Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление (1050322), страница 33
Текст из файла (страница 33)
.=E.436)спТп,п=0Т°подгдеТеоремаТметрическийпонимается5.18.Действительно,такпроизвольныйE.436)ФункциякакаТтензор,спконстанты.-изотропной.являетсязаменеприортогональныйЕ,тензорQTнаТ•Q,•тензорныеQгде-про-преобразуютсястепеникак(QT.Т•Q)n=(От=QT•ТО)•QT•Т•Q•••,.QTТ••Q=па,следовательно,•ТТ-Т..Q=•ТпE.436)функцияполиномиальнаяE.9):условиюQT•Q,удовлетворяетус-71=0QT=•СпТп)(?\п=0ЗаписываятензорТвQсобственном=QTГ(Т)•Q.АE.437)A.174):базисезТ=Y,A«e«®eQ,E.438)Непотенциальные§5.7.любуюТпстепеньцелуютакжеможно373представитьввидедиагональ-A.180):базисежетомвтензорадиагональногофункциитензорныеE-439)а=1ТогдавE.436)функцияполиномиальнаябытьможетпредставленавиде:s(Е с»А«)°е°®Е=\па=1°е°®|а<Е /(АЛ=/1=E-44°)а=1гдеоо?>АП.Таким.F(T)функциивсякойобразом,E.436)полиномиальнойизотропнойбытьможеттензорнойобычнаясопоставленааналогичнуюимееткотораяE.441)еслиструктуру,функ-/(А),функцияТаргументзаменитьнаА.Очевидно,обычнойфункциюE.440).ИспользуяАточкиокрестностизатем,функцииэтиАзаменяяE.440).Например,=насходящиесяТ,T-iT3впостроить"синусфункция+iT5+тензорную,функцию"логарифмтензора"ототиметьf;?i^IT2»+1,0этого^на-вE.441)|А| ^ Ао,рядыинтервалеп=0"косинусстепенныебудет=..построитьДлянекоторомтензора"отможнофункций.вполино-тензорнуюфункций,разложением0,всякойпоизотропнуюизотропныхэлементарныханалоги-утверждение:образоватьможносвойствоэтопредставитьнадоафункциифункциитензорныеобратноеиверночтополиномиальной-аналогвид:E.442)'а":тензора":Л„=оf-Un-lп-Тп,E.444)Глава374'экспонентаТензорные5.функциитензора":от00SДляобычнойотэкспонентыэкспоненты,Техр=12J ZTTnn!=E-445)n=0~обыч-свойствавыполняютсяочевидно,тензора,например:п=0оо.53 ^(Т?=пТ?-1+Т2•+nTi+..Т!?-1¦Т5)+=п=0"\п=0функции:теперьТтензорП)т(ехрУмножаятеперьE.446)ftехрсвойствоE.447)кососимметричен,птехр=Г(ТТ).=-тогдаE.447):поE.448)(-ft).ехр=транспонированныйнаполиноми-кнему,E.448)поиполучаем:ftехр•ft)T(ехробразом,такимортогональныйВернемсяэкспонентаксноваftTехр(ftехр=ft)-кососимметричногоE.449)E,=образуеттензоратомупр.4.5.12).ичислеСогласновторой:п2,>можноE.436)представленияТеорема5.19.E.436)(см.дляэтойвсегдаSлюбуювыразитьчерезТ2,+(см.ТпстепеньТтензорную(р0Еспра-иТ°=Е.Тогдатеорема.представить=иТтензорнуюследующаяизотропнуюГ(Т)котораятензоровтеореме,можно=п.4.5.4),несимметричныхвытекаетВсякуюE.436)представлениюполиномиальномуГамильтона-Кэлитеоремойвфункцию-оттеперьсправедливавышеftехр=тензор.воспользуемсяизft=E-446)Тг-•ехрважное(:F(T))T=TiexpустанавливаемSTПустьhT>)=\п=0E.440),Транспонируяполиномиальной/полиномиальнуюв(ргТ+(р2Т2,виде:E.450)§ 5.7.где(раНепотенциальныефункциискалярные-отE.450)СравниваясимметричныхтензорнойфункциидлячтоЗаметим,E.433),толькоТвозможносимметричныхтензоровдлятен-несимметрич-дляиE.436).функцийполиномиальныхдлявыведенаизотропнойразложениеЕибылакотораячтоТ2,базисупонотензоров,E.451)получаем,тензоров,несимметричныхТ;тензораинвариантовформулойс375VPa(/l(T),/2(T),/3(T)).=V>«функциитензорныеЗаме-полиномиальностиусловиенеиспользовалось.Условиеявляетсяполиномиальностилинейнаяизотропнаяранга,группыполиномиальнойикоэффициентамисоответствующемE.450).