Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление (1050322), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

.|.fce<aпредставляющуюаналогичныетензорныйVn:в(8.26),дивергенциютакжекп®формулесогласноранга;1)-гопроизводнойkflрангаV.n11-1^^.^1'=который,гоковариантнойпонятиятензоракП(ктензора+Аградиент®собойпредставляеткомпоненттретьего).д2ХгдХ'эдХ1™действительнопреобразованияV=д2Х'дХР(8.27)С=0-и-vдХ'т4-Prjk)T?mu'w)-Q\Prjm)-+QmT+получаем:(8.27)ГI4случае(8.23),используяPwmQ\Kw(p«-r^fi^+ичтоучтено,закон.503X'*координатахQ'>'m<F,-пространстваанало-следст-былитензоровF.51).такжеАналогичныекаки(8.20)(8.31)иГлава504метрическойримановыхвРиччи).(теорема8.5Теорема(8.26)Тензоры8.матрицыVkgij=0ДляТдоказательствакоторые8.1.10.АбсолютнаяПустьа'е,',=Vn6.4.&)объект:Vkftofсобой(илипроиз-k?l,тензоразаданноготензорVn,в(8.33)производнаяАбсолютная8.6.представляеткривекторомa.V®*ft.=——Теоремавы-некоторуюкасательнымспроизводнойвектораследующийрангаВыберемАбсолютной8.11.самыежеАЛ4(Хг)точкудХ*/д?.=направлениюназываютпроделатькП(Хг).череза1'гдепоследуеттеоремытензорапроходящую(8.32)тетензораполезаданоОпределениеводнойдляпроизводная(8.4),Скривуюавприведенынулю:равнаVn.втеоремывыкладки,производнаяКовариантнаятождественноVnвgijпространствах(8.33)к-гоотк-готензораследующиеимеетирангакомпоненты:ЯП,Vkfti^^^1^=k,(8.34)где—Ф~л*.=—Ц{1"Лр..Jl~'3<>d?+—('Ут*'.П*1"Лв=т'.'Л'.\".Jl'qd?-J1-^mtd?(8-35)TТензорный8.11,определенияв(8.33)таквыражение=-Ц-абсолютнойхарактеркакдля-jTViUH-\+iУчитывая,ikehформулыV®*ffc..®Подставляятензорами.(8.26),®e4l®е,р®е*»+1(8.28),..®®..(8.36)ЭХ*действительно•p+i-u-^"получаеме''+'®е,-р®eik.••,+!.«следует(8.35).изследуеточевидно,являютсяформулыи®производной,чтоd?иза(v,0' 1-4|)+1..

,fcei-Щ-ЪdX*=иаА®..®в'*)(8.36)=Римановы8.1.8.12.ОпределениеГоворят,XjjточкукривойХг(?м),=равнаеслипараллель-Х%мХг(?м)=ввдольпроизводнаяэтойнулю:записать(8.35),VйвточкиабсолютнаяегоVktl/dtЕслиСкривой505тензорк$1из(8.4)чтовдольпереноситсяпараллельнопространства(8.37)?лЛЫ^?^параллельногоуравнениенапример,О,=(8.37)переносасучетомвектора:для1щЯ{(8.38)изтополучимсрешениесуществует,первого?условиемиединственноаналогичноеПрименяялинейныхдифференци-ft*?n:=продолжаеморассуждение=fl'(.M),отточкикП,тензорадляft1функцийотносительнопорядканачальным(8.38)0,=обыкновенныхсистемууравненийдифференциальныхТ)к?±-а+(X*).Ее[35],известнокакМ.Jsf.доследующейкприходимПриме-теореме.8.7.ТеоремаМJsfикП,врезультатзаданногоПараллельныйпереностАря){ТмМп)точкекАМпТпРЯ\ТмМп)епространствактензоракаждогоего"двойник"такоеразложение.А(м)отВТеоремаJsfвдоль?,8.8.любойПриМ.приведемещепереносеСвМпта-реализоватьпереноса,линейнаяоднако,икА^чтоJsf,однуизкомбинацияскаж-построитьиЗаметимточкипараллельномкривойОднакодляпараллельногокА^упараграфаэтогоевклидовакривойоднозначнопомощьюсоединяющейдля(Т//Мп)Тпстензороснований.можеммытензорукривойзаключение(ТмМп)тен-каждойопределен-некоторойвдольпостроенныйчтовпроделывалиникакихпространствевпараллельнымзависитмынетразличныхлокальноТпМ\т^Мп),этонасуТп€*А(д/*),называюткакпереносаfcA(jV)Тензорточку(см.параллельногопомощьютакпровраскладыватьнапример,пространстваJsf,гл.1),точкиМ3римановыхНапомним,насуговоря,базисуподругойдляопределенномуTn(pg)(T^Afn).итензо-заданныеопределялисьвообщеи,врольтензоры,МпнапространстваМЕважнейшуюиграетсравниватьтензораопределяетсяк?1(М).отпозволяетонпространствах:пространствахтензорныеоднозначнозависитточкивсякогопереносасуществует,линейноисоединяющейС,кривойпараллельногоМп,вкп(М)тензоромгладкойлюбойДляМп,теорему.важнуюточкиЛЛввекторовточ-Глава506изкасательногопространствахТмМппространстваПустьТмМпвчем:Ъмчисла.Разложимкасательномвсохраняется^*а(*)М)^'гДеимеемтогдакасательномвекторыТ//Мп,причемЬ(?)базисуe,vwTj^Mnвекторам6*@е«=!»•••»=всеПРИ"чис-нулевыеЪмТмМп:ва(*)(?)и^@а},\@»неЬгме(м,=впространствесоответствуютsЪ($)м,вещественные~повекторыэтиa$eiM>Ъм,векторыопределеныJ2$=i==&(*)МВримановыхвТ//Мп.пространствеТТензоры8.Ъмиа(,)@еи=е,-базис-(8.38):переносаda)v^f+ri»aU-dt..Г)кЬ>РассмотримЛегко?чтопроверить,НовЬ1{()Потойтойвдоль(8.40а)8.7самойкривойотличаетсяа1/*толькоВитоге8.7отеетакжеобозначением=задачи^*^ы(О2*=i?(8.406)УД°В"?м=Ъхм'-единственно,прито(8.40а)задачирешениеаединственно,неизвестных,?условиирешенияа{,ч(?)задачапосколькуих?м=W5\:т.е.совпадают,'(8.41)Ы^?^?лг3 =(8.39)неприменяются).=получаем:~Сравнивая—решение.(8.406)задачиЬ/Луз)\(?)«какусловиемчтополучаем,)частногодлярешениеЬ'(?)решениеестьСа\л\узjфункцияитеоремежеМиуз=(8.406)6^.=ее•(8'4Оа)a>(<w'=Ь1:начальнымс2A'K4j({)=же?мтогдатеоремысилуЫ=обозначим=(8.406)уравнению?прииусловиялетворяетзначит0,а'(<)е=ы:при(8.406)задачу^A'flj,)•0)=—начальногослучаяwr=+—вектороввпараллельногоуравнениюудовлетворяютсоответ-bl(s)mгдеипараллельном1(8.41),получаем,переносеАчтодействительнолинейнаякомбинациясохраняетсявекто-(т.е.Л5j 8.2.ПространствааффиннойсвязностиУпражненияУпражнение8.1.1*операциискалярногоболеевидифференцированияобщем(8.20)сотвообщенеметрикии(8.18)).вообщемы,(т.е.е,-отказываем-матрицейметрическойБолееавводиться,Мп.многообразиипространствебазисасскаляр-дифференци-ковариантноготакомв(т.е.д^элементарномвекторами(8.21))иотказываемсяможетменее,Г[^связислучаеМпвтребуемнечтотоль-ааффин-пространств-(т.е.вgij,построениеоснованоримановыГ^означает,соотношенийотказываемся отфактепонятияпереноса)этоматрицаэтомчемсвязностипараллельногоМатематическиговоря,Наразделеныидифферен-ковариантногометрическаяГ[^.общих,которыхпроизведения)скалярноговходитнесвязностиещеF.11).связности(8.26)формулувобразомпространств,аффинной связности,пространствеаналогичныесвязностичтовнимание,коэффициентытолькоопе-касательногоримановомсоотношения,аффиннойаффиннойявнымдифференцированияопределениетензорногособственновместоПространства8.2.ОбратимдатьизрангачтоимеютОпределение8.2.1.второгоПоказать,Кристоффелясимволов§B.29),определениютензоров8*1.2*для8.1.(^М^п).7пУпражнениеVnАналогичноумноженияпространства§к_____507коэффициенты(вд^метрикипонятиетого,нетемсвязности,используются.ОпределениеЭлементарное8.13.называютпространствесликаждойвМточкеМпЕ*функций1°являются2°приГ^,следующимаффиннойсМпмногообразиеп-мерноеомLn,связностикоординатамизаданаXхес-системакоторыенепрерывно-дифференцируемымикдругимкоординатампереходеобразом:Г;?=функциями,преобразуютсяХ1%Р\Р«.QmTвLn,аффиннойназываютT\q+Qmrследую-Pr{j(8.42).*Г?-,ФункцииаффиннойобозначенийкогдаГ^кпростоFJJ(8.18)же,каккасательноеидлястойсвязностью).чтобыцелью,всежеаффин-коэффициентами*соотношениеТактензорноезаданные(илисвязности(МыГ^сохранитьимеетобсм.место,многообразияМп,дляпространствоТп[(TmLu),Lnэтомможнопостроенноеотперешлислучая,длядалее).определитьспо-Глава508касательногомощью,Тензоры8.римановыхвпространствах7мLn:пространства(8.43)^.ДляfcAтензоровчтоалгебраическиеоперации,8.2.2.КовариантноедляиГ[^связностиоперация(Мп)Lnвчтоозначает,КовкАтензораLnэтомвариантнойпространствеизпро(ТлД/1),Тп;Епроизводнойковариантнойп.8.1.7).дифференцирования.8.14.компонентfcотносительно*q,Т1^)связностиА*,"i-pИоднойв-fр=объект:«i.

