Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление (1050322), страница 34
Текст из файла (страница 34)
.^'im^)9a=l. .r9дляG8любойОпределениесже1.ТакжеК1,кинвариантов,компонентвсехп(fi1'1-1"*)примененнойдляЧисло5.20.ТЕОРЕМА.ШпТ(п)суммарногоктензоров.местоП*1—1*подразумеватьсовмест-для(TAlj"lmi,. .,совместныхнаборТ^тп).выте-инвариантов,же,ограниченполиномиальнымикакнезависимыхвслучаебытьможетдальнейшемтотех,будутинварианты.интересовать(см.п.4.4.5),другиечерезкоторыеминимальныйк.большенассовместныеобразующихтензоров:тензораинварианта(т.е.другие),большеШаТ(а).одногоинвариантовинвариантовэтихвсехсоотношениями,черезможеттензорасовместногоодногосовместныхполиномиальнонекомпоненткомпонентиинвариантовбытьсовместныхбазисенезависимыхчисло-выражениянезависимыесовместныхслучаякомпонентимеютнезависимыхzфункциональномвчисласпособВ=компо-применитьутверждение.miT(i).Есликомпонентамитензоров:4.17,теоремыследующеекаподеслидлячислотакжеJ:виданезависимых4.4.4-этомфункцииформальноувеличивприинвариантычислопозволяетподходпп.4.4.24.19-каа-тензораодногосовместныекаккп,+..формально4.17инварианты4.4),результатыТеоремыбазисомрассматриватьТакойпростоотноситель-ШпТ(п)..скалярныеопределению+то«.совможетинвариантWlT(x)..икki=т^у1инвариантов,вытекаетназываетсяфункциональнымможногдедоказанныегде3-.Т^Г*тп)тензораИз))ru'независимыхсовместныйкак1.—>совместных,инвари-функциональнокоторойтензоровзамечанияJ(T/t11r*lmiфункциональноназываетсяинвариантовЗамечаниебазис,G8,группысовместныхужеэтихчтоинвариантовпомощьюдругойлюбойвыраженкомпонентот.Т1КЛгПп•••i(n)Система5.14.тойШкJr)совместныхинвариантов,(см.отно-зависимой.совместныхбыть.m»T(n)независимой,/(Ji,.
.;»---JrU(i)системаслучаефункциональноотносительноинвариантовТ/Л'"*™1,.значенияшии1(п)381т>ТA)..функциональнофункциитакиепротивномаргументовсовместныхназывают/wiHfi)ВСистемунетривиальнойнайдутсяинвариантовтензорныхтензоровгруппыотносительноеслинесколькихтолькочислорневыражаютсяогра-неприводимыхполи-рациональныйфункциональноне-Глава3825.9.4.совместныхчастыйнаиболееРассмотриминвариантовмеханикидлясплошныхсимметричныхдвухслучайсредТтензоровВивто-ранга:второгоj\8)Тогда,J(8)=согласно75.20,теоремеGs,группыВ),(Т,базисефункциональномСовместныетензора,направляющихтензоровихвходитьО7вслучае,даннойтакже,изВ2,Тинаправля-тензоровТц'(Т)(В)Ц*итойтакжеамогутОднако(В)дажеинойилибазисВ,ит.п.инвариантов.относительнотен-сверткицисовместныхфункциональныйобразуетВ•Ц*'(Т)тензоровбазисштук,одногоинвариантыикаждымсинвариантовшестьобязательно/,группыоперацийТ2,изтакихпокакгруппефункциональныйихфунк-вкакой-либоортогональнойпомощьюскаждогокогдаэлементовzотносительно12.^степенями:объединениепростоеE.480)39.1..=полнойj\sтензорнымиввчислоподгруппойобразованыИнварианты*>инвариантовинвариантытакже•12:=.бытьмогут••максимальноесовместныхявляющейсякпревышает1=zнеинвариантовтензоровсимметричныхсовместныхнефункциибазисыФункциональныедвух-Тензорные5.вслу-Gsгруппысовместныхинвари-инвариантов.НижескобкахдвухдлятензоровявныепредставленыTijкомпонентыбазисыфункциональныеприведеныинвариантови(Е)-ТриклинныйBijсовместныхвскоб-всимметрии,совместныхвыражениятензоровнезависимыхклассовразличныхинвариантовё,-.базиседекартовомчерезкласс:E.481)Ъ,(М)-Моноклинныйт(м)Д22,ц,зз»12},i3?2з^класс:_ИМ)(В\/9-1i,Т22,Т33,4Т12,Т23,З13В13,fiТ13Т23,-Вц,-В1зВ2з}»-022,2=12z—12.§Скалярные5.9.функции(О)-Ортпотропныйнесколькихтензорных,Т)•Т22,4Йl,.