представленииТтензораSДлясобственномупо=Y, fa=вподставимэтогоявляетсяполи-функции!F(T)соответствую-разложениеE.438)еа.E.452)E.450):в?>iAa+E.451)(рабазисуГ(Т)неполиномиальнойфункциичет-тензорE.450).видевE.436)Найдемс,.-ортогональнойA.264),видапредставленавидизвестен4С(гдеТиполнойсимметриейбытьможетнетеперьSотносительнообладающийи-т,тензорыиндифферентныйнеПустьс4c=несимметричныечетвертогонапример,функцияsсвязывающаятаксущественным,тензорнаяч>г\1)+0еаа=1E.452)Сравниваяравенства?>гА*+функциягдеE.453)Науравнений/(Аа)определяетсяможносмотретьотносительно1иранееприпредполагаем,числоненулевыхкакчтоиразличныха=E.453)3,1,2,насистемуэтойлинейныхтрехуравне-имеетсистемывид:E.454)(Ai-A2)(A2-A3)(A3-Ai)=XIВандермонда.определителемназываетсяКакполучасобствен-приE.441).поА?\АхА2Аз11=/(Аа),=Определитель<ра.ДиE.436),функциикоэффициентовбазисе:тензорномсобственномE.440)представлениемсвыполнятьсядолжнычтополучаем,рассмотрениитензорбазисовтензорныхТкомпонент.содержитТогдавп.5.7.4,мычис-возможноемаксимальновсеАаотличныотнуляГлава376АСледовательно,различны.иE.453)относительноА§)_^ДАхЯАз=АаПосколькуЛ(Т),/2(Т)§-являются§5.2былонеобходимостьтензорнойфункциитензорномукомпонентнойзаписи-функциюпомощьюрангm).+ТиАх)).-выражаютсячерез/а(Т).функциямифункцийтензорнойотаргументутензорногоВаргумента.производнойВведемэтиэтойскаляр-длямеханикечастопроизвольнойотпроизводные.вбазисеE.456)функциямногихт/тпроизводнойтензораотR,-имеетфункции,вид:рассматриваяпеременных:дТХх"Лп/дТ*1'"*тпроизводнойОчевидно,ДАз)(А2E.455)аргументупроизводныхтензоромаргументу.(n +Аз)А*)),-являютсяy?Qможно®тензорному/(А3)(А?тензорныхтензорномуобъект:называемый+тензораидифференциалвычислитьобычнуюследующий/(A2)(AiтотТ.аргументуможноС+А?)определенияВкакА2)понятие/(mT)=возникаетеесистемырешениесуществует-тензорномувведеноsВсегда/(А2)(А|производнойпофункциипоиДифференцирование5.8.ОпределениеВ+D.156)),(см.функциискалярнойОинвариантами/3(Т)ипо5.8.1.ффункции(ра:-<р2Тензорные5.Rh(n+m)ST•••®Rim.функциитензорнойчто®являетсясле-определитьE-459)потензоромтензориимеет§ 5.8.СоставимДифференцированиедифференциалтеперьE.89):определениеcTSиподставимв<g>..ИспользуяRjm0Rkm0E.459)E.89)(см.E.90)).E.462)иФормулафункциитензораэтойопределенияВдаетпоэтомувыраже-.(*(тТ)(т"л),E.462)т—2,=тотен-способE.459).формуладаетипроизводнойФактическийаргументу.Тдифференциалаотопределениеинвариантноееслислучае,E.461)тензортензорномупроизводнойчастномвыражениевид:транспонированный-E.460)производной,тензора..й(™Т)(т**л)определе-R^dT*1-**.0-гдеиспользуяRln,0...377получившееся..следующийпридатьdnS,Преобразуем...определениеможновыражениюdS1-1"*!^=аргументутензораE.459).негообразом:следующимтензорномупоопреде-E.462)формулапринимаетвид:dS4StгдеST5.8.2.тензор-Ri0R*0R'Если-(см.симметричный§5.2)Ip^R1'0отRj0R*0R'.E.464)симметричноготензоровкососимметричногоТ=E.459):пофункцийДифференцированиеифункции0E.463)определяемыйранга,четвертогоI^-R,-=4ST"dTT,=такжетотензор,необходимокаксимметризоватьhTklаргумент+Tlk)\,идляскалярнойфункцииE.465)Глава378авычисленияпослезатем,компонент,E.459)ТЕслириюТк1ФормулаSTвэтомR*)-E-466)E.465)вместо(умт'*)_кососиммет-учестьвид:(Rfc®E.467),E.464),вприметRj®jR'®R'-0Rfc).скалярнойпроизведенияE.468)ифункцийфункция,скалярнаятензора.-тогожепроизведения,®необходимото*случае~!