Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление (1050322), страница 29
Текст из файла (страница 29)
.,.XхкоординатпотенциальнойпредставлениеизменяетсяE-142)^..,„(Т"--'»)==JgL-tE.143)гдеSu.-.i^Cri.-.Q^S^.. ^причемвместо. .Р^Т",T^"=P{\тензорнойинвариантностисилуE.144)E.141)функцииимеютмес-соотношения:следующиеW&ФknTl/Zx.-./nNE.145)5.3.2.ИндифферентныепотенциальныетензорныефункцииСогласнофункциях%вXх,группыG8E.8),определениюсвойменяетдругуюпреобразований,потенциальной тензорнойотносительнообщемуневидосуществляемомнапримерфункции,записываетсяводнойтензорнаясистемыкоординатопределеннойрамкахсвойствоиндифферентностиобразом:следующимGsгруппыПрименительнолинейных.этоиндифферентнаяизпереходеприкпотенциальотноситель-еслиимеетместосоотношение&EЛ46)§декартовойвсистемевпреобразованияG,,Очевидно,выполненаТеорема5.9.индифферентнойформулаЕслиф^г.-п)тоновойвфункцияскалярнаявпричемт.е.ин-являетсядлявыполненанееeE.147)G.,являетсятакжеин-потенциальнойиндифферентнойкомпонентдляE.142)G8.группыE.145)имеетвид^меняетсяне\/{Ajk}функциятензорнаяУсловиеф(Т^"^п)Gs,.
.а^З*'-*-),ф{А^относительнофункциикоординатВхи^5.2.1:п.потенциальнаяиндифферентнойсис-другуюпреобраАхсистемегруппы=влинейноготеорема.относительноизпереходепомощьюE.142).следующаяE.84)при.309матрицамиT-Ь—i»отформулойопределяетсятосхарактеризуемогоS{1.. inзависимостииОх\получающуюсягруппефункциитензорныекоординатXх,координатсистемуПотенциальные5.3.вид:необходимочастьлевуюдифференцированияпослеподста-соотношение:подставитьE.149)потенциальнойПредставление5.3.3.в5.10.Теоремаф(пТ)функцияскалярнаянабораполногофункцияЦ8\пТ)инвариантовИндифферентнаяВсамомфункциональноэтотеперьтогда(ПТ),ц*\набора-0(nT)функцияеесамуможнорассматритензораинвариантТакимнеобразом,nT,aпредставлениеАвозможно.ВычислимE.150)у=1..
г.скалярныйполнотевсегдаE.141),/.уинвариантынезависимыйодинпротиворечитE.150)вещеинвари-симметрии:группытоска-функ-какскалярныхиндифферентнаяскалярнаячерезкакжеф{1^{пТ)),=еслипредставленанезависимыхтойG8группыбытьможетотносительноделе,выражаетсярассматриватьотносительновсегдаф{пТ)Тфункциибазисетензорномтензорпроизводнойполучим:Й;в4')в"т"отф E.150)иподставимегоГлава3ioПерепишемсоотношениеэтоТензорные5.вфункциивиде:следующемгHW(nT),E.152)7=1иобозначениявведеныгдедляочевидно,которые,функцииВможетудовлетворяютE.152)Записьсамомделе,представленатойидругойобразующихУстановимфункции)же=2самыхобразу-помощьюсстепенейотизменяются.нестроитсятензорныхрамкахотПТ,тоПН7итензоров.этидалеепипщ'имо-вотличаетсяпЩ8'тензорыЦ8'E.141)причемфункцияоднааинвариантовгруппE.152),Gsу>7,наборэтихоттензор-функциятензорнаяразложениявидесимметриигруппытензоровзависитпотенциальнойпотенциальнаявполныйкакпредставлениемкоэффициентамитольковзаимности:базисе.тензорномлюбаяжеE.154)условиямназываетсявбытьодной|р=4>iТакинвариантов:отфункций:скалярныхтензорнойпроизводнойтензоровпЩ8'тензоры(тензорныефункциипдля1=ранга)второгои(векторныефунк-различныхгруппсимметрии.Потенциальные5.3.4.