pалгебраи-же(см.вковариантногоОпределениеследующийТп\изтензоровтевсеопределеныдифференцированиеНаличиеопределена(TmU1)Тпизi.=mИот(илииначеназываютгр18 =-J2hiAil'"irh..^m.. i9'Аналогичнокомпонентами8.4,теореме(8.44)производнаяот(fcтензоранесложнокомпонент+1)-го(8-44)показать,рангачтоfc-roтензораV ®kАвковариантнаяLn,про-являетсярангакомпонен-градиентомназываемоготензора:V®fcАПосколькуотличиеLn,скалярноеотназовемigef*У.-А11"*1^^=(8.33),тензор®etl®..произведениеабсолютнойfc-ro®впроизводной®elpLne7'1®(8)..е7'9,р +g=(8.45)унастензоранеопределено,*П,то,ранга=ввзаданного,гдек.fc,(8.46)§ТогдаFJyПространства8.2.уравнениедляаффиннойпараллельногокПтензораСкривойимеетVkn/d?агде(dXl/d?)ei=Вчастности,имеет(8.47)0,параллельного(8.38):подобный(8.47)чтоследует,различныеFJJ,связностипереносатензоров.Геодезические8.2.3.ОпределениеСпараллельномНайдемвдольДействительно,параметрическомлюбойX*касательныйвдольнее,?агт.е.Lnв-Х"'(^),векторпереноситсяв=геодезическойdXxклинииСМточкепараллельно(8.48):уравнениюПосколькуформулуa*8.2.4.Тензор?всехЕ?,кривойточкеКъ^г]»чт°итоурав-фор-доказываеткручениявнесимметричной.-8.13определениесимметричности,ееTgкаждойвдляАтребованиеобъектместоимеетПосколькуполагатькасательнымявляется(8.50)(8.49).(8.50)0.=уравнение8.15определениюповпараметри-взадатьНоудовлетворяетпа-приLn.можно[?i,6]/d??каса-а,касательнымуравнениекривую=называетсявекторявляетсялиниивсякую(8.4):видеМ.,?.LnненулевойДифференциальное8.9.вид:имеетпараллельногопространствевлюбойгеодезическойуравнениеТЕОРЕМАТСеслиточкепереносеспособывводяLnвКриваянекоторойвМпумногообразияжеразличныелинией,ктогоиполучаем8.15.касательныйLnодноголиниигеодезическойвдля(8.48)0.=Свдольвекторапереноса>Из?.квекторуравнениевид,вид:=касательный-связностиотносительнопереносавдоль509связностиrjj.аффиннойвообщето,ВэтомслучаеГ[^связностиговоря,целесообразноГ^неследуетрассмотретьвходилопо-Глава510ОпределениеLnТензоры8.8.16.кручения3^ТензоромследующийназываютэлементТеорема8.10.ТДля1тQmrРг-как8.2.5.(8.42):**rmаффиннойАиндексам.нижнимпосимметриченLgчастныетеперьВажныйслучайбезсвязностипредставляеткручения,такогопространствслучаиLgпространствоаффиннойсвяз-аффиннойсвяз-когдаПутпространстваVA-*О,=силув€(8.54)Lg.(8.52)определенияГ^связностьсимметрична:ТеоремааффиннойЎХ%,обращаютсяХпПустьточкуМточкиследующиес=-впреобразования-Х'Ь)изT^(Ai)LJ}аффин-0.=Выберемисуществу-коэффициентыкоординат.X'J^LJ}пространствакоторойвнуль:системанекотораякоординатамиА'ДХ'*МточкекоординатсистемасвязностиГкаждойВ8.11.такаясим-Tini¦ртпсуществуетновойкрученияLn.Для*rтв(8.53)(8.2)Рассмотримсвязностип'{™компонентыПут,Пространствосвязностидейст-(8.51),формулепоранга.формулами/{Тм^):(8-52)записать*согласнобезвведенныйвоспользоваться*т*тР^Р%=такипространствеГ?-).-третьегодостаточнокоординат/3?1,тензоромдоказательствасистеме-(Г?=ТензорявляетсявТппространстваfitimдействительнопространствахримановыхвпроизвольнуювопределимокрестностиэтойкоординат:+и*тТ$(хЧ-X'l^X'1-Xb),(8-55)jАхгдеF^J1aКоэффициентысвязности(8.42),Заметим,чтоусловиеиспользованонамиквадратичной формы(8.55).JKатакжеопре-Т]AM)0=XхкоординатМ.точкевудов-соотношения:местоимеютLqпространствакрученияобразомсоставленииприFJJ(8.18)случайГ^итолькообразом,(8.21)аименно(8.20),формулуоднупоLn,пространстваспециальнымдлядругихдвухчастныйвыбираетсясправедливойсравнениюсаффиннойсвязностиотка-пространством•Определение8.17.называютПространствоабсолютногоизАппространствомкаждойвеслиXхточкенепрерывно-дифференцируемыхГ^Lnпсуществуетлинейно=Smk5TO,-eTO,е^Х7),векторовта-вид:имеетОбратнаясимости-вектороввекторовразложениянейкматрица.всуществуетсилулинейнойнезави-е,-.8.12.системуобратнаяочевидно,матрица,Теоремановую(S)*,-a(8.56)коэффициентовматрица-ес-независимыхh?j=Smk(S-1)kiJ,гдена-Ап,параллелизмакасательныхсвязностьчтоких,е,-ис-квадратич-параллелизмаважныйодинсвязностьоткоординат(Л),-,=системет.е.абсолютногопредполагаемХ/г.координатАещеотказываясьновойвсущественнымРассмотримкоторомQ3{^отсутствияПространство8.2.6.Г^чтоследует,очевидно,системепреобразованияАх=коэффици-Ах'тТ']?{М).=соотношениямОткуда,PXjд2Хг'/дХ'здХ1к=удовлетворяютвХхм:511постояннымивтакогодляточкеРх)копределимссвязностиматрицыфиксированнойсвязностиматрицакоэффициенты-якобиевыВычислимаффиннойнеособеннаянекоторая-jентами,вПространства8.2.КоэффициентыкоординатсвязностиХ1хпреобразуются(8.56)попризаконупереходе(8.42).вГлаваПосколькуТявляютсявекторами,индексомгпереходе{S)^производныепреобразуютсяГ*С(8.56)=S'lE'-1)fc,.|i=QmrP\(8.56)(8.42).учетомсвязностиРассмотримТеоремаВявляютсяковариантно-посто-тождест-компонентих(8.56),РассмотримВввыберемпараллельногоS^-ejАпточкуАпточкиизbсистемупоиопределяемыйкривойС,выбораот8.2.1.Af,пространствовекторвекторовпроизвод=е,-упражненияпространствеМпереносимыйковариантной(нижнийполучаем:зависитРазложимдля(8.60)eA\0=(8.45)определениерезультатточкипараллельнорезультатеАп.i7i{S-1)mjиспользуя8.14.изкоторогоАпвViSmj=O,использовалинепреобразованияправилопроизводная5Jt- фиксирован),мы(8.4V>(8.59)пространствае,-связностиТеоремаТсвойства0,деле,перенос=P%.получаемВекторы=уЗдесь(S-^P^)+Аотносительноиндексполучаемнулю:самомпроизводной(8.58)координат,Qmt+ковариантнаяV®e,Т5rfcE)fctiU8.13.