%Rf'=^(Т)S(T)aВычислимприменяярезультате/ЯУ_ПроизводнаяиR/+производныхтензорнойодногоR/®тензор,вычисленияE.459)Пусть(R*®-Т1к.=5.8.3*Rj®аргумент:послезатем,девятииз•Sijакаждойповид:приметкососимметричный-следующийввестиTlk.=случае^]jfnRi=E.464)вTklэтомв1 В7'STфункциипроизводныхсимметриюучестьФормулаТензорные5.производнойфункциитензорE.464)определениефункциятензорная-дляототих(^S),впро-резуль-получим:R1'хЗдесьмыскалярафт,0RjR'0использовали=+E.88)получимскалярнойпроизведения(S0S=JF(T)длявыражение^т+ска-правилодифференци-функций:tfST)•'dTT.E.470)тензоровE.464)определениеотобычноетензорнойипроизведениявпроизводнойтензораприменилифункций.E.463),вE.469)<0ST.такжеапроизведенияE.469)ПроизводнаяПодставимфтопределение=5.8.4.S 0E.464),определениедифференцированияПодставляядифференцированияR*0SвместоиB=G(T)произведениеS•В,E.471)гдеСкалярные§ 5.9.функциитензорные-функции(S•В)тот^|ы=несколькихиодногоRn01'-R,ЗдесьПоследнеенесколько=Такимобразом,Rk<g>R'.Rfc®=S^SfВS+RRp=¦(Вт••-R/0дифференцированиятензорныхфункцийужеR90R'функций§-dTT•E.473),Rk=0•В)•Rfc)HRfc0R'.E.473)произведе-видоизменяется.Скалярные5.9.механике,крометензорногоаргументами-dTkl=отпроизведения+S•Вт-dTT.•E.474)несколькихаргументовфункцииаргументоввышерассмотренныхаргумента,которыхВфункциитензорныходногоRjdTij0дифференциаласкалярнойОпределениенескольких-R,-•-dTT)тензорныхприменяютсяиногдаявляютсяфункцийскалярныхнесколькоодновременно-тензоррангаs=fmQ,или(^Y^S^y^,.
.^-"»)одно-функции,скалярныетензоров:()(),. .m^T(n)),ШаТ(а)-R/выражение:(ST=R'дляполучимследующееd(Sгде•образом:следующимпереписать••E.472)свойствоRfc)0-R/•правило0выражениеВполучимсвойствотензорных5.9.1.R'®формальноедляRfcиRgиспользовано-R/•функции®можно((STИспользуяRp®0выражение(S-B)tпроизведенияRnразТогдаR®R'®R®R)>n5R*)0R*®379Т.тензора&®аргументовR•0жетого№roGmi)R''i1"тензорныхE.475)вкомпонентномпредставлении:.E.476)Глава380видевилиПри1,. .п)однойизпереходескалярнойкаксистемывфункцией/: 7^E.475).зависимоститакойзначение(кобозначаютиаргументовтензорных(М3)=тензорнойскалярнойназываютпроизведениядекартова7^тензоровпространствфункцииОтображение5.11.ОпределениеТензорные5.отхXхкоординатфункцииптензор-7зх..Х'гдругуюзначе-(q/'Q\t..a-,.
.,)Вжетовидвремя/функции^г—>меняется:не=впШ1пространствепреобразованияхтакихприE>477)можетме-меняться.Индифферентные5.0.2.тензорныхОпределениевидаотносительноменяется,такуюиндифферентной относительноI(a)Л~"i(a)следующимобразом:а-1.. П,fcma'E.479)Совместные5.9.3.к1'"Лменяет-индифферент-называютпреобразуютсятензоровфункциисамойE.475)Gs:группыпреобразованияхf нелинейныхвидG$функциюскалярнуюкомпонентылюбыхпригруппытогдеаргументовЕсли5.12.(ЗА)функциискалярныенесколькихнесколькихинвариантытензоровИндифферентнаяфункцияинвариантомтензорныхинвариантыназываютсятензоровШ1Т(!)..ШпТ(п)БудемобозначатьихСредиданнойгруппывсехотносительноможноПостроенныеин-об-такимтензо-Gs.преобразованийБу-.ШпТ(„)).пинвариантоввыделитьскалярнаяявляетсяинвариантамигруппыJ(roiT(i).совместныхG8Gs.группысовместнымибуквойG$группыочевидно,аргументов,даннойотносительнообразомнекоторойотносительнонесколькихфункциональнотензоровотносительнонезависимые.дан-Скалярные§ 5.9.функции5.13.ОпределениеJa{t(^''imi.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