Рассмотримимеетслучайп=G,:1,тогда=/(a)функцияпотенциальнаяE.141)вид:sгдефункциивекторныефявляетсяфункциейE.151)^,инвариантов¦фПредставление==дляфA^{а))векторнойE.156)относительновектора7=функциигруппыE.157)!•••*••имеетвид:Потенциальные5.3.функциитензорные.311гдеИспользуяфункциип.5.2.3,длязапишемотносительноE.158)групп/да,дцпроизводнойвекторапредставлениеразличныхТриклиннаявекторнойфунк-G,.симметриисингония:s=s=МоноклиннаяG3:выражениятеперьвполученного?7=1Yl~t=i,E.159)аз)ё7,а,/3,7=1,2,3.сингония:s=E.160)Ромбическаясингония:E.161)Сингонии:G$G8G,G8тетрагональнаяромбоэдрическаягексагональнаятрансверсальнаяsСингонии:изотропия2<pia=G,GsG,G,гексагональнаятрансверсальнаяКубическаясингония,изотропия2+изотропия==9, 12, 14, 1517, 19, 2021, 23, 24, 25,34, 36, 37;27;E.162)ромбоэдрическая==?+тетрагональнаяs=====10,16,22,33,13;18;26;35;E.163)ёG8=28,.
.,32,38,39:E.164)Глава312^5.3.5.ОбщееРассмотримE.141)случайпSТи2,=тогдафункцияпотенциальнаявид:SгдетензорныхрангатеперьимеетфункциипотенциальныхпредставлениевторогофункцийТензорные5.симметричные-функция,*4T)=|?,=второготензорызависящаяотE.165)инвариантовтензорафаранга,Тскалярная-относительногруппыG,:V'E.152)ПредставлениеVD')(T)).=функциидляE.166)7=1--г.второгоимеетрангавид:|fe)7=1E.167)гдеE.168)Вкачествец'(Т)инвариантовклассов,различныхКакбыловыберемприведенныепоказановп.5.2.5,внаборыполныеинвариантовп.4.5.5.этивселибоявляютсяинвариантылинейными:4J)(T)либоТ--ftW,E.169)7=1..-™,квадратичными:4')(Т)либоТ®Т--.-41Ц»),=7E-170)*»+!. •«,=кубическими:4'>(Т)*щ'тензоров6ft7*),Т®Т®Т=щ\гдебщ'и-am-групп,числоТензорыE.105),следующимE.170а)г^б,.
г,образующихпомощьюсинвариантов,гпз=гrri2q—-q=т—кубическихчислогруппе.производной(формулы1.9 +=линейныхинвариантов,в7построенныетензоры,числоквадратичныхинвариантовзаписаны=этихотE.120)образом:иE.125)),иввычисляютсяинвариантоввобщемвиде<'K->•бытьмогут.Т,7=п.5.2.5запи--Потенциальные§ 5.3.функциитензорные7ТогдаSE.167)представление5^p7ftW+2=можнозаписатьy>74ft^<->?1..Я +=•-Т?3+E.171)г.виде:в7=m+l7=1313^76П^,7=9+1E.172)Подчеркнем,Т,тензоракТакимТеоремавторогоG8,можетДляВсякаяпотенциальнаябытьиндифферентнаяпредставленаТоднойтойижеЗапишемдц*в/дТтензорнойПредставлениеивформефункции(Е)-Триклинныйвторого(гпкласс=¦6,G8группБудем0,гпзвзапишембазисе=про-п.5.2.6.вполученныеE.172)безиндексномё,-.0):зS=7=17=1(ЪЦ\%^W)аф/Зф-гпред-тензоровдлядекартовом=изисходитьвыраженияrri2тензорнойпотенциальнойсимметрии,вявляются(Т)./7функциикомпонентнойтен-E.165)функцияинвариантовклассапокоторыеу?7,E.172)каждогоE.165)степени.потенциальнаяподставимтен-группыE.172)второйвышесимметрии.котороеотсимметриифункцияразложениянепредставлениеE.167),производнойвиде-Ga однакоэффициентамиклассазависяттеорема.различныхкаждогоклассанекоторойтензорныедляпредставленияТE.173)теперьфункциинеодноготензорнаяотносительноранга6ft}'*'следующая0толькоПотенциальные5.3.6.иотвТифункциямискалярнымиE.173)относительногруппыдругойот"'переходе5.11.Е,отличаетсявидепридоказанастепеням:тензорным4П7,образом,ранга,^y.=C7i-yft7толькоменяютсядругому.,/W(T))тензорычтоар7(/<*>(Т),.
