)векторомАЕ(см.арис.9.2).напроизПточ-вотно-пределавекторавдольограничивающегоАЕ,площадкуЛ4,=tds,•векторомэтоготочкуаестьА?,плоскуюа)хвектораротораконтурачтоJACнаправление(с(VФASциркуляциидлясреднемпоказать,-—проекциясодержитплощадкиопaz—>oска-векторадлятеорему=lim=малогоИспользуяинтеграла,произвольноеследует:Стоксаи(VМ.2=9.2.5.формулу(см.упр.9.2.3)отношения71ШЕ,•поверхностноготочкеa)dS,хHdE.хскалярнуют.е.следует:(V-приV)хV)х/Jz®71=1при=V)=(пчтопоказать,ndE.(9.58)V)xчтоФ/Jzизп.6.1.6,иУпражнениеndE,то-2=чтоdx=a)•упр.9.2.1X,Показать,dxV®n-результатПоказать,=а)т®радиус-вектор9.2.3.Jc(V•1.=iУпражнение(пИспользуяJcPtiC.Пприследует:Фгде§ктензоракплощадикотораяэтойпло-Глава550§Объемные9.3.Какиинтеграла,поверхностногообъемногофункцииВпространства./(ж1),заданнойвыпустимизкоординатныхлинийнезависимы,триdVсмешанноеевклидоваdxaэтих=d> ciМвдолькоор-инеза-вычисливповекторов:трех(dx2•dV,объемточкулинейнобудутвсегданекоторыйполучитьпроизведениепро-которыйобъем,прозвольнуювекторатриdx3).x(9.67)какZdieтосполучаемdVпостроенного•(R2длянаПустьобъемногозаданныйназовемОпределениеназываютдекартовомобозначение:п-гопТпо=Т1"Лпё{1(9.70)классическойПТ,имеющийДля%\.
.(9.70).®..®ё,-пгпобыч-имеемфункции.отинтеграломрангавычисляемыеев-компо-отfil-i"»lиндексовотОбъемным9.10.тензорбазисе,наборе(9.66)интегралVобластиинтеграломвида:фиксированномкаждомприобъемныйнекоторойвОбъемнымпространства.интеграл=гдепостроен-параллелепипеда,интегралапП(х),тензортензораобычный(9.69)тензоратрехмерногокомпонентJ^dX4X2dX3=объемаэлементарногоимеетсяевклидоваJdxa.векторахот(9.68)dXaRdX2dX:RaJdX1xОпределение9.3.2.dXQA.58):учетомRi=выражение-трехмерногорадиуса-вектораdVТакVэлементарныйэто-ВозьмемЭтиXQ.поэтомуA.58)(9.66)элементарныхможно[39])f{x{)dVvобразом.нееизвестнымпредполагаемобластив(9.66)формулеследующимопределимтензора(см.напримеринтеграла/ототобъемслучаевопределениетензоровинтегралыЭлементарный9.3.1.Интегрирование9.компонентыэтоговинтеграла=J[nil{x)dV.пПтензорадекарто-используем(9.71)§ИспользуяпредставитьздесьППтензорVxa/ТУвобъемном(9.72)криволинейныхфункцияназываетсякоор-значенийобластьтрехмернуюобластисоответствующуюVформулойтакжеэтихпростран-трехмерномвзаменыпеременныхГаусса-ОстроградскогоГаусса-ОстроградскогоФормулапозволяетиявляетсяПолагаем(см.известнойГаусса-ОстроградскоготрехмернойзамкнутойобластиS:поверхностьюf(x%)функция(9.73)Формулакомпонентызаписанавекторакотношению(9.73)кнапо-/у^(9.73)совместесвоимипро-V.областисистемегдекоординат,Е,поверхностиобластинаправленнойV.базиса,векторыза-кусочно-гладкойдекартовойвнормалипосторонуУмножаяSграницыдонекоторойвнепрерывнойпредполагаетсявплотьГаусса-Остро-заданныхограниченной=поверх-кформулу/(ж1),/я/(,^сЕпроизводнымиинтегралов[39])напримерфункцийV',классическихдляформулыаналогомобъемныхотпереходитьнаоборот.иповерхностнымвнешнююпред-(9-72)каксобойФормулагдеможноинтеграле.9.3.3.Стокса(9.71)интегралрассматриваетсяФормулапространстве.551nSl{Xi)y/gdX1dX2dX3iпредставляет-X,координатобъемныйтензораинтеграла:пТ=координат,отинтегралы(9.69),формулутройноговидевОбъемные9.3.