равнаХ'хкоординат+(S-1)ktPtij.системедействительнот.е.тождественносистему5rfc(E-1)fc()ttPt,P«-Qmrнекоторыеянными,новойв=P«.в(8-57)¦(S-1)\uPtiP«t=связностьвектора:(S-l№=переходепри=((S-1)ktPti)\uЗаписывая(S'-Viиндек-компонентыобразом:следующим(S'-1)*,, .нижнимкак>являют-гфиксированнымспреобразуютсяQ\Ski=фиксированномкаждом5Jt-Х'хвпространствахримановыхприе,коэффициентыто#'гтогдавопределениюпоприТензоры8.иМ.векторовпереносасточкууравненияbвекторвэтоговдольEТмМп,па-пространства.М,точке=Л/точки.этиAfточкуЪ(М)е,-:впараллельныйнемпомощьюсоединяющейбазисунекоторомувтольконекоторыйвА61е,(.М),некоторойвко-качестветогдавкривойре-Пространства§ 8.2.аффинной*Сполучим8.8теоремывекторЬ{М)зависятнинеe{(J\f)векторовпереноснеVei/d?8.13:векторапереносВВоднуточкевV•Новсилутео-силутео-параллельныйкактаквСледовательно,а.С.идоказана.РассмотримLn.?,любогодлякривойоттеоремаG0=е,?.кривойот®Ьхкривойотни*сторону.МЛ/,зависитзависитнесторонуобратнуюа=b•**ремы*компонентыпричемточкиот513•*Ь1е,(Л/'),=связностиВыберемпроизвольныйснованезависимуюсис-*.**е,-(.М)птемувекторовпараллельномПриh(Af)е^ЛА)причемявляетсяЬ(ЛЛ)Ln,новыйполучимзначениемb*ei(M).=векторпе-параллельного*е,-(Л4)вЗаписываяе,-Л/*,точкуS^=вejудовлетворяетт.е.dS"pSkpПосколькуфункцияестьотdXJпреобразуемто0.(8.(8 61) 61)0-XJ,=получаем:ej,f* 5'Г05р—-0.+*Uei/d?уравнению:базисенекотором—+соотношениеразложениеJ\f Eточкув*реносапостроимпереносеblei(Af),=иbвекторлинейнонекоторуюэтосоотноше-образом:следующим(8-62)ТаккакS3i,ие,-касательногонуль/d?),dX*тогдавыполняетсявыражениесоединяющейтолькоОткудаскобке.вМточкии(т.е.кривойотзависятнетеоремы,условиювектора(8.62)соотношениевпоЛ/\иобращаетсякогдатогда,отсоот-тополучаемг^-^-УЛ;Учитывая(8.56),ВычислимГ$вчтоСогласно(8.56)Заметим,17(8.21),Тензорноечтотоисчислениеесликручениеэтоэквивалентновыражениедоказательствозавершаеттензора<У"соотношениямикомпонентыА".8.2.1,упражнениярезультатвыражению(8-63)^теоремы.3Пкручения(8.52)длясвязностиимеем:=быidS-'Aiматрицаобращалось-(S-1)^(S)^бысоотношени-удовлетворялавнуль,(8.64))Smk.инаоборот.Глава514Но(8.21)условиечтобыТензоры8.пространствахримановыхвнеобходимымявляетсядостаточными(S~1)kjформадифференциальнаяdX*того,дляполныйимеладифферен-дифферентекоторый,циал,формуумножаянакакзаписатьможное&,dxz=:ejdXj.Такимобразом,эквивалентно"потенциала"компонентыобъектомfltJmбазисаЛокально-аффинное8.18.аффиннымLJ,координатсистемалокальновсякойХп,вЕ LnМкоэффициен-которойв-точкиегонекоторойвнульМ.точкиокрестностиназываютнеголономным-называютдляеслитождественнообращаютсяГ[^связностиLnПространствопространствомтакаятыинтег-неАпфорвыпол-непространствоОпределениесуществуетве^базисом.8.2.7.(8.65)п^ткручениявекторы0=Ап.в(см.Шпформааэквива-е^пространстветензоранеголономностщА"вбазисаусловияговоря,дифференциальнаяПоэтомуинтегрируема.ещевообщеследовательно,и,выполняются,Ап,воднакоевклидовомв0EвекторовдлясуществуетпотенциалF.23)),формулуflj^равенствотождественноесуществованиюТакой(8.65)*ЕслижесистемавсехдляМточекПримеромП-?,товL^пространствоТеоремав8.15.локально-аффинным.являетсяТПосколькунонезависимыхвкаждойДляэтогобезХпрассмотримсистемуflvkфункцийотносительнофункцииотХт.Хк=ДифференцируяХк(Хп),ЕРШв/дХГгокрестностиуравне-(8-66)гдеS\ {Xm)(8.66)•*»*'¦линейтакую5*РПсоотношениед2Хкнекоторойдифференциальныхе,-=дХквекторысуравнений:ппостроитькасательныесовпадают3$1существуетпопытатьсякоторойдляяв-(т.е.крученияАпможнокруговойявляетсяпространствапространстватое,-,Хг\линиямМ.точкиМ.Мп.пространствуL^АпточкекоординаткоординатнымМ3.ли-очевидно,аффинногопримеромПространствовекторовсистемуаединойявляетсяявляется,пространстваМ3,плоскость0,=изоморфнымпространством,пространствелюбаяявляетсяГ[^которойвлокально-аффинногоцилиндркЕ(аффинным)линейнымХ'\координат-пофунк-заданные.X"'-7,получаем(М7)0^Риманово§8.3.Посколькулеваятои515симметричначастьэто,(см.связностьювыраженияправаяпроверить-(S-l)mtSkmil=аффиннойсэтогоj,f>Чтобысимметрична.Г*частьiотносительно заменыпространствотакжеотноситель-бытьдолжнаумножим8.2.1)упражнениесиммет-длявыражениесвязностиS^S^:наS^S'^-f^S',ПосколькупочастьсимметричноSljнекоторойфункцияокрестностиХы=записаноатеперьХ/гвыберемвкачествевекторовX1,линиямкоординатнымсовпадающимисХ'х.аВсистемысами=случаеХ/гкоординатнамипроизвольно,касательные0.tпоказаное,=сов-5Jt-т.е.е,,Поскольку5*{,=существованиенекоторойвкоор-выбратьможночтополучим,=Тогдаквекторывсегда{S~l)mtSkm—за-способом.вышее,-которойввыбранауказаннымкоординатыэтомГ^следовательно,и,Xхбазисапоопределяетсянеко-вобратнаяиXх,координатбыласвязности,дляX'J^=существуетсистемачтотем,(8.56)выражениесистемасуществованиеХ'к-X^J,=Следовательно,Х*{Хк).Воспользуемсяин-условиемявляетсяXlmМ.праваясимметричнаобеспечиваеткотороеправойввыражениеусловиеусловиями:точкитосамым,Это(8.66),системыГ^,=теми,5feJ}/ Sl{.=начальнымисрешенияi,j,поS*.,интегрируемостиееГ*,теоремыусловию(8.68)(8.67):части(8.68)точкиокрестности*М,тоиTktтождествоозначаети=0 будетвыполненоаффинностьлокальнуюУпражнения8.2.1.Упражнениевпредставить§Показать,В(ействепространство,чторимановомА8.2.связностьАппространствасVnпространствевполнеLnчтоокрестности,безкручения.