.=Ъфа,Глава314(М)-Моноклинный(гаклассSУ>7ё*=4,=+-у>4ОзО2++функциига22,=газО2)+0гy>7(Oi0Oi)(v>6T13+<Р7Т23)F'2б1T22,T33,О20):=x(Wo2+г7=1®Тензорные5.+Oi))0•-Т,7=1x(S[SiSiS{)+у?7(Тц,=У*7(О)-Ортотропкыйs(тклассУ2 V7e?=+7=1оL(^OlT12,3,=°i®m22,^O2+тз1):=O2®E.175)Tf3).T13T23,T13,=6l34),+<p7O3+®6,O3)E.176)7=1T22,,(T)-ТетрагональныйS(ткласс={<pi+#>2/2)(E+ia)+O2®•-TТ?з, f12f13f23,2?2,m2(<p2+=el)-f|3,T33,O2)+=3,m31):=I2<p6)el++y>6T2,2<p4{el0ej+ёE.177)Потенциальные§5.3.ij=<Ъ(Гцу>7(<р2+Т22,+функциитензорныеVi-Т?зТ33,-2?i2»,+^!2> 2?а. ^(Гн+(Кз)-Квазитпрансверсалъно-пзотпропный1):(гпклассТ22)).-2,=Шг3,==т3S315{(pi=/2Ы(Е+ё§)-(<р2+/2?>б)ё§+(j*>3(Oi+-(Ox-Oi®®Oi®Оа)О2+О2+-О2)+®Оь)E.178)5ij(S[S33=V>7S=+t22,+(А)-Ромбоэдрический-Щ-6'36{)f13)+(Гцv7(<p2+(mклассy>i(E-2у>5(Д-ё§)р2ё|+-(d{<p2+E[б{[4V7=2!+-(ГцТ%--4<52)(^4Т134+Г22,2Т22,m2О!®Oa)®4,=ё^-T22, detT).Ij'j,+m30):=+O2®O2)®ё2)++-у>бПз<1)+--T,•2<p5f33)S3Si+-tp!-6'36{)((<р3+2,=O2+12633 + 6{3632){(<р3(б[б{T|3, Г2!+(^(Oi+Oi®2?3f33)2у>5)Т23-2<ръ)Т13++<P4T12^(Тц+?i(Tii--Т22))+Т22)<p6f23)+E.179)Тзз,Т23(ТпГ{з+-Т23,Т13(ТцГ22)+—2Т12Т13).Т22)—Глава316(В)-РомбоэдрическийS(y?i=2(токлассё2)/2Уб)(Е'-+(Ы°1Oi®2<р5(А0О2)®Ох+О26ij+Т13++д)ip&h-Т•у?6Т2,+Т22))F[6}3SiS{))+6<36{)B(<р4+<p5)f13+-+E.180)T131,=Bу>2ОЛ3^56OmT23,+(m++ё|)®кк*,/2Ve)E6„ё§-T23(S[Siкласс(viО2)--,Тзз,=2®*S1):=тоз-91-S28{)-3,=|^(Гц+то2+О2(<р2функции2,={<р2++-(Ох-Тензорные5.^3(A+<p6A+2,=m2Ofc-A)¦••TO3•-Tve/iA)-®3):=•-T+T,ч>ъ-E.181)^=(Tuf22+3u(H)-Гексагональный2,гп2(тоS=(у>12,тоз/2?>5)(Е+--(Ox1):=-®ё2)Oj+++T).detТгзТиТю,2».(Т3)-Трансверсалъно-изотропныйи=—3»+{tp2О2+®12<рь)ё1О2)-ё23классы+(^3@!®ё2-®Ох+О2®О2)+Квазилинейные§5.4.функциитензорные(S[6i+B<р4+=4>t(Тц<Py(ipi+=Sijh<p2(<pi=Функции+воу>71,—6{36{)Т13)++23»+всехсоотношениях1,[f2-<Рз)&h<p2(=m2/2у>з)Е+j»+T|2тз=1);h<P3)T+(<P2-^3T2,+h<fi3)Tij+T).det,E.183)<pzfikfki,+E.174)-E.183)соотношениямудовлетворяютт.е.T33,(тклассS++f22,+A)-Изотропный<p5fikfki,7% + f>3,htpjf"-317потенциальны,взаимности:E.184)СделаемВ1.замечанийряддвух-0,потенциал2.'ЦинвариантТ223,=вО-классеДИнвариантыфункции,отношениюповходящиевбытьмогутклассасоответствующеговсемко/2,ивсегда5.3.1.функцийтензорныхдоказатьв§5.4.1.каждогобылоклассасимметрии.со-потенциальныхdl\$для/9T,до-различныхгруппфункцийфункциютензорнуювпоказаноE.172)разложениявиде1^функциитензорныепотенциальнуюКак§4.5).