.6;=3-(ё§•jg>В),•Тетрагональный/3(ё2=Ti2Ti3T23^Т{з,Тзз,Т2з,4О)(В),=Т)•1,2,3,6,E.483)=.(§1•В22,Вц,z12.=класс:|^iT)),T=Т22,+В),•Вы,B12B13B23},3,{Гц383класс:a(Т)-аргументов2?зТ3з,0В••^1з.+-О„•4Т) (ТLТ)-Т1!!^222.+/3=1,2,3,(В),Т12{ТиE.484)detГзз),-\^ ((ГцТ22)В12-(В„+B22)f12)},-z(Кз)-Квазитпрансверсалъно-изотпропный>^{А)-Ромбоэдрический_~2T22,-Bi3+T=!AK)+4S=4K)(B),а=1,. .6;J<f{Гц12.класс:4K)=I{QK)(T),J12=T,T22B22,®/TВ•R••9-OhT33,2\23^23>Г13В13+4K)(TLK)-r(K)r(K)~°Vf223,f1!2!+T23B23,+/3=1,2,3,T222, f^,E.485)(B),r(iC2 ).(Я-ЛdetT,'/BnB22,+T12B12}.T11B11+T22B22,класс:^'A)),/3=1,2,3,Глава384Тензорные5.функцииE.486)=Т23,Т22,1__-Т®В-=Т22)—2Т12Т23,—_^{Вгз{Тц323-023?17?'D3,4Т®ВТ22)—_(Т2-Т13В12}.4-(В)-Ромбоэдрическийкласс:/3=1,2,3,),E.487)j{Гцf33,T22,+detT,Вц2\2зТ|3,+Т22))—Т2 222Т12Т23,-Т13В13В22+Т22)-T23B23,+B\--BГ)-АГвазиизотропмыйкласс:E.488)4J^>=(Т-Oh)•¦/<?>{Тп+Т22твв.. .о»,==+(Т•(В2Тзз,®•Т)j-Oh)¦••-(В-Oh•зз,ТП(В22-|(t.
b-/),>J<f-Ofc),(В••(>„)•(ВТ2=•В0-Oh)••-(Т••+В\3)+В„(Т22%г{В\г+2\2Bi2T33B33,++Т23)Щз)++522(Т22Т33(В213+Ti3-Bi3+++Т*3)В223)}.-О„--Он),•Т2! + Т\2 + Т323, 2\22 + Т?3 + ^223, T?i +1232+ Т23)+ Тзз(Т23+ f23),Вп+detТ,2Т22(Т22T22J322f2з),•=+3§ 5.9.Скалярныефункции(Н)-Гексагональный4Н)№((В=тензорныхаё!)-1,. .=Т)•B22T22+-(el•4н>5;¦4?2Ti2Bi2},+гA)-Изотропныйа47)Теоремасимметричныхтойже9 длядля1112 для==Вговоря,13НиdetT,2J512,E.490)=11.такуюВ1*)из-В2,•±{(В\J-В';В*{),zdetB,совместныхинвариантоводнойотносительноигдеэлементов,класса;GsСбазисов/.бытьмогутвыбраныE.491).-ортогональнуювонАа-А*\ТХКбазисомВх*компонентдевять=ненулевыхТ,тензорае,-базисеэтом=Аг^матрицубазисТааисчислениеТ=классов;собственнымсодержит4Т)-В,•E.491)1,2,3,=совмест-класс.тоявляетсяарангагруппсобственныйв/a(B),базисостальныхE.481)шестьТензорное+B\,изотропногоТзвсехкомпоненты:(TIJ',Gaизотропныйнеимеет22E.489)4,,2JW-гТ2=состоитфункциональныхё,-вещественные2rf2,второго/Сгруппсимметричный,-+В1,.