(8.56)можноаффиннойсвязностьюпространствасоответствовалаже§кпространствоОпределение8.3.1.Апвиде:Риманово8.3.этойвпространства-тольковбыланасбудетF"j.одновременноМожнометрикаопределенаГ^),связностьопределеннаясвязностькоторомуgijпростран-втакоепостроитьоднакоопределенаиметрикаГлаваи<7,j,(8.18),ОпределениеымримановW",связностьюдвеесли2°1°,ивообще1\™,иgijизМпЕудовлетворяющиеопределенияи8.5сМиgij.Мпсвяз-хгсвязанныенеговоря,свойствам8.13,неужемногообразиеаффиннойскоординатамип-мерноеточкефункцийсистемыопределенияГ[усогласующиекаждойвкоторойдля*пространствамсоотношенияминикакимиГ^,Элементарное8.19.называютпространствахримановыхсвязностьсоотношенияместазаданыв"самостоятельная"некотораяимеютТензоры8.1°4°-изсоответственно.*Ниимеетнеговоря,матрицаОднакоместа.тод^,ничто(8.20)посколькуW"вмешаетне(8.21)иГ?-,дляопределенагово-метрическаяобразоватьнамвообще1\™символынееиз(8.19):формулепо(8.18),соотношенийизодноГ?СимволыГ,™параллельныйW"в(9ikj+являютсянеужеперенос\gmk=9jk,i9ij,k).-(8.69)FJJ ф Г^,связностью:сосуществляетсят.е.парал-операциипомощьюковари-*ЭтимсамаНоW1ииТеорематогдаитолькоW7*).вW"всформулеW*напомощьюд^можноужетакже,как(8.10).определяем*АЕ7nсложения,(TmW1)определеныумножениянаальтернированияииподнятия-нетензорногоопусканияалгеб-толькотранспонировапроизведения,число,индексов,подобносвязностьРимановоW7*,выражаемойопределенаVn.РимановапространстватакжеVn.пространствоумножения,на8.3.2.какV,операцииVn:скалярноготензорамтакпокасательноеримановомс тензорамиПричемалгебраическиеоперациитранспонирования, симметрирования,ноLn,отне(8.26)отпроизведениеТензорноенаотличаетсяотличаетсяскалярноеноVоперацияW"пространствоввестии(хотя(8.26)формулой(8.44),VдифференцированияантногоочемVnпространствосвидетельствует8.16.тогда,являетсячастнымследующаяW1Пространствокогдаонообладаетслучаемпростран-теорема.римановым^являетсясвойствами:тог-§1°его2°скалярноепроизведениепереносимыхНеобходимость.ввыполненопространстве*теоремысилукасательныхпроизвольнойравнолюбыхвдольвсякойУсловие8.3.ДляОбразуем|(ЬЗдесьс••с)мы2°О,=вектороввекторыЫ-каждойточкекри-(8.33):производнуюIf^*!)+Риччи8.5этит.е.в(e^V»tfтеоремойримановойвдоль< ^Ыабсолютную9iiка-двао(8.70)ковариантнойпосто-Такимсвязности.О-=образом,усло-доказано.Достаточность.ПустьпроизвольнойдвухПоскольку(8.46)выполненыМточкепереносапроизводная=относительноgijЛ4,точкуэтихвоспользовалисьпостоянностиусловиечерез(8.37):еговыполне-всегдапереносимыхdXi*?.Чы{пМ)=Vnрассмотримпараллельновычислимпараллель-меняется.2°—ViC>0,инеО,ЕЕТмМп,пространствапроизведениеgijb%c?=для(8.36),=скалярноеЬС:кривойС,517ЕсдоказательстваТмМп,проходящейdX*Ь,кривойуравнениям__V,yП^-Тонулю:G?,кривойудовлетворяютсвязностьювекторов1°b,cвекторааффиннойстождественнокручениепараллельноТРиманово8.3.векторов(Ь•с)-W*Еbисполнойи2°вW",тогдавпараллельногоуравнениес:тоскаляр,совпадает1°условиярассмотримпоопределениюабсолютнаяегопроизводнойпопроиз-?:,8.71)Посколькуудовлетворяютbвекторыdc?_Подставимиспараллельнотопереносятся,(8.48):уравнениюэти*•_выражениявdgu/dtdb<dXki,=(8.71)и(dg{j/dXk)(dXk/dt),учтем,чтоdXkониудовлетво-Глава518тогдаТензоры8.пространствахримановыхвполучим:(шПосколькуэто(dXk/d?)возможноскобкаг)пвВсилуГ^относительно6.1,теоремытакртт.е.связностьи8.17.производнаятождественноравнаWn1°условияДляотAримановымУпявляетсятог-(8.75)0,метрическойVk9ijнулю:матрицыVn,пространство(8.76)0.=Wnвgijтовсилу8.4теоремивыполнены.доказательствапроизводнуюпереносимых=отриманово2°иП^-Тонулю:равно-Wn]римановой,являетсякогдаего['Vn.ссовпадаетПространствоковариантнаяЕслиЗ^Лdxk)_дх*пространстве1°Т%^+Wnслучае2°кручениедоказательствеприпроделано(^Як^Vзх«fcm2^данномтогда,только__-рассматриваемомвТеорематогда1гт__вследовательно,былоразрешитьможноуравнениеполучим-Lа1«этоэтокакже,результатеви*Г^,связностисимметриис7возмож-+lfeflflik9j-Jэтотонуль:*¦б1,любыхтождество),обращается(8J2)°-=присобойпредставляетohqкогдаbicJwвыполнятьсядолжноуравнение(т.е.только,^k9m%)^Tk9mi""достаточностискалярногодвухнекоторойвдольабсолютнуюрассмотримпроизведениякривойbвекторовипроиз-параллельнос,?:*VdXk(Ь)(8.77)*нотаккакVk9ij0,=abиспараллельнот.е.переносятся,fтовыражениеСледовательно,вправойчасти(8.77)обращаетсявнуль.Следователь-8.5§любойдляW71Риманово8.3.?,кривойРиманово8.3.3.Wnп.8.3.2ваффиннойWn8.20.WnПространствоWn8.17введеннойсместоимеютивкромеg%iд^,ихнулюВ8.18.ИспользуяVgkiполучаем:Дифференцируявторое-про-(8.79)матрицыд^,тождественноравныV(efc.е,)=(Vкек)®=соотношениеV.-flf c/e10,=в•е/+(V8.13.теоремой**V</fc/,вычислимоткуда(8.79),Тогдаследуетнаходим:V,-5w0,=фиксированныхпривоспользовалисьмыприсущиеметрическиеV,-5w0,=(8.45),скаляра=Здесьпро-8.126\.=т.е.V.-sr*10,=формулуотэтопроизводные:VtfWТ-матрицыАупространствематрица.теоремысвойства,ковариантно-постоянны,-ковариантныеградиентпоэтомуве,нейАучто9%кивекторовкзаключаем,АупространствевgijТеоремаиточкевекторов(8.78)теперь5у=^-ё,g%iесликаждойвобратная-8.20,метрикой,инемУстановимАу.вАу.Введемт.е.компонентов(S")*,-aопределенияпространствуАу,.матрица-ТмМп,АппространстворимановымкасательныхSTdS-ifij=S*п.8.2.6,впространстваСравнивая8.14икаке,-называютнезависимыхГ*базисесчтотаких,Здесь,сутипростран-пример(8.56),свойствомлинейнопсуществуетSki=попространствпараллелизмаобладаетГ^связностьсредиважныйтеперьбылоужеместоегоабсолютногоЕзначитсвязностью.