производныхфункцийквазилинейныхРассмотримтензорныекE.172)тензоровтензорныхпоп.5.3.5,тензорномуее2,и5.3.представлениядляэтом1индексаминвариантыупражнения§Встановят-п.5.3.6.ОпределениеE.165).общегоизКвазилинейные5.4.черезкТ^.=выше(см.представленийприведенныхпредставленныевыраженып.5.2.6формулсправедливостьG8,вИсходяикин-индексам.тремсимметрииУпражненияУпражнениеотношениюпо-'StJ(Tfc/)функцийAf-классевкоторых,добавленЦинвариант-потенциальныхсимметричными:-О-классеваМ-классеврассмат-(средиинвариантовнезависимых):по-удобноу>7,семиашести,длявыраженияслучаеанешестьО-ортотропном,икоэффициентыитолькоестественно,становятсяAf-моноклинномфункциивыражениям.вышепредставленнымследовательно,а,какрассматриватьксимметрии,классахрангавтороговсегдаможнобазисуотносительнопредставитькаждо-Глава318Определениефункцийбазисупорядка,содержитЕипотенциальныхE.172)степенитензорныенеба-тензорномупопо-первогостаршеТ:J27=1называетсятензорныхклассразложениекоторыхтолькот.е.функцииЧастный5.9.дляE.141),Тензорные5.классомазвк^4*Ч'><->иныхилинеE.185)•-Т,функ-потенциальныхфункций.E.172)Изфункций:E.185)идф=<P-!Ц3'инвариантовданной7вообщеапотенциальныхнетолькоE.186)1,-¦-,г,9 +=говоря,G,,группыквазилинейныхдляV,=qJ-зависит,потенциалт.е.чтоследует,отнаборавсеголинейныхотинвари-квадратичныхиинвариантов:1>Заметим,вообщечто,тензорнойтензорные5.4.2.Квазилинейныеразложениядля--триклинногомоноклинного(#),(М),А-ромбоэдрическогочтодлянекоторыхбезчтоэтоте(Т),потенциальныеE.172)Остальныеразложениябазисудля(О)-ОртотропныйE.185)иклассыприведеныэтихфункцийпотензорному5.7.которыхуИтак,содержатквазилинейныхподопущенийвидапотенциалфквазилинейными,являютсябазисутензорномукубическиеиихраз-совпадают.Нижеинварианты.функцийтензорныхпоприве-тензорномуклассов.класс:7=11(О7недля(А)функциифункциитензорныедополнительныхклассы,п.5.3.6,вклассовинвариантов.тетрагональногоразложениянепотенци-представленныхсимметрии,квазилинейными,Очевидно,откубическихклассов§вречьиначенаразличныхклассовзаметить,являются-пойдетэтомпотенциальныхразличныхнетруднозависитисимметрииРассматривая-обилираспространенофункцииклассовE.187).квазилинейности,бытьможетфункции,непотенциальныеE.187)понятиеговоря,линейности,базису1>(ll(T),.