кприходимвоинвариантнойщвнеш-запи-записи:или/JsОбобщениемтензорная[декартовых/(9.74)VfdV.Jvкоординатахп0тензоровдля(9.74)Гаусса-Остроградского:формулыформулаJsВ=Гаусса-ОстроградскогоФормулы9.3.4./(x)ndEслучайнаnH(x)dEона=/VJvимеетn-готензоравид:®"SldV.рангаявляется(9.75)-Глава552Формулафиксируя(9.76)какой-либоСкалярнойобобщениеследующееиндексовГаусса-Остроградского(9.73)формулы/пкомпонентахформулаэта%2(9.73)получаемсразуфункций.классическихдляфикси-т.к.мыгп+1,..называетсяследую-тензоров:дляПШЕ•(9.73),следствиемзначенийJzВтензоровочевиднымявляетсянаборГаусса-ОстроградскогоформулойформулуИнтегрирование9./=VJvимеет(9.77)nudV.•вид:{Л*Дляэтойдоказательстваформулы(9.78)ееперепишемвба-декартовомбазисе:? (J^^dsЗафиксировавкакой-либозначенийаГаусса-Остроградского(9.73),(9.73)-1 ^-^v)=1,2,3скобкахвгдеОчевидно,что(9.77):набориндексов%2вновьполучимформулулюбойдлядляимеетпоэтомузна-изкаждого(9.77).ииндексовперестановкиже,>Гаусса-ОстроградСледовательно,(9.78)истинностьтакимгп..Па*2—*л.функцияиграетвытекаетбудетдоказательства/рольнемедленноо.=z'i.
.inходдоказа-обобщающаяформула,местоиз(9.79)JvформулойВекторнойследующееобобщениеГаусса-Остроградского/хпJzкотороевдекартовой[пД.1'2-'"7sДоказательствопроводитсятакФормулутензора:и(9.80)/Jzдляможнопхnn(mi-mn)dE/=JvVхследую-d?1скалярнойтакже(9.80)nUdV,имееткоординатчтотого,какже,ПШ?системеeijilназывают(9.73):формулыI -^тП/а"л""eijil=(9.81)вид:Jvox3являетсяследствиемГаусса-Остроградского.формулыиприменить=/JvVхдляnn(mi-m^d7,(9.81)dV.J(9.73)прово-транспонированного(9.82)Объемные§ 9.3.базисевилиинтегралыот[ ?-rUiwi'?WndV.?sУпражнение9.3.1.9.3.2.=/n[n•/=VJvadEisУпражнение2=/n.пП••хпadS/=VJv=•-вектораis/(9.80)ndE®=привекторадля/ (V®a)TdV,/xadV.JvadSxn=VJv(9.75),изilTndS•(9.77)=ivи/V(9.80)тензорадляШУ.•упр.9.3.4результатыis/a)dVдивергенция((VJv•П)F.73),соотношениеиП)•=iv/(х•ачастиоlim=ввектораточкеповерхностьповерхностью.XVхсреднем,/AVniASестьАЕ,H)dV•а)т)®dV.окружающуюпредел2-iv/a;dF,П.Гаусса-Остроградскогочтопоказать,-—7области-(V•тензораформулускалярнуютеоремуиП+а•формулы:xdSхИспользуязамкнутуюэтой/=справедливость(пупр.9.3.3)(см.•кососимметричнойсопутствующий9.3.7.вектор,(Пav->oмалую[что=•-VограниченномуаisДоказатьsUJadV,Используя9.3.6.Упражнениечерез[(9.77),формулы:Упражнениех•HdEсправедливостьт.е.(9.75),следует:9.3.5.показатьдляизisПоказать,71прирангаadV,V7v9.З.4.второгогдечто®/=Упражнение/элемен-координатг2 smfldrdtidp.=Показать,adE®7s/системеследует:isisсферическойввид:имеет9.3.3.1rdrd(pdz.=чтоdV71координатсистемевид:Показать,(9.69)объем9,3.цилиндрическойвчтоимеетdVУпражнение§кПоказать,(9.69)объемэлементарный(9.83)JvУпражненияУпражнение553ё,:[ $?элементарныйтензора•adS,векторапотокаотношенияточкуX,кобъемуАV,ПриложениеЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕКВАЗИЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕИПАРЫВмеханикесплошныхработувторогоповерхностныхвнешнихтензоровальтернативныесвойстваважногофункции(оШвторогоFгдеUОVиединственно.ДоказательствоТF(рта.сосвоимр)ттакжеопределенныеизпредставленийV.Рт=.F(Fилюбогоненулевого1.13теоремамзначенияувещественныиft•F•f=гдеявляющиесяра-••FTftЕ^р«®Fр«.•рТОба=ЕF=FT(.(Я.2)Тогда,а.все°2ихА-р«согласнособственныетриобозначимположительны,а=1FT.b.b=|b|2>0F=Fи.