.=11.=ФункциональныйгруппкачествебазисТ==detT,G8инвариантыРассмотримВыберемТJ<7)-В,-тензоровгруппы=совместныеТ=5.21.двухz/31,. .11,=4Jei((r,J-T^,),{Г,.,-(В),класс:4J)=/a(T),z385класс:43)=4Я).-2/f)=В),(Тз)-Трансверсально-изотропный-аргументовкласс:1(аИ) (Т),-несколькихAxkA\имеетё,-триненулевыебазисПосколькутензораBkl.компонент.В,Следовательно,преобразуеткотораят.е.=тоA\ej.ТакТкаквеществен-вообщее,-,онвгово-базисеэтомнаборвсегоПосколькуматрицаГлава386AXj/,G1в1E.491)инвариантов4.17жетемПервыепоможнобылНо/-классасучетомсистемыиспользованиемтеоремыиспользовандоказательствепри4.24.теоремыРассмотримтеперьДляТ,тензораТз.классбылокакпоказанонайтиможновсегдазисеё,-е,-:А7,^-,=Посколькукомпонент.всененулевыхбазисевнезависимыходиннадцатьсуществуютдействительнонабора-можноДляdJa/dB1^найтидостаточнокаждомТакиеиоснованоСизигии5.9.5.Подчеркнемещеоднихвыражениятензоров),степенейрасширится.ввидеточислоПротеОG)функциональногосовместныеномогутномогутинвариантовчтоцелыйвбытьразрешенытолькокаквходятвобразу-участиемнеполи-некоторыеТакиесизигии.всов-функциональныйбазис,базис.рациональныйсизигийтакихпримерыпостроенысотносительнообразуютонинекоторыеВклассекаждомвТ,степе-целыхинвариантовговорят,очевидно,входитьРассмотримсоот-свертокинварианты,тензоровклассов,базисавыраже-полиномиальнымипроизведенийинеприводимыхинварианты,Авозможностьтолькосовместныефункции,неполиномиальныерассмотренно-4.17.ограничитьдругиесоотношенийтензоровобразующихеслисуммполиномиальныхвиде-инвариантовчерез(т.е.соотношениямиE.481)наборахваналогичнотеоремычтораз,инвариантовинвариантовприведенынезависимостиПоэтому12.равносовместныхсовместныхдля4.17.ииспользованиинапроизвод-теоремойинвариантыихэтогочастныхнезависимыхДоказательствовышерассмотренномуНезависимостьмаксимальноz11.^zдействитель-матрицывоспользовавшисьчислодвенадцатьклассе.E.488).иклассов4.19теоремеE.490).рангиметькомпо-ненулевыхпонаборвычисливостальныхкомпо-будетинвариантовнапример,это,тензорговоря,числосовместныхпоказать,dJa/dTx^,производныхобщееТогдаба-вненулевыхвообще11.равноэтотчтопятьбазисе,тое,Тз,Eтолькоиметьэтомвкомпонент,(Tij',jBij")НоВтензоршестькомпонентбудет-.А%jматрицучгакую4.24,теоремыдоказательствеприов(п.1°)всейсосуществитьучет,инвариан-независимостикоторыйметодом,шесть4.18теоремеДоказательствоп.5.9.3.изотносительнонезависимыочевидно,нем,замечанияс2^9.чтоследует,E.491).набор4.19теоремытеоремыинвариантовнапример,это,-JaэтойнезависимыхсуществуютинвариантовусловияИзп.5.9.3.изсовместныхдевятьфункциивыполненнымиоказываютсятозамечаниятомТензорные5.дляклассовнекоторыхсим-симметрии.ДлянетВ¦#23^23,.Е-классатриклинногобытьможеттензоровнеобходимостиМ-классенеегобезсовместныхнесколькихтен-инвариантов,поэтомурассматривать.можновходящийбазисфункциональныйобразованвобразоватьфункциональныйинварианты,базис.например,инвариантОчевидно,чтоонмо-§5.9.СкалярныебытьжетфункциивыраженJ13АМ)_Йф-ВгъТггДляБ23,АО)чтоможнонене-52-_-]М]?Ут(ОJJ10__-°23—J^jj?=~(о)Т-классатетрагональногодлявыразитьследовательно,ониинварибазиссизигию.Покажем,тынапример,функциональныйчерез(Ti2T13f23)(B12B13B23)(f»B13)(f23B23)=образуюттакжеE.493)образовать,можнот(°)J14и0.