.,Iq(T)).=0О7)•-Т),E.188)§&Квазилинейные5.4.? №4=функциитензорные+\2(Кз)-Квазитрансверсалъно-изотропныйSу?х(Е=ё|+ё|)®(<р2®+Т22,Т3з,<р2ё1+Ох(Ги<ру=+О2+О2®О2)Т^зО2)®Ол))--Т,•E.189)Т22з, Тп+Т?2).Т|2,+класс:vi(Eё|)-+(y>3(OiО2^Oj-91-)-Ромбоэдрический=(О:®636{)f13)+ЪS(-?>3(О!+(A+F{6i<р2ё1++^i^=класс:%1)-319=y>7(fn+Ti23Т22,Гзз,(К)-Квазиизотпропный®+®OiО2)-О2+ё^®T23, f13{fnО2)®ё^))-•f22)+-E.190)-Т,-2T13T23,класс:S=piEBу?2ОЛ+a=l+у>з(А-ОЛ)•-T,E.191)Глава320+-til+-*22(Н)-ГексагональныйТензорные5.^33)-ь.--(Oi®Oi(Гц^7=(I)-Изотропный+11-^22•"-^331-^13+^23•1\2)ш(Тз)-Трансверсально-изотропныйиР7функции+Т22,+Г^зТЬз,классы:O2®O2)-e|®e|))--T,Т223, Т2!+E.192)Т222+2Т22).+класс:E.193)Дляквазилинейнойортотропнойкоэффициентыу>7вкоторыхчисло5.4.3.71»—•••»6Квазилинейныефункциями,описаннымиврангаПроделаемэти4СВинвариантовформулефункцийможнопомощьюсдействительносделатьлинейнымиДляп.5.1.9.чтобыможноТприоперации(I)-Изотропныйкоэффи-инвариантсоответствующимиобразом,таким(рчсиинвариантов,рангафункцииформечетвертогонезависимыхквазилинейныхчетвертогофпотенциалшестикубическийПредставлениепоотвходитнетензорасовпадающимифункциизависятэтогоследуетбыловыделитьдлякаждогофункцифункциипреобразоватьсимметричныйквазилинейныхвсовпадаю-тензорнымитензорп.5.3.6функцияхначинаякласса,си5.4.2.изотропного.класс:E.193)Д,Ai(/i,/2)введемновыедвеAiфункциииА2,зависящиеотJ2:=92+т1,hA2(JbJ2)=-2p2,E.194)Квазилинейные§ 5.4.линейныйрасшифровываятогдаE.193)кследующемуSтензорAiIxE=2А2+четвертогоАТ-(AiE4С--Т,=Д,преобразуемЕ0=E.81).формулепофункции,квазилинейнойдляконстанты,неТ-E.195)определенужеА)2А2+Однако,функфункциинекоторыеакласс:E.191)формулевведемAiE.191)тогда-Т,•J2.(К)-КубическийВтензорнойA2Ai,инвариантов4СрангалинейнойкоэффициентыфункцииЕ=виду:ототличиев321Jiинвариант=гдефункциитензорные4СА2=Аз-у>3,2преобразоватьможноSТензор7i/i ,=функции:новыетриAi/iE+BА2А=(AiE<g> E+здесьТ•А3ОЛ)+=¦-Т4С=¦E.197)-Т.E.80).тензоромсоответствующимсТ$-Трансеерсалъно-изотропныйиПредставимА3ОЛ)+2А2Асовпадает(Н)~Гексагональныйобразом:следующим=E.196)2y>2-y>3,=функцииклассы:E.192)формулахв<рг..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