ОпределениеегоапараллелизманампоказалиРассмотримнеримановойс8.16,теоремысвязностьюлишьпространствоме,-римановойсмы519Aабсолютногосвязностью.пространствасвязностьюусловияVn.пространствоПространствоизвестно,ЛЛвыполненыт.е.аффиннойспространствориманово-пространство=егорассматриваяиZ:®е,)ек.поV,-</fc/(8.80)0.(8.81)0.=(8.45)определению*=как0.Дифферен-Глава520**..VigtJпоэтомуДляи9ijАе,•(S")*,-матрицы(8.80)),тоиЗаметим,хотячто(8.78)связностиУстановимтакжековариантно-постоянны.нонулю,поэтомуиГ?-,которыеT%стоялаVj,(Я)*,,;=ТеоремавтовсеДляЗдесьмысравниваясГ$добавили(8.82),=(еслиРиччиивычлибыэтойвбыобратилосьАупространствеТ%=форвг?;(8.83)третьей+г^+формулойв(8.60),ко-(8.84)г;; .Кристоффелясимволынуль),бытьможетТ%.+Smk:-сим-объект:выражениевматрицу5m,E-1)*l-_,•=Будем,(8.82)воспользуемсяна(8.19).относительновиде:доказательстваумножимсимволами-Г^*)*,.Т%которуюявляетсяSmkVj(S-1)ki,=Связность8.19.представленанеиформулойновыйвведемивращенияпроизводнаяV^S)*,.здесьА^ковариантнуюкоэффициентаминазываемыймулевVj,какпроизводнуюГ[^связностьюмеждуft,jmкручениеАупространствоопределеныобозначатьVn,пространствевT?jсимволовсоотношениетеперьКристоффеляТg%jи(8.58)(см.ковариантно-постоянны-ковариантно-постоянна,-равноне(Я)',**!-Vn.римановымкакgijдк1(S)*,-=е,¦нейсвместеаgijyисвязьиспользуемтогда(S-'Yje,(Я)*,-=ej(8.80),в8.17,определенияизе,=Посколькуисоотношенияпервогое,пространствахримановыхв0.=доказательствавекторовТензоры8.Г[^,тогда,срав-А(8.85)получаемT?j+STbUS-1)^-r^S)*)=Г?+Т*.§Риманово8.3.ТеорематензоратензоррангаследующимВначалестоятельныйгк-Из9тк=0,этиоткудаВведемhiVrniсимметризованнойтензораискомое—(8.69)+T)i9ipT^gtj+T\pgtj-Крис-символовдля-Т)р9и).(8.88)и(8.52)определениеиспользуемтен-получимсоотношениеГ^Г{^»связностямимеждуиметрическоймат-дц.Подставим(8.90)формулутеперьрезультатев(8.83)инееизвыразимТ}™,получимПосколькутензоров,тотензораивправойкоэффициентытретьегочастиэтогоРиччиТт^ранга:Подставляясоотношение=(-nyTO+nm,.i+nray)em®eIW(8.91)втензо-компонентыстоятвыражениявращениякомпонента-являются%®е''.3Т#*/, •(8.87)выражениесвязноститогдакручения,матрицейкомпонентами=ГЙ0га,+Г;?0т*.=в+У,#ычтоследует,само-обозначениедля-8.18иимеющуюполучаем:производные\gmp(hj9tp=ком-через(8.86)формулу,Г^:Г?являютсявыражены3ПC12>.-теоремы0Н,<Подставимтоффеля3ПA32)+вспомогательнуюинтерес.гь0™'3П=установимРиччибытьмогути521образом:3ТТсвязностьювращениятретьегокрученияаффиннойсКоэффициенты8.20.компонентамипространство(8.92)(8.92),получаем=3П+3П<132)-31гC12),соотношение(8.93)вГлава522Поскольку3ТоперацияследуетподнятияопределенаТ-?Тт^§Тензор8.4.1.В§7.2втензорввелипонятиеМ3.аффиннойсвязностиfgвычислимегоLnЕможноэтотввестиLn.произвольныйbвектор6*е&=относительнопроизводнуювторую|^=ковариантнуюдиПоменяем***ь*иijи**/ЯГк*-hkVV(8.94)дТsi—*дТкд2ЬкI.образуеми**r*b'.+производную:индексытеперьVVhkразность:*i**TfcГт•У.i**Vm\h8Vk—\-(rt^-r^)Vm6fc.(8.96)Коэффициенты,стоящиевобразом:д..Здесь,(8.96)изсвяз-(8.42):Вычислим*.Римана-Кристоф--кактеперьковариантнуюV.-^*4RкривизнысвязностиМточкевиТ™^=LnтензораПокажемвпространствеРассмотримTmLuТ&пространстваповерхностейдляРимана-Кристоффелядляобозначения:Римана-КристоффеляТензор8.4.кривизнымыоднакообаопределе-коэффициентыэтойконкретнойпоэтомуУсловимся.А"пространствевиндексов,использоватьиндексовпространствахнегбдляопускания-какримановыхАтотензор,-писатькомбинациивтеорему.доказываетикотороеТензоры8.какпредставляетиранее,к_Fj—pfc.=_первойг*.i.dTk8i/dX*.собойкомпоненты*bkобозначимскобке,f"f»fc fc.-гт.гкВыражениетензораследующимвокручения(8.скобкевторой(8.52).вТогдаполучим=Rjitb'-2fi^Vra6fc.97}(8.98)Тензорj 8.4.__ТеоремаСистема8.21.формуле(8.97),четвертогорангапредставляетизДоказательствоформулыэтойVm6fc,8.10).6*ft™,е'®®(8.98),чет-(8.99)еьлевойвпосколькутретьегокомпонентаминазываютчасти(см.(см.рангатензоровп.8.2.2),теоремутензоромабсолютную(rj),производнойпроизводнуювектора.bвекторавычислиммыучли,^чтовПустьЛ4.вдоль(^)имеютсяэтихЕслитоабсолютные(8.101)ВычитаяЛевуюабсолютнымследующей теореме.частьвыражениядифференциалом.изпроизводную?§?=(8.100),(8.102)ипроизвод-кривых:абсолютнуювычислитьтеперьполучимХг(?)кривые=^=0,поэтомуиrm-f'порядке,от-аб-рассмотретьдвеВычислимабсолютнуювторуюРимана-Кристоффеля).можно(8.98)тензоромточкучерезнекоторогоЗдесь(илиГ^ковариантнойпроходящиезатемLnпространствакривизны*связностиВместоае1тензораявляютсятакже4RтензораBмLn):формулыизкомпоненты(8.99)носительнопроизводные®поАТензорXхе3Rji8=образованная,компонентыТпследуетaRjisсобойпространствастоят523коэффициентов4RТРимана-Кристоффелявпроизводнуюобратномпо-находим(8.102)называютУчитываявторымальтернированным(8.98),приходимкследую-Глава524VVbk-Щ-dJИначеТензорПокажем,чтоТеоремаАпLnпространствакривизнапараллельногоВпорядкаотзависитпроизводнаяпространства8.23.(8Л03)Ibflifпроизводных.кривизнынезависимостьюстензо-dXidXibRi"абсолютнаяабсолютныхпервых8.4.2.k•=*}~Фвтораяговоря,диффе-абсолютныйдпределяетсяLnиз4R:WbkвычисленияпространствахвекторапространствакривизныримановыхвторойкасательноговсякогоромвАльтернированный8.22.