=образом:Blй2Tl2 Ф=jWjg>выражаютсякоторыенеполиномиальнымЛз4М)Л?]=-О-классаортотропногоБ23,образом:jr^4М)№инварианты387неполиномиальным(Т13Т23)(Т13В23)_аргументовсизигию:получаемоткудабазисэтотчерезтензорныхнесколькихследующиефункциональныйчерезбазисЦинвариан-\следователь-и,независимыми:являютсят(т)(Ф(Т=1B22h-"^22E.495)Дляобразомпервыхдостаточноинвариантовтрехследующиеобра-явнымрасписатьбази-функциональногоизинвариантовпроизведениябазиса:j[TLT)-4V(Гц==*4V=4ТLТ)-(Тц-Т22)(БПТ22)(Вц+-Б22)В22)-ТцВц-Т22В22=J2(ТцВц=++=4г\Б22Т22)-(Гц+Т22)(Вц+В22)=E-496)Глава388>2jfТакимобразом,инвариантами(Bu-B22)(fn-f22)22?x + 2f|2=J[TJ-j{4'четырехрассмотримэтотТц,подставляявв^22«1уравнения,ТпУискомоетензоровсоставленнойизAT)эффективноприменятьДлядоказательстваскладываяАТ)ф,2,/=T12(Tn-T22),сдругE.497),другом,получим:AT)АТ)ф\{TJ-)27(T)7(T)7(T)T(T))7(TJ-4-(*>функциональнуюзависимость.функциональнойзависимостивходящиекоторомвизнаходятсяфункциональногодляразличныхуравнений,базиса,2jg]Этот{f11-f22)B12теметодможносимметрии.j[7*зависимости=состав-содержащихклассовфункциональнойкакогокомпонентыструктурусистемыметодом.компонентнымегосистему:4Т)E.498)^11—7приназовем7(т)затемадоказательствакомпоненты,Вцуравнения.(Т)предварительноинвариантовотноситель-—показывающееJ^6Т22В221-системыATJ—соотношение,инвариантаТакойспособлибоинварианта,+E.497)третьего-i22(,f%2,Т^Т.о^11уравнений_+находим:,1-Выразимизуравнение,этиAT)толь-выпишемуравненийчетырех-il—двух—Til-Вц=систему=квадрат(T22IT)J^6Т^=АТ)ф_первыхт(Т)какчетвертое-*22ВозводяJn—=-учетомj{T)?22,Тц.+=ЛТ)^22базис,иинвариантов:набор5циТ22,егоj[s'сизигию.зависимости=^11+^22,относительно компонентинвариан-Посколькуфункциональнойдляf22-являютсяфункциональныйобразуетчерездоказательстваJ7стакжезависимыми.ужеE.495)j[T)и,J\b}В22-fnT22J+иносоотношенийизвыражениеиJ\^}полиномиальновыражаютсяДля(Гц-Т-класса,последнеефункцииBuJ{8',скалярыотносительнотолькоТензорные5.+{B11-B22)f12составимE.500)жеСкалярные§5.9.иизвыразимфункциинесколькихтензорныхаргументов389В\2'-нее4ит)ДомножаяэтоE.497)4VВ12{Ви=}J$Поскольку(Внасправа#22)—ис>учетом-Вгг)образуетBj[?=jg^PvP--E.502)тосизигию,E.502)такжесо-представляетсизигию.СредиА-класс.совместныхj[?=ТцВцкомпонентныйИспользуясистемуклассаj5-iизизсоставленнуюТ22)—выразимчтоВ\2нееТ22)Т23(Вц+(ВииB22)-Т12В23T12B13+—I «>ll\^——-U3(А)-А~r-^l3Ull—Т23В12,—+С-22?Цсис-Л-класса:базиса—мож-E.504)T13B12В22):—А)РассмотримВ22)-E.503)инвариантинвариантовTi3(J5ii+E.503)А-класса.базисчерезуравнений,2Т12?12.+покажем,выразитьдвухТ22Б22+метод,функциональноможноА-ромбоэдрическогоинвариантовследующий:рассмотримииокончательно:получаемсобойслевавыражение<5-5И>)2-*22;-^\--ТJ-12&23'^2Э^12-Г/I?E.505)А=(Гц-ПодставляяТ22)Т13эти+С2Т12Т23,E.503),ввыражения=2Т12Т13-Т2з{Тц-соотно-окончательнополучаемТ22).соотношениеАг'=\(Тц+Т33){Вп+В22)+1(Ги-T23)(J5u-В22)+E-506)Глава3goобразуеткотороеТензорные5.сизигию.Дифференцирование5.9.6.ВаргументовтензорныхмеханикефункцийскалярныхнесколькихE.476)функцииподифференциалычастичныеиграютрольважнуюскалярнойфункцииизодномуотаргументов:тензорных{1,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