какA.187)согласнопричемbгдеа,FTтензоров•1.25):=вектора1.14,иFиопределениеF.a)=(F.a).(F.a)дляF•(ft)T_(см.определеннымиконст-рассмотримкакft)T.а(ПЛ)приведемFTтактензоры,этоготранспонированным:(ft)Tположительно(ПЛ)ДляО.исимметричными,ft_скалярного(ЯЛ)разложенияU,тензорыявляютсятензораневырожден-видеVO,=каждоепричемпостроивтензорасверткиэтиFсуществованият.е.конструктивно,М3.вположительнотензор,некоторогоранга:илисимметричные,-ортогональный-спространствепредставитьвторогоF=OUфизико-начавВсякийможнотен-получитьразличныхпары,вразложении).полярномэтихпозволяетописанияэтитензороврангатензоровдвухпроизведениядляопределенназываемуюпартакгл.5)РассмотримневырожденныхТеореманевырожденный тензор(см.играютчерезСуществованиесил.тензорныепроцессов.математическихрольсвязанныхранга,потенциальностиусловииприважнуюоченьсредтензоровпарыопределенныеТЕНЗОРОВ®АаА^,и(я-3)р«.а=1собственныесогласноРа'Р/ЗвекторытензораA.185)ортонормированными:=<W,FTРа'Р/*•F,=а?а/3,ра-тензораF•(ПА)FT,ЭнергетическиеПриложение.ПравыечастиUтензоров3(П.З)вV,иитен-некоторыхЛол®>^аРа?VU;у=а=1®ЛаРа^>^аРа»(iiU,.0)а=1знакигдеквадраты555какл«РапарысобойпредставляютопределенныхоквазиэнергетическиеАаувыбираемПриположительными.этомместоимеютсоотношения:FT-FПостроенныелюбогоVтензоры(П.5),формулыизавектора3U-а•симметричными,определенными,чтоследуеттаккакдлявыполнено:а3о]?=являются(Я.б)положительнотакжененулевогоаUиF-FT=V2.U2,=Ааа®рв-рва-]?=а=1Аа(аРаJ•(Я.7)О,>а=1оАачтотого,ввидуопределенностьОбаVтензораFJ(det=V.Uифпомощьютакявляющихся•и^1O•U)A.209)согласночто(F•показываем(U-1=означаетТакимVиобразом,О,F•и^1UпричемиV=ОтU=О•U2••О,тензорапостроили(П.8)согласнокоторыхFО•UV=•=LT1Е,=аналогичнотензорыUобразуетисходныйО,иа(Я"-9)О,Оаопределенные,положительносимметричные,-(Я.8)деле,F:тензорсО.действительномы=отензорапроизведениеV",иF)тензорасамом•U"•V-1-F)ортогональностьортогональностьтакжеFT•(FTdet=тензоры=Вортогональными.(F=FтеоремыU2detновыхдваещеOопре-условиюпо=обратныесуществуютпостроитьможнокакUJ(detследуетТогда0.которыхположительнуюдоказываемневырождены,(П.б)изиневырожден,-Аналогично0.>тензораиоО-ортогональные.Покажемт.е.тивное,Норазложениеединственностьтогдакаждогоещеодноразложение,U2,откудаследует,существуетFTтензора•FU2=FT=•Fизпособственному(П.9).разложенийПустьFнапример,чтобазисуUединственно,=U,про0такО=•какразазнакиIL556парыквазиэнергетическиеи?оАауЭнергетическиеПриложение.¦АаипособойзавлечетчтовыбираемусловиюсовпадениедоказываетиtоО,иFV=О•ОкактакUUиоF-U"=F-U"=(П.9).разложенияединственностьразложенияСовпадениеположительными.IОО,=Единственностьаналогично.доказываетсяоНамОтолькоосталосьFтензорО•О=U•(П.9)изчтот.е.совпадают,чтопоказать,•ОВ.(П.1).следует(П.9)силуДляэтогодляОтензорыортогональныеиобразуемэтоговыполненотензорасоотношение:66T=VU6Т.О(Я.10)0ООТензор0Оявляется°тОт•От•О•От•°т°О=•тОтЕ,=натогда(Окактакортогональным,•0От)тнакакполярное°отензорсимметричен,Тогдаформальноетак0собойещеодноединственностьО•Но.0такжеОднакоразложение.разложения,оOUOT.=00O-U-OT=этото(OT)T-(O-U)T=O-U-OTравенствоегополярноеполярногоU•=можнотооо(O-U-OT)TкакОтензораразложениеОт)•(П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