ТеоремадифференциалТензоры8.непосредственносвязанаоттензоровпереноса(вАппространствепути.односвязногослучаеU1)¦итолькотензорнемв4Rкривизнытождественнообращаетсявнуль:4R=0ТНеобходимость.РассмотримВыберемПосколькумыпараллельногоимеет(dXl/d?),местотат0.=точкеМbбудетудовлетво-тоАпЕиМточкиAf,иследовательно,и,этотподставляярезуль-Rjiskb3тождествоместоСледовательно,парал-результаткривой,Тогда,иметьдолжновдействительно0=местоимеет(8.101).тождествоДостаточность.тождественноравеннулю.Х%(?),кривую?мXхкривыхX%(?miV)=определенности(?,77),Х%м>вПустьпространствевРассмотримДля^ ? ^ ?//.Vi^ V ^ V2 сХЧЫу1!)чтоположим,РассмотримсемействопереносимыхОбразуемчтоЬ8,.вектораАп,кУ,-Уполучим,любоготогдасоединяющейкривой,отчто0.=касательногосоотношение(8.98),вдлязависитbвекторАп,Епространствевневектора^-Vifr7т.е.можноубедиться,ипо-другому.J\fточкунаходимсяпереносаотвРазумеется,(8.97)впоступимкасательный(8.47),уравнениют.е.мыегоперенесемудовлетворятьТогдаОднакопроизвольныйпараллельноАп.(8.56)связность(8.101).выполняется(8.104)пространствоподставитьнепосредственноАп.вЬ(?,вдольл)удовлетворяетальтернированный=X%(?,r)i)векторовсоответствующейLnэтомнеевторойкрайнимилюбогодля=Хг(?).b(?,7j)Vh/d?дифференциалкри-семействоввестиможносовпадающимиX\fтождествен-некоторуювсегдакривойуравнению4Rтензорпространствепричем7/,ТмМп,E=0длякасательногоопреде-дляпараллельноXхсемействаизточкамилюбогопе-(?, п).п.вектораТог-Обра-§ 8.4.b,вотсутствиясилуТензорРимана-Кристоффелякривизны525Lnпространства*********получаем(8.105)0.=*Vbk/dr)ЗдесьпостроениювсеVbkМ.?для[dbk=ЛЛточке0=всеjdr\)*•'(?,кривойЫ^?^ч),установили,результатнуль,вт.е.своювМточкиЕслиМLnAfи0=(8.105),вектораХг(?,г])0=чтои/drjторезультатоттойтолюбыекри-Однако0.мытогда77,вектор-дастлюбогоЭто,77.изпереносапараллельногосемейства,кривойможновдольлюбогодляточточкевегоVbk/dr]дляЛГ0=такжеточкевимеемв=МточкеввдольVbk/dr)пространствакоторойпоосу-независимостиолюбыхдлярассматриваемоепространствокривизныПокажемчтосвязана8.24.локально-аффиннымДлянеобходимоL^кривизнойиНеобходимостьлокально-аффинное,8.14,рассматривае-абсолютногопаралле-тов0=ilkjто=ониНо0.будутLnпространствочтобы==4R=0и(8.106)Г^(см.аффинностионоп.8.2.7).былолокаль-обладалону-кручением:0,а,(8.106)Ln.втакочевидна,любойокрестностикоторойвдостаточно,ипростран-кривизнакручениялокальнойчтобытого,условийТ(8.52)вышесправед-путиLgегонулевым3пординат,оттеоремеотсутствииприсвойствомсоТеореманулевойсогласнопространстватеперь,LnпереносапространствомявляетсясемействоодноAТензор8.4.3.Тогдакривых.вполученныйпараллельногоLnAn.параллелизмаобъединеныСледовательно,переходом.точкисоединяющиекривые,двебытьмогутнепрерывнымсправедливLn./dr)односвязное,-результаттензоров,jdi)тоЯипостроенияVbk{dX{/<%)$№&/dri)т-е-зависитже=уравнениюпереносозначает,этого-Х"а(?,77)поdbkпереносанетогосилуМточкахвпостроеточках,перенос.осуществляетсяпространствавекторЛГввкVbkчастностиочередь,НопокрайнихвпоэтомупараллельногоПосколькуПоэтомуг/.Ы>что?лЛ—обратимсяпараллельныйкак/drj).совпадаютсовпадают,мырассматривать?илюбогодляbтеперь(dX*Хг(?,т))?м=векторыЕслиГ*„-Ьга+семействакривыеjdt]jdf]dXx(dbk/d7j)=точкикакеслипо(8.97)*посколькунулевымиR^jjвилюбойCtkjсистеме-локалько-системасуществуетследовательно,LnR^jj0EкомпонентамиявляютсякоординатвовсемиГлава526Покажемв8.23должнаобластяхнетобластейэтихизLnимеетлокально-аффинноепо8.15теоремеБианкиТождестваТеоремаВ8.25.вVjRqnik+тождестваминазываютвэтихтог-теоремеоблас-собойLgтождествам:VqRnjikкоторыепопредставляютпространствепространствеследующимудовлетворяетНоонииАпространство.8.4.4.кривизнупараллелизмом.тогдакручения,области,односвязныенанулевуюабсолютнымобладатьипространствахримановыхРазобьемдостаточность.каждаятогдаТензоры8.h^тензор+VnRjqik4Rкривизныудовле-(8.107)0,=Бианки.*ПосколькуТRnjikтотензора,СогласноввыбратьтакуюобращаютсяГ™нуль:геодезическими.точкахдругойточкеXх,всистемеозначает,нульвкакой-X1координатчто=которой0),такиеотможноназываюткоординаты6Tijk/dXnвнатогдануля,вы-Кристоффелясимволыпроизводныеотличныговоря,Lgпространствав(и Tijk0=Заметим,вообщеуже,каждойвкоординатсистемувF.169)частилюбойвтен-Этонуль.8.11,теореметоковариантныекомпонентыхарактер.левойX",координатобращаетсятакжетензорныйимеютобращениепокажеммыитензора,образуютсноватензора(8.107)системеонокомпонентуравненияесличтолибокомпонентамиявляютсяотпроизводныеточ-этих(8.97)основанииимеем:Меняяавэтомзатемобразомциклическимвыражениискладываяполученныепервыерезультаты,dvi4kдействительнооткуда8.4.5.Вт.е.кривизныримановомГ^=Г?-,гдеБианки.VnГ^определяется^V"пространствапространстве{('дхядхптождествоследуетТензорdrijkdxidxnдхпдх>индекса,тринаходимГ^связностьформулойримановой,является(8.19).Длятензора.>Тензор§ 8.4.Римана-Кристоффеля,обозначениеRnjiГ™ПосколькуdgikfdgkjIi nj.fcЯп^иdgkj\можноdgik__(RРимана-КристоффелятензораДп;,--f mfc^f mfc-J^дХп+g"(^j^>nk-rin,T,jk).(8.112)соотношение-gml(dgmk/dXn)=Rnjikприводимк—-gml(Tmnk=gr'»fc1Г—.„^..упt]l(Lrroifc),/г.mnkT,Гь1вместотеперьметрическую</' (Г,-,-,Г,пЛ+-d2gkjgkn,i1+образом,dgm'(TinlTkjmполучаемих(8.18)выраженияdXkdXi)\i9m;/T1d2gkndX*dXn-Kг'"'гkjmd2gindXidXkd2gkndXidXi>__knm)ijl~\dXi)(8.114)Тц,Ткпт),следующуюd2gikdXndXJdXkdXngjnd2gkj/2 4 dXi=(8.113)d2gijdX'dX»2\dX'dXndГ,-„|Г.д)находимd2gik1 /Г,-^отTr.iTfc«m).-производныхматрицу,tk\„т'-1-knmlil'(r«r*iПодставляяTknm),+видуdr0fc-такимтоdg{jкомпоненты9mk(dgml/dXn)через(8.110)VinYkj.образом:+Используя-матрицей,dg{jисполь-гДематрицу:ковариантныеследующимопределяютRnjF»r.jr*n+JxJбудемсвязностью,=метрическойсметрическую_Чисто~связанычерезвыразить-Rnj™JxZ-527этойпорожденногоспециальноезоватьРимана-Кристоффелятеорему.Глава528В8.26.ТеоремаматрицыомVnпространствевыразитьскривиз-тензорметрическойпомощьюgij:/1d2gkj9ml (Tin,TkjmVnVjc;метрическаяОчевидно,чтоНеобходимостьвкаждойХ'\чтоconst=этойвотПокажемиТогдасуществуеттогда,чтоокрестности,пространстваVn.ТеоремаСвойстваRnjikкососимметриювполучаемможнополучаем,иявляетсяГ^r,j&=чтодц~Г^,-+Но0.=const=евклидовость=этойвпро-данногоВ8.28.Vйпространствесимметриюподвумерных7.14,теоремуимеющуюповерхностейвпро-Римана-Кристоффелятензораимеютранеедлят.е.индексамRnjikпопарамn,jи=компонентыиндексовг,кривиз-тензораn,jиi,k,атакжек:Riknj,впространствакоторойgikj0Г^оноэтого==Vnкак8.24МХ'\доказаннуюV2,М3.ТеоремаТактеоремелокальнуюобобщаетпространствапространствеiJnj*fcсвязностьюточкеОткудадоказываетГ^чтоVn.всепоэтомуA8.27дляисогласното(8.111),М.точкивкоординат.М,Следовательно,специальнойкоординатформулуиспользуянуль.0=сокаждойвсистематакаяокрестности8.4.6.8.3),теоремутож-немлокально-евклидово,получаем,4RLnпространство(см.крученияместодругой.уплощенвсистемуточки(8.110)поПустькак-такуювлюбойдостаточность.локально-аффинным.VnвVnеслинайтиизначитрассматриватькакобращаютсякоординат,аявляется4Rокрестностиgijло-0.можнонекоторойвсистемеХ/%,безVnЕсобойкривизны=такМ.производныесистеме4Rнуль:очевидна,точкеQijчастныевок-(8.18)VnтензорЕмет-некоторойсвязностьюпространствообращаетсячтопредставляетримановойкогдатогда,толькоитождественноТРиманово8.27.тогдаМ.X'1,впространствосупло-точкипостояннойявляетсяпространствоТеоремауплощенным(иликаждойкоординатсистемауплощенноелокально-аффинноетоgij(M)М.точкидляVn,такаяматрицаокрестностиевклидовым-пространствосуществуеткоторогоdXkdXnj(8.115)Локальноназывают\Гу,Гкпга).-8.21.d29ij_dXkdXiдХ<дХ*Определениеуплощенным)d2gind2gkn_2\дХ'дХп+кривизныпространствахримановыхможно3%hввромановРимана-Кристоффелякривизны0Тензоры8.(8.116)0Тензор§ 8.4."RnjikтакжеаимеетРимана-КристоффеляRnjki=RnjikДоказательствоTк.положив,Rjiaaсуммапервого8.4.7.Тензорпа—нааместе,njiиндексоводинполучаема,=например,стоитизчтосумму:слагаемоевтороеобращаютсявиАнуль.Аупространстваримановотеперькипроверить,кривизныРассмотримтодействительнотретьегоикиндекснапример,(8.115),формулыизНесложноRiajoe+(8.118)0.=четвертыйперестановкой,круговойТогда+(8.117)Rjnkit—Риччи:Rinjk+следуетменяютсядругиеRajiaRjink+Риччитождествев=тождествоочевиднопосколькутриравенRnjikследующееместо529абсолютногопространствопаралле-Ау.параллелизма*Теорема8.29.ПосколькуТ(8.56)Г^связностивА"непосредственнымтеоремусамостоятельныйвычислением,(8.56)формулыэтоДифференцируяздесь(8.119),(s-')kiJn-(таквправойтождественнымм(s-1)^-(г?.=ипредставляетап.аT^E")fcm.=получаемса-(?п+получившийсяДиффе-Tj^i)^(8.119)вычтемрезультатrfnj.+r^f^,n-irar*mj)(s-l)kp=(8.120)выраженияобычныестоятчасти-„Л|,.я1'E-1)*р.этогочастьтамнулем,еоднакополучимлеваявыражениеп,jf+i H=какиндексуTii)^+индексытогда(S")*^чтопо^n()mПоменяемнульяв-теоремыПроверимкотороенаходим,соотношение()\jnПоскольку8.23.теоремыинтерес.Изизпространствомданнойутверждениевышенулю.равенодновременнотодоказаннойследствиемявляетсяявляетсяАп,параллелизмаотносительнотождественноАупространствепространствоабсолютного4RРимана-КристоффеляТензорбытьдолжнопоэтомуобращаетсятождественночастныенулем.получаем,производные),НоE""x)fcpчтоR^^товыра-бытьможетне=ви0длялюбогоГлава530ПосколькуW"(8.69)),(см.стообразоватьможнопространствахримановыхвпространствевГ^символыТензоры8.помощьюихсим-определены(8.97),аналогичнойформуле,по4RрангачетвертоготензорГ[^связностикромекомпонентамис(8.121)=которыйоднакоRjiJ6(т.е.теорема.Rji8k)-ФДля8.30.Теорематензоромэтогоот4RнулякV7Vi±sj___=(8J21)вгТ*кVji, -место+IггхкlsjlmiвращенияггхкггхТ1\l8i-вообщеАу,пространствеггхПХтео-следующаякоэффициентамиfTikТ-WnпространстваимеетопределяетсяиРиччи:Л ijsкривизнытензораТензоротличенговоря,являетсянеужеI о{b.IZZ)lmy1О¦TТаккакего4RтензорRjiskСогласноАув(8.97),определение^sij=8.19,теореметождественноравен^j.i-Г^связностьРиччи:вращениясоотношенияFJJ(8.123)формулув^Ti^mj+*эффициентынулю,то,используяполучаеми^Tj^mi-можновыразитьГ^=выделимГ^черезПодставим+^7#нейв(8.123)0-=иэтикомпонентысоот-Rji8kтензора(8.121):kкпnji~/гпк,+\1ij~гпкПосколькувЗаметим(8.124)формулечтотеперь,ковариантнуювыражениеVПодставляяэтувсправедливости=и2*ifi+поТ%Т*тв(8.26)Г^.Т,7соотношения(8.124)г,(8.122).(8.69)),j (см.-собойTJJ\Т%Т?т.j формулут.е.(8.125)вАЗа-0.=представляетсимволовГ™-Т*,.-г,Т*р{Т?т-относительнопоальтернированную(8.124)симметричныскобкахв3J1mi0.=тождествопроизводнуюV;T,*.убеждаемсяГ[^добавленотчпгркl~2^1*.-Кристоффелясимволыгртптлк.T,7T^-+то-птпгрк.1sji +lsi1mj+1silmjко-(8.124),убеж-О\§Теоремас8.31.помощьюДляРимана-Кристоффеля4RТензорв)ПодставляяиWnнесколькотензоризтензоратензороввторого4RРимана-Кристоффелявторогоназываемый(O.LZi)р,выражения:С"-1\Р(Qввыражения(8.126).соотнбшению10Q\формулуАРимана-Кристоффеляранга.Сверткасобра-можнотранспонированно-метрическимобразуеттензоромранга:Пследующийi,jпок/ПUотРиччипространстветранспонированноготензора) fVjbследующиеС^'|приходимТензоробразовать(?Получим/С~*ЛРV7—альтернированныедействительно8.4.8.ВС^V7эти(8.122),—iТ^Т^.VrpkVtT^производные(8.82):Риччипроизведениявыразить(8.126)ковариантныеtj—OpVj(bихможноV^V^S)^).-вычислимвращениятакжеАупространстве5*P(V,-ViE)pl=доказательствакоэффициентова531Skp:матрицыЩиTТензор8.4.=.(8.129).Е,КомпонентыРиччи.тензором4rB314)этогосле-имеюттензоравид:е11®е14•'ек®ек=т.е.RjiПодставляяРимана-Кристоффеля,в(8.130)=kkj?-=Raj№.(8.97)выражениеполучаем:Jxt4(8.130)длякомпоненттензораРи-Глава532Аналогичнымопределенныйобразом,формулепоВыражениедляRТензорТакVjg»,RjiRnjikкактои(8.132):TpA0=(8.133)А"пространствевТ]?Т^.-(8.134)обращаетсяR=0.7?иTLнуль:влокально-евклидовомвтождественнона-пространстверавеннулювизтензоровэтомпространстве:0.=ЭйнштейнаТензор8.4.9.+ГЙГ^.RjiтождественноRnjik=тензорRji=А^РиччивV*T?-пространствевот-(8.132)-Риччи(8.122)V.-ТД=Риччитензорsk>Г*1**+тензораформулуRji4R,тензорввестиRnji=r?fc>i-компонентподставляянаходим,Rkjt=rfi|]b=использоватьможнотот.е.RjiRji4Rвместо(8.121),Г^-,пространствахримановыхвеслисимволовотносительноТензоры8.ЭйнштейнаТензорыGGиобразуютсяРиччиобразом:следующимG=\iZE,*k-GЬгЕ,K-=(8.135)где^свертки-РиччитензоровВR.-E=метрическимслокально-евклидовомравныGнулю:GиGGсовпадают:В8,32.ПосколькутоВримановомно,вообщетож-Vnпространствеотличныговоря,можноспециальнымVn=отсправедливы0,гдеG1;Rj=VnпространствокактождестваЭйнштей-тензоруравнению:рассматриватьобразомVnпространствеследующемуримановоеговведенадляG,=римановомудовлетворяетViG'jТЭйнштейнатензорынуля.ТеоремаGкручением,0.=*тождественногоЭйнштейнаV^G=*тензорытензором.пространстведественно(8.136)7l=:R.-EисвязностьБианки-i&JV,.обладаетнулевымLq,пространствоFJJ(8.137)по(8.107).формулекручениввве-котором(8.74).Тогда§ИспользуемТензор8.4.Римана-КристоффеляБианки,тождестваэти5339ijVqRijВносяобратную(8.32)подРимана-КристоффелятензораРиччи:тензора9ijVjRiq-метрическуюнаматрицуковариантнойзнак9nkVnRkq-можноуравнениекатаки(8.138)0.Риччитеоремыполучаем:(8.139)0.=привести=основаниипроизводной,VqR-2Vjf qЭтодпкдг^наихдомноживкососимметричностьтакже-используемопределениевиду:(8.140)Откуда,очевидно,В(8.137).следуетвидетензорномуравнение^(8.137)имеетвид:(8.140)*ВпространствеТеорематензорыВпространстве8.33.тождественноравенбытьможетWnнулю,G,t=вообщеАуG0,^„(V.-Vt^-1)^-различны.GЭйнштейнатензорототличеннулятожимо-Skp:матрицы=ужеговоря,говоря,помощьюGG,ивообщеG,aсвыраженG<?,te'®e(,=(8.140)VfcV.CS-yjiT'V(8.141)гдеi \i.TПервое(8.142)такочевидно,теоремыутверждениекаквАутензоркри-*ДляныедоказательстваG\tBtmlt=4Rнулю:второгокомпонентыG,tгдеравентождественновизныR,tопределяется-\пдн==0.рассмотримутвержденияковариант-G:тензора=Rim{S\8?формулой-(8.142).gimglt)=RimBimlt,(8.143)Глава534ВыразимSfcp,(8.126)ЭйнштейнаТензордействительно(8.144)кприходимиграет(см.,важную[35],[32],например,Упражнение8.4.1.кривизныимеютчтосоотношению*8.4.2.римановом-i?1223>6,только-Ri231>Rj{8*Risj+компоненты~R{js=~»тензорапространствеваО-=(8.116)соотношения81числалибоостальные(8.117),икомпонентыRnjik^2323»-Ri212»либонулю,равнычтопоказать,тензоравыбрать:можнокоторыхтогдакRsji+общегоизкачествев-^2331»*кИспользуяVпространственезависимыхILnРиччи:RjisУпражнениеотноси-теории8.4.пространствевсимметрией:следующейтождестваместообщейв§кПоказать,обладаютроль[45]).УпражнениявчерезАотносительностиILqjRtm(8.132):вVfcV,(S-yro).-(8.143),вРиччивращенияформулу^(V.-V^S-1)^=(8.144)(8.141).пространствахтензораэтогодляподставивRimПодставляяримановыхвкомпонентытеперьматрицуТензоры8.не--^3131»выражаютсячерезних.Упражнениесобственно8.4.3.римановомИспользуярезультатVnпространствеаг&._э2.п3t~dxkПереставляяизменений,вэтомбезтензориз8.4.4.второго1ZВсверткойсSДоказать,=S*>Упражнение8.4.4,являетсянесовместности(8.117),имеетVещеS,образуетсяодин-4R•имеюте.•вид:(l/4g)eikleimnRklmn.=Показать,чтотензорчтотензорRprstсоотношению8.4.7.(8.116),A/4)е=тензораПоказать,8.4.6.удовлетворяетУпражнениенесовместностивведенныйнесовместности,вупр.симметричным.Упражнение8.4.4,остаетсясимметричным.пространствеR,®этого8.4.5.частьправаяявляетсяЛеви-Чивиты:SP'Riкомпонентычточтособственно-римановомтензорамидвумяiknj'убедиться,тензоромсобст-всоотношениеygTLчтопоказать,следуетэхпРиччитензорназываемыйранга,•'2, J,чтоследует,Упражнение+индексывыражении(8.133)a,ygдх'дх*откуда8.1.2,упр.формулыиз=Используячтопоказать,свойстваявноеИиликомпоненттензоравид:511=-Д2323,512=9С221__9рС23-Д2ззь513=~99^^_9=упр.∕SРимана-Кристоффелятензорадлявыражениевведенныйнесовместности,9€ipr€jstStJ,несовмест-•€.ГЛАВА9ИНТЕГРИРОВАНИЕВажнуюинтегрированиярольмеханикевпП(ж'),тензоровевклидоваТЕНЗОРОВМ3,помощьюскалярногоаргумента,например,в§СкривойнекоторойоперацийнаПустьх(?о)ичтоx(?/v)этойнайти,можноКомпонентых\задан=х@отрезокЭтимначаломевклидо-трехмерномспособомилиni'i---*»(a.f")el-lПредполагаем,n-ого®х*=наотрезками..имеющийранга,[?о, 6]»частей:Nчастей&»],.

Характеристики

Список файлов книги